Métropole Septembre 2009 Brevet Corrigés

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Brevet
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Activité numérique (sur 12 points)
Exercice 1 :
1404 468 × 3
468
=
=
3465 1155 × 3 1155
La fraction obtenue est-elle irréductible ?
Méthode 1 :
468 : 4 + 6 + 8 = 18 et 1 + 8 = 9
donc 468 est divisible par 3
1155 : 1 + 1 + 5 + 5 = 12 et 1 + 2 = 3
donc 1155 est divisible par 3
La fraction obtenue n’est donc pas irréductible.
Méthode 2 : calculer le PGCD de 468 et 1155.
468
Si celui est différent de 1 alors la fraction
n’est pas irréductible.
1155
Algorithme d’Euclide :
1155 = 2 × 468 + 219
468 = 2 × 219 + 30
219 = 7 × 30 + 9
30 = 3 × 9 + 3
9=3×3+0
Le dernier reste non nul est 3 donc PGCD(468 ; 1155) = 3
La fraction obtenue n’est donc pas irréductible.
Exercice 2 :
Méthode 1 :
La probabilité de tirer une boule blanche est 0,32.
De plus la probabilité de tirer une boule blanche est égale à :
nombre de boules blanches
nombre de boules au total
nombre de boules blanches
= 0,32
25
Il y a donc 0,32 × 25 = 8 boules blanches. Il y a donc 25 – 8 = 17 boules noires.
Les boules les plus nombreuses dans l’urne sont donc les noires.
Donc
Méthode 2 :
La probabilité de tirer une boule blanche est 0,32, donc la probabilité de tirer une boule noire est
égale à : 1 – 0,32 = 0,68.
Comme 0,68 > 0,32, cela signifie que les boules les plus nombreuses dans l’urne sont les
noires.
Exercice 3 :
Notons x, la quantité exprimée en litre correspondant à une dose.
3 doses de sirop avec 5 doses d’eau correspond à : 3x + 5x = 8x.
6 3
Pour obtenir 6 litres de boisson on a : 8x = 6
soit x = =
8 4
La quantité de sirop, exprimée en litre, qu’il faut utiliser pour obtenir 6 litres de cette
3 9
boisson est de : 3 × = soit 2,25 litres.
4 4
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Exercice 4 :
1. On choisit 3 comme nombre de départ.
Programme B
– Choisir un nombre
– Multiplier ce nombre par 5
– Retrancher 4
– Multiplier par 2
Le résultat du programme B est 22.
:3
: 3 × 5 = 15
: 15 – 4 = 11
: 11 × 2 = 22
2. On choisit (− 2) comme nombre de départ.
Programme A
– Choisir un nombre
:–2
– Multiplier ce nombre par 3
:–2×3=–6
– Ajouter 7
:–6+7=1
Le résultat du programme A est 1.
3. a. Programme A
– Choisir un nombre
:x
– Multiplier ce nombre par 3
: x × 3 = 3x
– Ajouter 7
: 3x + 7
Pour que le résultat du programme A soit (− 2) il faut résoudre l’équation : 3x + 7 = – 2.
3x + 7 = – 2 ⇔
3x = – 2 – 7
⇔
3x = – 9
9
⇔
x=– =–3
3
Pour que le résultat du programme A soit (− 2), il faut que le nombre de départ soit (– 3).
b. Programme B
– Choisir un nombre
:x
– Multiplier ce nombre par 5
: x × 5 = 5x
– Retrancher 4
: 5x – 4
– Multiplier par 2
: 2(5x – 4) = 10x – 8
Pour que le résultat du programme B soit 0 il faut résoudre l’équation : 10x – 8 = 0.
10x – 8 = 0 ⇔
10x = 8
8 4
10x – 8 = 0 ⇔
x = = = 0,8
10 5
Pour que le résultat du programme B soit 0, il faut que le nombre de départ soit 0,8.
4. Le nombre qu’il faut choisir pour obtenir le même résultat avec les deux programmes est
solution de l’équation : 3x + 7 = 10x – 8
3x + 7 = 10x – 8
⇔
3x – 10x = – 8 – 7
⇔
– 7x = – 15
15
⇔
x=
7
Le nombre qu’il faut choisir pour obtenir le même résultat avec les deux programmes est
15
.
7
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Activités géométriques (sur 12 points)
Exercice 1 :
1. On sait que :
O est le milieu de [AB].
G est le symétrique de F par rapport à O donc O est le milieu de [FG].
Les diagonales du quadrilatère AFBG se coupent donc en leur milieu.
Donc le quadrilatère AFBG est un parallélogramme.
2. Dans le triangle ABC :
O est le milieu de [AB].
F est le milieu de [AC]
D’après le théorème des milieux, on en déduit que la droite (FO) est parallèle à la droite
(CB)
3. Dans les triangles CAB et CDE :
A appartient au segment [CD],
B appartient au segment [CE],
La droite (AB) est parallèle à la droite (DE).
CA CB AB
=
=
CD CE DE
1,8 × 12
CD =
soit
4,5
D’après le théorème de Thalès :
Donc
1,8 4,5
=
CD 12
soit
soit
1,8 CB 4,5
=
=
CD CE 12
CD = 4,8 cm
4. Le triangle CDE est rectangle en C.
A appartient au segment [CD] et B appartient au segment [CE], donc le triangle BAC est
rectangle en C.
Dans le triangle BAC rectangle en C :
AC 1,8
cos BAC =
=
= 0,4
AB 4,5
Soit BAC = 66 ° au degré près.
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Exercice 2 :
1.
H
M
2. On se sert du triangle HOM de la question 1.
A l’aide d’un compas, on a la distance HM, qui
correspond au rayon du cercle.
H
M
O
3. Dans le triangle HOM rectangle en O :
HM
soit
HM = OH × tan HOM
tan HOM =
OH
HM = 5 × tan 30
HM = 2,9 cm au mm près.
4. En versant de l’eau on obtient un petit cône à l’intérieur du grand. Ce cône est une réduction
1
du grand. Le coefficient de réduction est car on verse de l’eau dans le cône jusqu’au quart de sa
4
hauteur.
1
13
Le volume occupé par l’eau est donc égale à : Veau =   Vcone =
V
64 cone
4
Le pourcentage du volume total du cône occupé par l’eau est donc :
Veau
100
× 100 % soit
% soit 1,6 % (au dixième près)
Vcone
64
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Problème (sur 12 points)
Partie I : Format d’un rectangle
1. Tableau de la feuille annexe 2.
Longueur L
Largeur ℓ
L
sous forme
ℓ
irréductible
Rectangle Rectangle Rectangle Rectangle Rectangle
1
2
3
4
5
32
36
60
80
128
18
27
45
45
72
16
9
4
3
60 4
=
45 3
80 16
=
45 9
128 16
=
72
9
2.
a. Les rectangles du tableau qui ont le même format que le rectangle 1 sont les rectangles 4 et 5.
b. Le rectangle du tableau qui a le même format que le rectangle 2 est le rectangle 3.
16
; sa largeur vaut 54 mm.
9
L 16
54 × 16
Sa longueur L vérifie alors :
= soit L =
= 96
54 9
9
Sa longueur est 96 mm.
L = 96
3. a. Le rectangle est au format
b.
ℓ = 54
c. Le rectangle est au format
16
.
9
La longueur L et sa largeur ℓ vérifient :
L 16
=
ℓ 9
soit L =
16
ℓ
9
Partie II : Étude graphique
1. Voir graphique en fin d’exercice
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2. Au vu du graphique, la conjecture que l’on peut faire sur la position des points correspondant
16
aux rectangles dont le format est
est que ces points sont sur une même droite passant par
9
l’origine.
16
3. D’après la partie I, question 3.c., on sait que lorsque le format est , la longueur L et la
9
16
largeur ℓ sont liées par la relation : L =
ℓ. Donc L est une fonction linaire de ℓ.
9
16
Tous les points M correspondant à un rectangle de format
sont donc sur une droite passant par
9
l’origine.
16
Le rectangle 1 étant au format , le point P1 appartient donc à cette droite. Cette droite est donc
9
la droite (OP1)
16
Donc si un rectangle est au format , alors le point M correspondant à ce rectangle
9
appartient à la droite (OP1).
Partie III : Étude graphique : diagonale des rectangles
1. Dans le triangle ABC rectangle en B :
D’après le théorème de Pythagore :
L = 32
AC2 = AB2 + BC2
B
A
2
2
2
AC = 32 + 18
Rectangle 1
ℓ = 18
AC2 = 1348
AC = 1348
C
AC = 2 337
Rq : Comme cela n’est pas précisé, on doit donner la valeur exacte et non une valeur approchée
2. Notons d la diagonale d’un écran de télévision au format
16
, de longueur L et de largeur ℓ.
9
Comme à la question précédente on a :
D2 = L2 + ℓ2
Avec L =
16
ℓ
9
2
16
D2 =   ℓ2 + ℓ2
9
256 2
D2 = 1 +
ℓ
81 

337 2
D2 =
ℓ
81
337
D=
×ℓ
81
337
≈ 2,04
81
16
Donc pour les écrans de télévision au format , la longueur de la diagonale vaut
9
approximativement le double de la largeur.
Or
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Annexe 2
140
P5
120
Longueur L
100
80
P4
60
P3
40
P2
P1
20
0O
10
20
30
40
50
60
70
80
Largeur ℓ
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