Chapitre 9 : Equations

9. Les équations
1. Notion d’équations
Activité d'introduction : Manon et Tom choisissent tous les deux un nombre (le même). Manon le
multiplie par 9, puis soustrait 20 au résultat. Tom multiplie le nombre par 4 puis ajoute 15 au
résultat. Après leurs calculs, Manon et Tom trouvent le même nombre.
A l’aide d’un tableur, détermine le nombre que Manon et Tom ont choisi au départ. → 7
Indice : Dans la colonne A, afficher les nombres entiers de 0 à 30 (en écrivant 0 et 1 dans les
premières lignes et en étirant les cellules). Dans la colonne B, afficher le résultat de Manon (avec
une formule). Dans la colonne C, afficher le résultat de Tom (avec une formule).
Cette fois, Manon multiplie le nombre par 3, puis ajoute 5 et Tom multiplie le nombre par 10 puis
retire 1. Ils trouvent encore le même résultat. Quel nombre ont-ils choisi ? → 6/7
→ But : trouver une méthode pour trouver une solution qui n’est pas un nombre entier.
Définition : Une équation est une égalité comprenant un ou plusieurs nombres inconnus désignés
par des lettres. On appelle ces nombres les inconnues de l'équation.
Illustration : 5x – 3 = 4x + 2
et
3x² – 4y + 5 = 0
sont des équations.
Définition : Une solution de l'équation est une valeur de l'inconnue pour laquelle l'égalité est vraie.
Exemple : Vérifie que 5 est solution de l'équation 5x – 3 = 4x + 2.
→ 5 x 5 – 3 = 25 – 3 = 22
et
4 x 5 + 2 = 20 + 2 = 22, l'égalité est vraie, 5 est solution.
Définition : Résoudre une équation c'est trouver toutes les solutions de l'équation.
Exemple : Quelles équations faut-il résoudre dans l’activité d’introduction ? → 9x – 20 = 4x + 15
3x + 5 = 10x – 1
Remarque : Il arrive aussi qu’une équation n’ait aucune solution.
Exercices
2. Propriétés pour résoudre une équation
Activité d'introduction : Mathieu annonce : « Je pense à un nombre, je le multiplie par 2 et je
retranche 5 au résultat. J'obtiens 17 ».
Comment faire pour retrouver le nombre choisi au départ ?
-5
x2
17
…...
…...
17
Propriété (admise) : Lorsqu'on additionne ou qu'on soustrait un même nombre aux deux membres
d'une équation, on obtient une nouvelle équation qui a les mêmes solutions.
Exemple 1: Résous l'équation x – 8 = 4.
→ On ajoute 8 aux deux membres, on obtient alors x – 8 + 8 = 4 + 8, donc x = 12.
Exemple 2: Résous l'équation 3t = 2t – 1.
→ On retire 2t aux deux membres, on obtient alors 3t – 2t = 2t – 1 – 2t donc t = -1.
Propriété (admise) : Lorsqu'on multiplie ou qu'on divise par un même nombre non nul les deux
membres d'une équation, on obtient une nouvelle équation qui a les mêmes solutions.
z
Exemple 1: Résous l'équation
=3
5
z
On multiplie les deux membres par 5, on obtient alors
×5=3×5 , donc z = 15.
5
2
× y=6
Exemple 2: Résous l'équation
3
2
×y
3
6
2
3
On divise les deux membres par
, on obtient alors
, donc y=6× , y = 9.
=
3
2
2
2
3
3
Remarque : Après avoir résolu une équation, on peut vérifier les calculs en remplaçant l’inconnue
par le résultat trouvé.
Exemple 3: Résous l'équation 12x – (x – 5) = 4(x + 2) + 1.
1) On réduit chaque membre si nécessaire.
1) 12x – (x – 5) = 4(x + 2) + 1
12x – x + 5 = 4x + 8 + 1
11x + 5 = 4x + 9 (forme ax + b = cx + d)
2) On transforme l'équation pour avoir
l'inconnue dans un seul membre.
2) 11x + 5 – 4x = 4x + 9 – 4x
7x + 5 = 9
3) On trouve les valeurs possibles de l'inconnue. 3) 7x + 5 – 5 = 9 – 5
7x = 4
7x 4
=
7 7
4
x=
7
4) On vérifie et on conclut.
Exercices
4
44 35 79
4) D'une part, 11× +5= + =
7
7 7
7
4
16 63 79
D'autre part, 4× + 9= + =
7
7 7
7
4
Donc l'égalité est vraie pour x=
7
4
est la solution de l'équation
x=
7
12x – (x – 5) = 4(x + 2) + 1.
3. Résolution d'un problème
Manon et Éric ont des DVD. Manon a 15 DVD de plus qu'Éric. Si elle lui donne 3 DVD, elle aura
deux fois plus de DVD que lui. Combien de DVD Éric possède-t-il ?
1) Choix de l'inconnue.
2) Mise en équation du problème.
1) On cherche le nombre de DVD d'Éric, donc
x = le nombre de DVD d'Éric.
2) x + 15 = le nombre de DVD de Manon ;
x + 12 = le nombre de DVD de Manon si elle
en donne 3 ;
x + 3 = le nombre de DVD d'Éric si Manon
lui en donne 3.
Équation :
3) Résolution de l'équation.
4) Vérification du résultat.
5) Conclusion.
Exercices
x + 12 = 2(x + 3)
3) x + 12 = 2x + 6
x + 12 – x = 2x + 6 – x
12 = x + 6
12 – 6 = x + 6 – 6
x=6
4) D'une part, 6 + 12 = 18.
D'autre part, 2 x 6 + 6 = 12 + 6 = 18.
L'égalité est vraie pour x = 6.
5) Éric a donc 6 DVD.