b. ( )( )

Exercice 1 (≈ 10 points)
Dans cet exercice, les probabilités seront arrondies au centième.
Partie A
Un grossiste achète des boîtes de thé vert chez deux fournisseurs. Il achète 80% de ses boîtes chez le
fournisseur A et 20% chez le fournisseur B.
• 10% des boîtes provenant du fournisseur A présentent des traces de pesticides ;
• 20% de celles provenant du fournisseur B présentent aussi des traces de pesticides.
On prélève au hasard une boîte du stock du grossiste et on considère les évènements
suivants :
• évènement A : « la boîte provient du fournisseur A » ;
• évènement B : « la boîte provient du fournisseur B » ;
• évènement S : « la boîte présente des traces de pesticides ».
1. Traduire l’énoncé sous forme d’un arbre pondéré.
2. a. Quelle est la probabilité de l’évènement B ∩ S ?
b. Justifier que la probabilité que la boîte prélevée ne présente aucune trace de pesticides est égale à
0,88.
3. On constate que la boîte prélevée présente des traces de pesticides.
Quelle est la probabilité que cette boîte provienne du fournisseur B?
Partie B
À des fins publicitaires, le grossiste affiche sur ses plaquettes : « 88 % de notre thé est garanti sans trace
de pesticides ».
Un inspecteur de la brigade de répression des fraudes souhaite étudier la validité de l’affirmation. À cette
fin, il prélève 50 boîtes au hasard dans le stock du grossiste et en trouve 12 avec des traces de pesticides.
On suppose que, dans le stock du grossiste, la proportion de boîtes sans trace de pesticides est bien égale
à 0,88.
On note X la variable aléatoire qui, à tout échantillon de 50 boîtes, associe le nombre de boites ne
contenant aucune trace de pesticides et.F la variable aléatoire qui, à tout échantillon de 50 boîtes, associe
la fréquence des boîtes ne contenant aucune trace de pesticides.
1. Justifier que la variable X suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres.
2. a. Donner l’intervalle de fluctuation de la variable aléatoire X puis de la variable F au seuil de 95%.
2. b. L’inspecteur de la brigade de répression peut-il décider, au seuil de 95%, que la publicité est
mensongère ?
Exercice 2
1.
(≈ 12 points)
Résoudre l’équation et l’inéquations suivante sur l’intervalle I indiqué :
2
a. ( ln x ) − 2 ln x = 3 I = ] 0 ; + ∞ [ ;
b.
(e
2x
− 3)( 2 − e x ) 0
I =R.
2
2.
Etablir le signe de la fonction telle que f ( x ) = ( ln x ) − ln x sur ] 0 ; + ∞ [
3.
Calculer les limites des fonctions suivantes en
a. f ( x ) = x (1 − ln x ) a = 0
b.
g ( x) =
x − 3ln x
x2
a = +∞ .
:
Exercice 3
(≈ 12 points)
Partie A :
Soit la fonction définie sur ] 0 ; + ∞ [ par u ( x ) = x 2 − 2 + ln x .
sur ] 0 ; + ∞ [ et préciser ses limites en 0 et en + .
1.
Étudier les variations de
2.
Montrer que l’équation ( ) = 0 admet une solution unique sur ] 0 ; + ∞ [ . On note α cette
solution.
b. À l’aide de la calculatrice, donner, sans justification un encadrement d’amplitude
de α.
Déterminer le signe de
) suivant les valeurs de .
Montrer l’égalité : ln α = 2 − α 2 .
3.
4.
a.
Partie B :
On considère la fonction
]0 ; + ∞[ .
Exprimer, pour tout de ] 0 ; + ∞ [ , f ′ ( x ) en fonction de
En déduire les variations de sur ] 0 ; + ∞ [ .
On note f ′ la fonction dérivée de f sur
1.
2.
Exercice 4 (≈ 6 points)
Soit B, C et D trois points non alignés. Soit ( d ) la
perpendiculaire au plan ( BCD ) passant par B et A
un point de ( d ) distant de B.
Dans le triangle ACD, on appelle H le pied de la
hauteur issue de A.
Dans le triangle ABH, on appelle K le pied de la
hauteur issue de B.
1.
Démontrer que la droite ( CD ) est
perpendiculaire au plan ( ABH ) .
2.
Démontrer que la droite ( BK ) est orthogonale à
la droite ( AD ) .
2
définie et dérivable sur ] 0 ; + ∞ [ par f ( x ) = x 2 + ( 2 − ln x ) .