Schémas fonctionnels

Schémas fonctionnels
Dr. K. LABADI
Cours d fAutomatique 2008/2009 (1ère année Ingénieur)
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Plan
Schémas fonctionnels
Définitions
Représentations
Manipulation de schémas fonctionnels
Produit
Sommation
Contre réaction
Réductions des schémas fonctionnels
Règles de réductions
Procédure générale
Exemples
2
Schéma fonctionnel
Le schéma fonctionnel permet de représenter un
système en tenant compte des différentes variables
et éléments qui le caractérisent :
– les variables sont représentées par des flèches
– les éléments sont représentés par des rectangles
(bloc fonctionnel) ; chaque bloc fonctionnel est
une fonction de transfert (FT) entre une variable
d ’entrée et une variable de sortie
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Exemple : variation de vitesse
Schéma fonctionnel plus détaillé :
couple résistant
commande
du hacheur
vitesse
tension
induit moteur+ arbre
génératrice
hacheur
charge
tachymétrique
actionneur
procédé
mesure
de la vitesse
capteur
4
– Objectif : détailler le fonctionnement du système
• plusieurs blocs fonctionnels
• 1 bloc : un élément physique, une relation
fonctionnelle
• apparition de variables intermédiaires (internes)
• le nombre de variables externes est inchangé
perturbation
entrée
sortie
variables intermédiaires
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Schéma fonctionnel
Représentation graphique un système linéaire
Les équations différentielles du comportement sont traduites par la fonction
de transfert de chaque constituant.
Chaque fonction est schématisée par un bloc. L’allure globale du schéma
renseigne aussi sur sa structure (boucle ouverte, boucle fermée).
Les branches (flèches orientées) entre les blocs portent les variables
intermédiaires globales du système.
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Schéma fonctionnel
Un schéma fonctionnel est constitué par un assemblage de
quatre types d’éléments:
Blocs (rectangles)
Comparateurs
Points de dérivations
Flèches (circulations orientées des signaux)
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Formalisme
Bloc: Le bloc possède une entrée E et une sortie S. La fonction
de transfert H du bloc est déterminée d'après les équations de
fonctionnement.
S
E
H
S(p) = E(p) × H(p)
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Formalisme
Jonction: La variable de la branche 1 est identique à celle de
la branche 2, un prélèvement d’information ne modifie pas la
variable.
Branche 1
Branche 2
9
Formalisme
Sommateur: Les sommateurs permettent d’additionner ou de
soustraire des variables. Ils possèdent plusieurs entrées mais
une seule sortie.
E1
E2
+
+
S
-
E3
S(p) = E1 (p) + E 2 (p) - E 3 (p)
10
Formalisme
Comparateur: Cas particulier de sommateur qui permet de
faire la différence de deux entrées (de comparer) ici :
E1
+
S
E2
S(p) = E1 (p) - E 2 (p)
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Manipulation des schémas
Produit
E
A
S1
B
S
E
A×B
S
S1 = A × E
S = B × S1
⇒ S = [ A×B]×E
Il est possible de remplacer des blocs en ligne par le bloc produit des
fonctions de chaque blocs.
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Manipulation des schémas
Sommation
A
S1
E
+
+
B
S
E
A+B
S
S2
S1 = A × E 

S2 = B × E 
S = S1 +S2 
⇒ S = [ A + B]×E
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Manipulation des schémas
Contre réaction
E
+
ε
-
A
S
E
A
S
1+AB
R
B


S = A× ( E - R )


S = A×  E - ( B×S)  
S=A×ε
A
⇒ S=
×E
1+AB
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Manipulation des schémas
Contre réaction avec retour unitaire
E
+
ε
-
A
S
A
E
S
1+A


S = A× ( E - S ) 
S=A×ε
A
⇒ S=
×E
1+A
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Manipulation des schémas
Déplacement d’une sommation
E
S1 +
K
εs
-
S2
E
+
ε
-
K
εs
S = G × εs
G
S
S = G× ( S1 - S2 )
K
M
S = G× ( E×K ) - ( M × K ) 
G
⇒ S = G × K (E - M)
S
M
S = G × εs
S = G× ( K × ε )
⇒ S = G × K ( E - M ) 16
Manipulation des schémas
Déplacement d’une sommation
S=G×ε
E
K
S1 +
-
ε
G
S
S = G× ( S1 - M )
S = G× ( E×K ) -M 
M
⇒ S = G×E×K - G × M
E
+
-
K
1/K
ε
G
S
M
1
S = G×K×(E - M)
K
⇒ S = G×K×E - G×M
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Manipulation des schémas
Déplacement d’une jonction
E
K
U
G
F
S1
S2
S1 = [ G × K ]×E
S2 = [ F × K ]×E
E
K
G
K
F
S1
S2
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Manipulation des schémas
Déplacement d’une jonction
E
K
U
G
F
S1
S2
S1 = [ G × K ]×E
S2 = F × E
E
K
G
1/K
F
S1
S2
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Règles de Transformation
Le schéma fonctionnel d’un système de commande est souvent compliqué.
Il peut comprendre plusieurs boucles de retour ou d’action, et plusieurs
signaux d’entrée.
Au moyen de la réduction systématique des schémas fonctionnels, tout
système à retour de boucles multiples peut se ramener à une forme
canonique.
R
+
E
±
B
G
C
R
≡
+
1/H
G·H
C
±
H
20
Règles de transformation
Règle 1: Éléments en série
x
P1
P2
y
x
P1·P2
y
Règle 2: Éléments en parallèle
x
P1
+
y
±
x
P1 + P2
y
P2
21
Règles de transformation
Règle 3: Retrait d’un élément d’une chaîne d’action
x
+
P1
y
±
x
P2
P1
+
y
P2
±
P2
Règle 4: Élimination d’une boucle de retour
+
P1
±
x
y
x
P1
y
1 ± P1·P2
P2
22
Règles de transformation
Règle 5: Retrait d’un élément d’une boucle de retour
x
+
y
P1
x
1
±
P2
+
y
P1· P2
±
P2
Règle 6a: Redisposition des comparateurs
w
x
y
+
z
+
±
±
w
y
+
z
+
±
±
x
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Règles de transformation
Règle 6b: Redisposition des comparateurs
w
+
±
x
z
+
w
±
±
x
y
z
+
+
±
y
Règle 7: Déplacement d’un comparateur en amont d’un élément
x
P
z
+
x
+
±
±
y
P
1
P
z
y
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Règles de transformation
Règle 8: Déplacement d’un comparateur en aval d’un élément
x
+
±
y
z
P
x
P
y
+
z
±
P
Règle 9: Déplacement d’un point de dérivation en amont d’un élément
x
P
y
y
x
P
y
y
P
25
Règles de transformation
Règle 10: Déplacement d’un point de dérivation en aval d’un élément
x
P
y
x
P
x
x
y
1
P
Règle 11: Déplacement d’un point de dérivation en amont d’un
comparateur
x
x
+
z
±
z
±
+
±
y
z
z
+
y
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Règles de transformation
Règle 12: Déplacement d’un point de dérivation en aval d’un élément
x
y
z
+
±
+
x
±
y
x
z
±
x
+
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Méthode générale de réduction
Étape 1
Associer tous les éléments en série (règle 1)
Étape 2
Associer tous les éléments en parallèle (règle)
Étape 3
Éliminer toutes les boucles de retour non principales (règle 4)
Étape 4
Faire passer les comparateurs à gauche, et les points de
dérivation à droite de la boucle principale (règles 7, 10 et 12)
Étape 5
Répéter les étapes 1 à jusqu’à l’obtention de la forme canonique
pour un signal d’entrée particulier
Étape 6
Répéter les étapes de 1 à 5 pour chaque signal d’entrée, tant que
nécessaire.
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Exemple 1
Mettre le schéma fonctionnel suivant, sous forme canonique
G3
+
+
R
+
-
G1
G4
G2
+
C
+
H1
H2
Étape 1: éléments en série
Étape 2: éléments en parallèle
29
Exemple 1 (suite)
Mettre le schéma fonctionnel suivant, sous forme canonique
+
R
+
-
G3 + G2
G1·G4
C
+
H1
H2
Étape 3: éléments en boucle
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Exemple 1 (suite)
Mettre le schéma fonctionnel suivant, sous forme canonique
+
R
G1·G4
1 – G1·G4·H1
-
G3 + G2
C
H2
Étape 1: éléments en série
R
+
-
G1·G4
1 – G1·G4·H1
H2
C
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Exemple 2
Exprimer la sortie du système représenté par le schéma fonctionnel suivant.
R(p)
E(p)
Y(p)
G(p)
+
-
E(p) = R(p) - Y(p)
Y(p) = G(p) × E(p)
Y(p) = G(p) × ( R(p)-Y(p) )
G(p)
Y(p) = R(p)×
1 + G(p)
32
33