Exercice 1 — Métropole – juin 2014

BAC BLANC – MATHÉMATIQUES – TERMINALE STMG –
Durée de l’épreuve : 3 heures
Le sujet comporte 6 pages.
Seule l’annexe est à rendre avec la copie.
Les calculs doivent être détaillés. Les calculatrices sont autorisées, conformément à la réglementation en vigueur,
mais les échanges sont interdits !
Les exercices sont indépendants. Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultat précédemment
donné dans le texte pour aborder les questions suivantes, à condition de l’indiquer clairement sur la copie.
La qualité et la précision de la rédaction seront prises en compte dans l’appréciation des copies.
Exercice 1 —
Métropole – juin 2014
5 points
Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM).
Pour chacune des cinq questions, une et une seule des réponses proposées est exacte.
Chaque bonne réponse rapporte un point. Aucun point n’est enlevé pour une réponse inexacte ou pour une absence de
réponse.
Aucune justification n’est demandée.
Partie A –
Après réalisation d’une enquête, on estime que le temps en minutes, consacré quotidiennement par un élève à
faire ses devoirs scolaires, est une variable aléatoire X suivant une loi normale, d’espérance 60 et d’écart type 15.
L’allure de la courbe de densité de cette loi normale est représentée ci-dessous.
L’égalité P(X 6 40) = 0,091 2 est illustrée graphiquement.
0,025
0,020
0,015
0,010
0,091 2
0,005
0
0
20
40
60
80
100
120
1. La probabilité qu’un élève consacre quotidiennement plus de 80 minutes à faire ses devoirs scolaires est :
a. 0,091 2
b. 0,807 6
c. 0,8
d. 0,908 8
La courbe est symétrique « par rapport à x = 60 » donc p(X > 80) = p(X 6 40) = 0,091 2
2. La probabilité qu’un élève consacre quotidiennement moins d’une heure à faire ses devoirs scolaires est :
a. 0,5
b. 0,6
c. 1
1 heure = 60 minutes, on cherche donc p(X 6 60) = 0,5
Lycée E. Brontë (F. Leon) – Lognes (77) –
Bac Blanc juin TSTMG
d. 0,136 8
1/6
Partie B –
Dans un lycée, on a noté l’évolution du nombre d’élèves possédant un téléphone portable avec accès à Internet.
• Entre 2011 et 2012, ce nombre a augmenté de 20 % ;
• Entre 2012 et 2013, ce nombre a baissé de 25 %.
1. Le taux d’évolution global entre 2011 et 2013 est :
a. −5 %
b. −10 %
d. 0,9 %
c. 45 %
!
20
augmenter de 8 % c’est multiplier par 1 +
= 1,2
100
!
25
= 0,75
diminuer de 25 % c’est multiplier par 1 −
100
et 1,2 × 0,75 = 0,9
2. Le taux d’évolution moyen annuel entre 2011 et 2013, arrondi à 0, 1 % , est :
a. 0,9 %
b. −2, 5 %
c. −5, 1 %
!2
t
le taux moyen sur deux ans : 1 +
doit être égal au taux d’évolution 0,9
100
d. −5 %
Partie C –
On procède à un contrôle technique de 100 scooters constituant un échantillon représentatif des scooters circulant
dans une ville.
27 de ces scooters sont déclarés en mauvais état.
À partir de ce résultat, on souhaite estimer la proportion de scooters en mauvais état circulant dans la ville.
Un intervalle de confiance, au niveau de confiance de 95 %, pour la proportion de scooters en mauvais état dans
la ville est :
a. [0,26 ; 0,28]


on sait que IC = f
Exercice 2 —
b. [0,2 ; 0,3]
c. [0,17 ; 0,37]



 27
1
27
1 
1
1 

;
− √ ; f + √  donc IC = 
−√
+√

100
n
n
100 100
100
d. [0,27 ; 0,95]
Polynésie – septembre 2014
4 points
Dans une classe de terminale STMG, les élèves se répartissent suivant le tableau ci-dessous :
Garçons
Filles
Total
Redoublants
3
5
8
Non redoublants
6
22
28
Total
9
27
36
Pour toutes les questions on donnera les réponses à 10−2 près.
1. Si on interroge un élève au hasard dans cette classe, quelle est la probabilité de choisir un redoublant ?
8
Il y a 8 redoublants parmi 36 élèves, donc p =
' 0,22
36
2. Sachant que l’on interroge une fille, quelle est la probabilité de choisir une non redoublante ?
22
Parmi les 27 filles, 22 sont non redoublantes : p =
' 0,81
27
Lycée E. Brontë (F. Leon) – Lognes (77) –
Bac Blanc juin TSTMG
2/6
Dans cette même classe, les élèves ont choisi comme spécialité soit ressources humaines et communication soit
mercatique.
Après avoir choisi la fiche d’un élève au hasard, on définit les événements suivants :
•
•
•
•
R : « l’élève a choisi ressources humaines et communication »
M : « l’élève a choisi mercatique »
G : « l’élève est un garçon »
F : « l’élève est une fille »
3. Compléter l’arbre de probabilités en annexe 1 à rendre avec la copie.
4. Quelle est la probabilité de choisir une fille qui est en ressources humaines et communication ?
27
× 0,57 ' 0,43
À l’aide de l’arbre : p(F ∩ R) = p(F) × pF (R) =
36
5. Calculer la probabilité de choisir un garçon, sachant que sa spécialité est ressources humaines et communication.
On cherche pR (G) =
Exercice 3 —
p(R ∩ G)
p(R)
D’après les probabilités totales : p(R) = p(R∩ F)+p(R∩
G) = 0,75 × 0,57 + 0,25 × 0,22 = 0,482 5
0,25 × 0,22
donc pG(R) =
' 0,11
0,482 5
d’après Nouvelle Calédonie – septembre 2014
5 points
Dans cet exercice, les parties sont indépendantes.
Le tableau suivant donne le prix moyen d’un paquet de cigarettes au 1er janvier de chaque année de 1991 à 2000.
On sait de plus que, le 1er janvier 2012, le prix moyen d’un paquet de cigarettes était de 6,40 €.
Année
1991
1992
1993
1994
1995
1996
1997
1998
1999
2000
Rang de l’année
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Prix en euros
1,50
1,81
2,10
2,36
2,67
2,74
2,94
2,96
3,05
3,20
Lycée E. Brontë (F. Leon) – Lognes (77) –
Bac Blanc juin TSTMG
3/6
Partie A –
On a représenté ci-dessous, dans un repère orthogonal du plan, les données du tableau sous la forme d’un nuage
de points de coordonnées (xi ; yi ) pour i variant de 1 à 10.
Prix en euros
5
4
+
+
+
+
+
+
+
3
+
+
+
2
1
Rang de l’année
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
Soit les points A de coordonnées (0 ; 1, 53) et B de coordonnées (5, 5 ; 2, 52).
On admet que la droite (AB) réalise un bon ajustement affine du nuage de points.
1. Justifier qu’une équation de la droite (AB) est y = 0, 18x + 1, 53.
L’équation de la droite est de la forme y = mx + p
y −y
2,52 − 1,53 0,99
=
= 0,18
avec m = B A =
xB − xA
5,5 − 0
5,5
Les coordonnées du point A doivent vérifier l’équation, donc il faut :
1,53 = 0,18 × 0 + p
donc p = 1,53
2. Selon ce modèle d’ajustement, quel est le prix moyen d’un paquet de cigarettes le 1er janvier 2012 ?
Que peut-on penser du résultat obtenu ?
Le 1er janvier 2012 correspond au rang 22 ; on trouve y = 0,18 × 22 + 1,53 = 5,49
le prix est nettement en dessous de la réalité. Ce n’est pas un bon modèle à long terme.
Partie B –
On suppose que le prix moyen d’un paquet de cigarettes augmente de 6 % par an à partir du 1er janvier 2000.
On note un le prix moyen d’un paquet de cigarettes pour l’année (2000 + n).
On a donc u0 = 3, 20.
1. a) Calculer u1 puis u2 . On arrondira les résultats à 10−3 près.
augmenter de 6 % revient à multiplier par 1,06
donc u1 = 1,06 × u0 = 1,06 × 3,2 = 3,392
u2 = 1,06 × u1 = 1,06 × 3,392 = 3,596
b) Déterminer et justifier la nature de la suite (un ). Préciser sa raison.
Pour passer d’un terme au suivant on multiplie par 1,06, c’est donc une suite géométrique de raison q =
1,06
c) Exprimer le terme général un en fonction de n.
D’après les questions précédentes : un = u0 × qn = 3,2 × 1,06n
d) Selon ce modèle d’évolution, le prix moyen d’un paquet de cigarettes dépasse-t-il 5 € le 1er janvier 2005 ?
Justifier.
Le 1er janvier 2005 correspond au rang n = 15.
u15 = 3,2 × 1,0615 ' 7,69
Le prix du paquet dépasse donc les 5 €
Lycée E. Brontë (F. Leon) – Lognes (77) –
Bac Blanc juin TSTMG
4/6
2. On considère l’algorithme suivant :
Variables :
n est du type nombre entier
u est du type nombre réel
S est du type nombre réel
Entrée :
Saisir n
Traitement :
u prend la valeur 3,2
S prend la valeur 3,2
Pour n allant de 1 à 4
u prend la valeur u × 1, 06
S prend la valeur S + u
Fin Pour
Afficher S
Sortie :
a) Quelle est la valeur affichée par cet algorithme ? On arrondira le résultat à 10−2 près.
On pourra s’aider du tableau fourni en Annexe 2 pour répondre.
L’algorithme affiche S ' 18,04
b) L’algorithme affiche une valeur lorsqu’il s’achève.
Comment interpréter cette valeur par rapport à la suite (un ) ?
Cette valeur est la somme des 5 premiers termes de la suite (un ).
3. Paul a arrêté de fumer le 1er janvier 2011. Du 1er janvier 2000 au 31 décembre 2010, il fumait 90 paquets de
cigarettes par an. Quelle somme d’argent aurait-il pu économiser s’il n’avait pas fumé durant ces années ?
On arrondira le résultat au centime d’euro près.
En adaptant l’algorithme précédent : on calcule la Pour 90 paquets par an : 90 × 47,9 = 4 311,83
somme des dépenses pour un paquet pendant 10 ans.
On trouve S ' 47,9
Exercice 4 —
Polynésie – juin 2014
6 points
Un entrepreneur lance sur le marché de nouvelles coques haut de gamme pour les téléphones mobiles.
Sur le graphique donné en annexe 3 sont tracées les courbes représentant les recettes (en trait plein) et les coûts
(en pointillés), en fonction du nombre de produits fabriqués exprimé en centaines d’unités.
On admet que la fabrication est comprise entre 0 et 700 unités.
Les recettes et les coûts sont exprimés en milliers d’euros.
Partie A – Lecture graphique
Répondre aux questions suivantes en vous aidant du graphique de l’annexe 3.
1. Combien faut-il fabriquer de produits pour avoir une recette égale à 140 000 euros ?
Il faut fabriquer 225 ou 550 produits pour avoir une recette de 140 000 €.
2. Combien de produits doit-on fabriquer pour obtenir un bénéfice positif ou nul ?
Il faut que la recette soit supérieure ou égale au coût. Donc il fabriquer entre 20 et 580 produits.
Lycée E. Brontë (F. Leon) – Lognes (77) –
Bac Blanc juin TSTMG
5/6
Partie B – Étude du bénéfice
On modélise :
• les recettes par la fonction R définie sur [0 ; 7] par
R(x) = −2x3 + 4, 5x2 + 62x
• les coûts par la fonction C définie sur [0 ; 7] par
C(x) = 20x + 10
1. Calculer la recette et le coût pour 300 produits fabriqués.
En déduire le bénéfice correspondant.
pour 300 produits, x = 3,
donc R(3) = 172,5 soit 172 500 €.
et C(3) = 70 soit 70 000 €.
le bénéfice est donc 172 500 − 70 000 = 102 500 €.
2. On note B la fonction bénéfice.
Donner l’expression de B(x) sur l’intervalle [0 ; 7].
B(x) = R(x) − C(x)
B(x) = −2x3 + 4, 5x2 + 62x − (20x + 10) = −2x3 + 4, 5x2 + 42x − 10
3. Vérifier que B 0 (x) = −6x2 + 9x + 42 où B 0 désigne la fonction dérivée de la fonction B.
B(x) = −2x3 + 4, 5x2 + 42x − 10.
On identifie les coefficients. . .
B 0 (x) = −6x2 + 9x + 42
4. Étudier le signe de B 0 (x). Donner le tableau de variations de B.
On reconnaît un polynôme du second degré. Le coefficient de x2 est négatif, donc la parabole est « orientée
vers le bas ».
On cherche les racines : ∆ = 92 − 4 × (−6) × 42 = 1 089
√
−9 − 1 089 −9 − 33
=
=3
Comme ∆ > 0, on a deux solutions : α =
2 × (−6)
−12
−9 + 33
β=
= −2
−12
On en déduit le tableau de variations :
x
0
3
7
signe de la dérivée B 0 (x)
variations de la fonction B
+
0
−
140,5
−10
%
&
−181,5
5. En déduire la valeur du bénéfice maximal ainsi que le nombre de produits à fabriquer pour l’obtenir.
Le bénéfice est maximal pour x = 3, soit 300 produits et il est de 140 500 €
Lycée E. Brontë (F. Leon) – Lognes (77) –
Bac Blanc juin TSTMG
6/6
ANNEXE à rendre avec la copie
Écrivez ici votre no d’anonymat . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Annexe 1 (exercice 2.)
0,25
0,75
0,78
M
0,22
R
0,43
M
0,57
R
G
F
Annexe 2 (exercice 3. )
1
n
u
3,2
3,39
S
3,2
6,59
2
Annexe 3 (exercice 4.)
y
240
220
200
Recettes
180
160
140
120
100
ût s
Co
80
60
40
20
x
0
−20
1
2
Lycée E. Brontë (F. Leon) – Lognes (77) –
3
4
5
6
Bac Blanc juin TSTMG
7
7/6