a la Théorie de la mesure géométrique 2011

Université Paris Diderot - Paris 7
Une introduction à la Théorie de la mesure géométrique
Master 2
2011-2012
Partie 2 – Travaux Dirigés no. 3
Ensembles de périmètre fini
Exercice 1
Ensembles de niveau des fonctions Lipschitziennes Soit n un entier naturel ≥ 2,
f : Rn → R une fonction Lipschitzienne. Le but de cet exercice est de montrer que pour
presque tout t ∈ R,
Lt := {x : f (x) > t}
est localement de périmètre fini (i.e sa fonction indicatrice est dans BV (Ω), pour tout
ouvert borné Ω)
1) Montrer, par un exemple, que l’on ne peut pas espérer que ce résultat soit valable pour
tout t ∈ R.
Indication : Penser à la fonction distance à un fermé.
2) Montrer que si g : Rn → R est une fonction Lipschitzienne alors, pour tout champ X,
C ∞ à support compact sur Rn ,
Z
Z
h∇g, Xidx = −
g divXdx
Rn
Rn
3) Montrer, par la formule de la coaire, que pour toute fonction φ : R → R Lipschitzienne
à support compact, pour tout champ de vecteurs X, lisse à support compact,
!
!
Z
Z
Z
Z
∇f (x)
n−1
hX.
φ(t)
idH
(x) dt = − φ(t)
divX dx dt
|∇f (x)|
{x;f (x)=t}
R
R
{x;f (x)≥t}
4) En déduire que pour toute famille dénombrable de champs (Xn ), il existe une partie
T ⊂ R, de mesure pleine telle que, pour tout t ∈ T , pour tout n ∈ N,
Z
Z
∇f (x)
n−1
hXn .
i dH
(x) = −
divXn dx
|∇f (x)|
{x;f (x)=t}
{x;f (x)≥t}
5) Conclure.
Exercice 2
Mesure du bord fini implique périmètre fini. Le but de cet exercice est de montrer
que si Ω est un ouvert de Rn tel que Hn−1 (∂Ω) < ∞ alors Ω est de périmètre fini avec
P (Ω) ≤ Hn−1 (∂Ω).
1) Montrer, en tronquant les fonctions tests près de l’ensemble Σ, que si
1. Ω est un ouvert de Rn avec Hn−1 (∂Ω) < ∞
2. il existe Σ un fermé de Rn , Hn−1 (Σ) = 0, tel que ∂Ω \ Σ est une surface de classe C 1
alors la formule de Gauss-Green usuelle est vraie : pour tout champ X de classe C 1
à support compact dans Rn ,
Z
Z
− divX dx =
X · νΩ dHn−1 .
Ω
∂Ω
2) Que vaut le périmètre de Ω si ∂Ω \ K est de classe C 2 avec Hn−1 (K) = 0 ? Montrer
que si Ω est union finie de boules ouvertes alors Ω est de périmètre fini.
3) On suppose maintenant que Ω est un ouvert de Rn et que Hn−1 (∂Ω) < ∞.
3.1) Montrer que l’on peut supposer Ω borné pour obtenir le résultat cherché.
3.2) Montrer comment choisir des boules (Bi ), en nombre fini, de sorte que Ω̃ = Ω ∪i Bi
soit de périmètre fini, borné indépendanmment de (Bi ) et Ln (Ω̃ \ Ω) arbitrairement petit.
3.3) Conclure au caractère de périmètre fini de Ω. D’où provient la majoration P (Ω) ≤
Hn−1 (∂Ω) ?
Exercice 3
Approximation par des ensembles réguliers. Le but de l’exercice est de montrer
que tout ensemble Ω de périmètre fini peut être approché en mesure par des ensembles
réguliers, avec convergence de leur périmètre.
Soit A un ensemble Borélien borné à périmètre fini, n ≥ 2.
1) Soit 0 < t < 1 et ε > 0. On pose
Aε = Rn ∩ {φε ∗ 1A > t}.
Montrer que
|Aε 4A| ≤
2
k1A − 1Aε kL1 .
min(t, 1 − t)
(4)
2) Enoncer la formule de la co-aire pour les fonctions u ∈ BV (Rn ).
3) Etablir le théorème que voici dû à E. De Giorgi. Il existe une suite de compacts Aj
tels que
(a) La frontière topologique de chaque Aj est une sous-variété de classe C ∞ et de dimension n − 1 de Rn ;
(b) |Aε 4A| → 0;
(c) P er(Aj ) → P er(A).
(Indication : Considérer uj = φεj ∗ 1A , utiliser (4), utiliser la formule de la co-aire et le
lemme de Fatou ainsi que la semi-continuité du périmètre, et enfin, le théorème de Sard).
3) (Du fromage suisse) Soit U ⊂ Rn la boule unité ouverte, {xj } une suite
dans U
P dense
n−1
et, pour chaque j ∈ N, 0 < rj < dist(xj , Rn \ U ). On suppose aussi
que
r
< ∞.
j∈N j
S
Soit 0 < ε < 1 suffisamment petit pour que l’ensemble B = j∈N U (xj , εrj ) ait une
mesure de Lebesgue strictement inférieure à celle de U . On pose A = U \ B. Observer
que A est à périmètre fini. Montrer qu’il n’existe pas de suite Aj d’ensembles à périmètre
fini vérifiant les conclusions du théorème de De Giorgi ci-dessus et presque contenus dans
A (au sens |Aj \ A| = 0).
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