Concavité / Convexité

Mathias André
École Polytechnique – Crest
M1 EPP 2009
Concavité / Convexité
Résumé de cours
MAT2.3
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sur les notions de concavité et de convexité des fonctions.
Définitions
Définition 1.1 On dit qu’une fonction f est convexe sur un intervalle I si et seulement si :
Définition:
∀(x1 , x2 ) ∈ I 2 , ∀λ ∈ [0, 1], f (λx1 + (1 − λ)x2 ) ≤ λf (x1 ) + (1 − λ)f (x2 )
Une fonction f(x) est une fonction convexe si, pour tous points x1 , x2 de son domaine et pour tout
On dit qu’une fonction f est concave sur un intervalle I si et seulement si −f est convexe.
λ , 0 < λ < 1,
Les cas stricts correspondent auxf mêmes
( λ x 1 + (définitions
1 - λ ) x 2 ) ≤avec
λ f des
( x 1 )inégalités
+ ( 1 - λ ) f strictes
( x 2 ) . pour 0 < λ < 1.
f est convexe signifie que la droite qui relie f (x1 ) à f (x2 ) est au-dessus de la courbe représentative
de f sur [x1 , x2 ], autrement dit que f est au-dessus de ses tangentes (si elles existent).
(Une
fonction
est strictement
convexe si la dernière inégalité est stricte, à savoir,
Définition 1.2 On dit qu’une fonction f est quasi-convexe sur un intervalle I si et seulement si :
f ( λ x1 + ( 1 - λ ) x 2 ) < λ f ( x1 ) + ( 1 - λ ) f ( x2 )
et
x1 ≠ x2 ) .
∀(x1 , x2 ) ∈ I 2 , ∀λ ∈ [0, 1], f (λx1 + (1 − λ)x2 ) ≤ max{f (x1 ), f (x2 )}
Similairement,
une fonction concave
est intervalle
définie de laImême
mais lesisens
est
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On dit qu’une fonction
f est quasi-concave
sur un
si etmanière
seulement
−f deestl'inégalité
quasi-convexe
.
renversé.
Les cas stricts correspondent aux mêmes définitions avec des inégalités strictes pour 0 < λ < 1.
f est quasi-convexe sur I est ainsi équivalent à
∀(x1 , x2 ) ∈ I 2 , ∀λ ∈ [0, 1], f (x1 ) ≤ f (x2 ) ⇒ f (λx1 + (1 − λ)x2 ) ≤ f (x2 )
Intuitivement, une fonction qui est décroissante puis croissante est quasi-convexe 2 .
Les graphiques ci-dessous donnent une représentation de ces définitions.
Exemples:
f(x)
f(x)
Fonction convexe
Fonction concave
f(x2)
f(x2)
f(λx1+(1-λ)x2)
λf(x1)+(1-λ)f(x2)
λf(x1)+(1-λ)f(x2)
f(λx1+(1-λ)x2)
f(x1)
f(x1)
x1
λx1 + (1 - λ)x2
x2
x
x1
λx1 + (1 - λ)x2
x2
x
1. Ne pas oublier que max−f = −minf .
2. C’est une propriété assez large, il y a donc « beaucoup » de fonctions quasi-convexes en économie. Ainsi, la plupart
des fonctions d’utilité « classiques » en économie le sont.
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Exemples:
f(x)
f(x)
Fonction Quasi Concave
Fonction pas Quasi Concave
f(x2)
f(x2)
f(λx1 + (1 - λ)x2)
f(x1)
f(λx1 + (1 - λ)x2)
f(x1)
x1
λx1 + (1 - λ)x2
x2
x1
x
λx1 + (1 - λ)x2
x2
x
Afin de distinguer convexe et quasi-convexe, considérons la fonction partie entière définie sur R par
x 7→ xxy où xxy est le plus grand entier plus petit que x. C’est une fonction en escalier constante sur les
intervalles de la forme [n, n+1[ où n ∈ N qui est quasi-convexe mais pas convexe (remarquer l’importance
• DIFFÉRENTIELLE TOTALE
des discontinuités).
Voilà enfin une définition moins fondamentale mais qui peut s’avérait être utile :
= f ( x ensemble
).
Définition 1.3 OnSoitdity qu’un
E est convexe si et seulement si
Alors dy = f ’ ( x ) dx est2la différentielle totale et on a dy ≠ ∆ y , i.e. dy est une approximation de
∀(x1 , x2 ) ∈ E , ∀λ ∈ [0, 1], λx1 + (1 − λ)x2 ∈ E
∆y = f ( x + ∆x ) - f ( x ) .
Intuitivement, cela signifie que si l’ensemble contient deux points, il contient le segment qui les relie 3 .
Cette définition est utile pour interpréter la propriété de convexité des préférences qui se traduit par le
fait que tout panier de bien faiblement préféré est convexe.
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Premières propriétés et applications
On se contentera de donner quelques propriétés dans le cas convexe, pour f concave il suffit de les
traduire avec g = −f . Se reporter à un cours de maths pour plus de détails et des démonstrations.
ë Sî f est dérivable sur I, alors f convexe si et seulement si f 0 croissante sur I. Sî f est deux fois
dérivable sur I, alors f convexe si et seulement si f 00 positive sur I.
ë Lemme des trois pentes :
(y)
(x)
≤ f (z)−f
f convexe si et seulement si ∀(x, y, z) ∈ I 3 , x < y < z ⇒ f (y)−f
y−x
z−y
ë Inégalité de Jensen :
Pn
Si f convexe sur I et (x1 , . . . , xn ) ∈ I n , (λ1 , . . . , λn ) ∈ [0, 1]n tels que i=1 λi = 1, alors
!
n
n
X
X
f
λ i xi ≤
λi f (xi )
i=1
i=1
ë Une somme pondérée de fonctions convexes est convexe. Une borne supérieure de fonctions convexes
est convexe. Si f (.) est convexe, x 7→ f (ax + b) l’est.
ë Toute fonction convexe est quasi-convexe. Toute fonction monotone est quasi-convexe.
ë Les fonctions quasi-convexes sont caractérisées par la convexité des ensembles de niveau : f quasiconvexe sur I si et seulement si ∀α ∈ R, {x ∈ I, f (x) ≤ α} est un ensemble convexe.
cf. microéconomie, Utillité et convexité des préférences : Si on considère des préférences sur
un ensemble X, une représentation numérique de ces préférences peut être donnée par toute fonction
U avec le domaine X et l’image dans R telle que x y ⇔ U (x) > U (y). Supposons que U soit une
représentation numérique des préférences , c’est-à-dire une fonction d’utilité. Alors U est quasi-concave
si et seulement si les préférences sont convexes ; U est strictement quasi-concave si et seulement si les
préférences sont strictement convexes (application de la dernière propriété).
3. Faire un dessin et remarquer que l’ensemble est assez « rond ».
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