Introduction

OPTIQUE GÉOMÉTRIQUE
1) Rappel: nature de la lumière (dualité onde-corpuscule).
a . Aspect vibratoire .
Pour interpréter certains phénomènes lumineux (interférences, diffraction...), on admet que la lumière est
une vibration que Maxwell identifia en 1867 aux ondes électromagnétiques, c'est-à-dire la superposition d'un
champ électrique 
E et d ' une induction magnétique 
B.
Pour une onde plane lumineuse monochromatique de fréquence f, se propageant dans la direction x'x avec la
 sont transversaux, orthogonaux entre eux, synchrones, en phase et liés
vitesse 
v , les deux vecteurs 
E et B


,
par la relation E = B∧
v . Le trièdre  E
B, v  est donc direct.
λ
y
0
E

v
x

B0
z
L'état vibratoire en un point M à la date t est celui qui existait au point O à la date antérieure t−θ, θ étant la
durée nécessaire pour que l'onde se propage de O à M: x = v θ avec x = OM.
2π
x
 O, t  = E
 cosω t , on a donc 
 O, t−θ = E
 cos ωt −θ = 
Si E
EM , t = E
E0 cos
t− .
0
0
T
v
v
Soit λ = v T = la longueur d'onde de la vibration, l'onde électromagnétique en M est alors décrite par
f
t x
t x
 x ,t  = 
les vecteurs E
E0 cos 2 π −
et 
Bx ,t  = 
B0 cos2 π −
avec E0 = v B0 .
T λ
T λ
La vitesse de propagation de l'onde dépend de la nature du milieu traversé et de la fréquence f.
−1
Elle est maximale dans le vide, quelle que soit la fréquence, où elle vaut exactement c = 299792 458 m s .
Seule la fréquence est caractéristique d'une radiation. Sa longueur d'onde λ dépend du milieu traversé et on
c T λ0
l'exprime habituellement dans le vide où elle vaut λ 0 : λ = v T =
=
 λ0 .
n
n
λ0
1 fm
1 pm
1 nm
1 µm
1 mm
1m
1 km
 
 
 
visible
400 nm
500 nm
600 nm
700 nm
λ0
800 nm
f
300 EHz
1 GeV
300 PHz
1 MeV
1 keV
300 THz
1 eV
300 GHz
1 meV
300 MHz
1 µeV
On caractérise un milieu matériel par son indice absolu de réfraction n =
Exemples
Solides
verre
≈ 1,5
diamant 2,417
NaCl
1,544
Liquides
eau
1,333
éthanol 1,361
benzène 1,501
air
CO 2
H2
300 kHz
1 neV
E=
hf
c
 1.
v
Gaz
1,000 293
1,000 45
1,00014
L'indice absolu augmente un peu quand la longueur d'onde diminue, ∆ n ≈ 0,01 quand on passe du rouge
B
au bleu , cette variation étant souvent représentée par une relation de la forme n = A  2 .
λ
n 2 v1
L'indice relatif d'un milieu 2 par rapport à un milieu 1 est défini par n 2/1 =
= .
n1
v2
1
b . Aspect corpusculaire .
L'étude des échanges d'énergie entre la lumière et la matière (effet photoélectrique, effet Compton...) a
montré que l'énergie lumineuse est quantifiée.
Pour une radiation de fréquence f cette énergie est un multiple de la quantité élémentaire E = h f , appelée
photon , avec h = constante de Plänck = 6,63 10−34 J s.
Pour interpréter ces interactions matière-rayonnement, on peut considérer le photon comme un corpuscule
sans masse se déplaçant avec la vitesse v dans le milieu considéré et transportant la quantité de mouvement
E
hf
h
p telle que p = =
= .
c
c
λ0
Pour l'étude de l'optique géométrique, cet aspect corpusculaire est sans utilité.
2) Rayon lumineux. Surface d ' onde .
a . Rayon lumineux .
Un rayon lumineux est le chemin suivi par la lumière, c'est-à-dire la trajectoire des photons.
b .Chemin optique le long d'un rayon lumineux .
Soit 
AB un rayon lumineux, la lumière atteignant le point A à la date t A et le point B à la date t B.
 est défini par:
Le chemin optique L AB le long du rayon AB
M'
M
t
c
ds
L AB = ∫
n sds = ∫
ds = ∫t c dt = c  t B−t A .
AB
AB v s
Ce chemin optique est donc égal au chemin que parcourrait la
A
lumière dans le vide pendant la durée t B−t A .
B
B
A
c. Surface d ' onde .
Soit A une source ponctuelle émettant de la lumière dans toutes les directions de l'espace à la date t = 0.
L'ensemble des points atteints par la lumière à la date t est une
surface Σ appelée surface d'onde à la date t.
B'
B
Tous les rayons compris entre A et Σ correspondent
C'
C
au même chemin optique: LAB = L AC = L AD = c t.
De même pour les points situés sur la surface d'onde Σ '
D
A
D'
à la date t ': L AB' = L AC ' = L AD' = c t '.
On en déduit que tous les chemins optiques compris entre deux
(Σ)
(Σ)
surfaces d'onde sont égaux: L BB ' = LCC ' = LDD ' = c t '−t.
On démontre (théorème de Malus, 1808) que les rayons lumineux sont orthogonaux aux surfaces d'onde.
d . Principe de Fermat 1 657.
Pour aller d'un point à un autre, la lumière suit le trajet dont le chemin optique est extrémal, ce qui correspond
aussi au trajet dont la durée est extrémale.
Soit C = 
AMB un rayon lumineux de chemin optique L = ∫C  n ds.
M' (C')
B
Soit (C') un trajet infiniment voisin obtenu en associant à chaque
point M ∈ C un vecteur a .f s avec f s fonction continue
M
(C)
dérivable de l'abscisse curviligne s du point M, s'annulant en A et B.
A
Le nouveau chemin optique s'écrit L' = ∫C ' n ds
L est extrémal (ou stationnaire) si δ L = L '−L ne contient pas de terme du 1er ordre en ∣f s∣max .
δ L = 0 au 1er ordre près en ∣f s∣max .
2
e. Conséquences .
• Loi du retour inverse de la lumière .
Soit 
AB un rayon lumineux et L AB = ∫
n ds le chemin optique correspondant.
AB
Le parcours inverse 
BA correspond au même chemin optique: L BA = L AB .
 est un rayon lumineux.
L AB étant extrémal , L BA l 'est aussi , donc BA
Le trajet suivi par la lumière entre deux points ne dépend pas du sens de parcours.
• Loi de propagation rectiligne dans un milieu homogène .
Dans un milieu homogène n = constante, donc L AB = ∫
n ds = n ∫
ds = n 
AB .
AB
AB
 est minimal pour le segment AB: le rayon lumineux passant par A et B est rectiligne.
Or AB
Dans un milieu homogène, la lumière se propage rectilignement d'un point à un autre.
3) Limite de validité de l'optique géométrique .
Lorsqu'un faisceau lumineux traverse une ouverture étroite, on peut observer la présence de lumière en dehors
de la zone définie par la loi de propagation rectiligne: on dit qu'il y a diffraction de la lumière.
anneaux de
diffraction
tache centrale
de diffraction
faisceau ''géométrique''
La diffraction est négligeable si la longueur d'onde de la radiation utilisée reste faible par rapport aux dimensions
de l'ouverture.
Les lois de l'optique géométrique sont donc valables pour des longueurs d'onde ''nulles''.
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