M2n – SIMULATION DE LA CHUTE LIBRE

Fiche professeur Mécanique – Première S
M2n – SIMULATION DE LA CHUTE LIBRE
Auteur : Jean Winther
TI-Nspire™ - TI-Nspire™ CAS
Mots-clés : chute, pesanteur, simulation, énergie cinétique, énergie potentielle, énergie mécanique,
ajustements.
Fichiers associés : M2nElev_ChuteLibre_FR.tns, M2nProf_ChuteLibre_FR.tns
1. Objectifs
Réaliser un relevé des valeurs des différents paramètres intervenant dans le phénomène de la chute libre.
Tracer des courbes de variations de ces paramètres.
Modéliser des données.
Explorer et prendre en main le tableur et le grapheur de TI-Nspire.
2. Commentaires
Les modèles associés à l’étude expérimentale d’une chute libre dans le champ de pesanteur terrestre ayant été
élaborés, il s’agit pour l’élève d’utiliser une simulation sous TI-Nspire pour travailler, en autonomie, sur les
relations suivantes :
- la hauteur de chute : h = 1 g t 2,
2
- la vitesse de chute : v = g t,
- l’énergie cinétique : Ec = 1 m v 2,
2
- l’énergie potentielle : Ep = m g h,
- l’énergie mécanique : Em = Ec + Ep.
3. Conduite de l’activité
1) Simulation de la chute libre
Quand un solide est placé dans le champ de pesanteur, il est soumis à son poids P = mg. Dans le vide le
système est isolé et il n’y a pas d’échange d’énergie avec l’extérieur et la chute est dite "libre". Dans l’air le
système n’est plus isolé car il y a des frottements du solide avec la couche gazeuse.
Les équations des paramètres de la chute sont connues de TI-Nspire et permettent au logiciel de simuler la
chute. Vous contrôlerez cette chute en déplaçant le solide avec le curseur. Les valeurs du temps, de la
hauteur (h), de la vitesse (v), de l’énergie cinétique (Ec), de l’énergie potentielle (Ep) et de l’énergie
mécanique (Em) varient et s’affichent sur l’écran à côté de la chute.
© Texas Instruments 2007 / Photocopie autorisée
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L’élève dispose de la simulation d’un solide
tombant dans le champ de pesanteur terrestre.
Il déplace le solide avec le curseur. Les différents
paramètres de la chute s’affichent et varient avec le
déplacement. Ces paramètres sont recueillis dans
le tableur :
• soit manuellement,
• soit en utilisant la fonction de capture
automatique.
2) Tracé des courbes représentatives des variations des paramètres h, v, Ec, Ep et Em
Propriétés de la fonction capture :
Manipulation :
Cette fonction permet de relier une variable à une Exemple : Capture de la hauteur (h) de chute.
colonne du tableur. C'est à dire que les variations de
cette variable sont enregistrées dans les cellules de la
Dans la 2ème cellule de la colonne B, correspondant à
colonne.
la ligne d'édition, écrire : = capture (h,1)
Syntaxe : Nom de variable : = capture (variable
Déplacer le mobile le long de l'axe Oy. Les valeurs
capturée, paramètre)
de (h) s'enregistrent automatiquement dans le
tableur.
Si le paramètre est égal à 0, alors la capture se fait à
On procède de la même manière pour chacune des
la demande de l'utilisateur et une seule valeur est
variables.
envoyée dans une cellule du tableur. On tape
simultanément sur Ctrl et Tab.
Pour recommencer la manipulation, effacer les
Si le paramètre est égal à 1, la capture se réalise données dans le tableur en sélectionnant toutes les
automatiquement pendant les variations de la cellules puis utiliser l'option supprimer les cellules.
variable et on obtient un ensemble de valeurs.
A partir des données du tableur, l’élève doit tracer
les courbes de variation en fonction du temps :
h = f (t),
v = f (t),
Ec = f (t),
Ep = f (t),
Em = f (t).
Pour les énergies cinétique, potentielle et
mécanique, il lui est demandé de tracer les 3
courbes simultanément pour comparer les
variations.
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Afin de tracer les courbes demandées, il faut
sélectionner l’option « nuage de points » dans le
menu type de graphique de l’application
graphique et géométrie.
L’élève peut ainsi retrouver la relation :
Em = Ec + Ep.
3) Modélisation
Modéliser des données c'est déterminer l'équation
mathématique dont la courbe "coïncide" au mieux
avec la courbe expérimentale.
Soit une courbe de variation ayant « l'allure »
d'une droite. Une méthode graphique pour
modéliser leur relation est d'utiliser une règle et de
la déplacer de façon qu'elle passe "au plus près" de
chacun des points. Le tracé de droite ainsi obtenue
permet de déterminer les coefficients a et b de
l'équation correspondante y = ax + b.
TI-Nspire dispose d'une fonction mathématique
permettant de calculer automatiquement cette
équation. Cela s'appelle un ajustement linéaire.
Pour chacun des paramètres h, v, Ec, Ep et Em de
la chute du solide, il est possible de réaliser
l'ajustement à partir des nuages de points obtenus
en fonction de la durée de l’expérience.
Sur chacune des courbes, l’élève va obtenir la
meilleure équation en réalisant par exemple des
ajustements linéaires ou des ajustements de degré
2.
A titre d’exemple, voir ci-contre, la modélisation
de h = f(t) par un polynôme du second degré :
y = ax2 + bx + c.
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4°) Conclusions
On retrouve les relations établies dans le cours théorique sur la chute libre.
1°) La hauteur varie selon la relation h = 4,9t² c'est à dire si g = 9,8 m/s², h = 1/2gt².
2°) La vitesse est proportionnelle à la durée de la chute v = 9,8t soit v = gt.
3°) L’énergie cinétique Ec est proportionnelle au carré de la vitesse Ec = 1/2v² et augmente pour être
maximale au sol, comme m = 1kg, on retrouve Ec = 1/2mv².
4°) L’énergie potentielle Ep est proportionnelle au carré de la vitesse et diminue pour être nulle au sol, Ep =
96t², comme m = 1kg, on retrouve Ep = mg²t².
Si on trace la courbe Ep = f(h) on obtient une droite dont l’équation est Ep = 9,8h qui correspond à
l’équation Ec = mgh.
5°) L’énergie mécanique Em reste constante et égale à 980J, le système n’échange pas d’énergie avec le
milieu extérieur : le système est isolé. Au cours de la chute, il y a transfert d’énergie potentielle en énergie
cinétique ce qui se traduit par la relation Em = Ec + Ep.
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