Correction du Devoir à la maison N°7 Un élève se

Correction du Devoir à la maison N°7
Exercice 1
Un élève se rend à vélo au lycée distant de 3 km de son
−1
domicile à une vitesse supposée constante de 15 km h .
Sur le parcours, il rencontre 6 feux tricolores non
synchronisés.
2
Pour chaque feu, la probabilité qu'il soit au vert est
.
3
Un feu rouge ou orange lui fait perdre une minute et demie.
On appelle X la variable aléatoire correspondant au nombre de feux verts
rencontrés par l'élève sur son parcours et T la variable aléatoire égale au temps en
minute mis par l'élève pour aller au lycée.
1. Soit l'épreuve suivante : l'élève rencontre un feu vert ou pas.
On appellera :
2
• succès : « le feu est vert » et p=
3
1
• échec : « le feu est rouge ou orange » et q=1− p=
3
On a bien une épreuve de Bernoulli.
Sur son chemin l'élève rencontre 6 feux, donc c'est une répétition de 6
épreuve de Bernoulli, de manière identique et indépendante (car les feux ne
sont pas synchronisés)
2
On a donc un schéma de Bernoulli de 6 répétitions de paramètre p=
3
On a X la variable aléatoire correspondant au nombre de feux verts
rencontrés par l'élève sur son parcours, donc X compte le nombre de succès.
2
Donc X suit une loi binomiale de paramètre n=6 et p=
3
2. Si le feu est vert il n'y a pas d'attente, mais si le feu est rouge ou orange il y a
1 ,5 min d'attente.
X est le nombre de feux verts, donc 6− X est le nombre de feux rouge ou
orange.
−1
Le lycée se trouve à 3 km la vitesse de l'élève est de 15 km h , donc s'il ne
rencontre que des feux verts le temps de parcours est de
d
d
3
60
v= ⇔ t = =
h=3× =12 min
t
v 15
15
Donc T=12+1, 5×( 6−X )=12+9−1 ,5 X=21−1 , 5 X
3. E ( T )=E ( 21−1 , 5×X )=21−1, 5×E ( X )
2
=21−1 , 5×np=21−1 ,5×6× =15
3
Cela signifie que sur un grand nombre de trajet, le temps moyen de parcours
est de 15 min
4. L'élève part 17 minutes avant le début des cours.
a) Oui il peut espérer arriver à l'heure car le temps moyen est inférieur à
17 min .
b) P ( T>17 )=P ( 21−1 ,5 X>17 )=P (−1 ,5 X>−4 )
4
8
=P X<−
=P X<
−1, 5
3
=P ( X⩽2 )=P ( X=0 )+ P ( X=1 )+ P ( X=2 )
−3
=1, 37×10 +0 ,016+0 ,082≈0 , 100
La probabilité qu'il soit en retard est d'environ 0 , 1 .
(
) (
)
Exercice 2
Manu a 13 de moyenne en mathématiques cette année.
A chacun des neuf contrôles de l'année, il a progresse de
1 ,5 points.
Soit u 0 sa première note.
Soit u n sa note a un contrôle (autre que le dernier), alors
au suivant contrôle il a eu u n+1=1 , 5+u n
Donc u n+1−u n =( 1 ,5+u n )−u n=1 ,5 ,
La suite ( un ) est arithmétique de premier terme u 0 et de raison r =1 ,5 .
On a donc u n =u0 +1, 5 n , pour 0⩽n⩽8
u 0 +u1+...+u8
=13
La moyenne est de 13 pour les neufs contrôles, c'est à dire que
9
⇔ u0 +u1 +...+u 8 =117
On a donc u 0 + ( u0 +1 ,5 ) + ( u0 +1 ,5×2 ) +...+( u 0+1 ,5×8 )=117
⇔ 9 u 0 + ( 1, 5+1 ,5×2+...+1 , 5×8 )=117⇔ 9 u0 +1 , 5 ( 1+2+...+8 )=117
n (1+n )
On sait que 1+ 2+3+...+n=
2
8 ( 8+1 )
=36
Donc 1+ 2+...+8=
2
63
Donc 9 u 0 +1 ,5×36=117⇔ 9 u0 +54=117 ⇔ 9 u 0 =63⇔ u0= =7
9
Sa plus mauvaise note de l'année est 7