Logique des propositions et logique des prédicats

L2 MIASHS
Intelligence artificielle
2006-2007
Logique des propositions et logique des prédicats
TD2
Lundi 22 janvier 2007
Exercice 1
Les coffrets de Portia
Dans le Marchand de Venise, de Shakespeare, Portia a trois coffrets, un
d’or, un d’argent et un de plomb et, dans l’un d’eux, elle a caché son portrait.
Quand un des soupirants se présente, elle lui fait choisir l’un des coffrets, et
c’est celui qui aura la chance (ou l’astuce) de trouver le coffret contenant
son portrait qui pourra l’épouser.
Mais le couvercle de chaque coffret porte deux inscriptions pour guider
le choix du soupirant, car Portia ne veut pas choisir un époux pour sa vertu
mais pour son intelligence.
Elle traça un jour les inscriptions suivantes :
Coffret en or
Le portrait n’est
pas dans ce
coffret
Le portrait est
dans le coffret
en argent
Coffret en
argent
Le portrait n’est
pas dans le
coffret en or
Le portrait est
dans le coffret
en plomb
Coffret en
plomb
Le portrait n’est
pas dans ce
coffret
Le portrait est
dans le coffret
en or
Elle expliqua à son soupirant que sur l’un des coffrets deux affirmations
étaient vraies, sur un autre elles étaient fausses toutes les deux, et sur le
troisième l’une était vraie et l’autre était fausse.
Quel coffret le candidat au mariage devrait-il choisir pour épouser Portia ?
Exercice 2
Calcul propositionnel
1. Transformez les formules suivantes en formes normales conjonctives.
(a) ((r → p) → (¬(q ∨ r) → p))
(b) (¬((p ∧ q) → p) ∨ (p ∧ (q ∨ r)))
(c) (¬(p ∧ (q ∨ r)) → ((p ∧ q) ∨ r))
2. Pour chacun des trois ensembles de formules suivants, indiquez s’il est
inconsistant. Dans le cas contraire, donnez-en un modèle.
(a) {p ∨ q, p → q, ¬q}
1
(b) {p → q, q → r, r → ¬p}
(c) {p → q, q → r, r → ¬p, p ∨ ¬s, s}
3. Mettez l’ensemble H = {r → x, (f ∧ g) → r, s → f, g ∧ s} sous forme
clausale et montrez qu’il y a au moins deux façons de démontrer H |= x
par le principe de résolution.
Exercice 3 Casse-tête électrique (suite)
Reprenez l’énoncé de l’exercice 4 du TD1. Montrez que le théorème de
réfutation permet de répondre par l’affirmative à la question 2. Utilisez
l’algorithme de mise sous forme clausale pour montrer (question 3.b) que
l’interrupteur inutile est celui du centre. On utilisera les notations suivantes :
– A (resp. ¬A) : l’ampoule est allumée (resp. éteinte).
– X (resp. ¬X) : l’interrupteur (G pour gauche, C pour central et D
pour droite) est en position basse (resp. haute).
Exercice 4 La Licorne
Étant donné le texte suivant, pouvez-vous prouver que la licorne est
mythique ? Qu’elle est magique ? Qu’elle a une corne ?
Si la licorne est mythique alors elle est immortelle ; si elle
n’est pas mythique c’est un mammifère mortel. Si la licorne est
soit immortelle soit un mammifère, alors elle a une corne. La
licorne est magique si elle a une corne.
On attribue les variables propositionnelles suivantes :
– M : la licorne est un animal mythique.
– I : la licorne est un animal immortel.
– A : la licorne est un mammifère.
– C : la licorne a une corne.
– G : la licorne est un animal magique.
On rappelle que « soit... soit... » correspond au “ou exclusif”, qui s’interprète
comme la négation d’une équivalence.
1. Mettez l’énoncé sous la forme d’une formule en forme normale conjonctive.
2. Appliquez le principe de résolution pour répondre aux questions posées.
Exercice 5 Le club écossais
Il existe en Écosse un club très fermé qui obéit aux règles suivantes :
– Tout membre non écossais porte des chaussettes rouges.
– Tout membre porte un kilt ou ne porte pas de chaussettes rouges.
– Les membres mariés ne sortent pas le dimanche.
– Un membre sort le dimanche si et seulement s’il est écossais.
– Tout membre qui porte un kilt est écossais et marié.
– Tout membre écossais porte un kilt.
Montrer que ce club est si fermé qu’il ne peut accepter personne.
2