Analyse - Exercice proposé 16 `A afficher le 30/03/07

Analyse - Exercice proposé 16
À afficher le 30/03/07 - À retirer le 27/04/07
Soit un silo de forme conique de hauteur h et de base circulaire de rayon R, posé sur sa
pointe. Il est rempli de gravillons et, vu que d’avantage de particules de petite taille viennent se
tasser dans le bas en laissant moins d’espace vide entre-elles, on peut estimer que la densité du
silo est une fonction de la hauteur z au-dessus de la pointe, soit
h−z
ρ(z) = ρ0 1 +
h
Calculez la masse et la position du centre de gravité du silo ainsi rempli.
Solution
Plaçons l’origine des axes à la pointe du silo, l’axe des z coı̈ncidant avec l’axe du cône. La
masse du silo rempli est donnée par
ZZZ
ρ(z) dxdydz
m=
Ω
où Ω est le corps intérieur au silo.
R
En coordonnées cylindriques, le vecteur position s’écrit
r
s(r, θ, z) = rer + zez
avec θ ∈]0, 2π[, et, pour z ∈]0, h[, on remarque que
rmax
h
z
= R
h
z
donc r ∈]0, zR/h[.
0
Le jacobien du changement de variables étant égal à r, nous déduisons
Z zR/h
Z 2π Z h
r dr
ρ(z) dz
dθ
m=
0
0
0
Z
πρ0 R2 h
(2hz 2 − z 3 ) dz
=
h3
0
πρ0 R2
h3 h4
=
2h −
dz
h3
3
4
5πρ0 R2 h
=
12
Si nous désignons par s(x, y, z), le vecteur position d’un point intérieur au silo, alors le
vecteur position du centre de gravité du silo rempli est donné par
ZZZ
1
ρ(z)s(x, y, z) dxdydz
sc =
m
Ω
c’est-à-dire, en coordonnées cylindriques,
Z zR/h
Z h
Z
1 2π
sc =
r(rer + zez ) dr
ρ(z) dz
dθ
m 0
0
0
1
ey
Z
2π
er dθ =
0
Z
er
En remarquant que la variable θ n’intervient dans l’intégrant que
dans er = cos θ ex + sin θ ey et que
θ
2π
0
(cos θ ex + sin θ ey ) dθ = 0
ex
0
la formule s’écrit
1
sc =
m
Z
0
2π
dθ
Z
h
ρ(z)z dz
Z
zR/h
0
0
πR2
r dr ez =
mh2
Z
h
ρ(z)z 3 dz ez
0
ce qui signifie que le centre de gravité est sur l’axe des z comme on pouvait s’y attendre vu que
le cône est symétrique par rapport à l’axe 0z et que la densité est indépendante de θ.
Tenant compte de l’expression explicite de ρ(z), les calculs conduisent à
Z
πρ0 R2 h
sc =
(2hz 3 − z 4 ) dz ez
mh3 0
h5
h4
πρ0 R2
2h −
ez
=
mh3
4
5
3πρ0 R2 h2
=
ez
10m
En conclusion, le centre de gravité est donné par
sc =
3πρ0 R2 h2
18
12
ez =
h ez
2
5πρ0 R h
10
25
Mathématiques générales, FSA, ULg, mars 2007
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