IPC3

Introduction (3)
—
Régression linéaire
L’exploitation de résultats expérimentaux, que ce soit en physique ou en chimie nécessite très
souvent l’emploi de la régression linéaire. Cet outil permet notamment de valider un modèle
théorique grâce aux données expérimentales.
Puisque la droite est la fonction mathématique la plus simple à manipuler, on cherchera toujours à tracer graphiquement une grandeur Y en fonction d’une grandeur X de telle sorte que
le graphe Y = f (X) soit une droite — donc d’équation Y = aX + B.
Exemple : La chute libre d’un corps sans vitesse initiale se traduit théoriquement par une
variation de l’altitude h avec le temps t de la forme : h = a.t2 + b (a et b sont des constantes
liées à l’accélération de pesanteur g et à l’altitude initiale). Un dispositif expérimental permet la
mesure de l’altitude h en fonction du temps t écoulé. On obtient le tableau de valeurs suivant :
t (s)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
h (m) 600 520 582 545 468 420 368 295 200 118
La méthode graphique la plus simple pour vérifier que les
données expérimentales corroborent le modèle est de tracer
la courbe h = f (t2 ). Si le modèle théorique est valide, les
points expérimentaux doivent s’aligner sur le graphe. On
peut alors déterminer « manuellement » la droite qui passe
« au plus près » de l’ensemble des points expérimentaux.
→ Cf. graphe ci-contre.
On voit bien sur l’exemple proposé que certains points
peuvent être aberrants (t = 1 s, h = 520 m).
Il peut s’agir d’un dysfonctionnement ponctuel d’un appareil de mesure, ou, plus fréquemment,
d’un mauvais report de valeur de la part de l’expérimentateur. . . Il convient alors de ne plus tenir
compte de ce(s) point(s) pour la suite du traitement. 1
On déduit la valeur de a du coefficient directeur de la droite, et celle de b de son ordonnée à
l’origine. Pour l’exemple donné, on trouve a ≃ −5 m.s−2 et b ≃ 600m.
Toute cette étude « à la main » est théoriquement nécessaire, notamment pour repérer les points
aberrants 2 , mais un complément DOIT être effectué à l’aide d’une calculatrice (ou d’un ordinateur).
Il manque en effet un paramètre important à l’étude, qui permet de quantifier l’alignement plus
ou moins bon des points expérimentaux. Quelle que soit la calculatrice utilisée, le principe reste
le même :
Il suffit d’éditer un tableau de données (en ayant pris la précaution d’ôter les
points aberrants. . . ), puis de demander le calcul de la régression linéaire. Si
la calculatrice est bien configurée, elle donne immédiatement les valeurs de a
et b (coefficient directeur et ordonnée à l’origine), ainsi que le coefficient de
corrélation linéaire r et son carré r2 .
❚ Propriété : Plus une corrélation (ou régression) linéaire est convenable (i.e. plus les points
sont alignés), plus le coefficient de corrélation r est proche de 1. Par habitude, on reporte sur
la copie la valeur de r2 .
1. Certains verront, à tort, une forme de « triche » dans le fait de ne pas tenir compte du ou des points
aberrants. C’est pourtant le bon sens scientifique qui pilote cette mise à l’écart.
2.
IPC3
.
2012-2013
Rq : En physique ou en chimie, la valeur de r2 doit être comprise entre 0, 99 et 1 pour pouvoir considérer une bonne adéquation entre les points expérimentaux et la droite d’extrapolation.
Dans le cas de l’exemple précédent, en ôtant le point aberrant, on obtient les paramètres suivants
pour la corrélation linéaire :
a = −4, 81 m.s−2
b = 598 m r2 = 0, 998
La corrélation est donc correcte, mais pas exceptionnelle.
Attention : La valeur de r2 se donne avec tous les chiffres « 9 » après la virgule ainsi que le
premier chiffre différent de « 9 » sans arrondi, même s’il faut mettre pour cela un grand nombre
de chiffres significatifs !
Exemples : 0, 990 ou 0, 9999996
Contre-exemples : 0, 999 ou 0, 9999564.
Avec la TI-89 :
→ Éditeur de données
→ 3 : Nouveau
→ Type : Données – Dossier : Main – Variable : attribuer un nom quelconque (reg1 par exemple)
→ Entrer les données X dans la colonne c1 et les données Y dans la colonne c2
→ Touche F5 (Calculs)
→ Sélectionner Type de calculs : 5 : RegLin ; Enter
→ Indiquer c1 pour X et c2 pour Y ; Enter ; Enter
→ Une fenêtre VARS STAT s’ouvre et donne a, b, r (corr) et r2 (R2 )
Compléments :
• On aura noté qu’il faut travailler avec t2 en abscisse et non pas t.
Il faut donc créer 3 listes :
Liste 1 : entrer les dates t
Liste 2 : entrer les vitesses
Liste 3 : le calcul de t2 s’obtient en élevant tous les termes de la Liste 1 au carré.
Pour se faire, sélectionner la case « c3 »(case « c3 »sur fond noir), et en bas de l’écran, après
« c3= », écrire « c12̂ » et valider Entrée (sans les guillemets évidemment) : toutes les cases de la
listes se calculent automatiquement !
Ensuite lorsque la calculatrice demande x et y, adapter x à la bonne liste :
x. . . . . . c3 (et non pas c1)
• Si on veut effectuer une observation graphique, à ce stade :
- sélectionner « y1(x) » en face de »Sauve EQReg dans »(juste en-dessous de la ligne « y. . . . . . c2 »)
- Une fois la régression linéaire effectuée, sélectionner GRAPH (touche verte ◆ (à gauche de touche
ALPHA) suivie de touche F3)
- On voit tout de suite qu’une valeur pose problème : il faut supprimer la ligne correspondante
dans les deux liste et effectuer de nouveau la régression.
• Si on veut supprimer une mesure erronée dans les listes :
- A partir du graphe précédent qui met bien en évidence le point de mesure qui pose problème,
on chercher à déterminer les coordonnées de ce point.
- Pour cela, appuyer sur la touche F3 : un pointeur apparaît sur le premier point expérimental.
- On peut déplacer le pointeur avec les touches de flèches, jusqu’à sélectionner le point qui pose
problème et lire dans la ligne du bas ses coordonnées. - Il faut revenir alors à l’éditeur de données
(touche APPS, puis Editeur de Données puis « 1 : Courant »
- Sélectionner une case de la ligne qui pose problème
- Sélectionner F6 (en appuyant sur la touche bleue 2ND puis la touche F1)
- Sélectionner « 2 : Effacer », puis avec les touches de flèches sélectionner « 2 : ligne » : La ligne
fautive est effacée.
2
http://atelierprepa.over-blog.com/
Qadri J.-Ph. | PTSI
2012-2013
.
IPC3
- On refait la régression, après avoir pensé à sauvegarder l’équation dans « y1(x) »
- On trace le nouveau graphe en basculant sur le mode GRAPH (◆ + F3), histoire de vérifier
qu’on a éliminé le bon point (mais en principe, cela se voit déjà avec un coefficient de corrélation
élevé au carré supérieur à 0.99)
Avec la TI-84+ et la TI-83+ :
→ Aller dans le menu STAT, puis EDIT (L1,L2)
→ Ensuite aller dans STAT, puis CALC (le 2ème onglet) et enfin choisir 4 :LinReg(ax+b) ou
8 :LinReg(a+bx).
Compléments :
• en ligne :
- http ://www.ti83plus.online.fr/articles.php ?id=20
- Animation pas en pas pour la TI-83+ :
http ://www.fabricemonna.com/enseignement-2/licence-2-ste/statistiques-l2-ste/l2-statistiques-td1-exercice-1/
• Pour afficher le coefficient de corrélation avec les calculatrices TI-83+ , il faut aller dans Catalog
(touches "2nde" + "0"), puis sélectionner et activer DiagnosticOn (en anglais) ou CorrelAff (en
français).
Autre possibilité : une fois la régression faite, faire :
VARS > statistics > (eqn ?) > r
dans le menu Vars, toutes les variables systèmes sont accessibles.
Avec la TI-82 Stats.fr :
• Présentation détaillée avec animation pas à pas en ligne :
http ://maths.ac-amiens.fr/sites/maths.ac-amiens.fr/IMG/pdf/TI_82_stats.pdf
• Pour afficher le coefficient de corrélation avec les calculatrices TI-82 Stats.fr, il faut aller dans
Catalog (touches "2nde" + "0"), puis sélectionner et activer DiagnosticOn (en anglais) ou CorrelAff
(en français).
Avec la TI-76 :
• Manuel en ligne :
http ://ufasp.unblog.fr/files/2010/10/ti76frguidebook.pdf
→ voir tout particulièrement p. 9-4 pour la régression linéaire mais aussi p. 9-26 et p. 9-27
pour activer l’affichage des coefficients de corrélation r et r2
Avec la TI-n Spire :
• Manuel en ligne : http ://www.univers-ti-nspire.fr/files/pdf/TI-Nspire_chap13_qs.pdf
→ voir tout particulièrement les pages 7 et 8.
Avec la CASIO College 2D+ et la CASIO Graph 35+ :
• Document d’explication en ligne :
http ://www.casio-education.be/calculatrice_casio_documents/casio-lab/Casio-Lab-09-2008-FR.pdf
• Mode d’emploi pour les modèles Graph 35+ / 85 / 85 SD / 75 / 95 (même principe pour la
Graph 100+ ) :
http ://www.casio-education.fr/calculatrice_casio_documents/notices/CASIO-GRAPH95-75-35PLUS-25PLUS-Pro-Soft-Mode d’emploi.pdf
p. 6-16 : définir des listes de données
p. 6-16 : calcul de régression
p. 6-11 : graphe et régression linaire
- Animation pas en pas pour la Graph 85 SD :
http ://www.fabricemonna.com/enseignement-2/licence-2-ste/statistiques-l2-ste/l2-statistiques-td1-exercice-1/
Avec la CASIO Graph 65 :
→ Menu Stat, Exe
→ Entrer les données X dans list 1 et les données Y dans list 2
Qadri J.-Ph. | PTSI
http://atelierprepa.over-blog.com/
3
IPC3
2012-2013
.
→ Faire CALC REG X
• Mode d’emploi pour les modèles Graph 35 / 65 :
http ://bts-ig.numeriques.net/calculatrices/GRAPH_35_65_Fr.pdf
p. 251 : introduire des données dans une liste
p. 261 : graphe et régression linéaire
p. 271 : calcul de régression
- Une erreur classique et fréquente est d’inverser la liste des abscisses et celle
des ordonnées. Il faut bien maitriser sa machine. Pour voir si on se trompe ou
pas, il suffit de rentrer les couples de valeurs (x = 0, y = 0) et (x = 1, y = 2).
Si on trouve une pente 2, on a bon, si on trouve une pente 0, 5 c’est qu’on a
inversé abscisses et ordonnées.
- Attention aux conventions : Les Français écrivent les équations de droite
ax + b, mais les anglo-saxons préfèrent a + bx. Bien vérifier ce que a et b
signifient pour votre calculatrice.
4
http://atelierprepa.over-blog.com/
Qadri J.-Ph. | PTSI