VI DYNAMIQUE DES FLUIDES VISQUEUX 1. Viscosité

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Université Paul Sabatier - FSI
L2 Mécanique / Mathématiques
VI
DYNAMIQUE DES FLUIDES VISQUEUX
Dans les chapitres précédents, décrivant la dynamique des fluides parfaits, la viscosité des
fluides avait été négligée. A partir de ce chapitre, nous allons la prendre en compte dans les
calculs. Une des premières conséquences est que théorème de Bernoulli devra être complété.
1. Viscosité
Définition :
On appelle viscosité la propriété qui traduit la résistance d’un fluide à l’écoulement
Expérience : (viscosimètre de Couette)
Considérons une couche d’épaisseur e uniforme (quelques millimètres) de miel étalé sur une
table. Plaçons dessus une feuille d’aluminium de surface A. Le miel adhère d’un coté à la
table et de l’autre à l’aluminium. On tire ensuite horizontalement avec une force F sur la
feuille, celle-ci se déplace alors à une vitesse V0 .
On constate expérimentalement que :

La vitesse de déplacement V0 de la feuille est proportionnelle à F : F ≈ V0

Avec une couche e plus faible, il faut exercer une force F beaucoup plus forte :
F ≈1 e

Avec une surface plane A plus faible, il faut une force de traction plus faible : F ≈ A
⇒ Globalement :
Mécanique des fluides
F≈A
V0
e
Manuel Marcoux
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Description locale
Soit un fluide placé entre une paroi et une plaque mobile d’aire S. Si on applique une force F
sur la plaque mobile, celle-ci se déplace à une vitesse V0
On constate plus précisément, au sein du fluide (avec des traceurs par exemple), que :
•
la vitesse du fluide au contact de la paroi est nulle
•
Pour des vitesses modérées, le fluide se déplace en couches minces parallèles aux
plaques, celles-ci ne se mélangeant pas (régime laminaire)
•
Chaque couche entraîne la couche en dessous en lui communiquant par frottement une
vitesse qui diminue au fur et à mesure.
→ la variation de vitesse est linéairement décroissante depuis la plaque mobile :
V ( y ) = V0 + a y
avec
a=−
V0
<0
e
Explications :
Les couches de fluide près des parois sont à la même vitesse que celles-ci (adhérence), et les
couches intermédiaires sont entraînées par frottement. Le mouvement se propage donc de
proche en proche dans le fluide
Interprétation physique :
Ces
frottements
visqueux
proviennent
des
forces
d’attraction
intermoléculaires
(électrostatique – forces de Van der Waals) qui s’opposent au déplacement des molécules.
A l’inverse, lorsque le fluide est en mouvement, chaque particule possède une énergie
cinétique qui donne lieu à des échanges de quantité de mouvement.
Remarque :
A vitesse nulle, les forces de frottement n’interviennent plus.
→ la viscosité n’est pas prise en compte en statique
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Propriété
A partir de ces observations, on construit le modèle suivant :
Le module de la force F est proportionnel à la surface A de la plaque mobile, proportionnelle
à la variation de vitesse avec l’éloignement
F = −μ A
dV
dy
où le coefficient de proportionnalité μ est appelé cœfficient de viscosité ou viscosité
dynamique du fluide. (on emploie aussi la viscosité cinématique du fluide υ =
μ
)
ρ
Remarques

Le signe – traduit le fait que la force de frottement s’oppose au mouvement
(→ diminution de la vitesse quand on s’éloigne de la plaque en mouvement)

La quantité dV dy est le gradient de vitesse, que l’on désigne par le terme vitesse de
cisaillement ou taux de cisaillement
Définitions :
•
On définit la contrainte tangentielle de cisaillement, notée τ , le rapport :
τ=
F
dV
=μ
A
dy
(loi de Newton)
Le gradient de vitesse étant ici constant, la contrainte de cisaillement à la même valeur
en tout point du fluide : τ = ste = τ p = − μ a = μ
•
V0
e
Un fluide qui vérifie cette loi ( μ = cste ) est qualifié de newtonien
(gaz, vapeurs, liquides purs de faible masse molaire, solutions peu concentrées…)
•
Les fluides non newtoniens sont ceux pour lesquels μ dépend de τ
(polymères, purées, gels, , boues, pâtes, sang , peintures …)
→ relève de la rhéologie, domaine particulier de la mécanique des fluides
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Remarque :
Quand un fluide visqueux s’écoule à faible vitesse, les forces de frottement peuvent être
négligées ( μ ≈ 0 ) ⇒ les fluides se comportent comme des fluides parfaits (eau, air …)
Unités :
[F ] = [P] = Pa
[A]
[τ ] = [P ] = Pa.s −1 = kg.m −1 .s −1 = Pl
Viscosité dynamique : [μ ] =
[dV dy ] [V ] [ y ]
[μ ] = m 2 .s −1
Viscosité cinématique : [υ ] =
[ρ ]
Contrainte de cisaillement : [τ ] =
: (Poiseuille)
Remarque
Dans l’ancien système CGS, [μ ] = g.cm −1 .s −1 = Po (Poise), avec 1 Pl = 10 Po
[υ ] = cm 2 .s −1 = St
(Stokes)
Exemples : viscosités à 20° sous pression atmosphérique ( ≈ 1bar )
Pour les liquides
Propriétés :
•
De façon générale, la viscosité est très sensible à la température (quand T augmente,
la viscosité diminue pour les liquides, et augmente pour les gaz), peu à la pression.
→ problème de lubrification sur les machines, moteurs …
(usage de mélanges d’huiles de viscosités différentes : multigrades)
•
Quand un fluide est mis en mouvement (pétrissage, malaxage, pompage …), une
partie de l’énergie mécanique fournie ne sert qu’à vaincre les frottements visqueux,
elle est transformée en chaleur
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Mesure de la viscosité
Il existe de nombreux dispositifs possibles. Citons les 3 les plus utilisés :
•
Viscosimètre rotatif ( ou à mobile tournant)
On fait tourner le rotor d’un moteur
dans une couche du liquide à étudier,
et on mesure le couple de freinage exercé par ce liquide
Le moteur entraîne le cylindre A.
Entre le cylindre et le vase B, on a placé le liquide à étudier.
Les forces de viscosité provoquent une rotation du vase.
Le ressort de torsion permet de mesurer le couple ainsi transmis au vase.
μ=k
•
α
N
Viscosimètre de Poiseuille (ou à écoulement laminaire)
On fait passer le liquide à étudier
dans un tube capillaire parfaitement calibré
(rayon compris entre 0,01 mm et 0,5 mm),
et on mesure le débit en chronométrant
le temps t nécessaire à l’écoulement d’un certain volume.
La mesure est relative
υ = υ0
•
t
t0
⇒
μ = ρυ
Viscosimètre à chute de bille (ou viscosimètre d’Hoepler)
On laisse tomber une bille sphérique ( R, ρ 0 ) dans un tube
renfermant le liquide à étudier ( μ , ρ ).
La vitesse V de chute entre deux repères
devient rapidement constante ( = L Δt )
du fait des forces de viscosité.
Dans ces conditions on montre que (loi de Stokes) :
μ=
k (ρ − ρ0 )R 3
Δt
L
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2. Ecoulements de liquides visqueux
Le liquide réel présent un cœfficient de viscosité non nul.
Il apparaît donc des forces de frottement qui d’une part modifient l’écoulement, et d’autre part
consomment de l’énergie pour pouvoir être vaincues.
a) Bilan de matière (continuité)
La prise en compte de la viscosité n’a pas de conséquences sur le bilan de matière dans
l’écoulement, l’équation de continuité reste donc inchangée :
Qm = ∫
ou
dm
=
ρ V dS = Cste
dt ∫∫S
r
∂ρ
+ Div ( ρ V ) = 0
∂t
globalement, dans un tube de courant
localement, sur un élément de fluide
b) Bilan d’Energie (Bernoulli)
Rappel :
On a vu que pour un fluide parfait, pour lequel les frottements (donc la viscosité) sont
négligés, les vitesses en différents points d’une même section sont identiques ( V = Vmoy ).
Le bilan d’énergie (forme intégrée du PFD) se traduit alors par l’équation de Bernoulli :
P+ρ
V2
+ ρ g z = Cste
2
Modification de l’écoulement :
Dans un liquide visqueux qui s’écoule, la vitesse n’est pas constante en tout point d’une
section droite comme dans le cas d’un fluide parfait.
Que devient dans ce cas l’équation de Bernoulli ?
Nous pouvons toujours utiliser la valeur moyenne de la vitesse pour une section donnée (cf.
chapitre sur la cinématique).
Par définition, la valeur moyenne de la vitesse sur une section S est :
r
1
Vmoy =
S
∫∫
S
r
V ( M ) dS
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La norme du résultat trouvé peut alors être utilisée pour calculer le débit (volumique) moyen :
r
Qmoy = S Vmoy = S Vmoy
Mais, nous pouvons remarquer que le théorème de Bernoulli ne fait pas intervenir directement
la vitesse, dans la contribution de l’énergie cinétique, mais son carré.
Or, la moyenne du carré de la vitesse s’écrit :
(V 2 ) moy =
1
V ( M ) 2 dS
∫∫
S
S
Elle n’a a priori aucune raison d’être le carré de la moyenne : (V 2 ) moy ≠ (Vmoy ) 2
Propriété :
Dans la description de l’écoulement d’un fluide visqueux, le théorème de Bernoulli s’écrit
alors
P+
1
2
ρ α Vmoy
+ ρ g z = Cste
2
où α est un cœfficient correctif appelé coefficient d’énergie cinétique
Démonstration :
Bilan énergétique en introduisant une vitesse d’énergie cinétique moyenne Vc , n’étant pas
forcément égale à Vmoy , telle que Vc2 =
1
Qv
∫∫
S
2
V ( M ) 3 dS = α Vmoy
Valeurs du coefficient α:
Pour les fluides parfaits, α = 1 (pas de viscosité, μ ≈ 0 )
Pour les fluides réels, le coefficient d’énergie cinétique α a été déterminé dans différentes
conditions :
•
en régime laminaire, α = 2
•
en régime turbulent, dans un tuyau rectiligne de section constante et après un parcours
supérieur à 10 fois le diamètre, α est généralement compris entre 1,02 et 1,15 suivant
la rugosité de la paroi
En pratique dans le cas de fluides réels en écoulement turbulent (soit la grande majorité des
écoulements industriels) on prend α = 1 sans que cela amène une erreur appréciable.
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3. Pertes de charges
Mise en évidence
Considérons un réservoir, gardant son niveau constant grâce à un système de trop plein, se
déversant dans une canalisation sur laquelle sont disposées des prises de pression statique
On constate expérimentalement que:
•
le niveau affiché dans les prises de pression (hauteur d’eau) est différent
•
ce niveau diminue avec l’éloignement du réservoir
•
cette diminution est proportionnelle à cet éloignement
Or, l’écriture du théorème de Bernoulli, entre 2 points d’une ligne de courant, A et B par
exemple, donne :
2
V
V2
PA + ρ α A + ρ g z A = PB + ρ α B + ρ g z B
2
2
Or comme la section du tube est constante et le tube horizontal : V A = VB et z A = z B ,
Ce qui donne PA = PB , donc une même hauteur dans les prises de pression
⇒ Contradiction !
Origine de la contradiction
La démonstration du théorème de Bernoulli s’appuie sur le PFD appliqué à une cellule de
fluide (qui donne l’équation d’Euler, puis Bernoulli par intégration).
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Mais le bilan de forces ne comprenait que les forces pressantes agissant sur la cellule de fluide
et son poids. Or il y a aussi (cf. chapitre I) des forces internes au fluide : les cellules de fluide
frottent les unes sur les autres, les plus rapides entraînant les plus lentes, alors que les plus
lentes retiennent les plus rapides.
Ces forces n’ont pas été prises compte dans ce bilan, et font défaut ici.
Plutôt que de refaire ce bilan pour obtenir les équations "exactes" des fluides réels en
écoulement (compliqué, nécessite l’utilisation d’un tenseur de contraintes), on peut ajouter un
terme dans le théorème de Bernoulli.
Modification du théorème de Bernoulli
Dans les chapitres précédents, le théorème de Bernoulli a aussi été interprété comme un bilan
énergétique entre deux sections droites (1) et (2) dans l’écoulement :
E totale = E c + E p ( Potentielle ) + E p ( F pression ) = Cste
Etotale = α
Soit
V2
P
+ g z + = Cste
2
ρ
Or nous savons que les forces de frottement (internes et sur la paroi) ont pour effet de
transformer une partie de l’énergie de départ en une autre forme d’énergie : de l’énergie
thermique (1er principe de la thermodynamique)
Donc l’énergie totale en sortie (2) s’écrira : Etotale
V22
P
= α2
+ g z 2 + 2 + ΔE frot
2
ρ
où ΔE frot est l’énergie perdue par frottement visqueux.
Ce qui donne le bilan entre les sections (1) et (2 ) :
α1
V12
P
V2
P
+ g z1 + 1 = α 2 2 + g z 2 + 2 + ΔE frot
2
ρ
2
ρ
L’écriture en bilan de pression donne le théorème de Bernoulli généralisé (fluides réels) :
V12
V22
α1 ρ
+ ρ g z1 + P1 = α 2 ρ
+ ρ g z 2 + P2 + ΔPc
2
2
où le terme ΔPc est appelé pertes de charge entre les sections (1) et (2).
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Cela correspond à une chute de pression (en Pascals ou en bars), comptée positivement
En hauteur manométrique, l’équation de Bernoulli généralisée s’écrit :
α1
V12
P
V2
P
+ z1 + 1 = α 2 2 + z 2 + 2 + ΔH c
2g
ρg
2g
ρg
ΔH c est aussi appelé perte de charge, mais elle s’exprime ici en mètres (ou mCE), positive.
Le diagramme piézométrique devient, pour un fluide visqueux :
Cas particulier
Dans un conduit de section constante, en toute section : V = cste (continuité).
Si de plus le tube est horizontal : z = cste
⇒ pertes de charge entre deux section (1) et (2) :
ΔPc = P1 − P2 ou ΔH c =
P1 − P2
ρg
La perte de charge est donc linéaire (ou régulière)
→ Dans l’expérience initiale, la différence de hauteur entre la ligne de charge et la hauteur
des surface libres dans les tubes de prise de pression mesure la perte de charge entre les
différentes sections, qui est proportionnelle à l’éloignement.
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