critères de plasticité de von Mises et Tresca Fichier

ANNEXE
DEUX CRITERES DE PLASTICITE USUELS :
VON MISES ET TRESCA
1. Préliminaires
Comme nous l’avons vu à la section 3.2 du chapitre I, la fonction de charge d’un matériau
obéissant à un critère de plasticité parfaite isotrope s’écrit
~
f (σ ) = f (σ I ,σ II ,σ III ) ≤ 0
(A.1)
où (σ I ,σ II ,σ III ) sont les contraintes principales. Le domaine d’élasticité peut donc être
représenté dans R 3 . Dans cet espace, la décomposition de la contrainte en parties sphérique et
déviatorique d’un tenseur des contraintes
σ = s + 1 / 3( trσ )1
(A.2)
peut être représentée de la façon suivante (figure 1). Le vecteur OM (σ I ,σ II ,σ III ) étant associé
à σ , et e ∆ (1/ 3 , 1/ 3 , 1/ 3 ) , vecteur unitaire porté par l’axe trissecteur ∆ , à I / 3 , il vient :
OH = (OM .e ∆ ) e ∆ = ( trσ ) e ∆ / 3
(A.3)
∆
M
σ III
s
H
σ
OM (σ )= HM (s )+ OH (1/ 3(trσ ) I )
O
e∆
1/ 3( trσ ) I
σ II
σI
Figure1. Représentation géométrique dans l’espace des contraintes principales de la
décomposition d’un tenseur en parties sphérique et déviatorique
39
de sorte que le vecteur OH de composantes (trσ / 3, trσ / 3, trσ / 3) représente dans l’espace
des contraintes principales la partie sphérique du tenseur σ , la partie déviatorique étant
associée au vecteur OM − OH = HM . Ce dernier est perpendiculaire à l’axe ∆ .
2. Critère de von Mises
2.1 Domaine d’élasticité.
La fonction de charge relative à un tel critère s’écrit :
f (σ ) = (1 / 2 s : s )
1/ 2
− k = (1 / 2sij s ji )
1/ 2
(
2
− k = 1 / 2( s I2 + s II2 + s III
)
)
1/ 2
−k
(A.4)
où (s I , s II , s III ) désignent les valeurs principales de s et k représente la limite d’élasticité en
cission simple. Dans l’espace des contraintes principales, le module du vecteur HM est égal à :
(
2
HM = s I2 + s II2 + s III
)
1/ 2
(A.5)
de sorte que le critère de von Mises peut également s’écrire
f (σ ) ≤ 0 ⇔ HM ≤ k 2
(A.6)
Le domaine d’élasticité est un cylindre circulaire d’axe ∆ et de rayon k 2 (figure 2).
∆
σ III
k 2
σ II
O
σI
Figure2. Domaine d’élasticité relatif au critère de von Mises
40
2.2 Règle d’écoulement plastique(matériau standard)
Partant de l’expression générale
∂f &
p
p
d = ε& = λ&
λ ≥ 0 si f (σ ) = f& (σ ) = 0
∂σ
(A.7)
Tenant compte de (A.4), il vient
df =
d(1/2 s : s ) s :d s s
∂f
:dσ =
= :dσ
1/ 2 =
∂σ
2k 2k
2(1/2 s : s )
∀dσ
(A.8)
d’où
s
∂f
=
∂σ 2k
(A.9)
et par conséquent, puisque le multiplicateur plastique λ& est indéterminé
p
1/ 2
d = λ& s λ& ≥ 0 si (1 / 2 s : s ) = k et s : σ& = 0
(A.10)
Cette règle d’écoulement peut s’interpréter géométriquement en remarquant d’une part que
d a les mêmes directions principales que σ (voir également la section 4.4. du chapitre I), et
p
que dans l’espace des contraintes principales le vecteur associé à d
p
est normale extérieure à
la surface de charge cylindrique, donc perpendiculaire à l’axe ∆ , et même plus précisément
colinéaire au vecteur associé à s (figure 3).
∆
σ III
d
p
s
σ II
O
σI
Figure3. Interprétation géométrique de la règle d’écoulement associée pour un critère de von
Mises
41
La relation (A.10) implique en particulier que
( ) = tr(λ& s ) = 0
tr d
p
(A.11)
signifiant ainsi que le matériau est plastiquement incompressible.
3. Critère de Tresca
3.1 Domaine d’élasticité.
La fonction de charge d’un tel critère s’écrit :
fˆ (σ I ,σ II ,σ III ) =
sup
K , L = I , II , III
{σ K − σ L } − σ 0 ≤ 0
(A.12)
où σ 0 = 2C représente la limite d’élasticité en traction simple du matériau, C désignant sa
cohésion. Dans l’espace des contraintes principales le domaine d’élasticité est représenté par
un cylindre d’axe ∆ . En effet étant donné un point M (σ I ,σ II ,σ III ) appartenant à ce domaine,
c’est-à-dire vérifiant l’inégalité (A.12), ce dernier contient toute la droite passant par M et
parallèle à ∆ constituée des points de la forme M ′(σ I + α ,σ II + α ,σ III + α ) , puisqu’il est
facile de voir que
∀α
fˆ (σ I +α ,σ II +α ,σ III +α ) =
sup {σ K +α −σ L −α }−σ 0 = fˆ (σ I ,σ II ,σ III )
(A.13)
K ,L= I ,II ,III
Il reste alors à préciser la section de ce cylindre en se plaçant dans un plan déviateur
quelconque, perpendiculaire à ∆ (figure 4). L’expression (A.12) fait apparaître que le critère
de Tresca consiste à limiter la différence entre les contraintes principales extrêmes, la
contrainte principale intermédiaire n’intervenant pas dans un tel critère. L’espace des
contraintes principales peut être ainsi subdivisé en six régions égales délimitées par les trois
plans passant par ∆ et contenant respectivement les trois axes principaux. Chacune de ces
régions correspond à un classement d’ordre donné entre les contraintes principales.
Plaçons nous par exemple dans la région où σ I et σ III sont les contraintes principales
majeure et mineure, tandis que σ II est la contrainte principale intermédiaire. Le critère de
Tresca s’écrit alors
σ I − σ III − σ 0 ≤ 0
(A.14)
La restriction du domaine d’élasticité à cette région est donc délimitée par le plan d’équation
σ I − σ III = σ 0 parallèle à ∆ et à l’axe Oσ II . Effectuant le même raisonnement pour les cinq
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autres régions, il apparaît que la frontière du domaine d’élasticité est un hexagone régulier
représenté sur la figure 4.
σ III
σ I < σ II < σ III
σ II < σ I < σ III
σ I = σ III
σ II = σ III
π /3
σ II < σ III < σ I
σI
2 3σ0
σ I < σ III < σ II
o
σ I − σ III = σ 0
m1
σ III < σ II < σ I
σ III < σ I < σ II
m2
σ II
σ I = σ II
Figure4. Section par un plan déviateur du domaine d’élasticité relatif à un critère de Tresca
La dimension de cet hexagone est caractérisée par la distance om1 = om2 , où m1 désigne la
trace dans le plan déviateur de l’arête du cylindre hexagonal, parallèle à l’axe ∆ , qui passe
par le point (σ I = σ 0 , σ II = σ III = 0) correspondant à limite d’élasticité en traction uniaxiale.
Cette distance n’est autre que la norme du déviateur associé à cet état de contrainte
( s I = 2σ 0 / 3, s II = s III = −σ 0 / 3)
(
2
om1 = om2 = s I2 + s II2 + s III
)
1/ 2
=
2
σ0
3
(A.15)
3.2 Règle d’écoulement
On utilise le résultat du cours (chapitre I, équation (1.39)) exprimé en vitesse :
∂fˆ
d Kp = λ&
,
∂σ K
43
λ& ≥ 0
(A.16)
Deux cas doivent être distingués selon la position de l’état de contrainte sur la surface de
charge hexagonale.
Régime de face (figure 5-a). Le point est situé sur une face du polyèdre (segment m1 m2 à
l’exclusion des extrémités). La fonction de charge s’écrit dans ce cas
fˆ (σ I ,σ II ,σ III ) = σ I − σ III − σ 0 = 0
(A.17)
d’où en vertu de (A.16)
d Ip = λ& ≥ 0
d IIp = 0
&
d IIIp = −λ& lorsque fˆ (σ I ,σ II ,σ III ) = σ& I − σ& III = 0
(A.18)
De même sur la «face» m2 m3
d Ip = 0
d IIp = µ& ≥ 0
&
d IIIp = − µ& lorsque fˆ (σ I ,σ II ,σ III ) = σ& II − σ& III = 0
(a )
(b)
σ I − σ III = σ 0
σ I − σ III = σ 0
m3
m1
(A.19)
m3
m1
σ II
σI
m2
σI
m2
σ II − σ III = σ 0
σ II
d Ip = λ&, d IIp = µ& , d IIIp = −(λ& + µ& )
d = λ& = − d IIIp , d IIp = 0
p
I
Figure5. Règle d’écoulement plastique pour un matériau de Tresca : (a) régime de face, (b)
régime d’arête
Régime d’arête (figure 5-b). Le point est situé sur une arête du polyèdre (point m2 ). La
fonction de charge s’écrit dans ce cas
σ I − σ III − σ 0 = 0 et σ II − σ III − σ 0 = 0
(A.20)
Le vecteur représentant le taux de déformation plastique appartient au cône des normales
extérieures en ce point, c’est-à-dire qu’il est combinaison convexe des vecteurs correspondant
aux régimes des «faces» m1 m2 et m2 m3 . Soit
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d Ip = λ& ≥ 0
d IIp = µ& ≥ 0
d IIIp = −(λ& + µ& ) lorsque σ& I = σ& II = σ& III
(A.21)
On observe que dans tous les cas, la condition d’incompressibilité plastique est bien
vérifiée
p
(A.22)
tr d = ∑ d Kp = 0
K
ce qui se traduit géométriquement par le fait que le vecteur associé au taux de déformation
plastique reste perpendiculaire à l’axe ∆.
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