Exercice 9 Solution Un calcul direct donne : ∫ cosx sinhx dx = Re

Exercice 9 Solution Un calcul direct donne : ∫ cosx sinhx dx = Re

Exercice 9
Solution
Un calcul direct donne :
Z
Z
ix
cos x sinh x dx = Re
e sinh x dx
Z
ex − e−x = Re
ei x
dx
2
Z
1
Z
1
(1+i) x
Re
e
dx − Re
e(−1+i) x dx
=
2
2
1
1
(1+i) x
(−1+i) x
= Re
e
+ Re
e
2 (1 + i)
2 (1 − i)
1 + i (−1+i) x
(1 − i) (1+i) x
= Re
e
+ Re
e
4
4
=
ex
e−x
(cos x + sin x) +
(cos x − sin x)
4
4
et donc
Z
cos x sinh x dx =
Lycée Privé Sainte Geneviève (JMC)
1
1
cos x cosh x + sin x sinh x
2
2
1
21 avril 2012