le cours de mecanique des mileux continus de 2eme annee a l

Chapitre II
Sollicitations des milieux continus
OBJET
On décrira dans ce chapitre les déformations et les vitesses de déformations
d’un milieu continu lorsqu’il est sollicité par des efforts externes. Puis on
introduira la notions d’efforts internes dans un milieu continu, qui peuvent
être décrits par le tenseur des contraintes.
SOMMAIRE
1.
Déformation d’un milieu continu.................................................................................. 21
1.1
Exemples de sollicitations simples ....................................................................... 21
1.2
Étude tridimensionnel des déformations............................................................... 25
1.3
Tenseur des déformations linéarisé....................................................................... 29
1.4
Applications à des sollicitations simples ............................................................. 31
1.5
Représentation du tenseur des déformations linéarisé.......................................... 33
2.
Tenseur des vitesses de déformation............................................................................ 34
3.
Conditions de compatibilité.......................................................................................... 35
2.
Efforts appliqués au milieu continu.............................................................................. 36
5.
6.
1.
4.1
Exemples de sollicitations simples ....................................................................... 36
4.2
Vecteur contrainte................................................................................................. 37
4.3
Tenseur des contraintes de Cauchy...................................................................... 38
4.4
Pression hydrostatique - Déviateur des contraintes............................................. 40
Diagonalisation d’un tenseur symétrique ..................................................................... 41
5.1
Invariants d’un tenseur symétrique...................................................................... 41
5.2
Invariants utilisés en mécanique des milieux continus.......................................... 44
Représentation de Mohr des contraintes...................................................................... 46
6.1
Principe de la représentation de Mohr ................................................................. 46
6.2
Propriétés du diagramme de Mohr ....................................................................... 50
1. Déformation d’un milieu continu
1.1 Exemples de sollicitations simples
a) Traction/compression d’une barre monodimensionnelle
Considérons l’allongement ou le raccourcissement d’une barre de longueur initiale lo dans
la direction x jusqu’à une longueur l = lo + ∆l (cf. figure 1). La dimension de la section droite
de la barre est négligeable par rapport à sa longueur. La barre est fixée à l’une de ses
extrémités (x=0). On suppose que la déformation que subit la barre est identique en tout
point (homogène).
lo
t=0
0
∆l
x
l
t>0
0
x
U(x)
( )
U lo
Fig. 1 - Allongement d’une barre en traction
Pour définir la notion de “déformation”, l’allongement ∆l = l − lo ne convient pas. En effet,
une barre de longueur 2lo subissant la “même déformation” s’allongerait de 2∆l. Il convient
mieux d’utiliser l’allongement relatif, soit:
21
ε=
∆l
( en %)
lo
(1)
avec ε déformation en traction/compression. Comme la déformation est identique tout le
long de la barre (homogène), le déplacement U des points d’abscisses x s’exprime
simplement :
()
U x = ∆l
x
lo
(2)
En effet, on retrouve bien qu’en :
4.4 x=0 :
U(x)=0
(le déplacement est nul à l’extrémité fixe)
5.4 x= lo :
U(x) = ∆l
(le déplacement est maximum à l’extrémité libre)
D’après (2), on montre ainsi que :
dU ∆l
dU
=
⇒ε=
dx lo
dx
(3)
On obtient une autre définition de la déformation en traction (compression) à partir du
déplacement.
b) Cisaillement simple
Une plaque de section carrée de côté h dans le plan Oxy est cisaillée d’une distance a suivant
x comme le montre la figure 2.
22
y
a
a
à t=0
Mo •
U
•
à t>0
M
h
0
h
x
Fig. 2 - Déformation en cisaillement simple
( )
On suppose que la déformation de la plaque est homogène. Un point Mo x ,0 de la plaque
r
au repos se déplace en M. La composantes U du champ de déplacement U = MoM se
calculent en exprimant la tangente, soit :
U a
=
y h
On en déduit :

a
U( y ) = y

h
 V = 0
(4)
D’où une autre définition de la déformation en cisaillement simple γ :
γ=
dU a
=
dy h
(5)
23
c) Cisaillement pure
Une plaque de section carrée de côté h dans le plan Oxy est cisaillée à 45° d’une distance a
suivant x et y comme le montre la figure 3.
y
a
à t=0
Mo
à t>0
′ U
h
•
• M’
M
•
V
0
h
•
M U
o
a
x
Fig. 3 - Déformation en cisaillement pur
( )
On suppose que la déformation de la plaque est homogène. Un point Mo x ,0 de la plaque
( )
au repos se déplace en M. Un point Mo′ 0, y de la plaque au repos se déplace en M’. Les
r
composantes U et V du champ de déplacement U se calculent en exprimant la tangente,
soit :
U a
=
y h
V a
=
x h
()
a
y
h
a
⇒ Vx = x
h
⇒ Uy =
()
(4)
D’où une autre définition de la déformation en cisaillement pure γ ′ :
γ′ =
dU dV a
=
=
dy dx h
(5)
24
1.2 Étude tridimensionnel des déformations
r
Soit U = U, V, W champ de déplacement; on a vu précédemment que la définition de la
(
)
déformation fait intervenir les dérivées de U, V, W par rapport à x, y, z, autrement dit leurs
gradients.
Mo
Ωo
Po
dx
o
r
U
z
r
xo
M
r
x
0
P
dx
Ωt
y
x
Fig. 4 - Déformation (cas général) – Variables de Lagrange
Le milieu étant déformable, on va chercher à évaluer les déformations autour du point
matériel Mo en analysant localement le mouvement. Pour cela, regardons comment
o
s’exprime le transformé du vecteur infinitésimal dx défini par le bipoint MoPo dans la
configuration de référence Ωo (fig.4).
r r
Par définition du champ de déplacement U x o , t en variables de Lagrange, on a pour chaque
( )
composante i :
r
x i = x oi + Ui x o , t
(
)
avec i = 1, 2, 3
25
Soit encore en différentiant :
dx i = dx oi +
∂Ui
∂x oj
dx oj (1)
Ou encore en écriture vectorielle :
r
dx = I + ∇U dx o
(
)
(6)
 1 0 0
r
avec I =  0 1 0 tenseur identité et ∇U tenseur du second ordre gradient du déplacement


 0 0 1
tel que :
 ∂U
 o
 ∂x
r  ∂V
∇U = 
o
 ∂x
 ∂W
 o
 ∂x
∂U
∂y o
∂V
∂y o
∂W
∂y o
∂U 

∂zo 
∂V 

∂zo 
∂W 

∂zo 
(7)
Le tenseur gradient ou application linéaire tangente, noté F, qui définit localement la
transformation des bipoints matériels s’exprime :
r
F = I + ∇U
(8)
Alors d’après (6) :
(1)
On utilise à nouveau la convention de sommation d’Einstein
26
dx = F ⋅ dx o
(9)
Problème: On fait subir à une plaque une rotation sans déformation d’un angle θ (voir figure
r
5). Si le tenseur gradient du déplacement ∇U ou le tenseur gradient F, représentent la
déformation dans le cas d’un mouvement de rotation de corps rigide, ils doivent s’annuler.
y
θ
M
•
0M
U
θ
•
V
M
( )
o x, y
0Mo
θ
0
x
Fig. 5 - Rotation d’une plaque
( )
(
)
Le vecteur 0Mo x , y subit une transformation par rotation jusqu’au vecteur 0M x ′, y ′ .
Soit :
 x ′  cos θ − sin θ  x
 =
 
 y ′  sin θ cos θ   y
En effectuant le produit matrice-vecteur, on obtient :
x ′ = x cos θ − y sin θ
y ′ = x sin θ + y cos θ
27
r
Le vecteur déplacement U = MoM = 0M − 0Mo s’exprime donc d’après la relation
précédente :
(
)
V = x sin θ + y(cos θ − 1)
U = x cos θ − 1 − y sin θ
(10)
Si maintenant on fait l’hypothèse d’une petite rotation ( θ → 0 ), alors on peut effectuer un
développement limité au premier ordre des sinus et cosinus, soit :
U ≅ − yθ
V ≅ xθ
r
Nous pouvons maintenant calculer le tenseur gradient du déplacement ∇U à partir de la
relation précédente, soit :
 0 −θ 0
r
∇U =  θ 0 0 ≠ 0


 0 0 0
Le tenseur gradient de déplacement n’est pas identiquement nul ! ! Il ne représente donc pas
la déformation d’un milieu continu, pas plus que F.
Pour définir la déformation, on va plutôt évaluer la variation de longueur entre deux points
matériels avant déformation dx o et après déformation dx (cf. fig. 4). Ainsi, d’après la
relation (9), on a :
2
dx
(
)(
)
t
= dx ⋅ dx = F dx o ⋅ F dx o = dx o  F F dx o


28
t
Avec F transposé du tenseur F. On a donc :
2
dx
− dx o
2
t
= dx o  F F − I dx o


La différence des longueurs avant et après déformation fait apparaître deux nouveaux
tenseurs du second ordre symétriques, définis en variables de Lagrange. L, tenseur des
déformations de Green-Lagrange, et C tenseur de Cauchy (ou encore des dilatations) tels
que :
L=
(
1
C−I
2
)
t
avec C = F F
(11)
Le tenseur des déformations de Green-Lagrange est bien identiquement nul dans un
(
)
mouvement de corps rigide C = I .
1.3 Tenseur des déformations linéarisé
r
En faisant intervenir le champ de déplacement U = U, V, W à l’aide de la relation (8), on
(
)
obtient encore :
L=
r
1  t r 
I
+
∇
U
I
U
− I
⋅
+
∇



2

(
)
Soit finalement :
29
r
1 r t r
1 t r
L =  ∇U+ ∇U +  ∇U ⋅ ∇U
 2

2
(12)
Ou encore en notation indicielle :
1  ∂U ∂U j  1 ∂Uk ∂Uk
L ij =  i +
+
2  ∂x j ∂x i  2 ∂x i ∂x j
L’expression du tenseur des déformations L en fonction du champ de déplacement (12)
comporte des termes non-linéaires, lesquels peuvent compliquer sérieusement les calculs. En
mécanique des solides déformables, il arrive souvent que les déformations soient petites
(inférieures à 5 %). On introduit alors le tenseur des déformations linéarisé, noté ε, comme
suit:
 ε xx
1 r t r 
ε = ∇U+ ∇U = ε xy
 
2
ε
 xz
ε xy
ε yy
ε yz
ε xz 
ε yz 

ε zz 
(13)
( x, y, z )
Dont les composantes s’expriment :
ε ij =
1  ∂Ui ∂U j 
+
2  ∂x j ∂xi 
U = U, V, W
avec  i
 xi = x, y , z
Le tenseur des déformations linéarisé ε est aussi un tenseur symétrique. D’après (12), il
vient :
30
r
1 t r
L = ε +  ∇U ⋅ ∇U

2
(14)
Si on fait l’hypothèse des transformations infinitésimales, alors on peut négliger les termes
du second ordre dans l’expression (14) du tenseur de Green-Lagrange, qui se réduit au
tenseur des déformations linéarisé, soit :
L ≅ ε si
r
∇U 〈〈1
(15)
1.4 Applications à des sollicitations simples
Les tenseurs des déformations linéarisé et de Green-Lagrange sont calculés dans le tableau
ci-après, pour les cas de sollicitations simples du paragraphe 1.1. On posera :
ε=
∆l
lo
γ=
(
i, j
L − ε = ∑ L ij − ε ij
)
a
h
2
On notera que pour la traction/compression, le cisaillement simple ou pure, l’erreur
commise en utilisant le tenseur des déformations linéarisés ε est bien du second ordre. En
revanche, pour le cas de la rotation d’une plaque rigide, on confirme bien que le tenseur ε
n’est pas licite pour des grandes rotations. D’autre part, on remarque que pour le cas d’une
petite rotation, le champ de déplacement étant approché, on obtient un tenseur des
déformations L approché, c’est-à-dire non nul ! !
31
Type de
Champ de
Tenseur des
Tenseur des
Erreur
déformation
déplacement
déformations
déformations L
L−ε
Linéarisé ε
Traction/
compression
U( x ) = εx
V=0
W=0
 ε 0 0
ε =  0 0 0


 0 0 0
U( y ) = γy
V=0
W=0

0

γ
ε=
2
0


d’une barre
1D
Cisaillement
simple d’une
plaque
carrée
Cisaillement
pur d’une
plaque carré
Rotation
d’une plaque
U( y ) = γy
V( x ) = γx
W=0
(

0


0

0



0


γ
L=
2
0


 0 γ 0
ε =  γ 0 0


 0 0 0
 γ2
 2

L= γ

 0



 cos θ − 1
)
ε= 0

V = x sin θ + y(cos θ − 1)
 0
U = x cos θ − 1 − y sin θ
γ
2
0
0
0
0
cos θ − 1 0

0
0
rigide
Petite
Rotation
d’une plaque
rigide
(θ → 0 )
U( x , y ) ≅ − yθ
V( x , y ) ≅ xθ
W=0

ε2
ε + 2

L= 0
 0


 0 0 0
ε =  0 0 0


 0 0 0

0 0

0 0
0 0


γ
2
γ2
2
0
γ
γ2
2
0

0


0

0


γ2
2

0

0

0



γ2
 0 0 0
L =  0 0 0


 0 0 0
 θ2
 2

L= 0

 0



0
θ2
2
0
ε2
2

0

0

0



2
2 cosθ − 1
θ2
2
32
1.5 Représentation du tenseur des déformations linéarisé
Une illustration des composantes du tenseur des déformations linéarisé est donnée sur la
figure 6 qui représente les déformations élémentaires (allongement dans une direction) d’un
volume élémentaire.
3
3
ε11
2
2
1
1
6-a – Allongement dans la direction 1
3
3
ε 22
2
2
1
1
6-b – Allongement dans la direction 2
3
3
ε 33
2
2
1
1
6-c – Allongement dans la direction 3
33
2. Tenseur des vitesses de déformation
Un milieu continu peut être déformé plus ou moins rapidement, d’où la notion de vitesse de
déformation (ou plutôt de taux de variation de la déformation dans un intervalle de temps
.
donnée dt). On définit alors le tenseur vitesse de déformation =ε comme suit:
ε˙ = lim
dt → 0
ε (t + dt ) − ε (t )
dt
(16)
Entre les instants t et t + dt, si on considère la transformation infinitésimale, le champ de
déplacement s’exprime:
r r
dU = vdt
r
Avec v champ de vitesse. D’après (13), on en déduit:
1 r t r
ε( t + dt ) − ε( t ) =  ∇v + ∇v dt

2
Cette relation n’est applicable que si les déformations et les déplacements restent infiniment
petits. Finalement, on obtient l’expression du tenseur vitesse de déformation :
. 1  r t r
ε
= = 2  ∇v + ∇v
(17)
C’est un tenseur Eulérien dont les composantes s’expriment:
34
.ε
ij =
v = u , v , w
1  ∂v i ∂v j 
+
avec  i


2  ∂x j ∂x i 
 x i = x, y, z
.
Remarque : On notera que si on exprime la trace du tenseur =ε , c’est à dire la somme des
termes diagonaux, on trouve en coordonnées cartésiennes :
. ) = ∂u + ∂v + ∂w = ∇r ⋅ vr
tr(ε
= ∂x ∂y ∂z
(18)
Pour un écoulement incompressible (cf. chapitre I, paragraphe 4.5-a), on aura donc :
r r
.
∇ ⋅ v=tr(ε
= )=0
(19)
3. Conditions de compatibilité
r
On a vu que la donnée d’un champ de déplacement U (trois composantes) ou d’un champ
r
de vitesse v (trois composantes) permettait de définir un tenseur des déformations ε ou un
.
tenseur des vitesses de déformation =ε symétriques (six composantes). Inversement, si on se
donne une tenseur symétrique quelconque, il faut des relations entre ses composantes pour
qu’il puisse être un tenseur des déformations ou des vitesses de déformation. Ces relations
.
sont appelées conditions de compatibilité. Soit D = ε ou ε alors on peut montrer qu’il doit
=
impérativement satisfaire les six relations suivantes :
r
∆D + ∇ ∇ tr D
r
r
t
= ∇ ∇⋅D + ∇ ∇⋅D
{ ( ( ))} ( ) ( )
(20)
35
2. Efforts appliqués au milieu continu
4.1 Exemples de sollicitations simples
a) En traction (compression)
On applique une force de traction F sur un cylindre de surface droite S (fig. 7).
F
F
S
S
Fig. 7 - Contrainte de traction
Cette force induit une contrainte σ appliquée à la surface S qui s'exprime:
σ=
F
S
b) En cisaillement
Une force F appliquée tangentiellement à une surface S latérale (cf. fig. 8) induit une
contrainte de cisaillement ou cission /
τ=
F
S
36
S
F
F
Fig. 8 - Contrainte de cisaillement
4.2 Vecteur contrainte
Soit Ω un domaine matériel. On se propose de définir les efforts intérieurs à Ω. Si on
partitionne Ω en deux sous-domaines Ω1 et Ω 2 (cf. fig. 9), une surface de coupure S
apparaît. Une surface élémentaire dS est le siège de forces de liaisons égales et opposées
(principe d’action-réaction). Considérons une force dF s'exerçant sur un élément de surface
r
r
dS de normale unitaire n au point M. Par convention, la normale n à la surface est orientée
vers l'extérieur de la partie du milieu qui subit la contrainte.
r
Le vecteur des contraintes T (forces de cohésion par unité de surface) au point M a été
défini par Cauchy:
r
r r
r
dF
T M, n = T n = lim
ds→0 dS
(
)
()
(21)
σn
r
n
Ω2
S
Ω1
r
dF = TdS
M
dS τ
Ω1
Fig. 9 – Coupure dans un milieu continu - Contraintes s'appliquant sur la surface S
37
r
Au point M, sur une facette de normale n donnée (cf. fig. 9), le vecteur contrainte se
décompose comme suit:
r r
r
r
T (n ) = σ n n + τ t
(22)
r
rr
r
Avec σ n = T.n , contrainte normale (projection de T suivant la normale n), et
r
r r r
r
r
τ = T ⋅ t = T − σ n n = T 2 − σ 2n , contrainte tangentielle ou cission (projection de T
r
r
suivant le vecteur tangent t ). La contrainte normale σ n est positive lorsque T est de même
r
sens que n, traduisant un état local de traction de la matière. À l’inverse σ n négatif traduit
un état de compression. En résumé :
σ n > 0 : traction
σ n < 0 : compression
4.3 Tenseur des contraintes de Cauchy
Le vecteur contrainte ne peut pas caractériser l'état des contraintes en un point puisqu'il
r
dépend de la facette considérée, donc de la normale n. Ainsi, la traction simple d'un cylindre
induit une tension sur une facette perpendiculaire à la direction de traction mais n'induit
aucune contrainte sur une facette parallèle (voir fig. 10).
F
F
Fig. 10 - Vecteur contrainte et facette
38
r
r
L'état des contraintes est donc plutôt caractérisé par la relation entre T et n. On définit
alors le tenseur des contraintes de Cauchy σ au point M qui relie de manière matricielle le
vecteur contrainte et la normale:
r
r
T = σ⋅n
(23)
En coordonnées cartésiennes, σ s’exprime matriciellement :
 σ xx
σ =  σ yx

σ
 zx
σ xy
σ yy
σ zy
σ xz 
σ yz 

σ zz 
( x, y, z )
Les trois composantes σxx, σyy, σzz (sur la diagonale) sont appelées contraintes normales,
les 6 composantes σxy, σxz, σyx, σyz, σzx, σzy (hors de la diagonale) sont les contraintes de
cisaillement (cf. fig. 11).
Fig. 11 - Contraintes s'appliquant sur les facettes d'un cube
 1
r
Ainsi, sur la facette de normale n x =  0 orientée suivant l’axe ox, on a:
 
 0
39
 σ xx
r r
r
T n x = σ ⋅ n x =  σ yx

σ
 zx
( )
σ xy
σ yy
σ zy
σ xz   1  σ xx 
σ yz  ⋅  0 =  σ yx 
   

σ zz   0  σ zx 
Par ailleurs, on démontrera au chapitre III que le tenseur σ est symétrique.
4.4 Pression hydrostatique - Déviateur des contraintes
On peut toujours décomposer le tenseur des contraintes en une partie sphérique et une
partie déviatorique de la manière suivante:
 −p 0
0
σ =  0 − p 0  + s = − pI +
s


{
{
0 − p
sphérique déviatorique
 0
(24)
Avec s déviateur des contraintes défini comme un tenseur dont la trace est nulle (somme des
()
termes diagonaux : tr s = 0), p pression hydrostatique (par exemple pression dans un
fluide parfait), I tenseur identité. En calculant la trace de σ à partir de l’égalité (24), on a:
()
()
()
1
tr σ = −3p + tr s = −3p ⇒ p = − tr σ
3
Ce qui donne l’expression directe de s à partir de σ:
()
1
s = σ − tr σ I
3
(25)
40
Exemples :
− traction uniaxiale suivant x:
 σ xx
σ= 0

 0
0 0
σ
0 0
⇒ p = − xx

3
0 0
( x, y, z )
 2σ xx
 3

, s= 0

 0


0
−
σ xx
3
0



0 

σ xx 
−

3 
0
− cisaillement simple sous une pression hydrostatique p:
 −p τ
 0 τ 0
0


σ = τ −p 0
⇒ s =  τ 0 0




0 − p
0 0 0
 0

( x, y, z )
Le tenseur s représente la partie “cisaillement” ou déviatorique du tenseur σ.
5. Diagonalisation d’un tenseur symétrique
5.1 Invariants d’un tenseur symétrique
Soit M un tenseur d’ordre 2 symétrique dont les composantes s’expriment matriciellement :
 M11 M12 M13 
M =  M12 M22 M23


 M13 M23 M33
41
Il existe un repère particulier, dans lequel M est diagonal, soit :
 λI
M= 0

0
0
λ II
0
0 
0 

λ III 
λ I , λ II , λ III sont les valeurs propres (ou principales). La symétrie du tenseur impose que
ces valeurs propres soient réelles. Le repère, défini par les directions des vecteurs propres,
qu’on désigne en général en mécanique par directions principales, est appelé repère
principal. Ainsi :
− Si M = ε :
ε I , ε II , ε III sont les dilatations principales
− Si M = σ :
σ I , σ II , σ III sont les contraintes principales
Par construction, les valeurs principales sont intrinsèques à la grandeur tensorielle en un
point, autrement dit indépendantes du repère. Elles sont solutions de l’équation
caractéristique suivante :
λ3 − I I λ2 + I II λ − I III = 0
Avec I I , I II , I III les invariants du tenseur diagonalisé tels que :
I I = λ I + λ II + λ III
I II = λ I λ II + λ II λ III + λ III λ I
(26)
I III = λ I λ II λ III
42
On notera que I I correspond à la trace du tenseur (somme des termes diagonaux) et I III au
déterminant du tenseur diagonalisé.
On peut construire un deuxième ensemble d’invariants I1 , I 2 , I 3 qui s’expriment directement
à partir des composantes du tenseur M :
( )
I1 = M11 + M22 + M33 = tr M
I2 =
1
1
2
2
∑ Mij = tr  M 
2 ij
2
I3 =
1
1
3
∑ Mij M jk Mki = tr  M 
3 ijk
3
(27)
Ce deuxième ensemble d’invariants se déduit du premier par les relations suivantes :
I1 = I I
2I 2 = I I2 − 2I II
(28)
3I 3 = 3I III − 3I I I II + I I3
Enfin, on peut définir un troisième ensemble d’invariants basé sur le déviateur du tenseur
( )
1
symétrique S = M − tr M I , soit :
3
()
J1 = S11 + S22 + S33 = tr S = 0
J2 =
1
1
2
2
∑ Sij = tr  S 
2 ij
2
J3 =
1
1
3
∑ Sij Sjk Ski = tr  S 
3 ijk
3
(d' après la définition de S)
(29)
Par ailleurs, on peut montrer les relations suivantes :
43
J1 = 0
I12
3
1
J 3 = I3 +
2I13 + 3I1I 2
27
J 2 = I2 +
(
(30)
)
5.2 Invariants utilisés en mécanique des milieux continus
Les invariants les plus utilisés sont :
• La trace I1
− La pression hydrostatique :
( )
I1 σ
1
p = − tr σ = −
3
3
( )
.
1 dρ
− Le taux de variation volumique : tr(ε
= ) = − ρ dt
.
On a montré (chapitre I) que pour un milieu continu incompressible, tr(ε
= )= 0. Ainsi :
.
I1(ε
= )=0
• Le deuxième invariant J 2 ou I 2 :
Il caractérise en un seul nombre l’intensité scalaire de la grandeur tensorielle. On peut donc
voir J 2 comme la norme quadratique du déviateur S du tenseur M.
6.4 En théorie de la plasticité, on utilise ainsi :
44
()
J2 s =
1
3
σo
Celle relation permet de définir le critère de Von Mises ( σo est appelé contrainte
d’écoulement ou encore limite d’élasticité). Ces notions seront approfondies dans la
deuxième partie du cours en théorie de l’élasticité. On définit aussi la vitesse de déformation
généralisée :
−.ε = 2
3
∑.
.
2
3
I2(ε
=) =
ε 2ij
i,j
7.4 En rhéologie des polymères, on définit le taux de cisaillement généralisé
−γ. =2
.
I2(ε
=) =
∑.
ε 2ij
2
i,j
.
Dont la définition est très proche de la vitesse de déformation généralisée. −γ est utilisé pour
définir des lois de comportement rhéologiques de fluides non-newtoniens.
• Le troisième invariant J 3 :
On rencontre beaucoup d’écoulements pour lesquels J 3 est nul. On peut citer par exemple
des écoulements plans ou viscométriques.
45
6. Représentation de Mohr des contraintes
6.1 Principe de la représentation de Mohr
r
En un point M du système, à tout vecteur unitaire n en M est associé un vecteur contrainte
r r
r
T n correspondant à la facette en M de normale n (cf. fig. 12). On va étudier la variation
r r
r
r
de T n en fonction de n en représentant le vecteur T dans le plan σ n , τ dit de Mohr.
()
()
(
)
Autrement dit, la représentation de Mohr est une représentation plane des contraintes en un
point du matériau.
r
n
z
r
t
σn
τ
r r
Tn
()
M
τ
σn
0
T
0
y
x
- Espace physique -
- Espace de Mohr -
Fig. 12 – Représentation de Mohr
On rappelle (22) que le vecteur des contraintes peut toujours se décomposer en une
r
rr
r
contrainte normale σ n = T.n (projection de T suivant la normale n) et une contrainte
r
r
r r
r
tangentielle ou cission τ = T ⋅ t = T 2 − σ 2n (projection de T suivant le vecteur tangent t ),
soit :
46
r r
r
r
T (n ) = σ n n + τ t
r
r
t est le vecteur tangent à la facette appartenant au plan défini par la normale n et le vecteur
r
r r r r
des contrainte T, tel que la base n , t , n ∧ t ait même orientation que l’espace physique.
(
)
(
On représente le vecteur des contraintes par un point T σ n , τ
)
du plan de Mohr.
Connaissant le tenseur σ au point M, on cherche à déterminer le domaine engendré, lorsque
r
n varie, par le point figuratif T de l’extrêmité du vecteur contrainte dans le plan de Mohr.
r r r
Pour faciliter les calculs, on fait l’étude dans le repère principal 0, e I , e II , e III tel que :
(
σ I ≥ σ II ≥ σ III
)
(31)
σ I , σ II , σ III étant les contraintes principales (cf. 5.1). Soit donc un vecteur normal unitaire
r
n α, β, γ ; si on exprime que sa norme doit être égale à un 1, on obtient une première
(
)
relation :
α 2 + β2 + γ 2 = 1
(32)
Dans le repère principal, le vecteur des contraintes a pour expression :
r
T = ασ I , βσ II , γσ III
(
)
Utilison la définition des contraintes normale et tangentielle et l’égalité précédente, soit :
rr
σ n = T.n ⇔ σ n = α 2σ I + β 2σ II + γ 2σ III
(33)
r r
r
τ = T ⋅ t = T 2 − σ 2n
(34)
⇔ τ 2 = α 2σ 2I + β 2σ 2II + γ 2σ 2III − σ 2n
47
On obtient donc le système linéaire suivant sous forme matricielle, avec pour inconnues
(α , β , γ ) :
2
 1
σ
 2I
 σI
2
1
σ II
σ II2
2
1   α2  1 
 
σ III  ⋅  β 2  =  σ n 

 2

2   2
2
σ III
  γ   τ + σn 
(35)
D’après la règle de Cramer, la solution du système est :
σ n − σ II )(σ n − σ III ) + τ 2
(
α =
(σ I − σ II )(σ I − σ III )
σ n − σ III )(σ n − σ I ) + τ 2
(
2
β =
(σ II − σ I )(σ II − σ III )
(σ n − σ I )(σ n − σ II ) + τ 2
γ2 =
(σ III − σ I )(σ III − σ II )
2
On a intérêt à réaggancer ces trois égalité comme suit :
2

σ II + σ III 
2  σ II − σ III 
 σn −
 +τ −

2
2




2
α =
σ I − σ II σ I − σ III
(
)(
)
2

σ I + σ III 
2  σ I − σ III 
 σn −
 +τ −

2
2




2
β =
σ II − σ I σ II − σ III
(
)(
)
2

σ I + σ II 
2  σ I − σ II 
 σn −
 +τ −

2 
2 


2
γ =
σ III − σ I σ III − σ II
(
)(
2
2
(36)
2
)
48
On fait ainsi apparaître au numérateur l’équation de trois cercles Cα , Cβ et Cγ de centres

σ II + σ III 
, 0 ;
 σ nα =
2


Rα =

σ I + σ III 
, 0 ;
 σ nβ =
2



σ I + σ II 
, 0
 σ nγ =
2


et
de
rayons
σ II − σ III
σ − σ III
σ − σ II
; Rβ = I
; Rγ = I
respectivement. D’après (31), on a fait
2
2
2
l’hypothèse que σ I ≥ σ II ≥ σ III ; alors pour que les solutions (36) soient acceptables, il faut
s’assurer que α 2 ≥ 0 , β 2 ≥ 0 et γ 2 ≥ 0 , c’est à dire véfifier les inégalités suivantes :
(σ n − σ nα )2 + τ 2 ≥ R α2
(σ n − σ nβ ) + τ 2 ≤ Rβ2
2
(σ n − σ nγ ) + τ 2 ≥ R γ2
2
(37)
r
Ainsi pour toute facette, le point figuratif T de l’extrêmité du vecteur des contraintes T se
trouve à l’extérieur des deux cercles Cα et Cγ et à l’intérieur du grand cercle Cβ (cf. fig.13,
en jaune). Le plus grand des trois cercles Cβ est appelé cercle de Mohr.
Cβ
τ
T
Cγ
Cα
Rγ
Rα
σ nα
σ III
0
σ nβ
σ nγ
σ II
σn
σI
Rβ
Fig. 13 – Tricercle de Mohr
49
Cette représentation du tenseur des contraintes s’appelle encore diagramme de Mohr ou
tricercle de Mohr.
Remarque :
− Si deux contraintes principales sont égales, le domaine est dégénéré en la frontière d’un
cercle.
− Si les trois contraintes principales sont égales, le tenseur des contraintes est isotrope, et
le diagramme de Mohr dégénère en un point de l’axe σ n .
6.2 Propriétés du diagramme de Mohr
La représentation graphique montre que la contrainte tangentielle maximale est en valeur
absolue égale au rayon du grande cercle Cβ (fig. 13) :
τ
max
=
(
1
σ I − σ III
2
)
(38)
Étudions maintenant la description d’un cercle de Mohr, par exemple la grand cercle Cβ .
Son centre et son diamètre sont calculés à partir des contraintes principales σ I et σ III .
r r r
Donc dans le repère principale 0, e I , e II , e III , il est décrit pour les facettes qui tournent
(
r
autour de e II (cf. fig. 14, en rouge).
)
50
r
e III
τ
+
r
t
r
T
r
n
σn
θ
r
eI
τ
M
σ III
r
e II
θ
-2θ σ nβ
σ
M
r
eI
I
σn
T
r
e III
(a)
(b)
(
)
Fig. 14 – (a) Repère principal θ < 0 - (b) Cercle de Mohr associé à la facette
r
r
r r
La normale n et la tangente t associé à cette facette évolue dans le plan e I , e III ; notons θ
r
r
l’angle entre n et e I (fig. 14-a). Alors on a :
(
)
r
r
r
n = cos θ e I + sin θ e II
r
r
r
t = − sin θ e I + cos θ e II
Le vecteur contrainte associé à cette normale s’exprime :
σ
r  I
T= 0

0
0
σ II
0
0   cos θ  σ I cos θ 
0  ⋅ 0  = 
0 
 
 

σ III   sin θ   σ III sin θ
Ainsi on a :
r r
T ⋅ n = σ n = σ I cos2 θ + σ III sin 2 θ
51
r r
T ⋅ t = τ = − σ I cos θ sin θ + σ III sin θ cos θ
Soit encore :
σ I + σ III σ I − σ III
+
cos 2θ
2
2
σ − σ III
τ=− I
sin 2θ
2
σn =
(39)
Puisque :
1 + cos 2θ
2
1 − cos 2θ
sin 2 θ =
2
sin 2θ = 2 sin θ cos θ
cos2 θ =
On montre ainsi que lorsque la facette tourne de θ , le point représentatif T décrit le cercle
de diamètre σ I − σ III avec un angle au centre de −2θ .
Propriété : Lorsque la facette tourne autour d’une direction de contrainte principale (par
r
exemple e II ) d’un angle donné, alors l’extrêmité du vecteur contrainte tourne sur le cercle
principal associé (de diamètre σ I − σ III dans le plan de Mohr) d’un angle double dans le
sens opposé autour du centre du cercle.
52