Une fourmi alléchée par l`odeur du sucre mais

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Corrigé Devoir à la maison.
La fourmi…
Une fourmi alléchée par l'odeur du sucre mais paresseuse se demande quel
est le plus court chemin pour atteindre l'objet de sa convoitise. Ce cube a
pour côté 3 cm. Le sucre se trouve en S milieu de [ A'D' ] et la fourmi sur
[ BB' ] en M tel que : BM =
1
BB'.
3
Sur chacune des faces du cube, la fourmi se déplace en ligne droite et il s'agit
donc de trouver en quel point N elle doit couper l'arête [A'B'] pour que la
longueur du trajet MN + NS soit la plus petite possible.
Une solution par observation de la courbe d’une fonction.
On note x = B'N.
1. Justifie que x appartient à [ 0 ; 3 ] .
2. Quelle est la nature du triangle MB'N ? Exprime la longueur MN en fonction de x.
3. Exprime la longueur A'N en fonction de x.
Quelle est la nature du triangle NA'S ? Exprime la longueur NS en fonction de x.
4. En déduire la longueur totale L(x) du trajet en fonction de x. est :
L(x) = +
5. Voici la courbe représentative de la fonction L(x) sur [ 0 ; 3 ].
Par lecture graphique détermine une valeur approchée de la longueur minimal du trajet
et de la valeur de x pour laquelle elle est atteinte.
Remarque :
Si tu as une calculatrice graphique, tu peux aussi entrer la
fonction dans l’éditeur de fonctions de ta calculatrice, tracer sa courbe
représentative et à l'aide de la touche Trace, retrouver la valeur minimale.
6. En quel point la fourmi doit-elle traverser l'arête [ A' B' ] ?
Une résolution géométrique.
On ouvre le cube (figure ci-contre).
1. Représente le patron en vraie grandeur sur une feuille.
2. Repère sur le patron les faces ABCD, ABB’A’ et A’B'C’D’.
Place alors les points M et S .
3. Quel est, sur ce patron, le plus court chemin de M à S ? Trace le
et déduis en la position de N sur [A'B'].
4. Détermine par le calcul la longueur x = B'N correspondante.
5. Compare avec le résultat trouvé à la partie précédente.
S. Baudet
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La fourmi…
Une solution par observation de la courbe d’une fonction.
1. N est un point mobile entre A'et B', donc la distance B'N varie de 0 (position de N en B') à 3 ( N en
A') ainsi x ∈ [ 0 ; 3 ]
2. La face ABB'A' du cube est un carré alors le triangle MB'N est un triangle rectangle en B'.
D'après le théorème due Pythagore :
MN² = MB ' ² B ' N² ainsi : MN² =2²  x² = 4  x² et MN =  4  x²
1
2
2
(Comme BM = BB ' il est clair que MB ' = BB ' = 3 =2 )
3
3
3
3. N ' ∈ [ A ' B ' ] donc A ' N  NB ' = A ' B ' = 3 et A ' N = 3− NB ' =3 − x
Comme en 2° la face A'B'C'D' du cube est un carré alors le triangle NA'S est un triangle rectangle en
3
²
A' et d'après le théorème due Pythagore : NS² = NA ' ²  A ' S² soit NS² =  3 − x  ² 
2
 A ' S = 12 A ' D ' = 32  et donc NS = 3 − x  ²  32 ² .
3
4. La longueur du trajet de la fourmi est L  x  = MN  NS =  4  x²   3 − x  ² 
².
2
5. Par lecture graphique et utilisation de la
fonction trace de ma calculatrice je peux
observer que le minimum de la fonction est
atteint environ en la valeur x ≈ 1,7 et ce
minimum vaut environ 4,61.





6. La fourmi doit alors traverser le segment
[A'B'] en le point N' situé à la distance 1,7cm
de B' pour espérer parcourir le plus petit
chemin (4,61cm).
Une résolution géométrique.
Représenter le patron en vraie grandeur c'est représenter la figure dans le plan,
telle qu'elle est, dans ces vraies dimensions et non pas en perspective comme on
le voit sur la figure du texte de devoir. En vraie grandeur le patron du cube est
la juxtaposition de six carrés de côté 3cm.
2. Voir figure.
3. Sur le plan, le plus court chemin est le segment [MS] et N est à l'intersection de
[MS] et de [A'B'] (voir figure).
1.
4.
S. Baudet
J'observe sur la figure ci-contre une configuration de Thales
(configuration papillon) ainsi j'obtiens les égalités de rapport
NS
NA '
A'S
=
=
suivantes:
et de la dernière égalité
NM NB ' B ' M
3 − x 1,5 soit 2 ×  3 − x  =1,5 × x ⇔ 6 − 2 x = 1,5 x
=
x
2
6
≈ 1,714
⇔ 6 = 2 x  1,5 x ⇔ 6 = 3,5 x et x =
3,5
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5.
La valeur exacte
S. Baudet
6
12
=
et proche de la lecture graphique 1,7 de la première partie.
3,5 7
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