jeu 100 fille
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Chapitre 07: Probabilité et problèmes • Variable aléatoire • Espérance, variance et écart-type • Répétition d'expériences identiques et indépendantes PROBABILITE ET PROBLEMES 1. Variable aléatoire 1.1. Exemple • Une expérience aléatoire On lance un dé équilibré et on note à chaque lancé le nombre obtenu. L'ensemble des issues est Ω={1 ;2 ;3 ; 4;5 ;6 } Toutes les issues sont équiprobables (modèle de la loi équirépartie). • Une variable aléatoire sur Ω On convient que on perd 2 € si on tire 1 ou 2 , on gagne 0 ,5 € si on tire 3 et enfin on gagne 1 € si on tire 4 , 5 ou 6 . La fonction X qui à chaque issue de Ω , associe le gain du joueur, prend comme valeurs : x 1=−2 , x 2=0, 5 et x 3=1 avec les probabilités p 1 , p 2 et p 3 que l'on peut calculer. 2 1 1 p 1=P ( X =−2 ) =P ( {1 ;2 } )= = , p 2=P ( X =0 , 5 )= P ( {3 }) = et 6 3 6 3 1 p 3=P ( X =1 )= P ( {4 ; 5 ;6 } )= = 6 2 On résume cette loi de probabilité (de X ) dans le tableau ci-dessous. Gain x i –2 1 3 Probabilité p i=P ( X = x i) 0 ,5 1 6 1 1 2 1.2. Définition On considère un ensemble fini Ω et une loi de probabilité p sur Ω . Une variable aléatoire X sur Ω est une fonction définie sur Ω à valeurs dans ℝ . Si x 1 , x 2 , …, x n désignent les valeurs prises par X , on note « X =x i » l’événement « X prend la valeur x i ». On définit une nouvelle loi de probabilité associée à X , par la donnée des réels x i et des probabilités p i=P ( X = x i) pour 1⩽i⩽n On la représente souvent en tableau xi p i=P ( X = x i) x1 p1 x2 p2 xn pn ... ... i=n On vérifie que p 1+ p 2+ …+ pn =∑ p i=1 i=1 2. Espérance, variance et écart-type On considère une variable aléatoire X dont la loi de probabilité P est donnée par le tableau : xi x1 x2 xn ... P ( X =x i ) p1 p2 pn ... i=n On appelle espérance de X le nombre réel: E ( X ) =∑ x i pi= x 1 p1+ x 2 p2+ …+ x n p n i=1 L'espérance de gain s'interprète comme la moyenne des gains obtenus en répétant le jeu un grand nombre de fois. Le jeu est favorable au joueur si l'espérance est positive, défavorable au joueur si l'espérance est négative et équitable si l’espérance est nulle. On appelle variance de X le nombre réel : n 2 n 2 V ( X )=∑ ( ( x i−E ( X ) ) ) pi=∑ ( x i) p i−( E ( X ) ) i=1 2 i=1 On appelle écart type de X le nombre réel : σ ( X ) =√ V ( X ) L'écart type du gain mesure la dispersion des gains autour de cette moyenne ; plus il est grand, plus le degré de risque du jeu est grand. Exemple Reprenons le jeu décrit au 1.1. et la variable aléatoire X dont la loi de probabilité est donnée par le tableau : Gain x i Probabilité p i=P ( X = x i) –2 1 3 0 ,5 1 6 1 1 2 1 1 1 4 5 3 0 ,5 1 On a alors E ( X ) =− 2× + 0 , 5× + 1× =− + 0 , + =− =− 3 6 2 6 6 6 6 12 Comme l'espérance mathématique est négative, on peut penser que lors d'un grand nombre de parties le joueur sera perdant. 1 2 1 1 2 1 1 V ( X )= −2− − × + 0 , 5− − × + 1− − 12 3 12 6 12 2 1 1 1 1 2 2 2 =1, 86806 ou V ( X )=( −2 ) × + 0 ,5 × + 1 × − − 3 6 2 12 ( ( )) 2 ( ( )) ( ( )) × 12 ( ) σ ( X ) =√V ( X ) ≈1 , 36677 . L'écart-type est plutôt grand par rapport à la moyenne, donc le jeu semble risqué. Propriété Soit X une variable aléatoire de loi de probabilité ( x i ; p i) , 1⩽i⩽n Soit a et b des réels. Alors E ( a X + b ) =a E ( X ) + b et V ( a X + b ) =a 2 V ( X ) , donc σ ( a X + b ) =∣a∣σ ( X ) 3. Répétition d'expériences identiques et indépendantes On s’intéresse aux familles françaises de deux enfants et on cherche la probabilité qu'une famille, prise au hasard, ait exactement deux filles. En France, il y a à la naissance, environ 105 garçons pour 100 filles. On supposera que la probabilité qu'un nouveau né soit une fille est 0,48. 3.1. Une répétition d'expériences On modélise une naissance dans une famille par une expérience E à deux issues : F : « avoir une fille » ; G : « avoir un garçon ». On suppose que le sexe du premier enfant n'influe pas sur celui du second, autrement dit que les naissances sont indépendantes ; La situation proposée peut alors être considérée comme deux répétitions de l'expérience E de façon identique et indépendante. 3.2. Représentation par un arbre On considère un arbre pondéré. C'est à dire que sur chaque branche, on indique la probabilité de l'issue correspondante. Ici on connaît P ( F ) =0 , 48 et on en déduit P ( G ) =P ( F ) =1−P ( F ) =0 , 52 F 0,48 F 0,52 0,48 G 0,52 F 0,48 G 0,52 G 3.3. Modélisation : choix d'une loi de probabilité Dans le cas d'une répétition d'expériences identiques et indépendantes, représentés par un arbre pondéré. • On choisit la loi de probabilité suivante : la probabilité d'un événement correspondant à un chemin sur un arbre est obtenue en multipliant les probabilités portées par ses branches. • La probabilité d'un événement correspondant à plusieurs chemins est alors obtenue en ajoutant les probabilités des événements correspondants à chaque chemin, puisque ceux-ci sont incompatibles. Exemple Déterminons la probabilité de l’événement : « avoir une fille et un garçon ». L’événement : « avoir une fille et un garçon » correspond à deux chemins sur l'arbre représentants les événements FG et GF incompatibles. P ( FG ) + P ( GF )=0 , 48×0 , 52+ 0 , 52×0, 48=0 , 4992≈0 , 5 À 10−3 près.