Première S – Devoir en temps libre pour le lundi 2 mars – Travail

Première S – Devoir en temps libre pour le lundi 2 mars – Travail par groupes.
Exercice 1. Le jeu du lièvre et de la tortue
Un lièvre et une tortue s’affrontent pour parcourir un
plateau de 6 cases, selon les règles suivantes :
On lance un dé équilibré à 6 faces,
Si le 6 sort, le lièvre avance directement de 6 cases (et
donc gagne);
Sinon, la tortue avance d’une case.
Le jeu continue jusqu’à ce qu’il y ait un gagnant.
1) On a écrit l’algorithme ci-contre pour qu’il simule
ce jeu.
a) Que représentent les variables D et N ?
b) Modifier l’algorithme pour qu’il effectue 100
parties consécutives et affiche la fréquence de
l’événement : « Le lièvre est gagnant ». Qui
du lièvre ou de la tortue semble avoir le plus
de chance de gagner ?
c) Démontrer votre conjecture (Indication : un
arbre de probabilités)
2) On appelle X la variable aléatoire correspondant au nombre de lancers de dés qu’il a fallu au lièvre pour gagner
et égale à 10 si le lièvre a perdu. Calculer E(X).
L’algorithme sera envoyé par mail.
Exercice 2 :
On considère dans un repère  O, i , j  la courbe Cf représentative d’une fonction f définie sur R dont l’expression est de
la forme f ( x)  ax3  bx2  cx  d où a, b, c et d sont quatre réels.
La tangente T à Cf à l’origine O passe par le point A(1; 12).
La tangente au point M(2; 4) de Cf est horizontale.
1. Déterminer les réels a, b, c et d.
2. Il semblerait que f admette un maximum local en x = 1. Est-ce vraiment le cas ? Quelle est la valeur de ce maximum?
3. Montrer que la courbe Cf ne coupe l’axe des abscisses qu’en l’origine.
Corrigé de l’exercice 1
1°) a) La variable D prend pour valeur un nombre entier
aléatoire entre 1 et 6 : elle représente donc le résultat
obtenu en lançant le dé.
La variable N est initialisée à 0 mais augmente de 1
chaque fois que le dé ne fait pas 6. Elle représente
l’avancée de la tortue sur le plateau de jeu. Si N est égal
à 6, le jeu est fini (la condition du tant que n’est plus
vérifiée) et la tortue a gagné.
b) voir ci-contre
La fréquence du lièvre gagnant fluctue entre 0.51 et
0.75. Il semble donc avoir plus de chance de gagner que
la tortue.
c) L correspond à l’événement : « le lièvre gagne » obtenu avec un dé égal à 6.
L
1
6
L
5
6
1
6
L
L
5
6
1
6
L
L
5
6
1
6
L
L
5
6
1
6
L
5
6
L
6
 5  15625
La probabilité que le lièvre ne gagne pas est :   
 0.335 .
 6  46656
La probabilité qu’il gagne est donc 1 – 0.335 = 0.665
Le lièvre a plus de chance de gagner que la tortue.
1
6
5
6
L
L
valeurs probabilités
1
1
6
2
5 1 5
 
6 6 36
3
5 5 1 25
  
6 6 6 216
4
5 5 5 1 125
   
6 6 6 6 1296
4
5
 5  1 625
   
 6  6 7776
5
6
 5  1 3125
   
 6  6 46656
6
10
 5  15625
  
 6  46656
2°) X prend les valeurs 1, 2, 3, 4, 5, 6 et 10.
L’arbre ci-dessus permet de calculer les probabilités
1
5
15625
E ( X )   1  2   ...  10 
6
36
46656
248686

 5.33
46656
Corrigé de l’exercice 2
1°) Cf passe par O donc f(0) = 0 donc d = 0
Cf passe par M(2.4) donc f(2) = 4 d’où 8a  4b  2c  4
On calculer f  (x) : f (x)  3ax²  2bx c
y A  yO
 12 donc f  (0) = 12 d’où c = 12.
xA  xO
La tangente en M d’abscisse 2 est horizontale donc f  (2) = 0 d’où 3a  4  2b  2  c  0  12a  4b  c  0
La tangente à l’origine est la droite (OA). Son coefficient directeur est :
12a  4b  12  0 12a  4b  12 3a  b  3
On a donc d = 0 , c = 12 et a et b sont solution du système 


8a  4b  24  4
8a  4b  20
2a  b  5
ème
Par soustraction, il vient : a = 2 puis par substitution dans la 2 équation : 2  2  b  5  b  9
On a donc : a = 2 , b = – 9, c = 12 et d = 0 d’où f ( x)  2 x3  9 x²  12 x
2°) f ( x)  6 x²  18x  12 qui est un polynôme du second degré avec  = 36 ; deux racines 1 et 2.
D’où le tableau de variations de f :
x
1
2
-
+
+
0
–
0
+
signe de f  (x)
variations
5
de f
4
f admet bien un maximum local en 1 et ce maximum est égal à 5.
3°) Pour déterminer l’intersection de Cf et de axe des abscisses, on résout f(x) = 0
f ( x)  0  2 x3  9 x²  12 x  0  x(2 x²  9 x  12)  0  x  0 ou 2 x²  9 x  12  0
2 x²  9 x  12  0 :  = – 3 donc pas de solution.
La courbe Cf ne coupe l’axe des abscisses qu’une seule fois.
ou :
D’après le tableau de variations de f :
 Sur ]–,0] f est strictement croissante : f(0) = 0 est le maximum de f .
Sur [0 ; 1[, lf est croissante et a pour minimum 0 en 0
Donc, l’équation f(x) = 0 admet une seule solution 0 dans ]– ; 1[
 Sur [1 ; +[, le minimum de f est 4 : l’équation f(x) = 0 n’a donc aucune solution dans [1 ; +[
Conclusion : la courbe Cf ne coupe l’axe des abscisses qu’une fois.