exercice logique de lewis Caroll

On donne les propositions suivantes :
1. Il n’y a pas de chat non dressé aimant le poisson;
2. Il n’y a pas de chat sans queue jouant avec un gorille;
3. Les chats avec moustaches aiment toujours le poisson;
4. Il n’y a pas de chat dressé aux yeux verts;
5.Il n’y a pas de chat avec une queue, à moins d’avoir des moustaches.
Question: Les chats aux yeux verts jouent-ils avec les gorilles?
Proposition de résolution formelle : Soit les définitions suivantes :
D(x) = « x est dressé »
P(x) = « x aime le poisson »
Q(x) = « x a une queue »
JG(x) = « x joue avec un gorille »
YV (x) = « x a les yeux verts »
M(x) = « x a des moustaches »
Quelques précautions d’écriture…
On notre -F(x) la négation de la proposition F. Et - - F est identique à F. On convient que les x dont on parle sont des chats.
On convient par ailleurs d’écrire la proposition « Si..alors.. » (l’implication) à l’aide du
symbole de la flèche : —>
On peut donc réécrire les propositions de départ sous la forme suivante :
1. -D(x) —> -P(x).
(lire : si x est non dressé, alors il n’aime pas le poisson)
2. -Q(x) —> -JG(x)
3. M(x) —> P(x)
4. D(x) —> -YV(x)
5. Q(x) —> M(x) On rappelle qu’en logique : si on a P—> Q, alors on peut affirmer la contraposée : -Q —> -P (notez bien les négations
et le changement de place des lettres !).
(Attention ! : de P—>Q, on ne peut pas affirmer la réciproque Q—>P, ou même -P—>-Q)
D’où le raisonnement suivant : Si on a YV(x), alors -D(x) par contraposition de 4.
Si -D(x) alors -P(x) par 1.
Si -P(x) alors -M(x) par contraposition de 3.
Si -M(x) alors -Q(x) par contraposition de 5.
Si -Q(x) alors -JG(x) par 2.
D’où si un chat les yeux verts, il ne joue pas avec les gorilles. Remarques :
- il existe d’autres façons de procéder. Par ex. en utilisant une logique ensembliste, avec
D l’ensemble des chats dressés et le complémentaire de D (D avec un trait au dessus)
pour les chats non dressés. Et ainsi de suite. - le raisonnement mené n’a rien à voir avec des être réels : des chats réels, des gorilles
réels, etc. En fait, on pourrait très bien remplacer les définitions par d’autres (ex : D(x) =
x est droitier, etc.), cela ne changerait absolument rien à la validité du raisonnement. Il
s’agit d’un raisonnement formel, il est indifférent au contenu ou chose dont on parle.
- le raisonnement est beaucoup plus simple lorsque l’on formalise les propositions. Cela
évite de devoir raisonner en utilisant la langue courante,dont la compréhension est plus
obscure, lente et source d’erreur.
- chaque étape du raisonnement entraîne l’autre de façon nécessaire de sorte
qu’affirmer une étape, par ex. YV(x), oblige à affirmer toutes celles qu’elle implique : -P(x), -M(x), -Q(x) et au final -JG(x). Une démonstration se présente donc comme une suite nécessaire de conséquences
logiques.