Physique. Devoir surveillé N°1.

PCSI. 00/01.
Physique.
Devoir surveillé N°1.
m
o
c
Il est rappelé que votre copie est destinée à être lue et corrigée. En conséquence, une présentation
claire et lisible est recommandée. Il en sera tenu compte dans la notation.
Il est choisi de représenter les vecteurs en caractères gras, non surmontés de flèches. Ainsi le
vecteur sera écrit AB. La valeur du vecteur AB est écrite AB.
.
b
e
w
a
l
o
Exercice I. Cinématique du point.
Un point M se déplace sur une courbe définie par :
t
 t

r (t )  de
 
2 
z  be
t

1. Déterminer, en fonction de t, l’expression du vecteur vitesse en coordonnées
cylindriques. En déduire sa norme.
2. Montrer que le vecteur vitesse fait un angle  constant avec le vecteur position.
3. Déterminer, en fonction de t, l’expression du vecteur accélération en coordonnées
cylindriques. En déduire sa norme.
w
w
h
.k
On considère maintenant que le point M se déplace dans le plan horizontal z = 0.
4. Déterminer l’expression de l’abscisse curviligne s en fonction de . On posera s = 0 en
 = 0.
5. Déterminer de deux manières différentes l’expression du vecteur T de la base de Frenet
dans la base cylindrique.
w
6. Déterminer le vecteur N tel que (T, N, k ) soit orthonormé.
7. Déterminer les expressions des composantes tangentielle et normale de l’accélération.
8. Déterminer, en fonction de t, et de deux manières différentes le rayon de courbure Rc de
la trajectoire.
Exercice II. Conduction métallique.
Un fil de cuivre de diamètre D =2 mm et de longueur l = 10 m est traversé par un courant
électrique d'intensité I = 5 A. La résistivité du cuivre, supposé à 60 °C, vaut environ
 = 2.10-8 .m. La concentration en électrons libres vaut n = 1029 m-3. La charge élémentaire est
notée e, e = 1,6.10-19C.
1. Calculer la résistance R du fil.
2. Calculer la vitesse vP de déplacement d'ensemble des électrons libres.
3. Calculer la tension appliquée entre les extrémités du fil et le champ électrique (supposé
uniforme) dans le fil.
On suppose que l'action du réseau sur les électrons libres de masse m équivaut à une force de
frottement fluide de valeur proportionnelle à la vitesse v , de la forme f = -k v, avec k constant et
v vitesse acquise sous l'action d'un champ électrique.
4. Les électrons étant supposés immobiles, on établit le champ électrique E.
Par application de la relation fondamentale de la dynamique établir l'équation
différentielle en v qui régit le mouvement des électrons.
5. Donner l'expression de la vitesse limite vp atteinte par les électrons en régime
permanent. Exprimer sa norme.
6. Exprimer la conductivité k en fonction de e, n et . Calculer k.
PCSI. 00/01.
Physique.
Devoir surveillé N°2.
m
o
c
Il est rappelé que votre copie est destinée à être lue et corrigée. En conséquence, une présentation
claire et lisible est recommandée. Il en sera tenu compte dans la notation.
Il est choisi de représenter les vecteurs en caractères gras, non surmontés de flèches. Ainsi le
vecteur sera écrit AB. La valeur du vecteur AB est écrite AB.
.
b
e
w
a
l
o
Exercice 1. Utilisation du théorème de Thévenin.
On considère le réseau suivant :
w
w
w
h
.k
On désire déterminer la tension UCD et pour cela on utilise le théorème de Thévenin.
1. Déterminer la résistance équivalente Req entre C et D.
2. Déterminer la f.é.m équivalente Eeq du générateur de Thévenin pour le circuit ouvert
entre C et D. Pour déterminer cette grandeur on demande d'appliquer le théorème de
Millman successivement aux points A et C.
3. Déterminer l'expression de la tension UCD.
Exercice 2. Lois de composition.
Soit une plaque carrée ABCD, de côté a. On suspend la plaque par deux fils, de même longueur l,
inextensibles, souples, attachés en A et O1 pour le premier et en B et O2 pour le second. O1 et O2
sont situés sur une même horizontale, distants de a, fixes dans le repère O1x, O1y, O1z noté R.
On considère des petites oscillations, de période T, de la plaque, dans le plan vertical contenant
O1O2 caractérisées par l'angle variable  = (O1z, O1A) = ocost avec  = 2/T.
On définit un repère « tournant » de base ur, u, avec :
m
o
c
.
b
e
w
a
l
o
ur = O1A/O1A, u orthogonal à O1A tel que le trièdre (ur, u, uy) soit direct ( uy unitaire suivant
O1y)
On appelle R1 le trièdre direct (Ax1, Ay1, Az1) lié à la plaque.
w
w
w
h
.k
1. Donner l'expression de vA/R dans la base de projection (ur, u).
A quels instants tk son module est-il maximal ?
2. Caractériser le mouvement du repère R1 par rapport à R.
En déduire l'expression de vC/R.
3. A l'instant t = 0, un insecte I part du point C et décrit le segment CB avec une vitesse
constante V = -Vuz1 par rapport à la plaque.
Comparer les accélérations a(A) et a(I) par rapport à R.
Exercice 3.Conductivité des semi-conducteurs.
1. Mise en évidence de quelques ordres de grandeur.
Pour réaliser du silicium de "type N", on a incorporé à du silicium pur, du phosphore, à raison de
Nn=1,5.1021 atomes de phosphore par m3 de silicium; pour réaliser du silicium de "type P", on a
incorporé à du silicium pur, du bore, à raison de Np = 3,0.1023 atomes de bore par m3 de
silicium; on suppose que les atomes de phosphore ou de bore sont régulièrement répartis dans le
cristal de silicium.
Déterminer :
1.1.Pour le silicium pur le nombre d'atomes par m3.
1.2.Pour un volume donné de silicium de type N le rapport r du nombre d'atomes de
silicium au nombre d'atomes de phosphore.
1.3.La masse m’ de phosphore à incorporer à m = 1 kg de silicium pour obtenir la
concentration Nn, indiquée pour le silicium de type N.
m
o
c
.
b
e
w
a
l
o
Données :
 les masses atomiques du silicium et du phosphore en g/mol :
Msi = 28 MP = 31
 la masse volumique du silicium  = 2 330 kg.m-3
 le nombre d'Avogadro NA = 6,02.1023 mol-1
w
w
h
.k
2. Calculs de conductivités.
On considère un milieu conducteur homogène dans lequel coexistent 2 types de porteurs de
charge régulièrement répartis :

des porteurs de charge positive +q à raison de p porteurs par m3

des porteurs de charge négative -q à raison de n porteurs par m3.
w
Dans ces conditions, V étant le vecteur vitesse moyenne d'un porteur de charge soumis à un
champ électrique E, on définit la mobilité P des porteurs positifs par VP = P E et la mobilité n
des porteurs négatifs par Vn = n E.
2.1. Exprimer la densité de courant j en un point quelconque de ce milieu homogène soumis
à un champ électrique uniforme d'intensité E : en déduire l'expression de la
conductivité  de ce milieu en fonction de q, n, p et des mobilités.
Interpréter.
2.2.Calculer numériquement:
2.2.1. La conductivité n et la résistivité n du silicium de type N en considérant que le
phénomène de conduction y est dû uniquement à la présence de n = Nn électrons par
m3 ,ces électrons ayant une charge - q = - 1,6.10- 19 C et une mobilité
n = - 0,15 m2.V-1.s-1.
2.2.2. La conductivité p et la résistivité p du silicium de type P en considérant que le
phénomène de conduction y est dû uniquement à la présence de p = Np porteurs positifs
par m3 ,ces porteurs ayant une charge q = 1,6.10- 19 C et une mobilité p = 0,05 m2.V1.s-1.
2.2.3. La conductivité i et la résistivité i du silicium à l'état pur en considérant que le
phénomène de conduction y est dû à la fois à la présence de n = ni électrons par m3 et
de p = ni porteurs positifs par m3, tous ces porteurs ayant les caractéristiques
précédemment indiquées.
On donne ni =1 ,5.1016 m-3.
PCSI. 00/01.
Physique.
Devoir surveillé N°3.
m
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c
Il est rappelé que votre copie est destinée à être lue et corrigée. En conséquence, une
présentation claire et lisible est recommandée. Il en sera tenu compte dans la notation.
Il est choisi de représenter les vecteurs en caractères gras, non surmontés de flèches. Ainsi le
vecteur sera écrit AB. La valeur du vecteur AB est écrite AB.
.
b
e
w
a
l
o
Exercice 1. Etude de différents régimes d'un circuit.
La partie C est totalement indépendante de A et B ; la partie B est pour une grande part
indépendante de A.
A. On considère le circuit ci-dessous composé de deux branches de même résistance R
comportant en outre l'une une self pure L et l'autre un condensateur de capacité C. Elles sont
alimentées par un générateur de tension continue de f.é.m. E et de résistance interne
négligeable. On pose :  = RC = L/R.
w
w
w
h
.k
Le condensateur étant déchargé, on ferme à l'instant t =0 l'interrupteur K.
On désignera respectivement par i1 et i2 les intensités dans la branche contenant la self et dans
la branche contenant le condensateur.
A.1 Déterminer en fonction du temps le régime transitoire i1 (t) et tracer l'allure de la
courbe correspondante.
A.2 Déterminer de même le régime transitoire i2 (t) et tracer l'allure de la courbe
correspondante.
A.3 A quel instant aura-t-on i1= i2 ?
Application numérique L = 1,0 H ; C = 1,0 F ; R = 1,0.103 
B. On considère toujours le même circuit alimenté par le même générateur.
K étant fermé, le régime permanent est établi. A un instant que l'on choisira comme nouvelle
origine des temps, on ouvre l'interrupteur K.
B.1 Etablir les équations différentielles du second ordre relatives à la charge q du
condensateur d'une part, à l'intensité i du courant d'autre part.
B.2 Indiquer quelles sont à l'ouverture de K les expressions initiales de q et de i.
B.3 En déduire en fonction du temps l'expression, en régime transitoire, de la charge q(t).
On discutera des différents cas possibles suivant les valeurs de R, L et C mais on ne
cherchera pas à déterminer les constantes d'intégration. Donner, dans chaque cas,
l'allure de la courbe q(t).
B.4 Application numérique L = 1,0 H ; C = 1,0 F ; R = 1,0.103  ; E = 10 V.
Déterminer complètement q(t).
C. On consid è re toujours le m ê me circuit, mais le g é n é rateur est remplac é par un
g é n é rateur de tension alternative de f. é .m e = Emcost dont la r é sistance interne est
toujours n é gligeable. Le condensateur é tant d é charg é , on ferme l'interrupteur K à l'instant
t = 0. On ne consid é rera plus maintenant que le r é gime sinuso ïdal forc é .
C.1 D é terminer l'expression de l'amplitude Im1 et du d é phasage 1 du courant i1(t) par
rapport à la tension e(t).
C.2 D é terminer l'expression de l'amplitude Im2 et du d é phasage 2 du courant i2(t) par
rapport à la tension e(t).
C.3 Quelle relation doit-on avoir entre R, L et C pour que i2 soit en quadrature avance par
à i 1 et cela quelle que soit la fr é quence ?
C.4 La condition é tablie en C.3 é tant r é alis é e, d é terminer quelle est la valeur de
l'amplitude Vm de la tension VA-VB (voir sch é ma).
D é pend-elle de la fr é quence ?
m
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c
.
b
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w
a
l
o
Exercice 2. Etude du mouvement d'un point dans un cylindre creux, avec et sans
frottement.
Du point le plus bas Mo d'un cylindre creux, de rayon R et d'axe horizontal, est lanc é une
particule de masse m avec une vitesse horizontale vo perpendiculaire à la g é n é ratrice
passant par Mo.
Cette particule M, qui se d é place dans le plan de section droite du cylindre de centre O, est
rep é r é e à chaque instant par l'angle  = (OMo, OM). On d é signe par g le module du champ
de pesanteur suppos é uniforme.
w
w
w
h
.k
A. Le point M glisse sans frottement à l'int é r ieur du cylindre.
A.1 Exprimer en fonction de m, R, vo et g, le carr é de la vitesse angulaire  2 de M en
d d d d 
fonction de son é longation angulaire . Remarque :  


.
dt d dt d
A.2 D é terminer de m ê me la r é action N() du cylindre sur la particule M.
7
A.3 Calculer l'amplitude m des oscillations pour vo  gR et pour vo 
gR .
5
A.4 Pour quelles valeurs de la vitesse initiale vo ( exprim é es en fonction de g et de R ), la
particule M sera-t-elle anim é e d'un mouvement r é volutif dans le mê m e sens?
B. Le point M glisse avec frottement solide à l'int é rieur du cylindre avec un coefficient de
frottement f= T/N, o ù T et N sont les modules des composantes tangentielle et normale de la
r é action du cylindre sur M.
B.1 Etablir l' é quation diffé r entielle du second ordre en (t), qui fait intervenir les seules
donn é es f, g et R.
Exercice 3. Amplificateur inverseur-non inverseur à gain réglable. Résistance d’entrée.
Dans le montage ci-dessous, on supposera l’amplificateur op é rationnel id é al. La position du
curseur C, mobile entre O et N, d é finit les r é sistances r et R1- r. On posera X = Ro + R1.
m
o
c
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.k
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w
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l
o
1. Calculer le gain en tension G =
w
w
w
US
de cet amplificateur en fonction de R2, X et du
UE
Rr
param è tre  
.
RX
2. On veut que ce montage fonctionne en amplificateur inverseur-non inverseur, de gain
r é glable entre –3 et +0,5 par d é placement du curseur sur la totalité de la
r é sistance comprise entre les points N et O. On pose R2 = 5 X = 20 k .
Calculer les r é sistances Ro, R1 et R qu’il faut adopter dans ces conditions.
3. Calculer la r é sistance d’entr é e Re de cet amplificateur en fonction de X, R et .
4. Entre quelles limites varie Re dans les conditions de la deuxi è me question ?
5. On se place dans les conditions o ù  est minimal (curseur en O). D é terminer la
r é sistance R qu’il faut adopter pour que le montage ait le m ê me gain en module
lorsque M est mis à la masse ou lorsque N est mis à la masse.
Application num é rique : Ro = 1 k, R1 = 3 k, R2 =5 X = 20 k.
Calculer la r é sistance R et le module du gain.
1
PCSI. 00/01.
Physique.
Devoir surveillé N°3.
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Il est rappelé que votre copie est destinée à être lue et corrigée. En conséquence, une
présentation claire et lisible est recommandée. Il en sera tenu compte dans la notation.
Il est choisi de représenter les vecteurs en caractères gras, non surmontés de flèches. Ainsi le
vecteur sera écrit AB. La valeur du vecteur AB est écrite AB.
.
b
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a
l
o
Problème 1. Etude de circuits électriques.
Le circuit ci-dessous (figure 1) est composé d'une résistance R et d'un condensateur de
capacité C et alimente la résistance de charge R'. On note ue la tension d'entrée et us la tension
de sortie.
w
w
w
h
.k
Figure
1
1.a Le circuit est alimenté par une tension continue ue = E. Etablir l'équation différentielle
vérifiée par us . On posera : τ  RR'C .
R'R
1.b. Résoudre cette équation dans le cas où le circuit est alimenté à l'instant t = 0 .
1.c. Représenter us (t)
1.d. Exprimer la tension aux bornes de R et représenter ses variations en fonction du temps.
2.a. Le circuit est alimenté par une tension sinusoïdale ue = E cos (t).
On pose : o  1 et x   .

o
Calculer la fonction de transfert. Montrer qu’elle est de la forme :
H(jx) Ho
1 jx
Déterminer l’expression de Ho.
2.b.Déterminer le gain en dB du montage. Déterminer le comportement asymptotique et
évaluer la qualité de cette représentation.
Représenter la courbe de réponse en gain en fonction de X = logx.
Déterminer la bande passante du montage
2.c. Etudier les variations de l’argument de la fonction de transfert en fonction de X.
Représenter la courbe de réponse en phase en fonction de X.
2
3.Le montage es remplacé par le suivant (figure 2) où l'amplificateur opérationnel est supposé
idéal (i+ = i- = 0) et fonctionne en régime linéaire pour lequel V+ = V- .
m
o
c
Figure 2
h
.k
.
b
e
w
a
l
o
Calculer la nouvelle fonction de transfert. Etudier le comportement asymptotique
(intégateur, dérivateur ….) Quel est l'avantage du montage par rapport au précédent ?
w
w
4.a.On alimente le montage de la figure 2 par une tension créneaux , de période T :
ue(t) = - E pour p.T- T/2 < t < p.T où p est un entier relatif
ue(t) = E
pour p < t < T/2 + p.T
w
Calculer la décomposition en série de Fourier de ue.
On rappelle que ue = a 0 + ( an cos(nt) + bn sin(nt))
2
avec an = 2
T
T
2
T
2

ue cos(nt) dt
et bn = 2
T
T
2
T
2

ue sin(nt) dt
et  =
4.b.En déduire la tension de sortie us(t).
4.c.Comment choisir R et C pour que la sortie soit quasiment triangulaire ?
2
T
3
Problème 2. Exemple de bifurcation en mécanique.
On appelle bifurcation d’un système mécanique le changement du nombre de positions
d’équilibre, de la position d’équilibre stable
Un point matériel A, de masse m, évolue sans frottement sur un guide circulaire C, vertical,
de centre O et de rayon r. Le contact se maintient au cours du mouvement: concrètement, A
peut être représenté par une perle enfilée sur C. Ce guide tourne uniformément, à la vitesse
angulaire  = ez, (  > 0), autour de son diamètre BH. Ce dernier est dirigé suivant l'axe
vertical ascendant Oz d'un référentiel terrestre R supposé galiléen.
On caractérise la position de A sur C par le paramètre angulaire  = (OB,OA). En outre, on
note g le champ de pesanteur terrestre.
m
o
c
w
w
1.
w
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
h
.k
.
b
e
w
a
l
o
Exprimer, en fonction de , l'énergie cinétique de A, par rapport au référentiel tournant
lié au guide R' = Ox'y'z.
Trouver l'énergie potentielle de pesanteur en fonction de . On prendra comme origine la
valeur à  = /2.
Montrer que la force d'inertie d'entraînement dérive d'une énergie potentielle. En prenant,
là aussi, comme origine la valeur à  = /2, donner l'expression de cette énergie
potentielle en fonction de .
g
On pose c2  . Déduire de ce qui précède que l'énergie potentielle totale peut se mettre
r
sous la forme :

Epmgrcos1 cos 
 2

où  est une grandeur non dimensionnée que l’on déterminera en fonction de  et c.
Etablir l'équation différentielle à laquelle satisfait  en fonction de , c,  et des
dérivées temporelles adéquates de .
Trouver les positions d'équilibre de A dans R'.
Que peut-on dire de la stabilité de ces positions d'équilibre? On basera l’étude sur
l’énergie potentielle du système.
Tracer le graphe donnant la position d'équilibre stable e  0 en fonction de . On
précisera les valeurs de la pente de/d pour  = c et  >> c. Le point
correspondant à  = c, est appelé point de "bifurcation".
Quelles sont les positions d'équilibre stable pour  = c/ 2 et pour  = c 2 .
4
Problème 3. Mouvement d’une masse sur un axe en rotation uniforme.
Le référentiel terrestre o est considéré comme galiléen ; il est rapporté au repère
(O, exo, eyo, ezo ). Un point matériel M, de poids P = -mg ezo, glisse sans frottement sur un axe
0x2. L'axe 0x2 fait un angle  constant avec l'axe Oz0 et est en mouvement de rotation
uniforme (  = constante) autour de l'axe Oz0 par rapport au référentiel o. On notera 1 le
référentiel rapporté au repère orthonormé direct (O, ex1, ey1, ez1 ) tel que ez1 = ezo.
Le repère (O, ex1, ey1, ez1 ) se déduit à chaque instant de (O, exo, eyo, ezo ) par une rotation
d'angle  autour de l'axe Oz0.
L'axe Ox2 reste continuellement dans le plan Ox1y1 et se déduit à chaque instant de Oz0 par
une rotation d'angle  autour de l'axe Oy1.
On notera 2 le repère orthonormé direct (O, ex2, ey2, ez2 ) tel que ey2 = ey1 .
On définit le vecteur suivant : OM = x ex2. L'action exercée par l’axe Ox2 sur le point M sera
notée R = Ry ey2 + Rz ez2.
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w
w
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.k
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o
1. Déterminer la vitesse v(M /o) du point M par rapport à o et exprimer la dans 2.
2. Déterminer l’accélération a(M /o) du point M par rapport à o et exprimer la dans 2.
3. Ecrire sous forme vectorielle la relation fondamentale de la dynamique appliquée au point
M.
4. Projeter la relation trouvée à la question 3 sur l'axe Ox2. En déduire l'équation différentielle
du mouvement.
5. Déterminer la position d'équilibre relatif du point M.
6. Projeter la relation trouvée à la question 3 sur les axes Oy2 et Oz2. En déduire les
composantes Ry et Rz. de la réaction R de l'axe Ox2 sur le point M.
7. Que représente la composante Ry ? Que devient-elle lorsque l'équilibre relatif est atteint ?
5
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w
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Physique. Devoir surveillé N°5.
PCSI. 00/01.
Il est rappelé que votre copie est destinée à être lue et corrigée. En conséquence, une présentation claire et
lisible est recommandée. Il en sera tenu compte dans la notation.
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Problème 1. TIR D’UN OBUS VERS LE ZÉNITH. (extrait 99. Mines Alès, Douai, Albi)
Au 17ème siècle, le Père Mersenne, ami et correspondant de Descartes, se livra à un tir d’obus, le canon
étant pointé vers le zénith. Le résultat ne fut pas du tout celui escompté.
On se propose d’étudier l’influence de différents facteurs physiques sur la trajectoire de l’obus.
En un lieu A de latitude  = 48°N, un canon tire un obus à la vitesse v0 = 100 m.s1 suivant la verticale
ascendante Az. On désigne par Axyz un repère orthonormé lié à la Terre, Ax étant dirigé vers le Sud.
On assimile la Terre à une sphère homogène, tournant autour de l’axe des pôles à la vitesse angulaire
0 = 7,3 105 rad.s1.

On note g 0 le champ de pesanteur terrestre, de module g0 supposé constant égal à 10 m.s2.
.
b
e
w
a
l
o
1. On considère le référentiel lié à la Terre galiléen
1.1. On néglige la résistance de l’air.

a) Donner l’expression de la vitesse v de l’obus à un instant quelconque.
b) Exprimer l’énergie mécanique de l’obus. Varie-t-elle au cours du temps ? Calculer l’altitude
maximale zmax atteinte par l’obus.
c) En quel point et au bout de combien de temps l’obus retombe- t-il ?
w
w
h
.k
1.2. La résistance de l’air sur l’obus, de forme sphérique de rayon r0 = 5 cm et animé d’une vitesse v, se
traduit par une force de module f = kr02 v2. Au voisinage des conditions normales, k = 0,25 S.I. L’obus
est en plomb de masse volumique  = 11,3 g.cm3.
w
a) Préciser l’unité de k.
b) Comparer la force de frottement au poids. Que penser ?
c) On prend en compte cette force de frottement fluide.
On pose u = v2. Montrer que, dans la phase ascendante, u vérifie l’équation :
du = - 2g0 - 2 k  r 2 u
m O
dz
m .
On posera d =
2k  rO2
Déterminer la fonction z(u) en fonction de de vo, go, d et z puis en fonction de , ro, k, go et vo.
En déduire l’altitude maximale atteinte par l’obus. Faire l’application numérique.
Dans la suite du problème, on ne prend pas en compte les frottements de l’air sur l’obus.
2. On considère que le référentiel lié à la Terre ( A , x , y , z ) est non galiléen
2.1. Ecrire, en négligeant la résistance de l’air, l’équation du mouvement de l’obus. Pourquoi la
force d’inertie d’entraînement n’intervient pas explicitement dans l’équation du mouvement ?
  
2.2. Soit ( i , j , k ) la base orthonormée associée au repère ( Axyz ). M repérant la position de
   
l’obus, on pose AMx i  yj zk .
Déterminer les composantes du vecteur accélération de l’obus dans cette base.
On évalue la force d’inertie de Coriolis en utilisant la loi de vitesse obtenue au 1.1.a. Justifier
cette méthode de calcul et montrer que :

y  – 20 (v0 – g0t ) cos.
En déduire une expression approchée de l’ordonnée y de l’obus. Évaluer y au moment où
l’obus tombe sur le sol. La déviation se fait-elle vers l’Ouest ou vers l’Est ?
Etudier ensuite le cas où t   .
Problème 2 : Microscope à force atomique. ( Extrait E3A 00 )
Ces dernières années, de nouvelles techniques dites de "microscopies à champ proche" se sont
développées pour étudier les surfaces. Parmi ces techniques, le microscope à force atomique permet de
déterminer les caractéristiques topographiques, électriques ou magnétiques de la surface étudiée en
mesurant la force exercée sur une fine pointe fixée à l'extrémité d'un levier élastique et placée à une
distance comprise entre une fraction et quelques dizaines de nanomètres de la surface. Ce problème étudie
le comportement mécanique de l'ensemble levier-pointe dans deux modes de fonctionnement classiques
du microscope à force atomique. Les deux parties sont largement indépendantes.
Dans tout le problème, en modélise le système levier-pointe par une masse ponctuelle m fixée à un ressort
sans masse, de longueur à vide nulle et de raideur k. La position instantanée de la pointe est notée z(t),
l'origine des ordonnées étant prise sur la surface à étudier. On note d la distance entre la surface et
l'extrémité du ressort. On suppose de plus que l'interaction pointe-surface est décrite par une énergie
potentielle notée U(z). La force correspondante sera notée F(z). On néglige la force de pesanteur.
m
o
c
w
w
h
.k
.
b
e
w
a
l
o
Partie A: Mode contact.
En mode dit "contact", lorsque la pointe est approchée de la surface, elle est soumise à une force
atomique qui induit une déflexion du levier que l'on peut mesurer optiquement avec une grande
sensibilité. On s'intéresse ici à quelques aspects de ce mode de fonctionnement liés à la stabilité des
positions d'équilibre de la pointe.
w
1.
2.
En supposant d fixée, et en notant z0 une position d'équilibre de la pointe, écrire la condition
d'équilibre de la pointe.
Etablir l’équation différentielle du mouvement de la pointe.
En posant z = z0 +  avec  << z0, montrer que la condition de stabilité de cet équilibre est :
 d2U 
k  2 
 0
 dz  z  z0
On suppose dans toute la suite de cette partie que U(z) a pour expression:
A B
U z  7 
avec A  1088 Jm7 et B  1029 Jm .
z
z
3.a Représenter précisément les graphes de U(z) et F(z). Préciser les extremum et faire les
applications numériques. Commenter.
3.b Proposer une méthode graphique pour déterminer les positions d'équilibre de la pointe lorsque
d est fixée.
4. On suppose que la pointe est à l'équilibre à une distance z0 de la surface telle qu'elle se trouve
dans la partie répulsive de la courbe d'interaction (F(z0) > 0). Cet équilibre est-il stable ?
Montrer qu'une variation d de la distance d entraîne une variation z de la distance pointe
1
 1  dF  
surface donnée par: z  d 1  
 
 k  dz  z0 
En déduire que dans de telles conditions, une mesure de l'allongement du ressort lorsqu'on
déplace la pointe au dessus de la surface donne directement la topographie de celle-ci.
Partie B : Mode Résonnant.
En mode résonnant, la pointe est à quelques dizaines de nanomètres de la surface et le levier est excité
mécaniquement par une force oscillante d'amplitude F0 et de pulsation  . On étudie comment les
propriétés dynamiques du levier sont modifiées par l'interaction pointe-surface. On suppose qu'il existe
dz
entre la pointe et son environnement une force de frottement dont l'expression est: 
dt
5. On suppose dans cette question que la pointe est à une distance de la surface suffisamment
grande pour qu'elle ne soit soumise à aucune force.
5.a. Ecrire l'équation du mouvement de la pointe et montrer que l'amplitude de ses oscillations a
Fo
k
pour expression : A() 
avec 0 
.
2 2
m
2


m  2   02 
m2
Dans toute la suite, on suppose que la force de frottement subie par la pointe est faible de sorte que :
m 0
 1

m 0

b. On pose Q =
et x =
.
0


h
.k
m
o
c
.
b
e
w
a
l
o

Exprimer l’amplitude A des oscillations en fonction de Fo, m, x et Q.
Montrer que l'amplitude des oscillations de la pointe présente une résonance à une pulsation 
que l'on déterminera.
Préciser l'amplitude au maximum A0.
Montrer que la mi-hauteur ( A() = Ao/2 ) de la courbe de résonance correspond à :
w
w
w
6.
3 
.
2 m
Montrer également qu'à mi-hauteur de la courbe de résonance, la variation avec la fréquence de
l'amplitude de vibration est bien décrite par:
F0
A   
m 2  02
  0 


On suppose maintenant que la pointe est soumise à l'interaction avec la surface décrite par
l'énergie potentielle U(z) et la force F(z).
6.a. Ecrire l'équation du mouvement de la pointe.
6.b. En effectuant un développement limité autour de la position d'équilibre de la pointe z0, montrer
que la présence d'une interaction est équivalente à une modification de la raideur du ressort et
qu'elle induit un changement de fréquence de résonance donné par:
  dF 
 dF 
0   0 
 lorsque k   
2k  dz z  z0
 dz  z  z O
Problème 3. Traitement d’un signal électrique : filtrage.
Le signal issu d’un microphone (tension
V1) est envoyé sur le circuit représenté cicontre.
Les composants notés Yi avec i = 1,2,3,4,5
sont des admittances réalisées par des
résistances ou des condensateurs. On
rappelle que l'admittance d'un dipôle est
l'inverse de son impédance.
m
o
c
.
b
e
w
a
l
o
1. Démontrer que la fonction de transfert
peut être mise sous la forme :
T j 
V2
V1

Y1 .Y3
Y3 .Y4  Y5 .S
Déterminer S en fonction des admittances Yi.
h
.k
2.Les admittances Y1, Y3 et Y4 sont réalisées par des résistances toutes égales à R tandis que les
admittances Y2 et Y5 sont réalisées par des condensateurs de capacités respectivement égales à C2 et C1.
Déterminer l'expression de la fonction de transfert T j 
w
w
V2
V1
2.2. Mettre cette fonction de transfert sous la forme : T j 
w
en fonction de R, C1 et C2.
V2
V1

A


1 2 jm    j  
 0  0 
2
en déterminant
les expressions de A, 0 et m en fonction de R, C1 et C2.
2.3.Déterminer, à partir des équations précédentes, les expressions de C1 et C2 en fonction de R, m
et 0.
2.4. Tracer la courbe de réponse en gain en fonction de X = log x avec x = /o. Discuter du
résultat en fonction de la valeur de m.
PCSI. 00/01.
Physique.
Devoir surveillé N°6.
Il est rappelé que votre copie est destinée à être lue et corrigée. En conséquence, une présentation claire et
lisible est recommandée. Il en sera tenu compte dans la notation.
Il est choisi de représenter les vecteurs en caractères gras, non surmontés de flèches. Ainsi le vecteur
AB sera écrit AB. La valeur du vecteur AB est écrite AB.
m
o
c
.
b
e
w
a
l
o
Problème 1. Satellite Hipparcos. ( extrait concours commun 2000 des écoles des mines d'Albi,
Alès, Douai, Nantes )
Le satellite Hipparcos lancé le 8 Août 1987 était constitué principalement d'un télescope de 30 cm de
diamètre. Celui-ci a permis d'établir un catalogue des positions, distances et éclats de plus de 118 000
étoiles avec une précision jamais atteinte.
Ce satellite devait être placé sur une orbite géostationnaire à une altitude H = 36 000 km. Un problème de
mise à feu du moteur d'apogée a laissé Hipparcos sur son orbite de transfert son altitude variant entre h et
H. Après utilisation des moteurs de positionnement, l'altitude minimale a été portée à h = 500 km. Une
programmation du satellite a permis de s'affranchir des problèmes liés à cette orbite.
Au cours d'une révolution, il passe dans la ceinture de Van Hallen. On supposera que cette ceinture est
comprise entre deux sphères de rayon r1 = 8 400 km, r2 = 28 000 km et de centre celui de la Terre. La
ceinture de Van Hallen est constituée de particules chargées piégées dans le champ magnétique terrestre.
Ces particules aveuglent les détecteurs d'Hipparcos interrompant les mesures des positions des étoiles.
On assimile la Terre à une sphère de centre O, de rayon R = 6 400 km et de masse M et le satellite à un
point matériel (S, m). On suppose le référentiel géocentrique Rgc galiléen. La période de rotation de la
Terre dans ce référentiel appelée jour sidéral vaut T = 86 164 s. On note G la constante de gravitation, sa
valeur numérique n'est pas utile dans ce problème.
w
w
w
1.
h
.k
2.
Exprimer la force qui s’exerce sur S.
Montrer que le moment cinétique L en O du satellite est une constante du mouvement.
En déduire que le mouvement du satellite est plan.
On pose que le mouvement s’effectue dans le plan perpendiculaire à l’axe Oz et on utilise les
coordonnées cylindriques (O, ur , u, uz). Exprimer la quantité r 2  en fonction de Lz et m.
Quelle est le nom de cette grandeur ?
3.
Montrer que le vecteur excentricité e = u 
LZ
v est une constante du mouvement ( v étant
GMm
la vitesse du satellite).
4.
On choisit l'origine de l'angle polaire pour avoir  = (e, u). Montrer que l'équation de la
p
trajectoire peut se mettre sous la forme r () 
où e est la norme de e.
1  ecos
En déduire la trajectoire du satellite.
5.
Exprimer et calculer e et p en fonction de h, H et R.
6.
Exprimer et calculer le demi-grand axe a de la trajectoire.
7.
Enoncer sans démonstration la troisième loi de Kepler.
8.
Exprimer la période Th de révolution d'Hipparcos en fonction de T, R, H et h.
Calculer Th en heure.
9.
Déterminer les valeurs numériques des angles 1, 2 d'entrée et de sortie de la ceinture de Van
Hallen du satellite. On donnera les valeurs comprises entre 0 et 180°.
10. Représenter sur un schéma clair la trajectoire du satellite et l'aire A balayée par OS lors d'un
passage dans la ceinture de Van Hallen et correspondant à la période d’inactivité de S.
6
m
o
c
2
Pour la question suivante, on prendra une valeur approchée de A = 200.10 km .
t
11. Déterminer le rapport   O en fonction de A et Ae (aire de l'ellipse) où to est la durée totale
Th
d'inactivité d'Hipparcos sur une période. Application numérique.
p 2
On donne l'aire de l'ellipse: Ae 
3
1  e 2  2
w
w
w
h
.k
.
b
e
w
a
l
o
Problème 2. Convertisseur tension – fréquence. Signaux en dent de scie et créneau.
Les amplificateurs opérationnels A1 et A2 sont supposés parfaits et sont caractérisés par leur tension de
saturation VM = 13V.
1. Dans le montage ci-dessous l'amplificateur A1 n'atteint jamais la saturation.
.
b
e
w
a
l
o
Etablir l'équation différentielle liant les tensions v1(t) , v2 (t) et v (t) .
On considère maintenant le montage suivant :
w
w
w
h
.k
m
o
c
R1
R5
et b 
R1  R2
R5  R6
Etablir les expressions de la tension v (t) à la sortie de A1
a) lorsque l'interrupteur K est ouvert ;
b) lorsque l'interrupteur K est fermé.
On désignera v (0) la valeur de v (t) à l'instant t = 0.
On essayera d’utiliser au mieux la relation déterminée en 1).
La tension d’entrée ve est continue. On posera : a 
2.
En pratique l’interrupteur est réalisé par un montage qui provoque l’ouverture ou la fermeture du circuit
au niveau de K suivant le sens de la bascule de la tension de sortie vs
A l'instant t = 0, la tension de sortie vs = -VM , bascule de la valeur - VM à la valeur + VM et
demeure égale à + VM jusqu'à l'instant t = T1 puis rebascule à la valeur - VM et conserve
cette valeur jusqu'à l'instant t = T1 + T2. On négligera les durées de basculement (ou de
commutation).
3. Déterminer la valeur v (0) de la tension v(t) à l'instant t = 0 , en fonction de VM et du
paramètre b.
Représenter la fonction vs = f(v).
4. Calculer les durées T1 et T2 en fonction de a, b, C, R3, R4 , VM et ve. On pensera à préciser
l’état de l’interrupteur K sur ces durées.
5. Quelle condition doivent vérifier les résistances R1, R2, R3 et R4 pour obtenir T1 = T2 ?
6. Tracer les graphes vs (v) , v (t) et vs (t).
7. Vérifier que la fréquence f du signal de sortie vs (t) est proportionnelle à la tension
d'entrée ve : f = Kve. Conclusion ?
Physique. Devoir surveillé N°7.
PCSI. 00/01.
Il est rappelé que votre copie est destinée à être lue et corrigée. En conséquence, une présentation claire et
lisible est recommandée. Il en sera tenu compte dans la notation.
Problème 1. Dispositifs de mesure du champ de pesanteur.
1. Pendule de Holweck-Leiay
m
o
c
.
b
e
w
a
l
o
Une masse ponctuelle m est placée à l'extrémité A d'une tige de
masse négligeable, de longueur l = OA, articulée en un point
fixe O et mobile dans un plan vertical ; un ressort spiral exerce
sur cette tige un couple de rappel -C, où  désigne l'angle que
fait la tige avec la verticale ascendante Oz. On désigne par g
l'intensité du champ de pesanteur.
1.1. Le système étant conservatif et à un degré de liberté ,
former l'expression de l'énergie mécanique totale du système.
L'expression précédente est une constante du mouvement ou
intégrale première.
1.2. En déduire l'équation du mouvement.
1.3. En considérant  comme petit, à quelle condition la position  = 0 correspond-elle à un équilibre stable
d'un oscillateur harmonique ?
1.4. Cette condition étant supposée réalisée, calculer la période T des petites oscillations que l'on écrira sous
la forme :
l
T  2
en donnant l'expression de A.
A g
1.5. Calculer la variation relative de la période T/T correspondant à une petite variation g de l'intensité du
champ de pesanteur. Montrer que cet appareil peut être rendu plus sensible qu'un pendule simple, dont on
appellera To/To la précision sur la mesure de la période To des petites oscillations.
w
w
w
h
.k
2. Système masse-ressort
Un ressort à spires jointives de raideur k et de masse m0 est suspendu verticalement par son extrémité A, en
un lieu où l'accélération de la pesanteur est g. Sa longueur au repos est l0. On donne: k = 33 N.m-1 ;
l0=0,35m ; m0 = 0,105 kg
A l'autre extrémité B on accroche une masse quasi
ponctuelle m. Le ressort s'allonge de la quantité h
telle que BO = h. La longueur du ressort est alors
AO = l.
Etude statique négligeant la masse m0
2.1. Exprimer g en fonction de h.
2.2. Application numérique : pour m = 0,200 kg,
on mesure h = 59,5 ± 0,1 mm ; déterminer g et sa
précision relative en sachant que m et k sont
connus au millième près.
Etude dynamique négligeant la masse m0
A partir de la position d'équilibre O prise comme origine, on écarte la masse m d'une quantité x et on la
lâche sans vitesse initiale au temps t = 0.
2.3. Ecrire l'équation du mouvement de la masse m en lui appliquant le principe fondamental de la
dynamique.
2.4. En supposant le mouvement harmonique de la forme x = xo sin (0t), où x0 représente l'amplitude des
oscillations et 0 leur pulsation, donner 0² en fonction des paramètres du système.
2.5. Exprimer g en fonction de h et 0² .
2.6. Application numérique: pour m = 0,200 kg, on compte 113 oscillations par minute; calculer g.
m
o
c
Méthode de Rayleigh
.
b
e
w
a
l
o
Le résultat précédent est erroné car on n'a pas tenu compte de la masse m0 du ressort dans l'étude du
mouvement. Ceci peut être fait grâce à la méthode de l'énergie dite de Rayleigh (1880). Le mouvement de
l'oscillateur harmonique est conservatif :
T + V = constante T est l'énergie cinétique, V est l'énergie potentielle totale.
h
.k
2.7. En prenant comme référence pour l’énergie potentielle la position B, et en négligeant la masse mo du
1
ressort, montrer que la relation ci-dessus se réduit ici à : T + V' = constante où V '  kx 2 est une partie de V.
2
2.8. Dans le cas précédent (masse du ressort négligée et x = xo sin (0t)). Déterminer, en fonction de xo et
0 :
- le maximum de T ; que vaut alors V' ?
- le maximum de V' ; que vaut alors T ?
w
w
w
On peut donc écrire le principe de conservation de l'énergie mécanique sous la forme Tmax = V'max et obtenir
facilement la pulsation 0.
On applique cette méthode à l'ensemble masse-ressort de la façon suivante :
Tmax(m0)+Tmax(m)=V'max(ressort)
On ignore comment se déplace le ressort, mais on fait une hypothèse raisonnable sur la déformation
dynamique, en supposant qu'elle est très proche de la déformation statique. L'extrémité se déplaçant de x0,
on postule que tous les points d'abscisse x du ressort entre 0 et l (l'origine des x est prise en A dans ce cas)
se déplacent proportionnellement suivant le rapport x/l
Si  est la masse linéique du ressort (m0=l), un élément de masse dx, à la cote x, se déplace suivant:
(x/l) x0 sin (0t)
2.9. Exprimer l'énergie cinétique élémentaire maximale : dTmax.
2.10. Calculer l'énergie cinétique maximale du ressort Tmax(m0), en fonction de m0 et de 0², par intégration
de 0 à l.
2.11. A partir des expressions de Tmax (m), Tmax (m0), et V'max (m) déduire la nouvelle expression de 0².
2.12. Comparer ce résultat avec le cas où la masse du ressort n'est pas prise en compte.
2.13. Exprimer de nouveau g en fonction de h et 0², avec intervention des masses.
2.14. Calculer g dans les mêmes conditions que la question 2.6. et conclure.
Problème 2. A propos de l’oscillateur à pont de Wien.
m
o
c
w
w
w
h
.k
.
b
e
w
a
l
o
PCSI. 00/01.
Physique.
Devoir surveillé N°8.
m
o
c
Il est rappelé que votre copie est destinée à être lue et corrigée. En conséquence, une présentation claire et
lisible est recommandée. Il en sera tenu compte dans la notation.
Il est choisi de représenter les vecteurs en caractères gras, non surmontés de flèches. Ainsi le vecteur
AB sera écrit AB. La valeur du vecteur AB est écrite AB.
.
b
e
w
a
l
o
Problème 1. Mouvements verticaux de masses d’air. ( X 2000. PC. Extrait )
Nous nous intéresserons aux mouvements verticaux d'air sec.
On supposera le champ de pesanteur g localement uniforme. Le vecteur unitaire ez est dirigé selon la
verticale ascendante.
Constantes et données numériques.
Constante des gaz parfaits
R = 8, 3 J/K.mol
-2
Accélération de la pesanteur
g = 9, 8 m.s
h
.k
Masse molaire moyenne de l’air
M = 29 g.mol
-1
Les mouvements d'air dans l'atmosphère peuvent se présenter sous forme d'oscillations verticales. Nous
cherchons à en déterminer les principales caractéristiques.
w
w
1. Pour une atmosphère en équilibre « hydrostatique », les différentes grandeurs physiques qui la
caractérisent ne dépendent que de l'altitude z.
w
1.a. Donner l'équation qui relie à l'équilibre la pression p(z), la masse volumique (z) et g.
1.b. On considère l'air sec comme un gaz parfait; on suppose de plus l'atmosphère isotherme de
température To. Déterminer p(z) et (z) à l'aide de p(0), (0), M, g, R et To.
1.c. Calculer la hauteur caractéristique H correspondante pour une température de 10°C.
2. Pour étudier la stabilité de l'équilibre, on considère une petite masse d'air m que l'on déplace
verticalement dans l'atmosphère supposé être en équilibre hydrostatique mais non isotherme a priori. On
peut imaginer que cet air déplacé est séparé de l'air extérieur par une fine enveloppe du type « bulle de
savon » d'effet négligeable. La pression dans la bulle est supposée être à tout instant égale à la pression
extérieure correspondant à l'altitude où se trouve la bulle.
Avant d'être déplacée, la bulle de volume Vo est en équilibre à l'altitude zo et sa température et sa
pression sont égales à celles de l'air environnant, soit T(zo) et p(zo).
2.a. La bulle est déplacée à la hauteur zo + h. En supposant les variations assez petites pour être
traitées linéairement, déterminer la variation V de volume en fonction de Vo, (zo), g, h et du
1  V 
 .
coefficient de compressibilité isentropique s défini par :  s   
V  p  S
2.b. Montrer, qu’à la hauteur zo + h , la poussée d'Archimède exercée par l'atmosphère sur la bulle
1   
s’écrit :  = (z o )gVo [1  (
  s g(z o ))h ] ez .
 
(z o )  z  z  z o
2.c. En déduire l'équation du mouvement de la bulle.
1   
2.d. Quelle condition, doit vérifier le gradient relatif de masse volumique
  pour que
(z)  z 
l'équilibre de l'air en zo soit stable? On exprimera cette condition en fonction de s , g et (zo).
Déterminer dans ce cas la pulsation (zo) des oscillations d'une bulle autour de l'altitude zo.
Cette pulsation (zo) est appelée « pulsation de Väisälä-Brunt ».
3. On considère l'air comme un gaz parfait. Compte tenu de son évolution adiabatique réversible l’air

m
o
c
vérifie la relation pV = Cte où est une constante.
3.a. Expliciter s à l'aide du coefficient  et de la pression p.
A partir de l’équation d’état du gaz parfait dont on calcule la différentielle logarithmique,
1   
déterminer l’expression du gradient relatif de masse volumique
  en fonction de p et
(z)  z 
de T.
Traduire alors la condition de stabilité sur le gradient relatif de masse volumique sous la forme
d'une condition relative au gradient de température dT/dz et cela en fonction de g, , T, p et .
3.b. Montrer alors q’une atmosphère isotherme est stable.
Déterminer dans ce cas la pulsation (zo) en fonction de , , s et g.
h
.k
.
b
e
w
a
l
o
Problème 2. Forces de pression s’exerçant sur la paroi d’un barrage-poids.
Un barrage-poids a une coupe transversale rectangulaire. On note h la hauteur du barrage, L sa largeur de
base, l sa largeur et par he la hauteur moyenne de l'eau retenue en amont. (On a évidemment he < h).
L’ouvrage construit en béton, subit trois forces réparties, les forces de pression exercées par l'eau et par
l’air, le poids du barrage et la réaction que le sol exerce sur l'ouvrage. On admettra que ces actions sont
équivalentes à une force F appliquée en C, le poids P appliqué en G et une réaction R appliquée en M.
L'eau est considérée comme un fluide incompressible de masse volumique . Le béton a une masse
volumique égale à b.
L’air est à la pression po.
On considérera une base ux et uz et les vecteurs seront toujours déterminés dans cette base.
w
w
w
1.
Les forces de pression que l'eau exerce sur la face amont en un point M sont notées dF, la
résultante de cette force répartie sera notée F et on définit son centre de poussée C par la
relation
OC  F =  OMi  dF
S
(le point O est quelconque dans cette question on prendra par exemple O en A).
Déterminer F et le centre de poussée C. (On précisera les composantes et les coordonnées.) Le
point C est un point appartenant au parement amont (face côté eau).
La forme proposée du barrage est-elle adaptée à la situation compte tenu du résultat concernant
la position du point C ?
2. Déterminer le poids de l'ouvrage et indiquer la position de son centre de gravité G. (On
précisera les composantes et les coordonnées.)
3. En écrivant les conditions d'équilibre, trouver alors la résultante des actions que le sol exerce sur
le barrage et déterminer la position M où s'exerce cette résultante.
Problème 3. Etude d’une distribution cylindrique de charge.
On considère un cylindre de rayon R et de longueur infinie, uniformément chargé en volume avec une
densité volumique  > 0.
1. Quelle est la direction du champ électrostatique E en tout point M de l’espace ?
2. Montrer que la valeur de E ne dépend que de la distance entre M et l’axe du cylindre.
3. En utilisant le théorème de Gauss que l’on énoncera et en précisant la surface utilisée,
déterminer le champ E dans les deux cas :
a. r  R
b. r  R
Tracer l'allure de E (r) en fonction de r.
4. Calculer le potentiel électrique à l'extérieur et à l'intérieur du cylindre. On impose la condition
V = 0 quand r = 0.
m
o
c
.
b
e
w
a
l
o
La densité volumique de charge  du cylindre n’est plus uniforme mais à symétrie cylindrique
r
( est une fonction de r). On donne  =  o
pour r  R et avec o = constante.
R
5. Déterminer E dans le cas où r  R.
w
w
w
h
.k
PCSI. 00/01.
Physique.
Devoir surveillé N°9.
m
o
c
Il est rappelé que votre copie est destinée à être lue et corrigée. En conséquence, une présentation claire et lisible
est recommandée. Il en sera tenu compte dans la notation.
.
b
e
w
a
l
o
Premier problème. L’EXTINCTION DES DINOSAURES.
Les données numériques nécessaires à la résolution du problème sont présentées au fur et à mesure de l’exposé
des questions ; la lecture de la totalité des questions qui précèdent est donc nécessaire à la résolution de chacune
des questions posées. Cependant, de nombreuses questions sont indépendantes les unes des autres : il est possible
de répondre à certaines questions sans avoir nécessairement résolu toutes celles qui les précèdent.
Il y a de cela environ 65 millions d’années, les dinosaures et de nombreuses autres espèces vivantes, terrestres et
aquatiques, animales et végétales, ont été victimes d’une extinction massive et brutale événement K/T, à la limite
des périodes crétacée (K) et tertiaire (T). Parmi les diverses hypothèses proposées, celle qui recueille à l’heure
actuelle le plus de suffrages dans la communauté scientifique est celle de l’impact d’une comète à la surface de la
Terre. Ce problème examine quelques-uns des aspects de la description mécanique et énergétique d’un tel impact.
w
w
h
.k
Première partie – Les mouvements cométaires
Un ensemble d’astéroïdes de faible dimension se trouve vraisemblablement réparti, dans le système solaire, à
grande distance du Soleil (au-delà de l’orbite de Pluton). La masse totale de ces astéroïdes (nuage de Oort)
représente environ le tiers de la masse totale des neuf planètes et de leurs satellites.
Lorsqu’un de ces astéroïdes est suffisamment dévié de sa trajectoire quasi-circulaire par l’effet gravitationnel
d’autres astéroïdes et planètes pour s’approcher à très courte distance du Soleil, il prend le nom de comète.
Nous étudions ici les caractéristiques du mouvement d’une comète hypothétique, qui pourrait, à certains
égards, ressembler à celle qui fut peut-être responsable de l’événement K/T.
15
4
Cette comète C, de masse m = 2,5 10 kg, est considérée comme sphérique, de rayon rc = 10 m ; sa
trajectoire autour du Soleil est une ellipse très allongée.
4
11
La comète C est aussi caractérisée par une distance maximale au Soleil dmax = 5.10 a, où a = 1,5.10 m
est le rayon de la trajectoire (supposée circulaire) terrestre autour du Soleil (a est appelé unité astronomique).
Elle est enfin caractérisée par une période de mouvement notée T. On note To = 365,25 jours la période du
mouvement terrestre autour du Soleil.
1. Déterminer numériquement la vitesse vo de la Terre sur son orbite circulaire autour du Soleil.
2. On note G la constante de la gravitation universelle et MS la masse du Soleil. Exprimer le produit G MS
en fonction de vo et a.
w
3.
La distance minimale de C au Soleil est notée dmin. Exprimer, en fonction de dmax, dmin, a et vo, les
4.
vitesses maximale vmax et minimale vmin de C sur son orbite. On pourra utiliser des relations de
conservation.
Quelle relation doivent vérifier dmin et a pour qu’un impact de C sur la surface de la Terre puisse être
envisagé ?
En déduire une évaluation numérique de la plus petite valeur possible pour vmax.
5.
On choisira dans la suite dmin  a. Quelles sont les valeurs extrêmes possibles de la vitesse relative de la
Terre et de C (vitesse d’impact) au moment du choc de C sur la Terre ?
Deuxième partie – L’impact
L’hypothèse d’un impact de comète a été avancée pour la première fois à la suite de la mise en évidence d’une
6
couche, déposée sur toute la surface de la Terre (considérée comme une sphère de rayon RT = 6,4.10 m)
d’épaisseur e = 3mm, contenant de l’Iridium (métal lourd et non radioactif) en proportion anormale. La couche
(dite K/T) ainsi mise en évidence est actuellement enfouie sous des sédiments plus récents. Elle contient une masse
8
totale d’Iridium estimée à mI = 5.10 kg. La proportion usuelle d’Iridium en masse dans la croûte terrestre est de
l’ordre de 10
m
o
c
.
b
e
w
a
l
o
-10
.
3
-3
6. La masse volumique moyenne de la terre est T = 5,5.10 kg.m . Comparer les proportions d’Iridium
dans la couche K/T et dans le reste de la croûte terrestre. Conclure, sachant que la proportion d’Iridium
en masse dans les astéroïdes et les comètes est quelques dizaines à quelques centaines de fois plus élevée
que dans la croûte terrestre.
Au moment de l’impact, nous considérerons que la trajectoire de la comète C parvient sur la Terre selon une
4
-1
trajectoire verticale, avec une vitesse (relativement au sol terrestre) égale à v1 = 2.10 m.s , qui reste pratiquement
constante pendant la traversée de l’atmosphère, au-dessus de la mer où l’impact a eu lieu.
Lors de sa descente dans l’atmosphère, la comète expulse la totalité de
l’atmosphère dans une colonne cylindrique de rayon rc.
7.
w
w
h
.k
Déterminer la masse mair de cette colonne d’air, sur la
hauteur totale de l’atmosphère. La pression atmosphérique
5
au sol est Po = 10 Pa et l’accélération de la pesanteur au sol
w
-2
est g = 9,8 m.s . La hauteur totale de l’atmosphère, h, est de
8.
9.
4
l’ordre de la centaine de kilomètres (h  6.10 m). On
considérera que l’intensité et la direction du champ de
pesanteur sont constants sur cette distance.
La variation relative de la vitesse de la comète à l’issue de sa
traversée de l’atmosphère est inférieure de 1 % à ce qu’elle
serait en l’absence d’atmosphère. Comparer la variation de
l’énergie cinétique de la comète, lors de cette même traversée, et la variation de son énergie potentielle
de pesanteur.
En déduire, en considérant le transfert d’énergie de la comète à l’air expulsé au cours de sa descente,
l’ordre de grandeur de la vitesse des molécules d’air au moment où elles quittent cette colonne
cylindrique.
Comparer l’énergie cinétique communiquée par la comète à l’atmosphère à l’énergie cinétique initiale de
la comète. Conclure.
Deuxième problème. UNE APPROCHE DE LA RÉVERSIBILITÉ.
La mole de gaz parfait considérée dans cette partie est caractérisée par son coefficient , rapport des chaleurs
massiques à pression et à volume constant, supposé indépendant de la température. La constante des gaz parfaits
est notée R. Pour chacune des évolutions du gaz, l’état initial sera l’état d’équilibre, caractérisé par les grandeurs
(P0,V0,T0) = (pression, volume, température) ; on cherchera chaque fois à limiter la production d’entropie associée
à l’évolution.
1. Étude d’une transformation monotherme.
1. Le gaz parfait est placé dans un récipient à parois fixes. Une des parois
est mise en contact avec un thermostat dont la température est notée TT.
Les autres parois sont calorifugées. Déterminer l’état final (Pf ,Vf ,Tf) du
gaz quand, à l’issue de la transformation, l’équilibre est atteint. Effectuer
un bilan d’entropie. La transformation est-elle thermiquement réversible?
2.
On réalise la transformation précédente en mettant la paroi non calorifugée du récipient contenant le gaz
avec une succession de N sources dont les températures respectives Tk (1  k  N ) sont
(T  To )
NTo  TT
Tk  T
k
 To  (k  1) (ce qui définit ). On a de la sorte T1  To et TN  TT . Définir
N 1
N 1
l’état final du gaz à l’issue de cet ensemble de transformations.
Effectuer un bilan entropique pour la transformation élémentaire Tk 1  Tk . En déduire, pour la
transformation totale, l’expression de la quantité d’entropie liée à une éventuelle irréversibilité thermique
de la transformation.
3. Cette quantité d’entropie peut-elle s’annuler lorsque N est assez grand (en toute rigueur N tendant vers
2
l’infini ) ? On rappelle que ln (1   )   

2
m
o
c
.
b
e
w
a
l
o
2. Étude d’une transformation monobare.
4. Le gaz parfait est initialement en contact avec une source à la
température T0, dans un récipient dont les autres parois sont calorifugées.
Une de ces parois, initialement bloquée, peut se déplacer sans frottement.
On libère la paroi mobile, la pression extérieure, constante, est notée PT.
Déterminer l’état final ( Pf ,Vf ,Tf ) du gaz quand, à l’issue de la
transformation, l’équilibre est atteint. Effectuer un bilan d’entropie. La transformation est-elle
thermiquement réversible ?
5. On réalise la transformation précédente en déplaçant la paroi mobile par étapes successives. À l’étape k,
w
w
w
h
.k
la pression du gaz est Pk  Po  (k  1) , de sorte que P1 = Po et PN = PT . Avec 1  k  N , cela définit
l’incrément de pression . Définir l’état final du gaz à l’issue de la transformation complète. Effectuer un
bilan entropique pour la transformation élémentaire Pk 1  Pk . En déduire, pour la transformation totale,
la quantité d’entropie liée à une éventuelle irréversibilité mécanique de la transformation.
6. Cette quantité d’entropie peut-elle s’annuler ?
3. Au-delà du gaz parfait...
Un ressort élastique de raideur k est chargé en N étapes par une masse M ; à chacune des étapes,
M
une masse m 
est ajoutée au système, et la longueur du ressort augmente de h. Au total, la
N
longueur du ressort a augmenté de H = Nh . On rappelle la formule sommatoire :
N ( N  1)
1 2  3  N 
.
2
7. Calculer la variation d’énergie potentielle associée au chargement progressif du ressort,
calculer la variation d’énergie élastique et en déduire l’expression de l’énergie dissipée
sous forme thermique.
8. La température du milieu est constante, calculer la variation d’entropie associée au processus.
Une mole de gaz parfait en contact avec un thermostat à la température T est
comprimée de la pression Pi à la pression Pf, son volume varie de Vi à Vf.
Lorsque la transformation est soudaine, comme c’est le cas par
exemple si l’on pose sur le piston un objet de masse appropriée, le système se
stabilise après quelques oscillations
amorties. L’énergie thermique dissipée dans le milieu extérieur est Q = Pf (Vi –
Vf).
9. Exprimer la variation d’entropie du thermostat, S T et celle du gaz, S G . Exprimer la variation totale
d’entropie en fonction de R et des pressions initiale et finale.
10. Exprimer la variation totale d’entropie lorsque le processus est réalisé en N étapes.
Pi  Pf
11. Dans le cas où
 1 simplifier l’expression de la variation d’entropie établie à la question 10.
Pi
Troisième problème. TELESCOPE DU SATELLITE HIPPARCOS.
m
o
c
.
b
e
w
a
l
o
On propose de modéliser le télescope d’Hipparcos
par un miroir concave Mc de rayon R = 2800 mm
avec un miroir plan Mp de renvoi. On note S le
sommet du miroir concave et qui est pris pour
origine. La lumière subit deux réflexions et passe par
un orifice dans le miroir concave pour atteindre le
détecteur. Il est constitué d’une grille et de cellules
CCD permettant de repérer la position de l’image. La
grille comporte N = 2688 fentes équidistantes de l = 8,2 m.
h
.k
On considère une étoile E visée dans la direction Sx. L’axe Sx est orienté vers l’étoile.
1. Déterminer l’abscisse x1 de l’image E1 de l’étoile E par le miroir Mc.
2. On note a la distance séparant le miroir plan et le sommet du miroir concave. Déterminer une condition
sur a pour que l’image finale E2 se forme sur le détecteur placé à l’arrière du miroir concave.
3. Déterminer la largeur angulaire c, du champ observé. Calculer c en degré.
w
w
w
En réalité Hipparcos réalise une mesure de position
relative des étoiles. Le télescope vise deux directions
symétriques par rapport à Sx présentant un angle =
58°. Ainsi on obtient avec une grande précision
l’angle entre deux étoiles. C’est un système de deux
miroirs plans M1, M2 qui permet d’obtenir les
images des deux étoiles sur le détecteur. Le
télescope tourne autour d’un axe de direction Sz
avec une période T = 128 minutes. On supposera que
la direction Sz est fixe bien que cet axe se déplace
lentement afin de viser toute la sphère céleste.
5.
Déterminer l’angle 0 des miroirs M1 et
M2 avec l’axe Sx du télescope.
Déterminer le déplacement angulaire 1 d’un rayon lumineux réfléchi par le miroir M1 lorsque le satellite
6.
tourne d’un angle . Préciser le sens de déplacement des rayons réfléchis par M1 et M2.
Quelle est la norme V de la vitesse de déplacement des images sur le détecteur?
4.