Ch. 2 BOBINES ET CONDENSATEURS REELS .

teo_ch2 ( Bobines et condensateurs réels ).odt ­ Marie Pierrot – Lycée du Rempart ­ 19/10/10
Ch. 2 BOBINES ET CONDENSATEURS REELS .
I
1 Facteur de qualité d’un dipôle passif.
Dipôle passif
U
1.1 Puissance en régime sinusoïdal, rappels.
u=U  2 sin  ωt  et i= I  2 sin  ω t − ϕ 
Puissance active consommée par le dipôle passif D : P = U I cos (ϕ) ( s’exprime en Watt.)
Puissance réactive : Q = U I sin (ϕ) ( s’exprime en vars.)
Théorème de Boucherot :
La puissance active consommée par un circuit comportant plusieurs éléments s’obtient en faisant la somme des puissances actives consommées par chaque élément. La même règle s’applique aux puissances réactives.
Exercice d’application n°1 : 1) Calculer les impédances complexes des trois dipôles suivants (f = 100 Hz) :
­ Dipôle 1 : résistance de 470 Ω
­ Dipôle 2 : Inductance pure de 1 H
­ Dipôle 3 : Capacité de 5 µF
2) Les trois dipôles sont branchés en série et traversés par un courant d’intensité efficace I = 0,6 A. Calculer les puissances actives et réactives consommées par chacun d’eux.
3) Calculer les puissances actives et réactives consommées par l’ensemble des trois dipôles.
Réponses : 1) Z1 = R = 470 ; Z2 = j Lω = j 628 ; Z3 = 1/( j Cω) = ­ j 318
2) P1 = 169 W ; P2 = P3 = 0 W ; Q1 = 0 vars ; Q2 = 226 vars ; Q3 = ­ 114 vars ;
3) P = 169 W ; Q = 112 vars. 1.2 Facteur de qualité “Q ” d’un dipôle.
1.2.1 Définition.
Le facteur de qualité ” Q ” d’un dipôle passif D est le rapport de la puissance réactive sur la puissance active : ∣Q∣
Q = P où Q est un nombre sans unité.
1.2.2 Expression du facteur de qualité.
Dipôle passif
1.2.2.1 Modèle série d’un dipôle passif.
R
⇔
Z = ZR + ZX = R + j X
Le signe de X dépend de la nature du dipôle : ­ Dipôle inductif : X > 0
- Résistance : X = 0
- Dipôle capacitif : X < 0
jX
Exercice d’application n°2 :
Trouver dans ce cas l’expression du facteur de qualité en fonction de R et de X.
∣Q∣ ∣X∣
Q = P = R
1.2.2.2 Modèle parallèle d’un dipôle passif.
Dipôle passif
Y = YG + YB = G + j B
Le signe de B dépend de la nature du dipôle : ­ Dipôle inductif : B < 0
- Résistance : B = 0
- Dipôle capacitif : B > 0
G
⇔
jB
Exercice d’application n°3 :
Trouver l’expression du facteur de qualité en fonction de G et de B dans ce cas.
∣Q∣ ∣B∣
Q = P = G
Page 1 sur 3
teo_ch2 ( Bobines et condensateurs réels ).odt ­ Marie Pierrot – Lycée du Rempart ­ 19/10/10
2 Modèle série ou parallèle.
I
2.1 Modèle série d’une bobine.
Bobine réelle
⇔
L
I
U
2.1.1 Modèle.
r
U
Z = r + j Lω = R + j X où R = r et X = Lω > 0
La bobine sera d’autant meilleure que R sera petit devant X.
2.1.2 Facteur de qualité.
∣Q∣ ∣LωI2∣ ∣Lω∣ ∣X∣
= 2 =
= =tg  ϕ  Plus le facteur de qualité est grand et plus la bobine est de qualité P
r
r
rI
( Lω est grand devand r )
Q =
Exercice d’application n°4 :
Une bobine a pour inductance L = 0,5 H et pour résistance r = 10 Ω. Calculer son facteur de qualité pour trois fréquences d’utilisation : f1 = 100 Hz , f2 = 1000 Hz et f3 = 10 kHz.
Réponses : Q1 = 31,4 vars ; Q2 = 314 vars ; Q3 = 3140 vars.
2.2 Modèle parallèle d’un condensateur.
2.2.1 Modèle.
R
R, C
Y = 1/R + j Cω = G + j B où G = 1/R et B = Cω > 0
Le condensateur sera d’autant meilleure que G sera petit devant B.
⇔
C
2.2.2 Facteur de qualité.
Q =
∣Q∣ R∣−CωU2∣ ∣B∣
=
= =RCω Plus le facteur de qualité est grand et plus le condensateur est bon.
P
G
U2
2.3 Equivalence entre modèle série et modèle parallèle.
{
G=
1
R
X
=
−j
⇒
Z = R + j X ⇒ Y=
R jX R 2X 2 R 2 X2
Y = G + j B ⇒ Z=
1
G
B
=
−j
⇒
G jB G 2 B 2 G 2B2
B=
R
2
2
2
2
R X
−X
R X
{
G
R= 2 2
G B
−B
X= 2 2
G B
G
R
jX
⇔
jB
Exercice d’application n°5 :
Pour une fréquence f = 100 Hz.
1) Trouver le modèle parallèle de la bobine étudiée dans l’exercice 4.
Réponses : 1) G = 1,01.10­4 et B = ­ 3,18.10­3
3 Ponts d’impédances.
3.1 Principe.
Z1
Z4
Z2
D
Z3
Un pont d’impédance est semblable au pont de Wheatsone : il permet la mesure d’une impédance en régime sinusoïdal.
Deux des impédances sont des résistances étalons, une autre est une impédance ajustable de nature capacitive et la quatrième est l’impédance inconnue à mesurer.
A l’équilibre, lorsque le détecteur indique zéro (ou passe par un minimum) on peut écrire : Z1 . Z3 = Z2 . Z4 G.B.F
Page 2 sur 3
teo_ch2 ( Bobines et condensateurs réels ).odt ­ Marie Pierrot – Lycée du Rempart ­ 19/10/10
3.2 Mesure de capacité.
Exemple : Pont de Sauty parallèle ou pont de Nernst.
Z1 = a et Z4 = b sont deux résistances étalon fixes ; Z2 est composé des deux éléments ajustables Re et Ce et Z3 est l’impédance capacitive à mesurer (RX et CX sont les deux éléments de la structure parallèle équivalente au dipôle capacitif à mesurer).
Z2
RE
Exercice d’application n°6 :
Exprimer RX et CX en fonction de a, b, Re et Ce.
CE
Réponses :
RX = b RE / a ; CX = a CE / b
Ce pont est dit de type « a/b ».
3.3 Mesure d’inductance.
Exemple : Pont de Maxwell.
Z1 = ZX = RX + j LXω est l’impédance inductive à mesurer ; Z2 = a et Z4 = b sont deux résistances étalons fixes et Z3 est composé des deux éléments ajustables Re et Ce .
Exercice d’application n°7 :
Exprimer RX et LX en fonction de a, b, Re et Ce.
Réponses :
RX = ab / RE ; LX = ab CE Ce pont est dit de type « a.b « R0
4 Montages convertisseurs d’impédance.
iE
∞
4.1 Dipôle à “résistance négative”.
Exercice d’application n°8 :
L’ ADI ( Amplificateur différentiel intégré ) fonctionne en régime linéaire.
1) Exprimer uE en fonction de iE et des résistances du montage.
2) Que pensez­vous de la résistance d’entrée de ce montage ?
iE
i1
uE
R1
Réponses :
1) uE = R1 i1 et R0 iE = ­ R2i1 soit i1 = ­ ( R0/R2 ) iE
On en déduit : UE = ­ ( R1R0/R2 ) iE
2) RE = ­ ( R1R0/R2 ) est négative …
uS
R2
4.2 Montages changeurs d’impédances.
Exercice d’application n°9 :
L’ ADI fonctionne en régime linéaire.
1) Exprimer l’impédance d’entrée du montage : ZE = UE / IE .
2) Z est l’impédance d’un condensateur de capacité C. De quelle nature est ZE ?
3) Application numérique : f = 1 kHz ; R1 = R2 = 10 kΩ ; C = 330 nF . Calculer L.
Réponses : ZE = UE / IE = R1 + R2 + R1R2 / Z d'où L = CR1R2.
L = 33 H Ce montage permet de simuler, sous volume réduit une bobine d'inductance élevée constante… Mais attention cette bobine n'est pas parfaite car R E = 20 kΩ.
∞
iE
R1
uS
uE
Z
i'
R2
Page 3 sur 3