Il PRINCIPIO dei LAVORI VIRTUALI

Il PRINCIPIO dei LAVORI VIRTUALI
Il Principio dei Lavori Virtuali (P.L.V.) costituisce il mezzo di indagine più
potente nell’ambito della Scienza delle Costruzioni.
Esso si applica sia a sistemi strutturali composti da corpi rigidi che da corpi
deformabili ed è valido sia per materiali a comportamento elastico lineare
che non lineare.
Nell’ambito del corso di Scienza delle Costruzioni, dove si studiano
prevalentemente sistemi di travi deformabili, il Principio si enuncia:
Condizione necessaria e sufficiente affinché un sistema deformabile, con vincoli bilaterali e
lisci, sia in equilibrio in una data configurazione è che il lavoro delle forze esterne eguagli il
lavoro interno per qualunque insieme di spostamenti virtuali.
Questo enunciato consente di affermare che:
Lve @ lavoro virtuale forze esterne;
Lvi @ lavoro virtuale forze interne;
l
l
δ Le = Lve = ∫ f T (x)δU(x)dx =∫QT ( x)δq(x)dx = Lvi = δ Li
0
0
f
@ vettore delle forze distribuite esterne;
U @ vettore caratteristiche dello spostamento;
Q @ vettore caratteristiche della sollecitazione;
q @ vettore caratteristiche della deformazione.
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Il PRINCIPIO dei LAVORI VIRTUALI
Condizione necessaria e sufficiente affinché un sistema deformabile, con vincoli bilaterali e
lisci, sia in equilibrio in una data configurazione è che il lavoro esterno eguagli il lavoro
interno per qualunque insieme di spostamenti virtuali.
Un esame attento di tale Principio consente di individuare i seguenti passi logici:
a) viene scelto un campo di spostamenti virtuali (anche detto cinematicamente ammissibile
poiché soddisfa le equazioni indefinite di compatibilità) ;
b) vengono valutati il lavoro esterno e quello interno per un qualunque sistema di forze esterne
e sollecitazioni interne;
c) viene imposto il soddisfacimento dell’equazione dei lavori virtuali:
l
l
0
0
δ Le = ∫ f T ( x)δ U (x ) dx = ∫ QT ( x)δ q ( x)dx = δ Li
Se le condizioni a) e c) sono soddisfatte allora le forze e le sollecitazioni costituiscono un
Staticamente ammissibile (che soddisfa dunque le equazioni indefinite di equilibrio).
Scelto un sistema cinematicamente ammissibile.
Sintesi:
Imposto il soddisfacimento dell’equazione dei
Lavori Virtuali.
Sistema
staticamente
ammissibile.
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Il PRINCIPIO delle FORZE VIRTUALI
Condizione necessaria e sufficiente affinché una data configurazione di un sistema
deformabile, con vincoli bilaterali e lisci, sia cinematicamete ammissibile è che il lavoro
esterno eguagli il lavoro interno per un qualunque insieme di forze virtuali (cioè in equilibrio
tra loro e che possono causare soli spostamenti infinitesimi).
In questo caso l’equazione dei lavori virtuali diventa:
l
l
0
0
Lve ≡ δ L*e = ∫ δ f T ( x)U ( x ) dx = ∫ δ QT ( x) q( x)dx = δ L*i ≡ Lvi
δ f @ vettore delle forze virtuali; δ Q @ vettore delle caratteristiche della sollecitazione virtuali;
δ L*e @ lavoro virtuale esterno complementare; δ L*e @ lavoro virtuale interno complementare.
Scelto un sistema staticamente ammissibile.
Sintesi:
Imposto il soddisfacimento dell’equazione dei
Lavori Virtuali.
Sistema
cinematicamente
ammissibile.
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Il PRINCIPIO dei LAVORI VIRTUALI nella FORMA MISTA
Condizione necessaria e sufficiente affinché sia soddisfatta l’equazione dei lavori virtuali
per una data configurazione di un sistema deformabile, con vincoli bilaterali e lisci, è che le
forze esterne e le sollecitazioni devono costituire un sistema staticamente ammissibili
mentre gli spostamenti e le deformazioni devono costituire un cinematicamete ammissibile (i
sistemi di forze e spostamenti possono anche non possedere alcun legame di causalità).
In questo caso l’equazione dei lavori virtuali diventa:
l
l
Lve = ∫ ( f ( x) ) U ( x )dx = ∫ ( Q ( x ) ) q c ( x )dx = Lvi
s
0
T
c
s
T
0
l'apice s indica forze e sollecitazioni in equilibrio tra loro (sistema static amene ammissibile );
l'apice c indica spostamenti e doformazioni compatibili tra lo ro (sistema cinematic a me nte ammissibile ).
Scelto un sistema staticamente ammissibile.
Sintesi:
Scelto un sistema cinematicamente ammissibile.
Soddisfacimento
dell’equazione dei
Lavori Virtuali.
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Il PRINCIPIO dei LAVORI VIRTUALI nella FORMA MISTA
Scelto un sistema staticamente ammissibile.
Sintesi:
Scelto un sistema cinematicamente ammissibile.
Soddisfacimento
dell’equazione dei
Lavori Virtuali.
Esempio
Trave elastica
Bernoulli-Eulero:
uz (l/2)
sistema cinematicamente ammissibile. sistema staticamente ammissibile.
l
l
T c
l

s
c
s
∫0 ( f ( x) ) U ( x)dx = ∫0 1×δ  x − 2  uz ( x ) dx = ∫0 ( Q ( x) ) q ( x)dx
T
l
l
l
 s
l
N c ( x)
M c ( x) 
 
s
c
s
c
s
u z   = ∫  N ( x )ε ( x ) + M ( x)κ ( x ) dx = ∫  N ( x)
+ M ( x)
dx

EA
EI 
2 0
0
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Calcolo Spostamenti sistema ISOSTATICO (col P.L.V.)
uz (l/2) ϕ(l)
x
sistema cinematicamente ammissibile.
x
x
sistema staticamente ammissibile.
sistema staticamente ammissibile.
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Calcolo Spostamenti sistema ISOSTATICO (col P.L.V.)
C.A.
C.A.
Deformata
x1
M c ( x)
ql3
δA =
h
24 EI
sforzo normale:
x2
δA
N c ( x1 ) = 0, 0 ≤ x1 ≤ l;
N c ( x2 ) = ql / 2, 0 ≤ x2 ≤ h.
x1
S.A.
l
s
M ( x)
x2
sforzo normale:
N s ( x1 ) = 1, 0 ≤ x1 ≤ l;
 s
N c ( x1 )
M c ( x1 ) 
s
δ A = uz (0) = ∫  N ( x1 )
+ M ( x1 )
dx1 +

EA
EI 
0
h
 s
N c ( x2 )
M c ( x2 ) 
ql 3
s
+ ∫  N ( x2 )
+ M ( x2 )
h
dx2 =
EA
EI 
24 EI
0
N s ( x2 ) = 0, 0 ≤ x2 ≤ h.
7
Sistema strutturale IPERSTATICO
Definizione Iperstatico: l<0 e Vincoli Efficaci (V.E.)
V.E.
Condizione di Compatibilità: abbassamento nullo
V.E.
Incognita iperstatica
l = 3 − µt
Condizione di Compatibilità (o
di Congruenza): uguaglianza
valori assoluti due spostamenti
X =1
X
8
Sistema una volta IPERSTATICO (soluzione col P.L.V.)
X,? = 0
? = ∆ϕ C @ Incognruenza
X @ Incognita iperstatica
X,? = 0
Struttura sotto esame,
una volta iperstatica
Schema principale o isostatico equivalente
∆ϕc = 0, Condizione di compatibilità
9
Sistema una volta IPERSTATICO (soluzione col P.L.V.)
? = ∆ϕC = ? 0 + a = 0, Condizione di compatibilità in C .
? 0 @ rotazione relativa in C schema"0", a @ rotazione relativa in C schema "1"
l
2l
2l
 "1"
 "1"
 "1"
M "0" ( x1 ) 
M "0" ( x2 ) 
M "0" ( x3 ) 
2
? 0 = ∫  M ( x1 )
dx
+
M
(
x
)
dx
+
M
(
x
)
dx
=
−
6
F
l
.
1
2
2
3
3





∫
∫
EI 
EI 
EI 
0
0 
0 
l
2l
2l
 "1"
 "1"
 "1"
M "1" ( x1 ) 
M "1" ( x2 ) 
M "1" ( x3 ) 
23
a = ∫  M ( x1 )
dx
+
M
(
x
)
dx
+
M
(
x
)
dx
=
l.
2
3
 3
 1 ∫
 2 ∫
EI
EI
EI
3



0
0 
0 
? 0 = ∆ϕ "0"
C
Nota.
Per ridurre le
dimensioni delle
espressioni non
si è considerato
il contributo
dello sforzo
normale
x2
a = ∆ϕ "1"
C
x1
x3
Schema “0”
Schema “1”
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Sistema una volta IPERSTATICO (soluzione col P.L.V.)
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Incognita iperstatica X= Fl.
23
M ( x) = M "0" ( x ) + X × M "1" ( x);
T ( x ) = T "0" ( x ) + X × T "1" ( x).
Diagramma
M(x)
Diagramma
T(x)
Deformata
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