TS Physique Diffraction - Dispersion Exercice résolu

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TS Physique
Diffraction - Dispersion
Exercice résolu
Enoncé
Les parties A et B sont indépendantes. Toutes les réponses seront justifiées.
A. Un faisceau laser, émettant une radiation monochromatique de longueur d’onde ,est placé
devant une fente horizontale de largeur a. Sur un écran (E) placé à une distance D de la fente, on
observe une figure constituée de taches lumineuses. L’angle  est l’écartement angulaire total de
la tache centrale (voir schéma ci-dessous).
D
1. Comment se nomme le phénomène
observé ? A quelle condition doit
satisfaire a pour qu’il puisse être
observé ?
Ecran
Fente
Laser

2. On propose 4 expressions pour l’écartement angulaire  :
(a)
a
(c)
2
(b)
D.
a
(d)
a
a.
… et on réalise 3 expériences :
Expérience
(1)
(2)
(3)
Longueur
d’onde
1
2 < 1
2
Distance
fente-écran
D
D
D
Largeur de
la fente
a1
a1
a3 < a1
Largeur de la
tache centrale
d1
d2 < d 1
d3 > d 2
a) Par une analyse dimensionnelle, montrez que deux des expressions sont manifestement
fausses.
b) A partir des expériences, déterminez l’expression correcte en justifiant votre réponse.
3. L’angle  étant très petit montrez que d = D. (avec  en rad) et donnez l’expression de d en
fonction de , D et a.
4. Pour différentes valeurs de la largeur a de la fente, on a effectué des mesures de la largeur d
de la tache centrale. On a ensuite construit, en annexe 1, le graphe représentatif de la fonction x
1
 d(x)
avec x =
.
a
a) Dites en quoi il est logique de trouver une droite passant par l’origine.
b) Sachant que la distance fente-écran est D = 1,50 m, calculez la longueur d’onde  (en nm) de la
radiation émise par le laser.
c) Le fait que cette radiation soit de couleur rouge est-il en accord avec la valeur trouvée ?
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d
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5. Si on remplace la fente par un fil horizontal de même diamètre a que la largeur de la fente, on
obtient sur l’écran placé à la même distance une figure strictement identique.
Un fil de diamètre a inconnu est placé dans la lumière du laser. La tache centrale obtenue sur
l’écran a une largeur d = 9,7 mm. En déduire le diamètre de ce fil.
air
B. On envoie, en un point I de la surface
plane d’un hémicylindre de plexiglas, un
mince faisceau parallèle de lumière
polychromatique émise par une lampe à
hydrogène. L’étude est limitée à un rayon
lumineux de ce faisceau : son angle
d’incidence est i = 80°. On supposera
qu’aucun phénomène de réflexion ne se
produit sur la surface de séparation
air/plexiglas.
nair = 1,000
i
I
plexiglas
On observe, dans le plexiglas, 4 rayons réfractés dont les caractéristiques sont données dans le
tableau en annexe 2.
1. Comment appelle-t-on le phénomène mis en évidence ? Quelle en est la raison ?
2. Utilisez la loi de Snell-Descartes et complétez la quatrième ligne du tableau en déterminant
les indices nC du plexiglas pour les radiations violette, indigo et bleue.
3. a) Exprimez la longueur d’onde C d’une radiation dans l’hémicylindre en fonction de l’indice n C
du milieu et de la longueur d’onde  dans le vide de cette radiation.
b) Complétez la dernière ligne du tableau.
4. L’indice n de la plupart des milieux transparents, pour une radiation monochromatique de
B
longueur d’onde dans le vide, peut être modélisé par la relation suivante : n = A
(relation
2
de Cauchy).
a) Quelles sont les dimensions de A et de B ?
b) Calculez les valeurs de A et de B en utilisant les données fournies pour les radiations violette
et bleue.
c) Calculez l’indice du plexiglas pour la radiation rouge.
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Corrigé
A. 1. Comment se nomme le phénomène observé ? A quelle condition doit satisfaire a pour qu’il puisse être
observé ?
Il s’agit du phénomène de diffraction. Pour observer ce phénomène, il faut que la largeur a de la
fente soit du même ordre de grandeur que la longueur d’onde de la radiation : a ≈ .
2. a) Par une analyse dimensionnelle, montrez que deux des expressions sont manifestement fausses.
Analyse dimensionnelle de l’expression (b) : [] = 1 et
D.
a
Analyse dimensionnelle de l’expression (d) : [] = 1 et a.
D.
L2 .L
a
a.
L2
1
L
1.
1.
b) A partir des expériences, déterminez l’expression correcte en justifiant votre réponse.
La comparaison des expériences (a) et (b) permet d’affirmer que si la longueur d’onde de la
radiation diminue, alors la largeur d de la tache centrale diminue ainsi que  : ce qui élimine
l’expression (a).
La comparaison des expériences (b) et (c) permet d’affirmer que si la largeur a de la fente
diminue, alors la largeur d de la tache centrale augmente ainsi que : ce qui valide l’expression
(c).
3. L’angle  étant très petit montrez que d = D. (avec  en rad) et donnez l’expression de d en fonction de , D
et a.
L’angle étant petit, on a : tan
2
a
2
2
(rad) 
d
d
 =
 et d = D.
2D
D
2 .D
a
d
 d
D
4. a) Dites en quoi il est logique de trouver une droite passant par l’origine.
1
. Sa
a
représentation graphique est donc une droite passant par l’origine dont le coefficient directeur k
est égal à 2 .D .
L’expression établie précédemment montre que d est une fonction linéaire de
b) Sachant que la distance fente-écran est D = 1,50 m, calculez la longueur d’onde 
émise par le laser.
(en nm) de la radiation
k
2D
k = 2 .D =>
Graphiquement, on trouve k = 2,0 mm2 ou 2,0 x 10-6 m2.
2, 0 10 6
Donc
= 6,7 x 10-7 m ou 6,7 x 102 nm.
2 1, 50
c) Le fait que cette radiation soit de couleur rouge est-il en accord avec la valeur trouvée ?
Le spectre de la lumière visible est compris entre 400 nm et 800 nm, avec la radiation rouge aux
alentours de 700 nm… ce qui est tout à fait compatible avec la valeur trouvée.
5. Un fil de diamètre a inconnu est placé dans la lumière du laser. La tache centrale obtenue sur l’écran a une
largeur
d = 9,7 mm. En déduire le diamètre de ce fil.
d
k
=> a
a
k
d
soit a =
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2, 0 10
9, 7 10
6
3
= 2,1 x 10-4 m ou 2,1 x 10-1 mm.
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B. 1. Comment appelle-t-on le phénomène mis en évidence ? Quelle en est la raison ?
Il s’agit du phénomène de dispersion dû au fait que, dans le plexiglas, toutes les radiations n’ont
pas la même célérité.
2. Utilisez la loi de Snell-Descartes et complétez la quatrième ligne du tableau en déterminant les indices n C du
plexiglas pour les radiations violette, indigo et bleue.
nair . sin(i)
Quelle que soit la radiation, on a : nair.sin(i) = nC.sin(r) => nC =
sin(r)
On obtient les résultats suivants :
Couleur
violet
indigo
bleu
Indice nC
1,504
1,500
1,495
3. a) Exprimez la longueur d’onde  C d’une radiation dans l’hémicylindre en fonction de l’indice nC du milieu et de la
longueur d’onde  dans le vide de cette radiation.
Dans un milieu transparent, la longueur d’onde C d’une radiation monochromatique de fréquence 
v
est : C
(avec v la célérité de la radiation dans le milieu considéré).
Par ailleurs, l’indice de réfraction nC de ce milieu pour la radiation considérée est : n C =
célérité de la lumière dans le vide).
La combinaison des deux relations donne :
C
b) Complétez la dernière ligne du tableau.
On obtient les résultats suivants :
Couleur
violet
Longueur d’onde C
273,1
dans le plexiglas (nm)
indigo
289,3
c
. Or :
nC .
c
=>
C
c
(avec c
v
nC
bleu
325,2
4. a) Quelles sont les dimensions de A et de B ?
Dans la relation de Cauchy, l’indice de réfraction n d’un milieu s’exprime comme la somme de deux
B
termes. Chaque terme de la somme a donc la dimension de n, soit [n] = 1 => [A] = 1 et 2 = 1 =>
[B] = []2
soit [B] = L2 (A s’exprimera donc sans unité et B en m2).
b) Calculez les valeurs de A et de B en utilisant les données fournies pour les radiations violette et bleue.
Si les indices 1 et 2 se réfèrent respectivement aux radiations violette et bleue, on peut écrire :
n1 = A +
B
2
1
et n2 = A +
B
2
2
=> n1 – n2 = B.
1
2
1
1
2
2
=> B =
n1
n2
1
1
2
1
et A = n1 -
B
2
1
2
2
On obtient B = 5,303 x 103 nm2 ou 5,303 x 1015 m2 et A = 1,473.
c) Calculez l’indice du plexiglas pour la radiation rouge.
En appliquant la relation de Cauchy pour la radiation rouge, on trouve n = 1,485.
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