Diplôme National du Brevet

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Brevet Blanc mars 2010
Diplôme National du Brevet
Mathématiques
Série Collège
L’usage de la calculette est autorisé.
Les trois parties sont indépendantes et peuvent être traitées dans l’ordre que vous voulez.
4 points seront réservés pour le soin, la présentation et la qualité de la rédaction.
Collège Jacques Peletier
1/10
Mathématiques
Partie Numérique (13 points)
( 2,5 points )
Exercice 1
Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM).
Pour chaque ligne du tableau, quatre réponses sont proposées, mais une seule est exacte.
Aucun point ne sera enlevé en cas de mauvaise réponse.
Indiquer sur votre copie, le numéro de la question et, sans justifier, recopier la réponse exacte.
Réponses proposées
1.
Quelle est l’expression
factorisée de : x 2 − 100 ?
(x − 10)2
(x − 10)(x + 10)
(x − 50)2
(x − 50)(x + 50)
2.
Le prix d’un article coûtant 1 200 e baisse de
5%. Quel est son nouveau prix ?
60 e
1 260 e
1 195 e
1 140 e
3.
Sur une carte à l’échelle
1/25 000, la longueur
d’une route est de 10 cm.
La longueur réelle de
cette route est :
2 500 cm
0,25 km
2,5 km
25 000 m
4.
Un randonneur parcourt
5 km en 1 h 15 min. Sa vitesse moyenne est :
4 km/h
4,3 km/h
5,75 km/h
0,25 km/h
5.
Une voiture
vitesse de
En combien
parcourt-elle
mètres ?
2 h 20 min
2 h 12 min
60 min
2 h 02min
roule à la
50 km/h.
de temps
110 kilo-
( 3,5 points )
Exercice 2
On considère le programme de calcul ci-dessous.
Programme de calcul :
•Choisir un nombre de départ
•Ajouter 1
•Calculer le carré du résultat obtenu
•Lui soustraire le carré du nombre de
départ
•Écrire le résultat final.
1)
a) Vérifier que lorsque le nombre de départ est 1, on obtient 3 au résultat final.
b) Lorsque le nombre de départ est 2, quel résultat final obtient-on ?
c) Le nombre de départ étant x, exprimer le résultat final en fonction de x.
2) On considère l’expression P = (x + 1)2 − x 2 . Développer puis réduire l’expression P .
3) Quel nombre de départ doit-on choisir pour obtenir un résultat final égal à 15 ?
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Mathématiques
( 2 points )
Exercice 3
On considère les nombres
¶ µ
¶
µ
37
7 × 103 × 5 × 105
1 1
et B =
− × 7+
A=
¡ ¢3
4 5
9
14 × 102
En précisant toutes les étapes du calcul :
1) Écrire A sous la forme d’une fraction irréductible.
2) Donner l’écriture scientifique de B.
( 5 points )
Exercice 4
On donne l’expression D = (2 − 5x)(4x + 3) + (2 − 5x)2 .
1) Développer, réduire et ordonner D.
2) Factoriser D.
3) Résoudre l’équation (2 − 5x)(−x + 5) = 0.
4) Calculer D pour x = −1.
Partie Géométrique (11 points)
( 7 points )
Exercice 1
La figure qui suit n’est pas en vraie grandeur. Il n’est pas demandé de la reproduire. L’unité est le centimètre.
Le point B appartient au segment [DE] et le point A au segment [CE].
On donne : ED = 9 ; EB = 5,4 ; EC = 12 ; EA = 7,2 ; CD = 15
E
B
A
D
C
1) Montrer que les droites (AB) et (CD) sont parallèles.
2) Calculer la longueur du segment [AB].
3) Montrer que les droites (CE) et (DE) sont perpendiculaires.

4) a) Calculer la valeur arrondie au degré près de l’angle ECD.
d Justifier.
b) En déduire, sans faire de calcul, celle de l’angle EAB.
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Mathématiques
Exercice 2
( 4 points )
S
On considère une bougie conique représentée ci-contre.
(la figure n’est pas aux dimensions réelles.)
Le rayon OA de sa base est 2,5 cm.
La longueur du segment [SA] est 6,5 cm.
O
A
1) Sans justifier, donner la nature du triangle SAO et le construire en vraie grandeur.
2) Montrer que la hauteur SO de la bougie est 6 cm.
3) Calculer le volume de cire nécessaire à la fabrication de cette bougie ; on donnera la valeur exacte puis
la valeur arrondie au dixième de cm3 ?
Problème (12 points)
ABC est un triangle rectangle en A tel que AB = 3 cm
et AC = 4 cm.
M est un point de [BC].
La perpendiculaire à (AB) passant par M coupe (AB)
en P.
La perpendiculaire à (AC) passant par M coupe (AC)
en Q.
B
P
A
M
Q
C
Partie A
Justifier que :
1) BC = 5cm
2) Le quadrilatère APMQ est un rectangle
BP BM PM
3)
=
=
.
3
5
4
Partie B
On suppose dans cette partie que BM = 2 cm.
1) Calculer BP, PM puis en déduire AP.
2) Calculer l’aire du rectangle APMQ.
Partie C
On suppose dans cette partie que BM = x cm avec 0 < x < 5.
1) En utilisant la question 3 de la partie A, exprimer BP et PM en fonction de x.
2) En déduire AP en fonction de x.
3) Pour quelle valeur de x, APMQ est-il un carré ?
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Mathématiques
4) On note A (x) l’aire, en cm2 du rectangle APMQ.
Justifier que A (x) = 2, 4x − 0, 48x 2.
5) On donne la représentation graphique de la fonction A obtenue à l’aide d’un tableur :
A (x)
3
2
1
0
0
1
2
3
4
x
a) En s’aidant du graphique, trouver le(s) valeur(s) de x pour lesquelles l’aire du rectangle APMQ est
de 1 cm2 .
b) Déterminer graphiquement la valeur de x pour laquelle l’aire de APMQ est maximale. Donner
cette aire maximale.
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Mathématiques
Corrigé du Brevet Blanc
Partie Numérique (13 points)
( 2,5 points )
Exercice 1
Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM).
Pour chaque ligne du tableau, quatre réponses sont proposées, mais une seule est exacte.
Aucun point ne sera enlevé en cas de mauvaise réponse.
Indiquer sur votre copie, le numéro de la question et, sans justifier, recopier la réponse exacte.
Réponses proposées
1.
Quelle est l’expression factorisé de :
x 2 − 100 ?
(x − 10)2
(x − 10)(x + 10)
(x − 50)2
(x − 50)(x + 50)
2.
Le prix d’un article
coûtant 1 200 ebaisse
de 5% ; quel est son
nouveau prix ?
60 e
1 260 e
1 195 e
1 140 e
3.
Sur une carte à
l’échelle
1/25 000,
la longueur d’une
route est de 10 cm.
La longueur réelle de
cette route est :
2 500 cm
0,25 km
2,5 km
25 000 m
4.
Un
randonneur
parcourt 5 km en
1 h 15 min. Sa vitesse
moyenne est :
4 km/h
4,3 km/h
5,75 km/h
0,25 km/h
5.
Une voiture roule à la
vitesse de 50 km/h.
En combien de temps
parcourt-elle 110 kilomètres ?
2 h 20 min
2 h 12 min
60 min
2 h 02min
( 3,5 points )
Exercice 2
1)
a) 1 + 1 = 2
b) 2 + 1 = 3
22 = 4
32 = 9
c) A = (x + 1)2 − x 2
et
et
4 − 12 = 3
9 − 22 = 9 − 4 = 5
2) P = (x + 1)2 − x 2
P = x 2 + 2x + 1 − x 2
P = 2x + 1
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Mathématiques
3)
2x + 1 = 15
2x = 14
14
x =
2
x = 7
On doit choisir le nombre 7 afin que le résultat soit 15
( 2 points )
Exercice 3
µ
¶ µ
¶
1 1
37
1) A =
− × 7+
¶
µ4 5 ¶ µ 9
4
63 37
5
×
−
+
A=
20 20
9
9
1 100
A=
×
20
9
20 × 5
A=
20 × 9
5
A=
9
7 × 103 × 5 × 105
¡ ¢3
14 × 102
7 × 5 108
× 6
B=
14
10
B = 2, 5 × 102
2) B =
( 5 points )
Exercice 4
1) D = (2 − 5x)(4x + 3) + (2 − 5x)2
D = (8x + 6 − 20x 2 − 15x) + (4 − 20x + 25x 2 )
D = 8x + 6 − 20x 2 − 15x + 4 − 20x + 25x 2
D = 5x 2 − 27x + 10
2) D = (2 − 5x)(4x + 3) + (2 − 5x)2
D = (2 − 5x)[(4x + 3) + (2 − 5x)]
D = (2 − 5x)(4x + 3 + 2 − 5x)
D = (2 − 5x)(−x + 5)
3) (2 − 5x)(−x + 5) = 0
Si un produit est nul alors l’un au moins des facteurs est nul.
2 − 5x = 0
−5x = −2
2
x =
5
L’équation a deux solutions : x =
−x + 5 = 0
−x = −5
x = 5
2
et x = 5
5
Si x = −1 alors :
D = 5 × (−1)2 − 27 × (−1) + 10
D = 5 × 1 + 27 + 10
D = 5 + 37
D = 42
4) Si x = −1 alors :
D = [2 − 5 × (−1)][4 × (−1) + 3] + [2 − 5 × (−1)]2
D = (2 + 5)(−4 + 3) + (2 + 5)2
D = 7 × (−1) + 72
D = −7 + 49
D = 42
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Mathématiques
Partie Géométrique (11 points)
( 7 points )
Exercice 1
1)
E A 7, 2
=
= 0, 6
EC
12
donc
E B 5, 4
=
= 0, 6
ED
9
E A EB
=
.
EC EC
Les points E,A,C et E,B,D sont alignés dans le même ordre et
D’après la réciproque du théorème de Thalès, (AB)//(DC)
E A EB
=
.
EC EC
2) Les triangles EDC et EAB sont dans une configuration de Thalès et (AB)//(CD). D’après le théorème de
Thalès, on a :
E B E A AB
=
=
E D EC DC
5, 4 7, 2 AB
=
=
9
12
15
15 × 7, 2
AB =
12
AB = 9
3) Dans le triangle EDC, le côté le plus long est [CD].
E D 2 + EC 2 = 92 + 122 = 81 + 144 = 225
4)
C D 2 = 152 = 225
donc E D 2 + EC 2 = C D 2 . D’après la réciproque du théorème de Pythagore, EDC est un triangle
rectangle en E, donc (E D) ⊥ (EC ).
a) ECD est un triangle rectangle en E.
EC
CD
12

cos EC
D=
15

EC
D ≈ 37o

cos EC
D=

b) Les droites (AB) et (CD) sont parallèles, donc les angles correspondants E
AB et EC
D sont égaux.
o

On a donc EC
D ≈ 37 .
( 4 points )
Exercice 2
1) SAO est un triangle rectangle en O
S
b
6,5 cm
b
A
b
2,5 cm
O
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Mathématiques
2) Le triangle SAO est rectangle en O.
D’après le théorème de Pythagore
S A 2 = SO 2 + AO 2
6, 52 = SO 2 + 2, 52
42, 25 = SO 2 + 6, 25
SO 2 = 42, 25 − 6, 25
SO 2 = 36
p
SO = 36
1
×π×r2 ×h
3
1
V = × π × 2, 52 × 6
3
V = 12, 5π
V ≈ 39, 3 cm 3
SO = 6
3) V =
Problème (12 points)
Partie A
1) ABC est un triangle rectangle en A, d’après le théorème de Pythagore on a :
AB 2 + AC 2 = BC 2
32 + 42 = BC 2
BC 2 = 9 + 16
BC 2 = 25
p
BC = 25
BC = 5
2) Données (P M) ⊥ (P A),(AQ) ⊥ (QM) et (AP ) ⊥ (AQ))
Propriété : Un quadrilatère qui a 3 angles droits est un rectangle.
Conclusion APMQ est un rectangle
3) ABC et BPM sont dans une configuration de Thalès et (PM)//(AC)
BP B M P M
D’après le théorème de Thalès, on a :
=
=
BA
BC
AC
BP B M P M
On a donc :
=
=
3
5
4
Partie B
BP B M P M
=
=
3
4
5
BP 2 P M
= =
3
5
4
1) On sait que
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Mathématiques
2×4
5
P M = 1, 6 cm
2×3
5
BP = 1, 2 cm
PM =
BP =
AP = AB − BP = 3 − 1, 2 = 1, 8
2) A = P M × P A
A = 1, 6 × 1, 8
A = 2, 88. L’aire du rectangle APMQ est de 2, 88 cm 2
Partie C
BP B M P M
=
=
3
4
5
BP x P M
= =
3
5
4
x ×3
BP =
5
BP = 0, 6x
1) On sait que
x ×4
5
P M = 0, 8x
PM =
2) AP = AB − BP = 3 − 0, 6x
3) APMQ est un carré si PM=AP
0, 8x = 3 − 0, 6x
1, 4x = 3
x =
x =
x =
3
1, 4
30
14
15
7
4) A(x) = P M × AP
A(x) = 0, 8x × (3 − 0, 6x)
A(x) = 2, 4x − 0, 48x 2
5)
a) L’aire du rectangle APMQ est de 1 cm 2 si x ≈ 0, 5 et x ≈ 4, 5
b) L’aire de APMQ est maximale si x ≈ 2, 5 et cette aire est de 3 cm 2
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Mathématiques