Cond-Limites

Chapitre 5
Les Conditions aux limites
Lorsque nous désirons appliquer les équations de base de l’EM à des problèmes
d’exploration géophysique, il est essentiel, pour pouvoir résoudre les équations
différentielles, d’appliquer les conditions aux limites aux interfaces entre les
différents corps. Nous allons donc nous attarder ici sur ces conditions aux
limites.
5.1
Induction magnétique - b
Soient deux milieux de propriétés électriques différentes séparés par une interface. Construisons un petit cylindre de section ∆a et d’épaisseur ∆` à
travers cette surface
Figure 5.1: Géométrie pour les conditions-limites sur ~b, d~ et ~j.
On rappelle que ∇ · ~b = 0 et le théorème de Gauss
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Z
V
∇ · ~b dV =
Z
S
~b · ~n dS = 0
(5.1)
où ~n est un vecteur unitaire normal à l’interface. Si le rayon du cylindre est suffisamment petit, on peut supposer que l’induction magnétique est
constante sur cette surface et donc ~b = ~b1 dans le milieu 1 et ~b = ~b2 dans le
milieu 2. L’intégrand devient alors
(~b1 · ~n1 + ~b2 · ~n2 )∆a + (contribution des bords)∆` = 0
(5.2)
si ∆` tend vers zéro, i.e. on se limite à l’interface, il ne reste que le premier
terme, soit (~b1 · ~n1 + ~b2 · ~n2 )∆a = 0, mais les deux normales sont inversées
donc
~b1 − ~b2 = 0
(5.3)
Ce qui implique que la composante normale de l’induction magnétique est
continue de part et d’autre de l’interface.
5.2
Déplacement diélectrique - d
Reprenons le même cylindre que dans le cas précédent. L’équation de Maxwell
correspondante est cette fois ∇ · d~ = ρ. En intégrant de part et d’autre du
cylindre, on obtient
Z
V
∇ · d~ dV =
Z
S
d~ · ~n dS =
Z
V
ρ dV = ρ∆`∆a
(5.4)
si ρ est constant.
Remplacons ρ∆` par une densité surfacique de charge ρs .
(d~1 · ~n1 + d~2 · ~n2 )∆a = ρs ∆a
(5.5)
(d~1 − d~2 ) · ~n = ρs
(5.6)
Ce qui implique que la composante normale du déplacement diélectrique
est discontinue à une interface à cause de l’accumulation d’une densité de
charge surfacique ρs .
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5.3
Densité de courant - j
Toujours avec ce cher cylindre. Si l’épaisseur du cylindre tend vers zéro, le
courant traversant l’interface est donné par
I = ~j1 · ~n∆a = ~j2 · ~n∆a
(5.7)
(~j1 − ~j2 ) · ~n = 0
(5.8)
donc la composante normale de la densité de courant est continue.
Si on s’intéresse au cas plus général du courant total, i.e. conduction +
déplacement soit (σ + i²ω)E, alors on a
~ 1 = (σ2 + i²2 ω)E
~2
(σ1 + i²1 ω)E
(5.9)
∇n · J~ = (J~1 − J~2 ) · ~n 6= 0
(5.10)
car, selon (2.7), ∇n · ~j + ∂ρ/∂t = 0. Notez que si on est à basse fréquence,
i.e. ∂ρ/∂t ≈ 0, on retrouve simplement la relation (5.8).
5.4
Champ électrique - e
Nous allons ici prendre un contour, en sens horaire, autour d’un rectangle de
longueur ∆h et de hauteur ∆`.
Figure 5.2: Géométrie pour les conditions-limites sur ~e et ~h.
Rappelons l’équation de Maxwell
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∂~b
(5.11)
∂t
Intégrons le champ électrique autour du contour. Nous obtiendrons, via
le théorème de Stokes
∇ × ~e = −
Z
Z
S
Z
−
S
(∇ × ~e) · ~n dS =
~
~e · d`
C
∂~b
~ − ~e2 · ∆`
~ + (contributions des bouts)
· ~n dS = ~e1 · ∆`
∂t
(5.12)
(5.13)
∂~b
~
· ~n ∆`∆h = (~e1 − ~e2 ) · ∆`
(5.14)
∂t
Comme nous nous intéressons à l’interface au sens strict, on peut prendre
∆h = 0 et donc annuler le terme du côté gauche. Il ne reste plus que
−
~ =0
(~e1 − ~e2 ) · ∆`
(5.15)
∆` étant parallèle à l’interface, on en conclut que la composante tangentielle du champ électrique est continue. Ceci peut aussi être exprimé sur la
forme
~n × (~e1 − ~e2 ) = 0
(5.16)
plus pratique à appliquer.
5.5
Champ magnétique - h
Nous reprenons le même contour et le même raisonnement que dans le cas
précédent. L’équation de Maxwell correspondante est
∂ d~ ~
+j
(5.17)
∇ × ~h =
∂t
Intégrons le champ magnétique autour du contour. Nous obtiendrons, via
le théorème de Stokes
Z
S
Z
S
(
(∇ × ~h) · ~n dS =
Z
C
~h · d`
~
(5.18)
∂ d~ ~
~ − ~h2 · ∆`
~ + (contributions des bouts) (5.19)
+ j) · ~n dS = ~h1 · ∆`
∂t
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∂ d~ ~
+ j) · ~n ∆`∆h = (~h1 − ~h2 ) · ∆`
∂t
Ce qui revient à dire
(
(5.20)
∂ d~ ~
~n × (~h1 − ~h2 ) = lim (
+ j) · ~n ∆h
(5.21)
∆h→0 ∂t
On a donc deux termes à analyser. Il semble évident que la dérivée
temporelle du déplacement ne peut être infinie, car cela nécéssiterait une
~ La limite tendra bien vers 0 pour ce premier
variation instantanée de d.
terme.
Qu’en est-il du courant de conduction? On peut imaginer la présence
d’une densité surfacique de courant telle que
lim
∆h→0~j→∞
(~j∆h) = ~js
(5.22)
la condition sur h tangentiel devient
~n × (~h1 − ~h2 ) = ~js
(5.23)
Mais si σ est limité (i.e. n’est pas infini) de part et d’autre (ce qui est
toujours le cas en géophysique) et que le champ électrique ~e = ~j/σ est aussi
limité, ~j ne peut tendre vers l’infini et donc le second terme est également
nul, donc
~n × (~h1 − ~h2 ) = 0
(5.24)
Ceci implique que la composante tangentielle du champ magnétique est
continue dans ce cas.
Pour certains problèmes, on pourra supposer que σ est infini. Alors, on
peut envisager que ~j soit infini sans que ~e ne le soit. Dans ce cas, on doit
utiliser (5.23).
5.6
Exemple: Filon Vertical
Enfin, on commence à faire de la géophysique! Nous allons aborder un cas
très simple mais il vous donnera une bonne idée des raisons pour lesquelles
la prospection EM fonctionne.
Soit un filon vertical de conductivité électrique σ2 dans un encaissant de
conductivité σ1 . Un champ électrique orienté parallèlement à la surface est
incident à l’interface I. De plus ²1 = ²2 = ² et µ1 = µ2 = µ.
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σ
σ
σ
Figure 5.3: Problème du filon pour l’application des conditions aux limites.
A l’interface I, on a la discontinuité dans le déplacement normal
d2 − d1 = ρs
(5.25)
donc
ρs
²
on a aussi la continuité de la composante normale de j
e2 − e1 =
j2 − j1 = σ2 e2 − σ1 e1 = 0
σ1 e1
e2 =
σ2
Combinant ces deux premiers résultats, on obtient
σ1 e1
− e1 =
σ2
σ1 − σ2
e1 =
σ2
ρs
²
ρs
²
(5.26)
(5.27)
(5.28)
(5.29)
(5.30)
Deux cas sont possibles:
- σ1 < σ2 (interface I) : alors ρs < 0. Accumulation de charges négatives
- σ1 > σ2 (interface II) : alors ρs > 0. Accumulation de charges positives
La quantité de charges accumulées dépendra du contraste de conductivité
entre le filon et son encaissant.
Si l’on trace le champ électrique résultant, on remarque que les discontinuités facilitent largement la mise en évidence du filon.
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σ1 < σ2
E
σ1
+
+
+
+
σ1
σ2
Figure 5.4: Bas: accumulation de charges aux bords d’un filon conducteur.
Haut: champ électrique perpendiculaire au filon que l’on mesurerait en surface. Notez comme les discontinutés permettent de bien locaiser le filon.
5.7
L’effet galvanique - Un corps dans un Champ
électrique
Nous pouvons étendre le problème du filon à un cas plus général, par exemple à un parallélépipède dans un champ électrique. Pour une cible plus
conductrice que son encaissant, nous venons de voir que des charges de signe
opposé s’accumulaient aux deux extrémités de la cible. On peut en déduire
qu’il y a un courant (= un champ) secondaire de direction opposée au champ
primaire à l’intérieur de la cible: c’est donc un champ de dépolarisation. Il
s’ajoute cependant au champ primaire à l’extérieur de la cible, ce qui a pour
effet de faciliter la découverte de celle-ci.
Le champ secondaire produit par ce courant secondaire est équivalent
à celui produit par un dipôle électrostatique orienté des charges négatives
vers les charges positives. Si l’on s’intéresse à la somme entre le champ
électrique primaire ep et le champ de dépolarisation es , on remarque qu’à
l’extérieur de la cible les lignes de champ convergent vers celle-ci, et qu’à
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l’intérieur, l’opposition des champs provoque un resserrement des lignes de
champ vers le centre. Le champ électrique total semble donc canalisé par
le corps conducteur. Cet effet de canalisation du courant est connu sous le
nom d’effet galvanique. Ce champ total peut être assimilé à celui d’un dipôle
électrique ce qui permet de modéliser simplement ce phénomène.
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