I. Symétrie axiale (Rappels de sixième).

Cours de Mr Jules
I.
Classe de Cinquième
Contrat 2 p.1
Symétrie axiale (Rappels de sixième).
A. Médiatrice d’un segment de droite.
Définition :
La médiatrice d’un segment est …… droite :
passant par le ……………… de ce segment,
……………………… à ce segment.
Exercice 1: tracer à la règle et au compas
la médiatrice de [AB] (notée med[AB]).
B
A
N’oubliez pas de coder la figure !
Exercice 2 : placer B de telle sorte que la
droite d soit la médiatrice de [AB]
Placer un point M sur med [AB]. Comment semble
être le triangle AMB ? …………………..
d
A
Codage !
.
Propriété métrique de la médiatrice :
(1 condition ou hypothèse)
Quand
M est sur la médiatrice d’un
segment [AB]
(1 résultats ou conclusion)
alors
MA = MB
Autrement dit : Lorsque un point est situé sur la médiatrice d'un segment, alors il est situé égale distance des deux extrémités
de ce segment.
Utilité : cette propriété sert à prouver une égalité de …………………..
Inversement :
Réciproque de la propriété métrique de la médiatrice
(1 condition ou hypothèse)
Quand
MA = MB
(1 résultats ou conclusion)
alors
M est sur la médiatrice du
segment [AB]
Autrement dit : Lorsque. un point est équidistant1 des extrémités d'un segment, alors c’est un point de la médiatrice de ce
segment.
Utilité : cette propriété sert à prouver qu’un point est sur une …………………..
1
équidistants : de equi : "égal". Equidistants veut dire: situés à égale distance.
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Cours de Mr Jules
B. La symétrie axiale.
Classe de Cinquième
Contrat 2 p.2
De quoi s’agit il ? : la symétrie axiale est un procédé (une transformation) qui agit sur les
objets géométriques du plan (points, droites, figures plus ou moins complexes , dessins…).
Comment ? :
Elle va transformer une figure en une nouvelle figure (appelée figure image) de la manière
suivante :
Après pliage selon une droite fixe (appelée l’axe de la symétrie), les deux figures doivent
être superposables (effet miroir).
Exercice : essaies de dessiner en vert
l’image F2de la flèche F1 par la symétrie d’axe d.
F1
d
Vocabulaire :
On dit que F1 et F2 sont symétriques par rapport à l’axe d.
Ou bien que F2 est l’image de F1 par la symétrie d’axe d.
Ou bien que F2 est le symétrique de F1 par la symétrie d’axe d.
Relations Points symétriques et Médiatrice :
Relation points symétriques → médiatrice :
(1 condition ou hypothèse)
Quand
A et B sont symétriques par
rapport à une droite d
(1 résultats ou conclusion)
alors
d est la ………………….
du segment ………
Utilité : cette propriété sert à prouver qu’une droite passe par le ……………… d’un segment,
perp………………...
Inversement :
Relation médiatrice → points symétriques :
(1 condition ou hypothèse)
Quand
d est la médiatrice d’un
segment [AB]
(1 résultats ou conclusion)
alors
A et B sont ………………
par rapport à ……….
Utilité : cette propriété sert à prouver que des points sont ………………….. par rapport à une droite .
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Cours de Mr Jules
Classe de Cinquième
Contrat 2 p.3
Exercice : dessines en vert les images I, J et K de respectivement
A, B et C par la symétrie d’axe d.
d
A
C
B
Codage !
Lorsqu’un point est sur l’axe de symétrie, alors son symétrique est ……………………. !
Les points de l’axe sont les seuls points invariants par une symétrie axiale.
Transformation par les symétrie axiales des figures de base :
Tracer en vert les symétriques des 3 figures suivantes :
Le symétrique d’un segment
est aussi un …………………de
même ………………….
L’image d’une droite par une
symétrie axiale est aussi une
……………………qui
coupe
l’axe au même point, sauf
quand la première droite est
……………….. à l’axe.
Le symétrique d’un cercle est
aussi un………………………de
même ………………….
Son centre est le
s………………. du centre de
l’ancien cercle.
Propriétés des symétries axiales : Les symétries axiales conservent :
Les longueurs :
Le symétrique d’un segment est un …………………. de même ………………
En conséquence, les symétries axiales conservent aussi le m………… :
Le symétrique du milieu d’un segment est le …………. du segment image.
Figure : tracer en vert les symétriques du segment
du milieu du segment.
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Classe de Cinquième
Contrat 2 p.4
Le parallélisme :
Les symétriques de deux droites parallèles sont deux…………qui sont aussi ……………..
Figure : tracer en vert les symétriques des 2 droites parallèles.
Vous remarquez que les deux nouvelles droites sont
aussi ………………entre elles !
Attention ! Il n’est nul part dit que la symétrique
d’une droite est une droite parallèle, ce qui est
généralement faux. (vrai seulement dans le cas rare où
la première droite était déjà parallèle à l’axe).
Les angles (donc la perpendicularité) :
Le symétrique d’un angle est un angle de même ……………
Figure : tracer en vert les symétriques des 2 droites perpendiculaires.
Vous remarquez que les deux droites images sont
aussi ………………….entre elles !
Attention ! Il n’est nul part dit que la symétrique d’une
droite est une droite perpendiculaire, ce qui est toujours faux.
Codage !
Les Aires :
Une figure et sa figure symétrique ont même ……………..
Conséquences des propriétés de conservation :
Quelles seront les images par une symétrie axiale :
d’un triangle isocèle ?
d’un triangle équilatéral,
d’un parallélogramme ?
d’un losange ?
d’un rectangle ?
d’un carré ?
Axe de symétrie d’une figure :
Une droite d est un axe de symétrie d’une figure lorsque :
le symétrique de cette figure par rapport à d est la figure elle même.
Autrement dit lorsque la figure et son image sont confondues.
Autrement dit lorsque les parties de la figure « à gauche et à droite » de l’axe d sont
superposables.
Exercice : parmi les chiffres quels sont ceux avec :
• Exactement 1 axe de symétrie :
•
Exactement 2 axes de symétrie :
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Cours de Mr Jules
II.
Classe de Cinquième
Contrat 2 p.5
La symétrie centrale.
De quoi s’agit il ? :
La symétrie centrale, comme sa « sœur » la symétrie axiale, est un procédé (une
transformation) qui agit sur les objets géométriques du plan (points, droites, figures plus ou
moins complexes , dessins…).
Comment ? :
Elle va transformer une figure en une nouvelle figure (appelée figure image) de la manière
suivante :
Après demi tour autour d’un point fixe (appelé le centre de la symétrie), les deux figures
doivent être superposables.
Exercice : essaies de dessiner en vert l’image F2de la flèche F1 par la symétrie de centre O.
×
O
F1
Vocabulaire : On dit que F1 et F2 sont symétriques par rapport au centre O.
Ou bien que F2 est l’image de F1 par la symétrie de centre O.
Ou bien que F2 est le symétrique de F1 par la symétrie de centre O.
Relations Points symétriques-Milieu :
Relation points symétriques → milieu :
(1 condition ou hypothèse)
Quand
A et B sont symétriques par
rapport à un point Od
(1 résultat ou conclusion)
alors
O est le ………………….
du segment ………
Utilité : cette propriété sert à prouver qu’un point est le ………………….…. d’un segment.
Inversement :
Relation milieu → points symétriques :
(1 condition ou hypothèse)
Quand
O est le………………..
d’un segment [AB]
(1 résultat ou conclusion)
alors
A et B sont ………………
par rapport à ……….
Utilité : cette propriété sert à prouver que des points sont ………………….. par rapport à un troisième
point.
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Classe de Cinquième
Contrat 2 p.6
Conséquence de cette relation milieu points symétriques :
Méthode de construction (à la règle et au
compas) du symétrique N d’un point M par
rapport au centre O de la symétrie:
on trace la droite (MO).
on reporte au compas la longueur MO à
partir de O sur la droite (MO)
on marque le point N afin que O soit le
milieu de [MN]. (codage !)
M
×O
Exercice : Dessines en vert les images I, J et K de respectivement A, B et O par la symétrie de centre O.
B
codage !
A
×O
Le symétrique du centre de symétrie est …………………….. !
C’est le seul point laissé invariant par une symétrie centrale.
Transformation par les symétrie centrales des figures de base :
Tracer en vert les symétriques par rapport à O des 3 figures suivantes :
×O
×O
×O
Le symétrique d’un segment est
L’image d’une droite par une
Le symétrique d’un cercle est
aussi un ………………………de
symétrie centrale est aussi une
aussi un ………………………de
même …………………et
……………, par………………
même ………………….
par…………………
Quand la droite passe par le
Son
centre
est
le
s…………………..….du centre
de
l’ancien
cercle.
centre de symétrie, son image est
…………………
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Cours de Mr Jules
Classe de Cinquième
Contrat 2 p.7
Propriétés des symétries centrales :
Les symétries centrales conservent :
Les longueurs :
Le symétrique d’un segment est un ……………………. de même ……………
En conséquence, les symétries axiales conservent aussi le m…………… :
Le symétrique du milieu d’un segment est le …………… du segment image.
Figure : tracer en vert les symétriques du segment et du milieu du segment.
×O
Le parallélisme :
Les symétriques de deux droites parallèles sont deux…………qui sont aussi ……………..
Figure : tracer en vert les symétriques des 2 droites parallèles.
Vous remarquez que les deux nouvelles droites sont aussi ………………entre elles !
O
Les angles (donc la perpendicularité) :
Le symétrique d’un angle est un angle de même ……………
Figure : tracer en vert les symétriques des 2 droites perpendiculaires.
Vous remarquez que les deux droites images sont aussi ………………….entre elles !
Attention ! Il n’est nul part dit que la symétrique d’une
droite est une droite perpendiculaire, ce qui est toujours faux.
O
Codage !
Les Aires :
Une figure et sa figure symétrique ont même ……………..
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Cours de Mr Jules
Classe de Cinquième
Conséquences des propriétés de conservation :
Quelles seront les images par une symétrie centrale :
d’un triangle isocèle ?
d’un parallélogramme ?
d’un rectangle ?
Contrat 2 p.8
d’un triangle équilatéral ?
d’un losange ?
d’un carré ?
Exercice : En utilisant uniquement le quadrillage, tracer en vert les symétriques par rapport à
suivantes.
des figures
Centre de symétrie d’une figure :
Un point O est un centre de symétrie d’une figure lorsque :
le symétrique de cette figure par rapport à O est la figure elle même
autrement dit lorsque la figure et son image sont confondues après un demi tour autour de
O).
Exercice :
parmi les chiffres quels sont ceux avec un centre de symétrie :
parmi les voyelles, citez celles qui ont un centre de symétrie :
Etymologie du mot symétrie :
Le grec summettria, juste mesure est formé de syn, avec que l’on retrouve dans sympathique et de
metron, mesure. Les architectes romains l’empruntent. Pour eux symmetria signifie proportion mais
parfois déjà symétrie, considérée à l’époque comme les justes mesures.
Le mot symmétrie, apparaît à la Renaissance dans le même sens. Il insiste sur les bonnes proportions
d’un édifice pour le rendre plus esthétique. Au 18ème siècle, il perd définitivement un m et s’étend ds
différentes disciplines comme la littérature ou la peinture pour désigner la régularité dans les motifs
d’une œuvre. Le sens d’aujourd’hui se développe vers la fin du 18ème.
L’adjectif symétrique apparaît en architecture au 18ème.
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