Chapitre n°8 : « Symétrie axiale »

6ème
2009-2010
Chapitre n°8 : « Symétrie axiale »
I. Définition
1/ Activité
La symétrie est un principe assez naturel.
On trouve des symétries chez l'homme, les animaux ; dans les objets...
Pour avoir « symétrie », il faut de la perpendicularité et des distances égales. Mais précisons
cela...
2/ A retenir
Construction à l'équerre et au compas
Définition
A et A' sont symétriques par rapport à un axe d  si :
• d  et  AA'  sont perpendiculaires ;
• d  passe par le milieu du segment [ AA' ] .
(définition à connaître parfaitement par cœur !!!)
Méthode de construction (description)
On suppose que l'axe d  et le point A sont déjà tracés.
• Avec l'équerre, on trace la perpendiculaire à d  passant par A . Elle coupe d  en
I.
• Avec le compas, on prend l'écartement AI . Ensuite, on pointe sur I pour faire un
arc de cercle qui croise la perpendiculaire (de l'autre côté de l'axe).
• On note le point A' et on code la figure.
6ème
2009-2010
Autre exemple
Construis les symétriques des points A , B , C , D et E .
Avec un quadrillage
A l'aide du quadrillage du cahier, sans les instruments, uniquement en comptant les carreaux,
construis le symétrique des points suivants.
Pour aller de A à l'axe d  , on traverse 2,5 diagonales. Pour placer son symétrique A' , on
reproduit ce déplacement de l'autre côté de l'axe.
De même pour B ' ; il faut se déplacer de quatre diagonales.
6ème
2009-2010
II. Symétrique des figures élémentaires
1/ Droite
Rappels
On note les droites à l'aide de parenthèses :
• d  ; d '  ; d 1  …
Si une droite passe par les points A et B , on note  AB .
Construction
On veut construire le symétrique d'une droite
par rapport à un axe d  .
Méthode
On place tout simplement deux points A et
B sur la droite puis on construit leurs
symétriques.
Remarque
On peut vérifier la construction en observant
que les trois droites sont concourantes.
Rappels
• Si deux droites sont perpendiculaires à une même autre droite alors elles sont
parallèles entre elles.
• Des droites sont concourantes si elles sont sécantes en un même point.
Cas où les droites sont parallèles
Dans ce cas, on obtient trois droites parallèles. La méthode de construction est la même.
6ème
Cas où les droites sont perpendiculaires
La droite d 1  est aussi la droite
passant par A et B .
Les symétriques de A et B sont les
points A' et B ' situés sur la même
droite.
On en déduit que le symétrique de
d 1  est encore d 1  .
Propriété
Le symétrique d'une droite est une autre droite. Lorsque la droite est :
• sécante à l'axe, on obtient des droites concourantes ;
• parallèle à l'axe, on obtient des parallèles ;
• perpendiculaire à l'axe, on obtient la même figure (rien ne change !).
Avec un quadrillage
2009-2010
6ème
2009-2010
2/ Segment
Rappels
• Un segment est une partie de droite située entre deux points. Ces deux points sont
appelés les extrémités.
• Le segment d'extrémités E et F se note [ EF ] . La longueur du segment [ EF ] se
note EF .
Construction
Pour construire le symétrique de [ AB ] , il
suffit de construire les symétriques des
extrémités A et B
Cas où le segment est parallèle à l'axe
Dans ce cas, on obtient deux segments parallèles
à l'axe de symétrie.
6ème
Cas où le segment est perpendiculaire à l'axe
On obtient deux segments
perpendiculaires à l'axe.
Cas où le segment traverse l'axe
On obtient deux segments qui se croisent
sur l'axe.
Propriété
Le symétrique d'un segment est un autre segment de la même longueur.
2009-2010
6ème
2009-2010
Avec quadrillage
3/ Cercle
Rappels
• Un cercle est un ensemble de points tous situés à une même distance d'un point
appelé le centre. Cette distance commune est appelée le rayon.
• Une corde est un segment dont les extrémités sont deux points du cercle.
• Un diamètre est une corde qui passe par le centre.
• Le diamètre est le double du rayon.
Construction
Il suffit de construire le symétrique du centre O . En
prenant le rayon du premier cercle (avec le compas),
on peut tracer le cercle symétrique.
6ème
2009-2010
Cas où le cercle croise l'axe en deux points
Si le premier cercle croise l'axe en I et J , le cercle
symétrique croise aussi l'axe en ces points.
Cas où le cercle est tangent (c'est à dire il « touche ») à
l'axe
Si le premier cercle est tangent à l'axe en I , le cercle
symétrique aussi !
Cas où le centre du cercle est sur l'axe
Dans ce cas, rien ne change !
Propriété
Le symétrique d'un cercle est un autre cercle de même rayon.
Si le cercle coupe l'axe en deux points I et J alors son symétrique passe aussi par I et J .
Si le centre du cercle est sur l'axe, son symétrique est lui-même.
6ème
2009-2010
III. Axes de symétrie
1/ Segment
L'axe de symétrie du segment est la droite qui
partage ce segment en deux parties
superposables.
Propriété
L'axe de symétrie du segment est en fait sa
médiatrice.
2/ Cercle
Il y a une infinité d'axes de symétrie : ce
sont toutes les droites qui passent par le
centre ; elles sont concourantes.
3/ Angle
Remarque
Un angle est formé de deux demi-droites de même origine. On code un angle avec un arc de
cercle.
Figure
Définition
L'axe de symétrie d'un angle est appelé bissectrice.
Méthode de construction
A l'aide du compas, on choisit un écartement. On trace un arc sur chaque côté de l'angle, et à
partir de là, deux autres arcs qui se croisent à l'intérieur de l'angle.
La bissectrice est la droite passant par le sommet de l'angle et le point formé par les deux arcs
de cercle.
6ème
4/ Autres figures
IV. Constructions de figures symétriques
1/ Figures quelconques
2009-2010
6ème
V. Lettres majuscules et axe de symétrie
ABCD
EF GH
I J K L
2009-2010
6ème
2009-2010
MNOP
QRSTU
VWXYZ