Signaux passe-bande et enveloppe complexe.

Filière Réseau
Ph. Loubaton
Signaux passe-bande et enveloppe complexe.
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Ph. Loubaton
Motivation
Beaucoup de signaux x(t) sont passe-bande.
|X(f)|
−f_0−B
−f_0
−f_0+B
f_0 −B
f_0
f_0 + B
Représenter x(t) en faisant apparaitre un signal de bande passante [−B, B].
Résultat essentiel:
Il existe un signal complexe w(t) = u(t) + iv(t) de bande passante [−B, B] tel que
x(t) = Re(w(t)e2iπf0 t ) = u(t) cos(2πf0 t) − v(t) sin(2πf0 t)
w(t) est appelé l’enveloppe complexe de x(t)
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Filtre de Hilbert I.
Le filtre de Hilbert est le filtre de fonction de transfert Q(f ) = −i signe(f ).
Q(−f ) = Q(f )∗ implique que Q(f ) est la TF d’une fonction réelle q(t).
On appelle x̃(t) la sortie du filtre Q(f ) excité par x(t).
Exemple fondamental.
Si x(t) = cos(2πf0 t + φ), alors x̃(t) = sin(2πf0 t + φ).
+f0 )
)=
Si φ = 0, vient de −i signe(f )( δ(f −f0 )+δ(f
2
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δ(f −f0 )−δ(f +f0 )
2i
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Filtre de Hilbert II.
Cas plus général.
R∞
Si x(t) = 0 C(f ) cos(2πf t + φ(f ))df , alors
R∞
x̃(t) = 0 C(f ) sin(2πf t + φ(f ))df
Illustration.
x(t) bleu, TF de hilbert rouge
2
1.5
1
0.5
0
−0.5
−1
−1.5
−2
−2.5
0
Filière Réseau
50
100
150
200
250
t
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Filtre analytique I
Le filtre analytique est le filtre de fonction de transfert A(f ) définie par
A(f ) = 1 + iQ(f )
=
0 si f < 0
=
2 si f > 0
A(−f ) 6= A(f )∗ ⇒ la réponse impulsionnelle est complexe.
z(t) sortie du filtre analytique excité par x(t) :
z(t) = x(t) + ix̃(t)
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Z(f )
= 0 si f < 0
= 2X(f ) si f > 0
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Filtre analytique II
Exemple fondamental
x(t) = cos(2πf0 t + φ), alors z(t) = ei(2πf0 t+φ) .
Cas plus général.
R∞
Si x(t) = 0 C(f ) cos(2πf t + φ(f ))df , alors
R∞
R∞
z(t) = 0 C(f ) exp i(2πf t + φ(f ))df = 2 0 X(f )e2iπf0 t dt.
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Filtre analytique III
Visualisation dans le domaine fréquentiel
450
X(f)
Z(f)
400
350
module de la TF
300
250
200
150
100
50
0
−0.5
Filière Réseau
−0.4
−0.3
−0.2
−0.1
0
fréquence
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
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L’enveloppe complexe d’un signal passe-bande I
x(t) signal tel que X(f ) 6= 0 si f ∈ [f0 − B, f0 + B] ∪ [−f0 − B, −f0 + B].
Soit z(t) le signal analytique associé à x(t).
|X(f)|
|Z(f)|
−f_0−B
Filière Réseau
−f_0
−f_0+B
f_0 −B
f_0
f_0 + B
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L’enveloppe complexe d’un signal passe-bande II
Z(f ) 6= 0 si f ∈ [f0 − B, f0 + B].
On définit w(t) = u(t) + iv(t) par W (f ) = Z(f + f0 ) ⇐⇒ w(t) = z(t)e−2iπf0 t .
|W(f)|
−B
|Z(f)|
B
f_0 −B
f_0
f_0 + B
Propriétés de w(t).
• W (f ) 6= 0 ssi f ∈ [−B, B]
• x(t) = Re(z(t)) = Re(w(t)e2iπf0 t ) = u(t) cos(2πf0 t) − v(t) sin(2πf0 t).
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L’enveloppe complexe d’un signal passe-bande III
Comment générer l’enveloppe complexe de x(t) ?
2 cos2 \pi f_0 t
u(t)
x(t)
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v(t)
2 sin2 \pi f_0 t
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L’enveloppe complexe d’un signal passe-bande IV
Conclusion.
Si x(t) est passe-bande, il existe un unique signal complexe w(t) de bande [−B, B]
tel que
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x(t) = Re(w(t)e2iπf0 t )
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Exemple: démodulation
x(t) signal réel modulant de bande [−B, B].
y(t) = x(t) cos(2πf0 t) signal modulé de bande [f0 − B, f0 + B] ∪ [−f0 − B, −f0 + B].
By(t − τ ) = Bx(t − τ ) cos(2πf0 (t − τ )) signal reçu de bande
[f0 − B, f0 + B] ∪ [−f0 − B, −f0 + B].
By(t − τ ) = Re(Bx(t − τ )e−2iπf0 τ e2iπf0 t ).
Enveloppe complexe = x(t − τ )e−2iπf0 τ , et
u(t) = x(t − τ ) cos(2πf0 τ ), v(t) = −x(t − τ ) sin(2πf0 τ ).
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