E.D.O. : méthodes numériques (cours 3)

E.D.O. : méthodes numériques (cours 3)
François Cuvelier
Laboratoire d'Analyse Géométrie et Applications
Institut Galilée
Université Paris XIII.
13 janvier 2015
Cuvelier F. (Ingénieurs Energétique I) E.D.O. : méthodes numériques (cours 3)
13 janvier 2015
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Plan
1
2
3
Introduction
Méthodes à un pas ou à pas séparés
Schéma général
Convergence
Stabilité
Consistance
Ordre
Méthode de Runge-Kutta
Principe
Formules explicites de Runge-Kutta d'ordre 2
Méthodes de Runge-Kutta d'ordre 4
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Méthodes à un pas ou à pas séparés
Problème de Cauchy :
"
pPCq
y 1 pt q “ f pt , y pt qq
y pt 0 q “ y 0 P Rm .
Les méthodes à un pas utilisent la formule générale :
y rn`1s “ y rns ` hΦpt n , y rns , hq
(1)
Pour la méthode d'Euler progressive :
Φ pt , y , hq “ f pt , y q.
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Introduction
Méthodes à un pas ou à pas séparés
Schéma général
Convergence
Stabilité
Consistance
Ordre
Méthode de Runge-Kutta
Principe
Formules explicites de Runge-Kutta d'ordre 2
Méthodes de Runge-Kutta d'ordre 4
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Convergence
La méthode converge sur l'intervalle rt , t ` T s si, pour la suite des y rns
calculés, l'écart maximum avec la solution exacte diminue quand le pas h
diminue :
›
›
› rn s
›
y ´ y pt n q› “ 0
max
lim
›
T
0
h“ N Ñ nPt
0
0
,...,N u
0
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Introduction
Méthodes à un pas ou à pas séparés
Schéma général
Convergence
Stabilité
Consistance
Ordre
Méthode de Runge-Kutta
Principe
Formules explicites de Runge-Kutta d'ordre 2
Méthodes de Runge-Kutta d'ordre 4
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Stabilité
La méthode est stable si une petite perturbation sur y r s ou Φ n'entraîne
qu'une petite perturbation sur la solution approchée, et cela quel que soit
le pas h.
0
Théorème
Si Φ pt , y , hq vérie la condition de Lipschitz en y alors la méthode est
stable.
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Introduction
Méthodes à un pas ou à pas séparés
Schéma général
Convergence
Stabilité
Consistance
Ordre
Méthode de Runge-Kutta
Principe
Formules explicites de Runge-Kutta d'ordre 2
Méthodes de Runge-Kutta d'ordre 4
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Consistance
Le schéma de calcul (1) est consistant avec l'équation diérentielle si
› n `1
›
› y pt
›
q ´ y pt n q
n
n
›
›“0
lim
max
´
Φ
p
t
,
y
p
t
q,
h
q
›
h
h “ T Ñ0 n ›
N
Cela signie que le schéma doit être une approximation vraisemblable,
bien construite.
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Consistance
Le schéma de calcul (1) est consistant avec l'équation diérentielle si
› n `1
›
› y pt
›
q ´ y pt n q
n
n
›
›“0
lim
max
´
Φ
p
t
,
y
p
t
q,
h
q
›
h
h “ T Ñ0 n ›
N
Cela signie que le schéma doit être une approximation vraisemblable,
bien construite.
Théorème
Le schéma est consistant si Φpt , y , 0q “ f pt , y q.
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Consistance
Le schéma de calcul (1) est consistant avec l'équation diérentielle si
› n `1
›
› y pt
›
q ´ y pt n q
n
n
›
›“0
lim
max
´
Φ
p
t
,
y
p
t
q,
h
q
›
h
h “ T Ñ0 n ›
N
Cela signie que le schéma doit être une approximation vraisemblable,
bien construite.
Théorème
Le schéma est consistant si Φpt , y , 0q “ f pt , y q.
Théorème
Si la méthode est stable et consistante, alors elle converge pour n'importe
quelle valeur initiale.
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Introduction
Méthodes à un pas ou à pas séparés
Schéma général
Convergence
Stabilité
Consistance
Ordre
Méthode de Runge-Kutta
Principe
Formules explicites de Runge-Kutta d'ordre 2
Méthodes de Runge-Kutta d'ordre 4
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Ordre
La méthode itérative est d'ordre p si pour toute solution :
› n `1
›
nq
› y pt
›
y
q
´
p
t
n
n
max ››
´ Φ pt , y pt q, hq›› ď Chp
n
h
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Introduction
Méthodes à un pas ou à pas séparés
Schéma général
Convergence
Stabilité
Consistance
Ordre
Méthode de Runge-Kutta
Principe
Formules explicites de Runge-Kutta d'ordre 2
Méthodes de Runge-Kutta d'ordre 4
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Principe méthode de Runge-Kutta
"
pPCq
y 1 pt q “ f pt , y pt qq
y pt 0 q “ y 0 P Rm .
L'idée fondamentale des méthodes de Runge-Kutta est d'intégrer l'équation
y 1 pt q “ f pt , y pt qq
sur rt n , t n` s et de calculer :
1
y pt n`1 q “ y pt n q `
ż t n`1
tn
f pt , y pt qqdt ,
en utilisant une formule d'intégration numérique à q points intermédiaires
t n,i ` “ t n ` hi pour calculer l'intégrale.
1
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Principe méthode de Runge-Kutta
y rn`1s “ y rns ` hΦ pt n , y rns , hq
La fonction Φ associée à une méthode de Runge-Kutta à q évaluations de
f peut s'écrire sous la forme :
Φ pt , y , hq “
avec
k ri s pt , y , hq “ f
q
ÿ
i“
˜
t ` hai , y ` h
ci k ri s pt , y , hq
1
q
ÿ
j“
¸
bi ,j k rj s pt , y , hq , 1 ď i ď q
1
Sous la forme d'un tableau dit tableau de Butcher :
a B
ct
(2)
avec B “ pbi ,j qi ,j Pv ,qw P Mq,q pRq, a “ pai qi Pv ,qw P Rq et
1
c “ pci qi Pv1,qw P Rq
1
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Principe méthode de Runge-Kutta
Une méthode de Runge-Kutta est d'ordre 0 si
ai “
q
ÿ
j“
bij .
1
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Principe méthode de Runge-Kutta
Une méthode de Runge-Kutta est d'ordre 0 si
ai “
q
ÿ
j“
bij .
1
Une méthode de Runge-Kutta est d'ordre 1 (et donc consistante) si
elle est d'ordre 0 et si
q
ÿ
i“
ci “ 1.
1
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Principe méthode de Runge-Kutta
Une méthode de Runge-Kutta est d'ordre 0 si
ai “
q
ÿ
j“
bij .
1
Une méthode de Runge-Kutta est d'ordre 1 (et donc consistante) si
elle est d'ordre 0 et si
q
ÿ
i“
ci “ 1.
1
Une méthode de Runge-Kutta est d'ordre 2 si elle est d'ordre 1 et si
q
ÿ
i“
ci ai “ 1{2.
1
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Principe méthode de Runge-Kutta
Une méthode de Runge-Kutta est d'ordre 0 si
ai “
q
ÿ
j“
bij .
1
Une méthode de Runge-Kutta est d'ordre 1 (et donc consistante) si
elle est d'ordre 0 et si
q
ÿ
i“
ci “ 1.
1
Une méthode de Runge-Kutta est d'ordre 2 si elle est d'ordre 1 et si
q
ÿ
i“
ci ai “ 1{2.
1
Une méthode de Runge-Kutta est explicite si
@pi , j q P v1, q w, j ě i , bij “ 0.
Les méthodes de Runge-Kutta explicites sont stables si f est
contractante en y .
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Méthodes à un pas ou à pas séparés
Schéma général
Convergence
Stabilité
Consistance
Ordre
Méthode de Runge-Kutta
Principe
Formules explicites de Runge-Kutta d'ordre 2
Méthodes de Runge-Kutta d'ordre 4
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Formules explicites de Runge-Kutta d'ordre 2
tableau de Butcher :
0
0
1
1
2
α
α
2
0
0
(3)
1´α α
Φ pt , y , hq “ p1 ´ αqf pt , y q ` αf pt `
h
2α
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,y `
h
2α
f pt , y qq
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Formules explicites de Runge-Kutta d'ordre 2
tableau de Butcher :
0
0
1
1
2
α
α
2
0
0
(3)
1´α α
Φ pt , y , hq “ p1 ´ αqf pt , y q ` αf pt `
h
,y `
2α
Avec α “ , on obtient la méthode de Heun :
h
2α
f pt , y qq
1
2
¯
h ´
h
y rn`1s “ y rns ` f pt n , y rns q ` f t n`1 , y rns ` hff pt n , y rns q .
2
2
Avec α “ 1, on obtient la méthode d'Euler modiée ou méthode
du point milieu :
y
rn`1s
“y
rns
h
h
t n ` , y rns ` f pt n , y rns q .
ˆ
` hff
˙
2
2
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Formules explicites de Runge-Kutta d'ordre 2
Exercice
la méthode de Heun est donnée par
¯
h
h ´
y rn`1s “ y rns ` f pt n , y rns q ` f t n`1 , y rns ` hff pt n , y rns q .
2
2
Ecrire la fonction algorithmique REDHeun permettant de résoudre un
problème de Cauchy scalaire par la méthode de Heun en utilisant au
plus 2N évaluation de f .
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Formules explicites de Runge-Kutta d'ordre 2
Exercice
la méthode de Heun est donnée par
¯
h
h ´
y rn`1s “ y rns ` f pt n , y rns q ` f t n`1 , y rns ` hff pt n , y rns q .
2
2
Ecrire la fonction algorithmique REDHeun permettant de résoudre un
problème de Cauchy scalaire par la méthode de Heun en utilisant au
plus 2N évaluation de f .
Ecrire la fonction algorithmique REDHeunVec permettant de résoudre
un problème de Cauchy vectoriel par la méthode de Heun en utilisant
au plus 2N évaluation de f .
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Convergence
Stabilité
Consistance
Ordre
Méthode de Runge-Kutta
Principe
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Formules explicites de Runge-Kutta d'ordre 4
La méthode explicite la plus utilisée est donnée par le tableau de Butcher
suivant
0
0
0
0
0
1{2 1{2 0
0
0
1{2 0 1{2 0
0
(4)
1
0
0
1
0
1{6 2{6 2{6 1{6
Ce qui donne le schéma explicite de Runge-Kutta d'ordre 4 :
k 1rns
k 2rns
k 3rns
k 4rns
y rn`1s
“
“
“
“
“
f pt n , y rns q
f pt n ` h2 , y rns ` h2 k r1ns q
f pt n ` h2 , y rns ` h2 k r2ns q
f pt n ` h, y rns ` hkk r3ns q
y rns ` h6 pk r1ns ` 2k r2ns ` 2k r3ns ` k r4ns q.
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