HYDROSTATIQUE (STATIQUE DES FLUIDES) Ioan NISTOR inistor

INTRODUCTION À LA MÉCANIQUE DES FLUIDES –
CVG 2516
HYDROSTATIQUE
(STATIQUE DES FLUIDES)
Ioan NISTOR
[email protected]
3.4 Les forces hydrostatiques sur des surfaces planes
Magnitude et direction de la force hydrostatique
Surface horizontale
surface horizontale d’aire A
dF = pdA (sur une surface différentielle)
F = ∫ ApdA (sur la surface totale)
obs: le point d’application de la force totale F est au
centroïde de la surface A,(x, y) - qui est identique au centre de pression (xcp, ycp)
Surface inclinée
dF = γysinα dA ⇒ F = γsinα ∫ AydA
x
le premier moment de la section A
⇒ F = γ y sinα A
⇒ La force hydrostatique F = pA
ou p est la pression au centroïde
(x, y)
y
(xcp, ycp)
de la surface
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3.4 Les forces hydrostatiques sur des surfaces planes
Magnitude et direction de la force hydrostatique
Calcul du centre de pression: en général, il se trouve en dessous du centroïde
parce que la pression augmente avec la profondeur.
Sur l’axe y, ycp
où
est le deuxième moment de la section
par rapport à l’axe x (0-0). L’équation de transfert:
où
est le moment d’inertie par rapport à l’axe ‘horizontale’ du centroïde
(parallèle a 0-0)
3.4 Les forces hydrostatiques sur des surfaces planes
Magnitude et direction de la force hydrostatique
Sur l’axe x, xcp
où
est le produit d’inertie par rapport au système des axes (x, y).
L’équation de transfère:
où
est le produit d’inertie par
rapport aux axes du centroïde .
(Rappel:
et
quand l’axe y et un axe de symétrie, dans notre cas)
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3.4 Les forces hydrostatiques sur des surfaces planes
Exemple: une vanne elliptique couvre l’entrée d’un conduit de 4m de diamètre.
La vanne contient une charnière au niveau supérieure. Quelle force est
nécessaire pour ouvrir la vanne si la profondeur de l’eau au-dessus est de
8m (entre la surface libre est la position de la charnière).(ne pas tenir compte du
poids de la vanne)
calcul de la force hydrostatique
(dimensions géométriques de l’ellipse: diamètre majeur et
mineur de 5m et de 4m, respectivement)
F = pA; F =10m x γeau x A (A = πab) = 1.541MN
calcul des coordonnées du centre de la pression
et
y
=12.5m ?
(‘distance oblique’)
F
⇒ ycp- y = 0.125m.
(xcp,ycp)
à l’équilibre ΣMcharnière=0;
(x, y)
F x 2.625m – F x 5m = 0 ⇒F = 809kN
3.5 Les forces hydrostatiques sur des surfaces courbes
En pratique, le but c’est de modeler la force créée par la pression avec une force
équivalente appliquée au centre de la pression.
Une approche plus facile, est d’analyser les forces dans le diagramme du corpslibre.
Exemple: AB est un arc circulaire de 2m de rayon et de 1m de largeur. Calculez la
magnitude et la direction de la force hydrostatique exercée sur la surface AB.
2m
D
Fx=FAC= pA =5m x γeau x 2m2= 98.1kN
E
4m
Fy=W+FCB; FCB= poA = γeau x 4m x 2m2=78.5kN;
W = γeau x VABC=30.8kN;
C
⇒ Fy=W + FCB=109.3kN;
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3.5 Les forces hydrostatiques sur des surfaces courbes
2m
les coordonnées du centre de la pression
ycp pour la composante horizontale
D
E
4m
⇒ ycp=5.067m
C
1
1× 23
12
5× 2 ×1
xcp pour la composante verticale (ΣMC=0)
xcpFy=FBC x 1m+W x xW
(annexe A.1)
⇒ xcp=0.957m
x w = 4r 3π
Donc, la force hydrostatique a une
magnitude, F, de 146.9kN
et une direction, θ , de 48o
3.6 Principe de la flottabilité
Le principe d’Archimède: un objet submergé dans un fluide est poussé vers le
haut par une force égale au poids du volume d’eau disloqué par l’objet.
F↑=γ(Vb+Va), ou Vb le volume de l’objet ABCD
Va le volume d’eau au-dessus de l’objet (ABCFE)
F↓= γVa,
⇒FB=F↑-F↓= γVb
F↓
FB
F↑
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3.6 Principe de la flottabilité
Exemple:Dans un réservoir plein d’eau, un morceau de métal est suspendu par
un fil très mince attaché à un morceau de bois qui flotte. Trouvez la masse m2 du
morceau de métal et la tension dans le fil d’ancrage. (S1=0.3, dim. bois: 50x50x10mm,
V2=6600mm3)
Objet 1: T=FB1- W1;FB1= γVD1 = 0.184 N
W1= γ1V1= γS1V1 = 0.0735 N
⇒ T= 0.110 N
Objet 2: W2=T+FB2;FB2= γVD2= 0.0647 N
FB1
⇒ W2= 0.175 N
⇒ m2= W2/g = ?
W1+T
FB2+T
W2
3.6 Principe de la flottabilité
L’hydromètre
-instrument de mesure pour le poids spécifique des liquides, γ.
Whydrom.= γfV = γeauVo; γf=Sγeau, V = Vo - ∆h a, ou a est l’aire de la section du tube
⇒γeauVo=Sγeau(Vo - ∆h a)|:γeau ⇒ Vo/S = Vo – ∆ha
Marque de calibrage
1.
∆h = Vo/a (S-1)/S pour faire la calibration avec
des liquides dont les poids spécifiques∆h
sont connus
2.
S = (Vo – ∆ha)/ Vo
pour calculer les poids spécifiques
γf
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3.7 Stabilité des objets immergés et flottants
Objets immergés
La stabilité d’un objet immergé dépend de la position relative du centre de
gravité (G) et le centre de flottabilité (C) (= centroïde du volume déplacé par l’objet).
(a)
centre de flottabilité au-dessus du centre de gravité ⇒ stabilité
(b)
centre de flottabilité coïncide avec centre de gravité ⇒ stabilité neutre
(c)
centre de flottabilité au-dessous du centre de gravité ⇒ instabilité
3.7 Stabilité des objets immergés et flottants
Objets flottants
Le centre de flottabilité peut prendre différentes
positions par rapport au
centre de gravité.
→ le centre de flottabilité C est au-dessous du centre de gravité G
stabilité ou instabilité?
définitions:
M - le métacentre: l’intersection entre les directions de la force de
flottabilité avant et après un tangage
GM - hauteur métacentrique
GM = I00/V-CG,
I00 - le second moment de la section par
rapport à la ligne de flottaison
V -le volume total disloqué
GM >0 stabilité
GM <0 instabilité
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3.7 Stabilité des objets immergés et flottants
Objets flottants
Exemple: Un bloc de bois de 30cm2 dont la section est de 60cm de longueur
pèse 32.4kg. Est-ce qu’il va flotter
s’il a la forme présentée dans
le schéma ci-après?
calcul de la profondeur d’immersion
ΣFv= FB - W = 0
γV - mg = 0⇔ γ x 0.3x0.6xd -mg = 0
⇒ d = 0.18m
calcul de la stabilité par rapport à l’axe longitudinal
GM = I00/V-CG =
1
× 60 × 303
12
− (15 − 9)
18 × 30 × 60
= - 1.833 cm < 0 ⇒ instabilité
calcul de la stabilité par rapport à l’axe transversal
GM =
1
× 30 × 603
12
− (15 − 9)=
18 × 30 × 60
10.67 cm >0 ⇒ stabilité
Sommaire
Les forces hydrostatiques sur
- les surfaces planes
- les surfaces courbes
Le principe de flottabilité (la loi d’Archimède)
- l’hydromètre
Stabilité des objets immergés et flottants
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