Ensembles de nombres : N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R

Ensembles de nombres : N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R
Denis Vekemans
1
∗
Structures algébriques
Voici une présentation rapide de certaines propriétés relatives aux structures algébriques.
Dans la suite, E est un ensemble (exemple : l’ensemble des entiers naturels) ; ∗ ou † sont des lois
(exemples usuels : l’addition, la multiplication, la soustraction ou la division).
1.1
La loi interne
Soit E un ensemble, on dit que la loi ∗ est interne si, lorsque l’on se donne a et b dans E, alors a ∗ b
est également dans E.
1.2
La loi associative
Soit E un ensemble, on dit que la loi ∗ est associative si, lorsque l’on se donne a, b et c dans E, alors
(a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c). On note alors cette quantité a ∗ b ∗ c.
1.3
L’élément neutre
Soit E un ensemble, on dit que la loi ∗ admet comme élément neutre e si, lorsque l’on se donne a dans
E, alors a ∗ e = e ∗ a = a.
Note : si e est un élément neutre pour une loi interne associative, il est l’unique.
1.4
L’élément symétrique
Soit E un ensemble, on dit que a de E admet un élément symétrique a−1 de E pour la loi ∗ si
a ∗ a−1 = a−1 ∗ a = e où e est élément neutre pour la loi ∗.
Note : si a−1 est un élément symétrique de a pour une loi interne associative, il est l’unique.
∗
Laboratoire de mathématiques pures et appliquées Joseph Liouville ; 50, rue Ferdinand Buisson BP 699 ; 62 228 Calais
cedex ; France
1
1.5
La loi commutative
Soit E un ensemble, on dit que la loi ∗ est commutative si, lorsque l’on se donne a et b dans E, alors
a ∗ b = b ∗ a.
1.6
La distributivité
Soit E un ensemble, on dit que la loi † est distributive par rapport à la loi ∗ dans E si, lorsque l’on se
donne a, b et c dans E, alors (a ∗ b) † c = (a † c) ∗ (b † c) et c † (a ∗ b) = (c † a) ∗ (c † b).
Analyse de productions d’élèves [Créteil, Paris, Versailles (2000)]
Sujet
Solution
Volet didactique [Amiens (2001)]
Sujet
Solution
1.7
Ensembles de nombres
On a déjà défini les ensembles d’entiers naturels (N) : 0 est un entier naturel ; et, si n est un entier
naturel, alors n + 1 aussi.
1. N = {0, 1, 2, ...}
+ est-elle interne dans N ?
Oui : si a et b sont entiers naturels, a + b aussi.
− est-elle interne dans N ?
Non : 2 et 5 sont entiers naturels mais pas 2 − 5.
2. On construit un ensemble contenant N pour lequel la loi − soit interne : l’ensemble Z des entiers relatifs contient les entiers naturels ainsi que leurs symétriques pour la loi +. Z = {..., −2, −1, 0, 1, 2, ...}
+ est-elle interne dans Z ?
Oui : si a et b sont entiers relatifs, a + b aussi.
− est-elle interne dans Z ?
Oui : si a et b sont entiers relatifs, a − b aussi.
× est-elle interne dans N ?
Oui : si a et b sont entiers naturels, a × b aussi.
× est-elle interne dans Z ?
Oui : si a et b sont entiers relatifs, a × b aussi.
÷ est-elle interne dans N privé de 0 ?
Non : 1 et 2 sont entiers naturels non nuls, mais pas 1 ÷ 2.
2
÷ est-elle interne dans Z privé de 0 ?
Non : 1 et 2 sont entiers relatifs non nuls, mais pas 1 ÷ 2.
3. On construit un ensemble contenant Z pour lequel la loi ÷ soit interne : l’ensemble Q des rationnels
contient les nombres de la forme a × b−1 (noté ab ) où a est un entier relatif et b−1 le symétrique de
l’entier naturel (non nul) b pour la loi ×.
+ est-elle interne dans Q ?
a×d+b×c
a c
(addition de deux rationnels), b et d sont non nuls, a × d + b × c est
Oui : + =
b d
b×d
entier relatif et b × d est entier naturel non nul.
− est-elle interne dans Q ?
a×d−b×c
a c
(soustraction de deux rationnels), b et d sont non nuls, a × d − b × c
Oui : − =
b d
b×d
est entier relatif et b × d est entier naturel non nul.
× est-elle interne dans Q ?
a
c
a×c
Oui : × =
(produit de deux rationnels), b et d sont non nuls, a × c est entier relatif et
b
d
b×d
b × d est entier naturel non nul.
÷ est-elle interne dans Q privé de 0 ?

a c 
Oui : ÷ = 
b d
a×d
si
b×c
a×(−d)
b×(−c)
c > 0,
si c < 0.
(division de deux rationnels) a, b, c et d sont non nuls,
(a) si c > 0, a × d est entier relatif non nul et b × c est entier naturel non nul.
(b) si c < 0, a × (−d) est entier relatif non nul et b × (−c) est entier naturel non nul.
Soit
p
q
un élément de Q, où p est entier relatif et q est entier naturel non nul. Soit d = P GCD(p, q)
si p ≥ 0 et d = P GCD(−p, q) si p < 0, la fraction
et
p
d
q
d
est dite irréductible, avec
p
entier relatif
d
q
entier naturel non nul. La forme irréductible d’un rationnel positif est unique.
d
p
est irréductible ⇐⇒ p et q sont premiers entre eux.
q
N ⊂ Z ⊂ Q.
√
Cependant, certains nombres n’entrent dans aucune de ces catégories. C’est le cas du nombre d’or, de
2 (la racine carrée de deux), π, . . .
1. On appelle nombre d’or le nombre positif x qui satisfait l’équation x2 + x − 1 = 0. Ce nombre est
irrationnel.
p
est un rationnel positif irréductible, alors p2 + p × q − q 2 = 0.
q
Maintenant, par disjonction de cas,
Démonstration par l’absurde, si
3
— il est impossible que p et q soient tous deux impairs car les deux termes de l’égalité ne sont pas
de même parité
p2
|{z}
impair
|
+ p×q −
| {z }
impair
{z
q2
= |{z}
0 ,
impair pair
|{z}
}
impair
— il est impossible que et que p soit impair et q soit pair car les deux termes de l’égalité ne sont
pas de même parité
+ p × q − q 2 = |{z}
0 ,
| {z } |{z}
impair pair pair pair
p2
|
|{z}
{z
}
impair
— il est impossible que et que p soit pair et q soit impair car les deux termes de l’égalité ne sont
pas de même parité
p2 + p × q −
|{z}
pair
|
| {z }
pair
{z
impair
q2
= |{z}
0 ,
impair pair
|{z}
}
p
— et il est impossible que p et q soient tous deux pairs car le rationnel est supposé irréductible.
q
√
2. 2 est irrationnel.
√
p
Démonstration par l’absurde, si est un rationnel positif irréductible valant 2, alors p2 = 2×q 2 .
q
De cette écriture multiplicative, il vient que 2 est un diviseur de p (d’après le théorème de Gauss),
et donc que 4 est un diviseur de p2 .
Par suite, 2 est un diviseur de q.
Mais dès lors, p et q sont donc tous deux pairs, et ceci contredit le fait que
l’absurdité.
2
p
soit irréductible, d’où
q
Le développement décimal
L’ensemble des réels R est l’ensemble des nombres admettant un développement décimal. 1
Mais qu’est-ce qu’un développement décimal ?
Nous utilisons habituellement la base décimale pour décrire les entiers, comme nous l’avons déjà vu
précédemment. Prolongeons cette définition ...
Soit r un nombre réel, alors on peut écrire
r = σ × ak × 10k + . . . + a1 × 101 + a0 × 100 + a−1 × 10−1 + a−2 × 10−2 + . . . + a−p × 10−p + . . . ,
où les entiers naturels ak , . . ., a1 , a0 , a−1 , . . ., a−p , . . . sont strictement inférieurs à 10 (ils sont appelés
chiffres) et où σ est le signe de r.
1. Il aurait fallu définir l’ensemble des réels comme l’ensemble des nombres qui peuvent s’écrire comme limites de rationnels,
et montrer que ces nombres admettent un développement décimal, mais ce n’est pas l’objectif de ce cours.
4
1
.
10p
Cette écriture peut aussi être abrégée comme suit : r = σ × ak . . . a2 a1 a0 , a−1 a−2 . . . a−p . . .(10) .
On rappelle : 100 = 1 ; 101 = 10 ; 10−p =
Définition. L’ensemble des nombres décimaux est l’ensemble des nombres pouvant s’écrire avec un
développement décimal fini (i.e. pouvant s’écrire avec un nombre fini de chiffres) 2 .
L’ensemble des nombres décimaux est noté D.
Pour un décimal d, il existe donc un entier naturel p tel que d = σ × ak . . . a2 a1 a0 , a−1 a−2 . . . a−p (10) et
ak . . . a2 a1 a0 a−1 a−2 . . . a−p (10)
. Ceci revient à dire que l’on peut écrire tout décimal d sous la forme
d = σ×
10p
n
d = p où n est un entier relatif et p est un entier naturel.
10
Théorème 2.1
p
où p est entier relatif et q est entier naturel non nul est décimal si
q
p
q = 2α × 5β , où α et β sont des entiers naturels. Réciproquement, si un nombre rationnel irréductible où
q
α
β
p est entier relatif et q est entier naturel non nul est décimal, alors q = 2 × 5 , où α et β sont des entiers
Un nombre rationnel irréductible
naturels. 3
Théorème 2.2
Si un nombre réel admet un développement décimal périodique à partir d’un certain rang, alors il est
rationnel. Réciproquement, si un nombre réel est rationnel, alors il admet un développement décimal est
périodique à partir d’un certain rang. 4
Soit r un rationnel positif dont un développement décimal est :
r = 10ν × ak . . . a2 a1 a0 , a−1 a−2 . . . a−p a−1 a−2 . . . a−p . . . a−1 a−2 . . . a−p . . .(10)
|
{z
}|
{z
}
|
{z
}
10p × r − r
=
10ν
qui est entier naturel. Ceci permet de trouver r sous sa
où ν est un entier relatif et p est la longueur de la période. Le calcul de 10p × r − r, donne
ak . . . a2 a1 a0 a−1 a−2 . . . a−p (10) − ak . . . a2 a1 a0 (10)
p
forme où p est entier relatif et q est entier naturel non nul.
q
Théorème 2.3
On a
N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R.
Analyse de productions d’élèves [Créteil, Paris, Versailles (2001)]
Sujet
Solution
Volet didactique [Créteil, Paris, Versailles (1999)]
2. Les nombres décimaux sont en fait les seuls nombres réels qui possèdent deux développements décimaux.
3. Cela provient directement du fait que la base est 10 et que les seuls diviseurs premiers de 10 sont 2 et 5.
4. Cela provient directement du fait que dans une division d’un entier par un autre, au bout d’un moment, on se retrouve
dans une situation déjà rencontrée : même reste et même quotient.
5
Sujet
Solution
Exercice 1
Parmi les réels suivants, quels sont ceux qui sont décimaux ?
10; −21; 0, 111 . . . 1 . . . ; −0, 1543; 123, 456789.
Solution 1
1. 10 est un entier naturel, donc un décimal.
2. −21 est un entier relatif, donc un décimal.
3. 0, 111 . . . 1 . . . = 0, 1 possède un nombre infini de chiffres après la virgule et n’est donc pas un
décimal.
4. −0, 1543 possède un nombre fini de chiffres après la virgule et est donc un décimal.
5. 123, 456789 possède un nombre fini de chiffres après la virgule et est donc un décimal.
Exercice 2
Parmi les rationnels suivants, quels sont ceux qui sont décimaux ?
12; −34;
1
1 9
31 79
372
; − ;
;
;
; −
.
3
5 180 125 43
775
Solution 2
1. 12 est un entier naturel, donc un décimal.
2. −34 est un entier relatif, donc un décimal.
1
3.
est un rationnel irréductible dont la décomposition en produit de facteurs premiers du dénomi3
nateur ne contient pas que des 2 et des 5 (présence d’un 3), donc n’est pas décimal.
1
4. − est un rationnel irréductible dont la décomposition en produit de facteurs premiers du dénomi5
nateur ne contient que des 2 et des 5 (présence d’un 5), donc est décimal.
9
1
5.
sous sa forme irréductible est un rationnel dont la décomposition en produit de
s’écrit 20
180
facteurs premiers du dénominateur de la forme irréductible (20 = 22 × 5) ne contient que des 2 et
des 5 (présence de deux 2 et d’un 5), donc est décimal.
31
6.
est un rationnel irréductible dont la décomposition en produit de facteurs premiers du déno125
minateur (125 = 53 ) ne contient que des 2 et des 5 (présence de trois 5), donc est décimal.
79
7.
est un rationnel irréductible dont la décomposition en produit de facteurs premiers du dénomi43
nateur ne contient pas que des 2 et des 5 (présence d’un 43), donc n’est pas décimal.
372
12
s’écrit − 25
sous sa forme irréductible est un rationnel dont la décomposition en produit de
8. −
775
facteurs premiers du dénominateur de la forme irréductible (25 = 52 ) ne contient que des 2 et des
5 (présence de deux 5), donc est décimal.
6
Exercice 3
Parmi les réels suivants, quels sont ceux qui sont rationnels ?
14; −101;
1
; 0, 111 . . . 1 . . . ; 0, 090909 . . . 09 . . . ; 0, 6; 153, 97; 4, 44545 . . . 45 . . . ;
3
0, 101001000100001000001 . . . 000
· · · 0} 1 |000{z· · · 0} 1 . . . .
| {z
n fois n+1 fois
p
Exprimer les rationnels précédents sous la forme irréductible où p est entier relatif et q est entier naturel
q
non nul.
Solution 3
1. 14 est un entier naturel, donc un rationnel.
2. −101 est un entier relatif, donc un rationnel.
1
3.
est trivialement un rationnel.
3
4. 0, 111 . . . 1 . . . = 0, 1 est un réel dont le développement décimal est périodique à partir d’un certain
rang, donc un rationnel. La longueur de la période étant 1, on calcule 9 × 0, 1 = 10 × 0, 1 − 0, 1 =
1
1, 1 − 0, 1 = 1, puis 0, 1 = .
9
5. 0, 090909 . . . 09 . . . = 0, 09 est un réel dont le développement décimal est périodique à partir d’un
certain rang, donc un rationnel. La longueur de la période étant 2, on calcule 99 × 0, 09 = 100 ×
1
9
= .
0, 09 − 0, 09 = 9, 09 − 0, 09 = 9, puis 0, 09 =
99
11
6
6. 0, 6 =
est trivialement un rationnel.
10
15 397
est trivialement un rationnel.
7. 153, 97 =
100
8. 4, 44545 . . . 45 . . . = 4, 445 est un réel dont le développement décimal est périodique à partir d’un
certain rang, donc un rationnel. La longueur de la période étant 2, on calcule 99 × 4, 445 = 100 ×
489
4 401
4 401
, puis 4, 445 =
=
.
4, 445 − 4, 445 = 444, 545 − 4, 445 = 440, 1 =
10
990
110
9. 0, 101001000100001000001 . . . 000
· · · 0} 1 |000{z· · · 0} 1 . . . est un réel fabriqué pour que le développement
| {z
n fois n+1 fois
décimal ne puisse comporter de période, et ce à partir de n’importe quel rang. Il ne peut donc pas
être rationnel.
Exercice 4
[Nice (1998)] Écrire un entier à la place du point pour que l’écriture fractionnaire désigne
Un entier naturel Un décimal non entier naturel Un rationnel non décimal
·
85
85
·
·
85
85
·
·
85
85
·
7
Solution 4
Un entier naturel Un décimal non entier naturel Un rationnel non décimal
85
n1
m1
85
85
n2
m2
85
85
n3
m3
85
— n1 doit être choisi parmi les diviseurs de 85 (i.e. 1, 5, 17, 85).
— m1 doit être choisi parmi les multiples de 85 (i.e. 0, 85, 170, . . .).
— n2 doit être choisi parmi les nombres qui s’écrivent 2α × 5β × 17γ où α est entier naturel, β est
entier naturel, γ est 0 ou 1 (pour être décimal), mais pas parmi 1, 5, 17, 85 (pour ne pas être entier
naturel) (i.e. 2, 4, 8, 10, 16, 20, . . .).
— m2 doit être choisi parmi les multiples de 17 (pour être décimal), mais pas parmi les multiples de
85 (pour ne pas être entier naturel) (i.e. 17, 34, 51, 68, 102, 119, . . .).
— n3 doit être choisi parmi les nombres qui ne s’écrivent pas 2α × 5β × 17γ où α est entier naturel, β
est entier naturel, γ est 0 ou 1 (pour ne pas être décimal) (i.e. 3, 6, 7, 9, . . .).
— m3 doit être choisi parmi les nombres qui ne sont pas multiples de 17 (pour ne pas être décimal)
(i.e. 1, 2, 3, . . ., 16, 18, . . .).
Exercice 5
Soient A =
1. Comparer A et B.
610
987
et B =
.
987
1 597
2. Donner un nombre décimal compris entre A et B et qui soit distinct à la fois de A et de B.
3. Donner un nombre rationnel non décimal compris entre A et B et qui soit distinct à la fois de A et
de B.
Solution 5
610 × 1 597
974 170
987 × 987
1. En utilisant la mise au dénominateur commun, A =
=
et B =
=
987 × 1 597
1 576 239
1 597 × 987
974 169
, on déduit A > B.
1 576 239
En utilisant les écritures à virgule, A ≈ 0, 618 034 4 et B ≈ 0, 618 033 8, on obtenait aussi A > B.
2. A > 0, 618 034 > B. 0, 618 034 est un nombre décimal car il s’écrit avec un nombre de chiffres fini
après la virgule.
A+B
A+B
1 948 339
3. A >
> B et
=
≈ 0, 618 034 1.
2
2
3 152 478
On recherche la décomposition en produit de facteurs premiers du dénominateur :
3 152 478 = 2 × 1 576 239
= 2 × 987 × 1 597
= 2 × 3 × 329 × 1 597
= 2 × 3 × 7 × 47 × 1 597
8
1 948 339
, le dénomi3 152 478
nateur aura toujours au moins un 3 dans sa décomposition en produit de facteurs premiers (donc
1 948 339
n’est donc pas décimale.
autre chose que des 2 et des 5), et la fraction
3 152 478
1 948 339
En fait, mais il n’est pas nécessaire de le déterminer, la fraction
est irréductible.
3 152 478
Comme 1 948 339 n’est pas divisible par 3, après simplification de la fraction
9