1) Vecteur : définition et représentation 2) Addition et soustraction de

LH II TCT
VECTEURS
1) Vecteur : définition et représentation
Définition : JJJG
Un vecteur AB est parfaitement déterminé par trois composantes :
Une direction : celle de la droite (AB)
Un sens : de A vers B
JJJG
Une longueur, appelée norme et notée AB
Propriétés :
JJJG
JJJG
Deux vecteurs AB et CD sont égaux si seulement si ils ont même direction, même sens, et même norme.
JJJG
JJJG
Deux vecteurs AB et CD sont opposés si seulement si ils ont même direction, des sens opposés, et même
norme.
Propriété : Egalité
JJJG et parallélogramme
JJJG
Deux vecteurs AB et CD sont égaux si seulement si ABDC est un parallélogramme
Propriété :
Tout vecteur dont l’origine et l’extrémité sont confondues est de norme nul.
G
On l’appelle VECTEUR NUL et on le note 0
2) Addition et soustraction de vecteurs
Définition :
G JJJG
G
G
G JJJG
Soit u et v deux vecteurs quelconques, A,B et C trois points tels que u = AB et v = BC .
G G
G G JJJG
Alors on définit le vecteur u + v par u + v = AC
Propriété : Relation de Chasles
JJJJJJG JJJJJG JJJG
Quels que soient les points A,B et C, alors A N
B + N
B C = AC
meme
lettre
Propriété : Inégalité triangulaire
JJJG JJJG
JJJG
JJJG
Quels que soient les points A,B et C, alors AB + BC ≤ AB + BC
G
G
G
G G G
De manière générale, quels que soient les vecteurs u et v , u + v ≤ u + v
Propriété
JJJG JJJG JJJG
Soit A,B et C trois points non alignés. Alors AB + AC = AD où
D est la quatrième sommet du parallélogramme ABDC
Justification :
JJJG JJJG
JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG
AC = BD donc AB + AC = AB + BD = AD
Propriété de l’addition
G G
G
u , v et w :G G G
Pour
G G tous
G vecteurs
G
u +v = v +u
u +0=u
G
G
G
G
G
G
G
G
G
( u + v ) + w = u + ( v + w) = u + v + w
3) Multiplication d’un vecteur par un nombre réel
Définition
G
G
G
G
Soit u un vecteur et k ∈ \ . Alors le vecteur v = k × u résultant de la multiplication de u par k, est défini par :
G G
G G
Si k = 0 ou u = 0 , alors v = 0
G
G
G
u et v = k × u ont même direction
G
G
G
u et v = k × u sont de même sens si et seulement si k > 0 et de sens opposés si et seulement si k < 0
G
G
v =k× u
Définition
G
G
G
G
G
G
Soit u et v deux vecteurs non nuls. S’il existe un réel non nul k tel que v = k × u , on dit que u et v sont
colinéaires. k est appelé le coefficient de colinéarité.
G
G
Propriétés : Pour tous vecteurs u et v et pour tous réels k et l :
G
G
G G
G G
G
G G
k ( u + v ) = ku + kv
k ( lu ) = ( kl ) u
( k + l ) u = ku + lu
G G
G G
ku = 0 si et seulement si k = 0 ou u = 0 .
4) Vecteurs et configurations
Milieu d’un segment
JJJG
JJG
 AB = 2 AI
 JJG
1 JJJG

Soit I le milieu d’un segment [AB], Alors on peut écrire les égalités vectorielles :  AI = AB
2
 JJG JJ
G
 AI = IB

Centre de gravité d’un triangle
A
Dans un triangle ABC, le point d’intersection G des médianes vérifie :
JJJG JJJG JJJG G
GA + GB + GC = 0
JJJG 2 JJJG
AG = AA′
3
JJJG
JJJG
GA = −2GA′
C'
G
B
B'
A'
C
Droite des milieux
Soit ABC un triangle, I le milieu de [AB]et J le milieu de [AC]
JJG 1 JJJG
Alors IJ = BC
2
L’expression vectorielle résume à la fois la notion de parallélisme
et le rapport des longueurs
Théorème de Thalès vectoriel
JJJJG
JJJG
JJJG
JJJG
Soit ABC un triangle, k un réel, M et N les points tels que AM = k AB et AN = k AC
JJJJG
JJJG
Alors : MN = k BC
Preuve
:
JJJJG JJJG JJJG
MN = MA + AN
JJJJG JJJG
= − AM + AN
JJJG
JJJG
= − k AB + k AC
JJJG JJJG
= k − AB + AC
JJJG JJJG
= k BA + AC
JJJG
= k BC
(
(
)
)
5) Application de la colinéarité aux problèmes de parallélisme et d’alignement
Propriétés:
JJJG
Si deux vecteurs AB et
JJJG
Si deux vecteurs AB et
JJJG
CD sont colinéaires, alors (AB)//(CD)
JJJG
AC sont colinéaires, alors les trois points A,B et C seront alignés
6) Vecteurs coplanaires
Soit O,A,B et C quatre points de l’espace.
JJJG
JJJG JJJG
Alors O,A,B et C sont coplanaires si et seulement si il existe deux réels k et l tels que OC = kOA + lOB