Corrige Mathematiques - 2007 - Amerique du Nord

Corrigé Brevet juin 2007 Amérique du Nord
ACTIVITES NUMERIQUES
(12 points)
Exercice 1 :
1.
2.
2 15 5
–
÷
7 7 4
2 15 4
A= − ×
7 7 5
2 3×4
A= −
7
7
2 12
A= −
7 7
10
A=−
7
A=
4 × 105 × 15 × 10–3
B=
80 × 10–1
4 × 3 × 5 × 105 × 10−3
B=
4 × 4 × 5 × 10-1
3 × 105-3+1
B=
4
3 × 103
B=
4
3000
B=
4
B = 750
d’où la forme scientifique : B = 7,5 × 102
3.
C = 75 + 4 27 – 5 48
C = 3 × 5² + 4 3 × 3² − 5 3 × 4²
C=5 3+4×3 3−5×4 3
C = 5 3+ 12 3 − 20 3
C=−3 3
4.
D = (2 + 4 5)(2 – 4 5)
D = 2² − (4 5)²
D = 4 − 4²×5
D = 4 − 80
D = − 76
D est donc un entier relatif
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Exercice 2 :
On considère l'expression E = (3x + 2)2 – (3x + 2)(x + 7).
1.
Développons :
E = (3x + 2)2 – (3x + 2)(x + 7)
E = (3x)² + 2 × 3x × 2 + 2² − (3x² + 21x + 2x + 14)
E = 9x² + 12x + 4 − 3x² − 21x − 2x − 14
E = 6x² − 11x − 10
2.
Factorisons :
E = (3x + 2)2 – (3x + 2)(x + 7)
E = (3x + 2)[(3x + 2) − (x + 7)]
E = (3x + 2)[3x + 2 − x − 7]
E = (3x + 2)(2x − 5)
3.
Pour x =
4.
Résolvons : (3x + 2)(2x – 5) = 0
3x + 2 = 0
ou 2x − 5 = 0
3x = − 2
ou
2x = 5
5
2
ou
x =
x =−
2
3
2 5
Les solutions sont − et
3 2
1
2
1
1



E =  3 × 2 + 2  2 × 2 − 5



 3 4
E = 2 + 2(1 − 5)


7
E = × (− 4)
2
E=−7×2
E = − 14
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Exercice 3 :
1.
Le confiseur accorde une remise de 20% sur les 120,40 € de la commande, donc le
20
montant de la remise est de :
× 120,40 = 24,08 €
100
Donc le montant de la facture est finalement : 120,40 − 24,08 = 96,32 €
2.
a) Les sachets sont identiques donc le nombre de sachets est un diviseur commun de
301 et 172. Si on veut le nombre maximal de sachets réalisables, il faut donc calculer le plus
grand diviseur commun de 301 et 172. On utilise pour cela l’algorithme d’Euclide.
-
3
0
1
1
7
2
1
2
9
1
7
2
-
1
1
7
2
1
2
9
4
3
1
2
9
-
1
Le dernier reste non nul est 43, donc c’est le PGCD de 301 et 172.
Le nombre maximal de sachets réalisables est 43.
172
301
= 7 et
=4
43
43
Donc il y a 7 caramels et 4 chocolats dans chaque sachet.
b)
1
2
9
1
2
9
0
4
3
3
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ACTIVITES GEOMETRIQUES
(12 points)
M
Exercice 1 :
1. Le triangle ABM est inscrit dans un cercle de diamètre [AB].
A
Il est donc rectangle en M.
2. Le triangle ABM est rectangle en M alors :
BM
cos ABM =
AB
4,8
cos ABM =
6
cos ABM = 0,8
ABM ≈ 37° au degré près. (à la calculatrice.)
4,8
6O
B
C
c
3. L’angle ABM est l’angle inscrit interceptant le même arc AMque
l’angle AOM. D’après le
théorème de l’angle au centre, on en déduit que
AOM = 2 ABM.
AOM ≈ 2 × 37
AOM ≈ 74°
Exercice 2 :
S
1. Le volume d’une pyramide est
1
V = (aire de la base) × hauteur
3
Aire A de ABCD : ABCD est un rectangle
donc A = 8 × 11 = 88 cm2
1
V1 = × A × SA
3
12
1
V1 = × 88 × 15
15
13,6
H
3
G
3
V1 = 440 cm .
2. [SA] est la hauteur de la pyramide SABCD, donc le E
F
triangle SAB est rectangle en A.
D
C
Appliquons le théorème de Pythagore.
11
SB2 = SA2 + AB2
A
8
B
SB2 = 152 + 82
SB2 = 289
SB = 17 cm.
3. Les points S, E, A sont dans cet ordre sur la droite (SA) et les points S, F, B dans cet ordre
sur la droite (SB).
SE 12 4
SF 13,6 136 4
SE SF
Par ailleurs :
= =
et
=
=
= , donc
= .
SA 15 5
SB 17 170 5
SA SB
Compte tenu de cette égalité et de la configuration citée précédemment, d’après la réciproque
du théorème de Thalès, on peut en déduire que les droites (EF) et (AB) sont parallèles.
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4. a. Soit k le coefficient de cette réduction
longueur de la petite pyramide
longueur correspondante de la grande pyramide
SE
k=
SA
4
k=
(d’après 3.)
5
b. Dans une réduction les volumes sont multipliés par k3 donc :
V2 = k3 × V1
4
V2 = 53 × V1
 
64
× V1
V2 =
125
k=
Exercice 3 :
y
8
7
T1
6
5
T3
4
E
3
100°
F
A
2
T
1 J
I
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
-1
G
T2
-2
→
AB
-3
-4
-5
-6
2
3B
4
5
6
7
8
9 x
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PROBLEME
(12 points)
PARTIE A
1. En roulant à 100 km/h il faut :
250
= 2,5 heures soit 2 h 30.
100
7 h 25 + 2 h 30 = 9 h 55.
Le premier groupe arrivera à 9 h 55 au musée.
2. Le second groupe a roulé pendant 9 h 30 – 8 h 00 = 1 h 30 = 1,5 h.
120
= 80 km/h.
La vitesse moyenne du car est de
1,5
PARTIE B
1.
Somme d’argent perçue
par mois (en €)
S1
S2
Nombre d’heures effectuées par mois
20 heures
25 heures
8 × 20 = 160
8 × 25 = 200
90 + 20 × 5 = 190
90 + 25 × 5 = 215
2. Soit x le nombre d'heures effectuées par Armelle pendant un mois dans ce musée.
Somme d’argent S1 : Armelle gagne 8 euros pour x heures travaillées soit s1(x) = 8x.
Somme d’argent S2 : Armelle gagne d’abord 90 euros puis 5 euros pour x heures soit
s2(x) = 90 + 5x.
3.
8x = 5x + 90.
8x – 5x = 90
3x = 90
x = 30
Cette équation correspond à s1(x) = s2(x).
Cela revient à chercher le nombre d’heures que doit effectuer Armelle pour gagner la même
somme avec le mode de calcul S1 ou S2.
Si elle effectue 30 heures elle gagnera la même somme d’argent.
4.
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Somme en euros
S1
300
280
260
240
220
200
180
160
140
120
100
80
60
40
20
0
S2
5
10
15
20
25
30
35
40
Nombre d’heures
5. a. trait pointillé. On retrouve bien le point d’intersection des 2 droites pour x = 30.
b. Graphiquement (petits points) on voit que pour x = 35, c’est le mode de calcul S1 qui
est le plus avantageux.
La somme d’argent perçue est 280 euros.
6.
Entre 0 et 30 heures par mois c’est le mode de calcul S2 qui est le plus avantageux.
Pour 30 heures par mois, les deux donnent la même somme.
Entre 30 et 35 heures, c’est le mode de calcul S1 qui est le plus avantageux.