pham trong tôn - Trong-Ton Pham`s homepage

Commentaires

Transcription

pham trong tôn - Trong-Ton Pham`s homepage
MINISTÈRE DE L’ÉDUCATION ET DE LA FORMATION
UNIVERSITÉ DES SCIENCES NATURELLES
FACULTÉ DE TECHNOLOGIE DE L’INFORMATION
W*X
Avec le soutien de l’Agence Universitaire de la Francophonie
Année universitaire 2000 – 2004
MÉMOIRE DE FIN D’ÉTUDE
Pour l’obtention de la licence
Option: Technologie de Connaissance
Présenté et soutenu publiquement par
PHAM TRONG TÔN
Tuteur : Dr.
NGUYEN DINH THUC
Ho Chi Minh ville - juillet 2004.
MINISTÈRE DE L’ÉDUCATION ET DE LA FORMATION
UNIVERSITÉ DES SCIENCES NATURELLES
FACULTÉ DE TECHNOLOGIE DE L’INFORMATION
W*X
Avec le soutien de l’Agence Universitaire de la Francophonie
Année universitaire 2000 – 2004
MÉMOIRE DE FIN D’ÉTUDE
Option: Technologie de Connaissance
PHAM TRONG TÔN
Tuteur : Dr. NGUYEN DINH THUC
Télécharger : http://trongton.free.fr/memoire
HCMV – 07/2004.
À ma mère …
REMERCIEMENTS
*****
Ce travail a été effectué au sein de la coopération de l’École des Sciences Naturelles
(ESN) de Ho Chi Minh ville et l’Agence Universitaire de la Francophonie (AUF). Donc, je
voudrais en premier lieu exprimer mes reconnaissances à mon école et à l’AUF pour leurs
encouragements et leurs soutiens de ce mémoire. En effet, elles m’ont donné une bonne
occasion pour achever mes connaissances pendant quatre années universitaires en français.
Je tiens à remercier tout particulièrement Monsieur NGUYEN Dinh Thuc, Professeur à
l’ESN, pour sa confidence en acceptant de diriger ce travail et pour m’avoir donné sa passion
de recherche dans le domaine de la tomographie médicale. Je me rappelle les bons dimanches
matin pendant lesquels nous avons discuté franchement sur le travail.
J’exprime mes remerciements respectueux à Madame DO Ai Ngoc, Madame DONG Thi
Bich Thuy, les professeurs et les tuteurs de l’ESN, qui nous ont fournis les connaissances très
précieuses.
J’adresse ma profonde gratitude à Madame NGUYEN Thi Lenh Anh, mon professeur de
français à l’ESN, qui nous enseigne non seulement la langue et la culture de la France mais
aussi le savoir-vivre et le savoir-faire.
Je tiens à remercier FV Hôpital de Ho Chi Minh ville qui m’a donné une bonne occasion
pour m’approcher des équipements modernes installés au département d’Imagerie comme le
CT scanner et la Radiographie numérique. Mes remerciements vont également à Madame
Sylvie Feuerle, Dr. Nghia, Dr. Nghi, les docteurs rotationnels et les techniciens de FV Hôpital
pour leur bienveillance durant deux mois où je travaille comme stagiaire. Je les remercie aussi
pour les images excellentes et pour les connaissances acquises dans le domaine Imagerie
médicale.
J’exprime mes remerciements sincères à Monsieur LE Viet Dung (UdM), mon correcteur
de français, pour sa gentillesse et sa patience. Merci aussi à DO Huy Vu, HUYNH Quoc
Hung, HUYNH Dat Vu Khoa, les thésards à INP Grenoble, pour leurs aides et leurs conseils.
Finalement, je remercie ma famille, un appui très solide de ma vie, et tous mes amis.
RÉSUMÉ
Ce mémoire concerne la théorie de la transformation de Radon et de la reconstruction
d’image à partir de ses projections en géométrie parallèle. Elles sont deux problèmes
principaux dans la technique de la Tomographie assistée par ordinateur. Du côté
d’application, ce mémoire donne une perspective pratique des applications actuelles de la
technique de Tomographique. En plus, ce mémoire propose une méthode pour traiter des
anomalies dans une radiographie de poumon en utilisant des données de transformation de
Radon.
Dans la première partie, nous illustrons les applications actuelles de la Tomographie dans
le domaine de l’imagerie médicale d’aujourd’hui. Nous présentons l’histoire et l’évolution de
différents types de machine de Tomographique comme le CT scanner et l’imagerie par
résonance magnétique (IRM). Nous décrivons leurs fonctions et leurs applications dans le
traitement d’image médicale. Cette partie est le résultat de deux mois de travail au
département d’Imagerie de FV Hôpital.
La deuxième partie de ce mémoire est consacrée aux fondements de la théorie de
transformation de Radon qui est au cœur de la Tomographie X. Nous abordons la définition
mathématique de cette transformation, ses propriétés intéressantes et ses relations avec les
autres transformations comme la transformation de Fourier et la transformation de Hough. Et
puis, nous étudions le problème de projections en géométrie parallèle d’une image numérique.
L’algorithme de transformation de Radon est illustré en MATLAB. Pour le problème de
reconstruction d’image à partir des projections, nous comparons trois méthodes importantes:
méthode directe de Fourier, méthode du filtrage de la rétro-projection et méthode de rétroprojection des projections filtrées. Nous concentrons à la troisième méthode car elle est
implémentée dans le CT scanner actuel.
Finalement, nous appliquons les algorithmes de traitement d’image numérique pour
améliorer la qualité et la visibilité de la radiographie. Puis, nous proposons une méthode assez
nouvelle dans le domaine de l’analyse d’image pour détecter des anomalies dans une
radiographie pulmonaire en profitant des données générées par le CT scanner durant la phase
de projection.
Mots clés : imagerie médicale, tomographie X, imagerie par résonance magnétique (IRM),
reconstruction en géométrie parallèle, traitement d’image, analyse d’image médicale.
ABSTRACT
The subject of this thesis is to study the mathematical theory of the Radon transform,
which is suitable for the reconstruction of tomography images and its application for
processing x-ray images. The thesis is divided into three main parts.
The first part describes the applications of computed tomography in the medical imaging.
We present different types of the tomography machine like CT scanner and magnetic
resonance imaging - MRI. Its functionality and applications in the medical imaging are also
discussed. This part is the result of our two-month working at The Imaging Department - FV
Hospital.
The second part of the thesis studies the Radon transform, its properties and its relations
with other transforms: Hough transform and Fourier transform. The discrete version of Radon
transform is investigated for digital images. Algorithm of the Radon transform will be
described and implemented in MATLAB. For the problem of the reconstruction, we present
three well-known approaches to obtain an image from its projections: direct Fourier method,
backprojection-filtering method and filtered-backprojection method. The most interesting
method is the third one because it is more stable to discretize errors and data noise than the
others.
Finally, we apply some of image processing algorithms for x-ray images enhancement and
for vision of x-ray images. Furthermore, we propose a new method for detection of
anomalous locales in chest image from data that are generated by CT scanner.
Keywords: medical imaging, computed tomography, magnetic resonance imaging (MRI),
image reconstruction, image processing, medical image analysis.
i
TABLE DES MATIÈRES
TABLE DES MATIÈRES
i
TABLE DES FIGURES
v
LISTE DES TABLEAUX
ix
Chapitre 0. INTRODUCTION
1
1.
2.
3.
Motivation......................................................................................................................... 1
Objectif du mémoire ......................................................................................................... 3
Méthode et outil de recherche........................................................................................... 4
3.1.
Méthode de recherche ............................................................................................... 4
3.2.
Outils de recherche ................................................................................................... 5
4. Les difficultés.................................................................................................................... 6
5. Structure du mémoire........................................................................................................ 6
Chapitre 1. LA TOMOGRAPHIE MÉDICALE
1.
2.
7
Introduction........................................................................................................................8
La Radiographie à rayon X ................................................................................................9
2.1.
Introduction................................................................................................................9
2.2.
Principe de la technique ...........................................................................................10
2.3.
Un système de radiographie à rayon X numérique .................................................12
2.3.1.
Machine de radiographie..................................................................................13
2.3.2.
Cassette avec le phosphore plaque...................................................................13
2.3.3.
Lecture de la cassette .......................................................................................15
2.3.4.
Console de traitement et d’imprimeur du film.................................................15
3. La Tomographie X (CT Scanner) ....................................................................................17
3.1.
Introduction..............................................................................................................17
3.2.
Principe de la tomographie X ..................................................................................18
3.2.1.
Projection et mesure de la valeur d’atténuation...............................................19
3.2.2.
Reconstruction de l’image ...............................................................................20
3.3.
L’évolution de la tomographie X.............................................................................20
3.3.1.
Système de tomographes conventionnels ........................................................21
3.3.2.
Les tomographes à rotation continue ...............................................................22
3.3.3.
Les tomographes X multicoupes......................................................................23
3.4.
Les éléments dans la Tomodensitométrie (TDM) ...................................................24
3.4.1.
Elément pictural ...............................................................................................24
3.4.2.
Unité Hounsfield (UH) ....................................................................................25
3.4.3.
Valeurs de densité ............................................................................................26
3.4.4.
Produit de contraste..........................................................................................26
trongton© 2004
ii
3.4.5.
Artéfact ............................................................................................................27
3.5.
Applications médicales de la Tomographie X .........................................................28
3.6.
Outil pour analyser d’images ...................................................................................29
4. Imagerie par Résonance Magnétique (IRM)....................................................................31
4.1.
Introduction..............................................................................................................31
4.2.
Principe de l’IRM ....................................................................................................32
4.2.1.
Création d’une aimantation macroscopique.....................................................32
4.2.2.
Impulsion de radiofréquence............................................................................32
4.2.3.
Recueil du signal IRM .....................................................................................33
4.3.
Caractéristique de l’IRM..........................................................................................33
4.3.1.
Les avantages ...................................................................................................33
4.3.2.
Les inconvénients.............................................................................................35
4.4.
L’IRM en futur.........................................................................................................36
5. Conclusions......................................................................................................................38
Chapitre 2. LA TRANSFORMATION DE RADON
39
1.
2.
Définition ........................................................................................................................ 40
Les propriétés de base..................................................................................................... 42
2.1.
Linéarité .................................................................................................................. 42
2.2.
Translation .............................................................................................................. 42
2.3.
Rotation................................................................................................................... 43
3. Exemple de la transformation de Radon......................................................................... 43
4. Relations avec les autres transformations ....................................................................... 46
4.1.
Radon et la transformation de Fourier .................................................................... 46
4.2. Radon et la transformation de Hough ..................................................................... 47
5. Algorithme de la transformation de Radon..................................................................... 49
6. La transformation de Radon d’une image numérique..................................................... 50
6.1.
Définition ................................................................................................................ 50
6.2.
La transformation de Radon d’un carré d’unité...................................................... 51
7. Projection en géométrie parallèle.................................................................................... 52
7.1.
Géométrie parallèle................................................................................................. 52
7.2.
Algorithme de la projection .................................................................................... 54
8. Conclusions et perspectives ............................................................................................ 55
Chapitre 3. RECONSTRUCTION EN GEOMETRIE PARELLELE
1.
2.
56
Introduction..................................................................................................................... 57
Méthode directe de Fourier............................................................................................. 57
2.1.
Théorème du profil central...................................................................................... 57
2.2.
Algorithme de reconstruction ................................................................................. 59
3. Méthode du filtrage de la rétro-projection ...................................................................... 60
3.1.
Principe de la mathématique................................................................................... 60
3.2.
Algorithme de reconstruction ................................................................................. 63
4. Méthode de rétro-projection des projections filtrées ...................................................... 63
trongton© 2004
iii
4.1.
Principe de la mathématique................................................................................... 64
4.2.
Algorithme de reconstruction ................................................................................. 66
5. Conclusions..................................................................................................................... 68
Chapitre 4. TRAITEMENT DE LA RADIOGRAPHIE PULMONAIRE
69
1.
2.
Introduction..................................................................................................................... 70
Amélioration de la qualité de radiographie..................................................................... 72
2.1.
Analyse par histogramme ....................................................................................... 72
2.1.1.
Graphe de l’histogramme................................................................................ 72
2.1.2.
Normalisation de l’histogramme..................................................................... 73
2.1.3.
Égalisation de l’histogramme ......................................................................... 74
2.2.
Méthode du fenêtrage ............................................................................................. 75
2.2.1.
Technique de LUT (Look-up Table)............................................................... 75
2.2.2.
Ajustement du contraste.................................................................................. 76
2.3.
Filtrage des bruits.................................................................................................... 78
3. La structure du poumon et ses anomalies populaires...................................................... 80
3.1.
La structure générale du poumon............................................................................ 80
3.2.
Les anomalies pulmonaires populaires ................................................................... 81
4. Détection des anomalies pulmonaires............................................................................. 83
4.1.
Processus détaillé .................................................................................................... 83
4.2.
Méthodologies......................................................................................................... 86
4.2.1.
Algorithme maximal local (Hill-Climbing) .................................................... 86
4.2.2.
Algorithme FloodFill ...................................................................................... 88
4.3.
Analyse du résultat.................................................................................................. 89
4.4.
Discussions ............................................................................................................. 90
5. Conclusions..................................................................................................................... 91
Chapitre 5. CONCLUSIONS
1.
2.
92
Conclusion générale........................................................................................................ 92
Problèmes ouverts........................................................................................................... 94
Annexe A. LA TRANSFORMATION DE FOURIER
1.
95
Définition ........................................................................................................................ 96
1.1.
Transformation de Fourier unidimensionnelle (Fourier 1D) .................................. 96
1.2.
Transformation de Fourier bidimensionnelle (Fourier 2D) .................................... 97
2. Les propriétés de Fourier 2D .......................................................................................... 98
2.1.
Séparabilité ............................................................................................................. 98
2.2.
Linéarité .................................................................................................................. 98
2.3.
Homothétie.............................................................................................................. 99
2.4.
Dualité..................................................................................................................... 99
2.5.
Translation spatiale ................................................................................................. 99
trongton© 2004
iv
3.
4.
2.6.
Translation fréquentielle ......................................................................................... 99
La transformation de Fourier discrète............................................................................. 99
Illustrations de fonction Rectangle ............................................................................... 100
Annexe B. OUTIL DE TRAITEMENT D’IMAGE DE MATLAB
103
1.
2.
Introduction................................................................................................................... 104
Les fonctions de traitement d’image............................................................................. 105
2.1.
Lecture et représentation de l’image..................................................................... 105
2.2.
Égalisation d’histogramme ................................................................................... 106
2.3.
Ajuste du contraste................................................................................................ 107
2.4.
Enregistrement d’image sur disque....................................................................... 108
3. La transformation de Radon dans MATLAB ............................................................... 109
3.1.
La fonction radon ................................................................................................. 109
3.2.
La fonction iradon ................................................................................................ 112
BIBLIOGRAPHIE
trongton© 2004
115
v
TABLE DES FIGURES
Chapitre 0
Figure 3-1 Processus de la détection des anomalies pulmonaires et de la vérification des
résultats dans un système de Tomographie X......................................................................5
Chapitre 1
Figure 2-1 Radiographie du crâne (Microsoft Encyclopédie Encarta 2002). ..........................10
Figure 2-2 Un système de radiographie à rayon X conventionnelle........................................11
Figure 2-3 Ce diagramme illustre comment fonctionne t-il un système de la radiographie X11
Figure 2-4 Dispositif expérimental de production des rayons X. ............................................11
Figure 2-5 Une machine de la radiographie numérique de GE Medical (Imagerie / FV
Hôpital) ............................................................................................................................13
Figure 2-6 Une radiographie cassette avec le phosphore plaque changeable (Imagerie/FV
Hôpital) ............................................................................................................................14
Figure 2-7 La structure d’une image phosphore plaque ..........................................................14
Figure 2-8 Cette lecture permet de développer une cassette à la taille de 15x30 cm à 43x35
cm en mois de 60 secondes et rapidement transmise à la console de traitement
(Imagerie/FV Hôpital). ....................................................................................................15
Figure 2-9 Une console avec son logiciel permet de visualiser et de manipuler l’image. En
fin, l’image est imprimée au film laser au format de 20x25 cm ou de 35x43 cm
(Imagerie/FV Hôpital) .....................................................................................................16
Figure 2-10 Démonstration d’une fonction de traitement d’image du logiciel de console. A
gauche : l’image d’une radiographie pulmonaire. A droite : l’image inversé de
radiographie pour développer le cliché (Imagerie/FV Hôpital).......................................16
Figure 3-1 La première clinique image du cérébral obtenue par Hounsfield (Nobel Prize
Website). ..........................................................................................................................17
Figure 3-2 Principe de la technique. Les faisceaux de rayon X traversent le patient sous
différents angles, dans un plan perpendiculaire à son grand axe. L’atténuation du
faisceau est enregistrée par un ensemble de détecteurs. (TDM Corps Entier). ...............18
Figure 3-3 Projection de l’objet. Dans ce dessin, on peut voir deux ombres différentes d’une
fille avec une banane à gauche et un ananas devant sur le mur. Est-ce qu’on peut
imaginer l’image de cette fille depuis ces deux projections ? .........................................19
Figure 3-4 Principe d’acquisition des mesures ........................................................................19
Figure 3-5 Un système de rotation – translation à détecteur unique (TDM Corps Entier)......21
Figure 3-6 Un système de rotation – translation à détecteurs multiples (TDM Corps Entier) 21
Figure 3-7 Un système de rotation à multi-détecteurs mobiles en géométrie R/R (TDM Corps
Entier). .............................................................................................................................22
Figure 3-8 Un système de rotation à muti-détecteurs fixes en géométrie R/S (TDM Corps
Entier). .............................................................................................................................22
Figure 3-9 TDM spiralée ou hélicoïdale. L’acquisition continue, pendant le déplacement de
la table, entraîne un balayage spiralé (TDM Corps Entier). ............................................23
Figure 3-10 Tomographe multicoupe ......................................................................................24
trongton© 2004
vi
Figure 3-11 Volume du pixel (Voxel). (a), (b) = taille de l’élément pictural (pixel) ; (d) =
épaisseur de coupe, (D) = diamètre total de la coupe ou champ de mesure (TDM Corps
Entier). .............................................................................................................................24
Figure 3-12 Échelle de Hounsfield. La limite inférieure de l’échelle -1000 UH, correspond à
la densité de l’air. Les valeurs d’atténuation des structures osseuses très denses
dépassent 1000 UH, celles de la plupart des tissus et liquides corporels sont comprises
entre -100 et +100 UH (TDM Corps Entier). ..................................................................25
Figure 3-13 Deux fenêtre avec les valeurs différentes de densité. A gauche : fenêtre osseuse,
à droite : fenêtre pulmonaire (Imagerie/FV Hôpital).......................................................26
Figure 3-14 Comparaison deux images avant et après l’injection une dose du produit de
contraste ...........................................................................................................................27
Figure 3-15 Deux artéfacts exemplaires dans les examens du CT scanner. ............................28
Figure 3-16 Un CT scanner hélicoïdale de GE Medical, version HiSpeed NX/i. Cet appareil
permet de sélectionner soit au mode séquentiel, soit au mode hélicoïdal. Le temps
d’acquisition d’un plan de coupe atteint jusqu’à 0.25s ou quatre coupes par seconde au
mode hélicoïdal (Imagerie/FV Hôpital)...........................................................................29
Figure 3-17 L’interface d’un programme de traitement d’image du scanner. Ce logiciel
permet à l'usager de visualiser l’image reconstruction, améliorer la qualité de l’image,
de mesurer en valeurs de UH, reformater en 3D… (Imagerie/FV Hôpital). ...................30
Figure 3-18 Reformation en 3D de la structure osseuse et de l’artère (Imagerie/FV Hôpital).30
Figure 4-1 L’image générée par l’IRM d’une lésion du ligament croisé antéro-externe au plan
sagittal (GE Medical).......................................................................................................31
Figure 4-2 Principe de la technique de l’imagerie par résonance magnétique (IRM) .............32
Figure 4-3 Temps de relaxation T1 et T2. ...............................................................................33
Figure 4-4 Image en IRM permet d’observer des différents tissus du cerveau grâce à la
qualité du contraste spontané d’IRM. ..............................................................................34
Figure 4-5 Image du CT scanner permet seulement de localiser des organes différentiels (os
et tissus) du cerveau. ........................................................................................................34
Figure 4-6 Axial, coronal et sagittal coupes ............................................................................34
Figure 4-7 Les matériaux dentaires métalliques causent des artéfacts ....................................35
Figure 4-8 L’image obtenue sans la technique de compensions du mouvement de cardiaque
et de poumon....................................................................................................................35
Figure 4-9 L'image obtenue en utilisant la technique du gating. Il requise de données à
chaque période du cardiaque. Cette technique a éliminé efficacement le mouvement
cardiaque. .........................................................................................................................35
Figure 4-10 Un moderne IRM scanner à superbe conduction magnétique 1,5 Tesla (GE
Medical). ..........................................................................................................................36
Figure 4-11 L’IRM permet de visualiser l'activité des cellules de différentes zones du cerveau
au repos, puis en réponse à trois stimulations acoustiques de nature différente (Microsoft
Encyclopédie Encarta 2002). ...........................................................................................37
Chapitre 2
Figure 1-1 Droite L est déterminée par deux paramètres p0 et θ0 .......................................... 40
Figure 1-2 Sinogramme pour un point objet dans l’espace (p, θ)........................................... 40
Figure 1-3 Représentation la droite L dans l’espace (θ, q)..................................................... 41
trongton© 2004
vii
Figure 1-4 Illustration de la transformation de Radon d’une région D de f(x, y). .................. 42
Figure 3-1 Le fantôme tête de Shepp-Logan et ses paramètres .............................................. 44
Figure 3-2 La projection du disque d’unité à un angle θ fixé................................................ 45
Figure 3-3 Sinogramme du fantôme tête de Shepp–Logan. ................................................... 45
Figure 4-1 Démonstration de la relation entre la transformation de Radon et la transformation
de Fourier dans l’espace de deux dimensions................................................................... 46
Figure 4-2 La relation entre ligne et point dans la transformation de Hough. Un point objet
dans plan (x, y) rend à une courbe sinusoïdale dans plan (p,θ ). Inversement, un point
dans plan (p,θ ) sert à identifier une ligne dans plan (x, y). .............................................. 47
Figure 4-3 Sinogramme pour un objet de 3 points. Chaque point dans espace xy est
transformé en une sinusoïde dans espace pθ. ................................................................... 48
Figure 4-4 La transformation d’une ligne dans plan (x, y) en un point dans plan (p,θ). Pour
identifier une ligne dans plan xy il suffit de détecter un peak dans le sinogramme de la
transformation de cette ligne............................................................................................. 48
Figure 6-2 Représentation d’une image couleur numérique et son système de coordonnée .. 50
Figure 6-3 Illustration de la projection d’un carré d’unité...................................................... 51
Figure 6-4 Projection à l’angle θ = 0 ..................................................................................... 51
Figure 6-5 Projection à l’angle θ = π / 4 ................................................................................ 52
Figure 7-1 La géométrie de projection en parallèle du fantôme tête de Shepp-Logan........... 53
Chapitre 3
Figure 2-1 Illustration du théorème du profil central.............................................................. 58
Figure 2-2 Interpolation des échantillons de la transformation de Fourier des projections sur
la grille circulaire à la grille rectangulaire de la transformation de Fourier 2D. .............. 59
Figure 3-1 Illustration de la géométrie pour obtenir la rétro-projection d’un angle θ fixé..... 61
Figure 3-2 Principe de la méthode rétro-projection. (a) deux projections d’un rectangle (b)
rétro-projection de ces deux projections et superposition pour former une proximité de
l’image originaire. (Stanley1983) ..................................................................................... 61
Figure 3-3 Les résultats de l’étape rétro-projection avec des différents angles de projection.62
Figure 4-1 Diagramme d’implémentation de la méthode de rétro-projection des projections
filtrées ou méthode de convolution [Dean1983]............................................................... 64
Figure 4-2 Le filtre rampe dans le domaine fréquentiel ......................................................... 65
Figure 4-3 Filtre rampe avec la fenêtre du Hann .................................................................... 66
Figure 4-4 La projection d’une ellipse à angle θ = 0o (a). (b) le sinogramme de la projection
après l’application du filtre Hann. .................................................................................... 66
Figure 4-5 Reconstruction du fantôme tête de Shepp-Logan avec des nombres de projection
différents. La qualité de l’image dans (a) est très mauvaise tandis que celle obtenue dans
(b) est proche de l’image originaire. ................................................................................. 67
Chapitre 4
Figure 1-1 Un exemple du jeu « Rayman 3 » qui utilise une machine de génération des
modèles 3D. Cette machine doit réaliser énormément des algorithmes de traitement
d’images et de synthèse d’images..................................................................................... 70
Figure 1-2 Diagramme du processus de traitement d’image numérique. [Rafael2002] ......... 71
trongton© 2004
viii
Figure 2-1 Exemple d’une radiographie pulmonaire et son graphe de l’histogramme........... 73
Figure 2-2 La radiographie pulmonaire et son histogramme après l’étape de normalisation de
l’histogramme ................................................................................................................... 74
Figure 2-3 La radiographie pulmonaire et son histogramme après l’étape d’égalisation de
l’histogramme. Le contraste de la radiographie a été rehaussé clairement....................... 74
Figure 2-4 La transformation du contraste. Pour la région foncée de la radiographie
α > 1, a L / 3 ; la région au milieu β > 1, b 2 L / 3 ; et la région clarté γ > 1 ................ 77
Figure 2-5 La fonction d’ajustement du contraste du programme RadioAnalyser................. 77
Figure 2-6 Exemple d’un cas d’artéfact de haut contraste dans une radiographie dentaire. .. 78
Figure 2-7 Diagramme du filtre passe-bas. ............................................................................ 78
Figure 2-8 La radiographie filtrée par le filtre moyen et son histogramme plus fine............. 79
Figure 3-1 La structure générale du poumon. Deux lobes des poumons entourent le coeur.
L’arbre bronchique divisé en deux branches primaires qui entrent les deux lobes. ......... 80
Figure 3-2 Quatre coupes de la radiographie représentative d’un poumon normal.
(Imagerie/FV Hôpital) ...................................................................................................... 81
Figure 3-3 : La perte de volume pulmonaire est causée par un épanchement de liquide pleural
ou gazeux, ou une rétraction cicatricielle du parenchyme pulmonaire. Elle risque de
réduire la ventilation du poumon. (Imagerie / FV Hôpital) .............................................. 82
Figure 3-4 : L’abcès pulmonaire résulte habituellement l’évolution névrosante d’une
pneumopathie. La valeur d’UH est faible entre -600 et -200 UH.(Imagerie/FV Hôpital) 82
Figure 3-5 : Les tumeurs sont des lésions qui sont visualisées sous forme d’une opacité
arrondie, parfois polylobée, mesurant moins de 4cm de diamètre. Leur densité est située
entre 80 et 180 UH. (Imagerie / FV Hôpital).................................................................... 83
Figure 3-6 : Une nodule solide peut correspondre à un carcinome bronchique, à une tumeur
bénigne ou à un granulome cicatriciel. (Imagerie / FV Hôpital) ..................................... 83
Figure 4-1 Processus de la détection des anomalies pulmonaires et de la vérification des
résultats dans un système de Tomographie X................................................................... 84
Figure 4-2 L’idée principale du tâche de détection des anomalies pulmonaires. (a) la
radiographie examinée, (b) le sinogramme de la transformation de Radon et ses deux
peaks des anomalies, (c) visualisation de la matrice de Radon en 3D, le flèche représente
un point maximal local (un peak) dans la matrice de Radon............................................ 85
Figure 4-3 Application de l’algorithme Hill-Climbing en cherchant des maximaux locaux.. 87
Figure 4-4 Principe de l’algorithme Hill-Climbing. ............................................................... 87
Figure 4-5 Démonstration de l’idée principale de l’algorithme FloodFill avec quatre points
avoisinants......................................................................................................................... 88
Figure 4-6 Démonstration du résultat de la méthode de détection des anomalies pulmonaires.
(a) la radiographie pulmonaire avec une tumeur à lobe gauche, (b) position des anomalies
localisée par l’algorithme maximal locale, (c) la région anomalie contournée, (d) la
région anomalie remplie par une couleur prédéfinie…………………………………….89
Annexe A
Figure 1-1 Exemple de la transformation de Fourier 1D de fonction Rectangle. La fonction
transformée est appelée la fonction sinus. ........................................................................ 96
trongton© 2004
ix
Figure 1-2 Module de l’image d’une fille après centrage de l’origine ................................... 98
Figure 4-1 Fonction du Rectangle......................................................................................... 101
Figure 4-2 Illustration de fonction Rectangle en 3D. La troisième dimension est présentée par
la valeur de f(x, y)............................................................................................................ 101
Figure 4-3 Module de la transformation de Fourier correspondant à fonction Rectangle.... 102
Annexe B
Figure 2-1 L’affichage de l’image rice.tif............................................................................. 106
Figure 2-2 Histogramme de l’image rice.tif ......................................................................... 106
Figure 2-3 Image J et son histogramme après exécuter la fonction d’égalisation
histogramme.................................................................................................................... 107
Figure 2-4 Le contraste de l’image rice.tif a été réglé abondamment en appliquant la fonction
imadjust........................................................................................................................... 108
Figure 3-1 Projection horizontale et projection verticale d’une fonction simple f(x, y) ....... 110
Figure 3-2 Deux projections à l’angle theta = 0 et theta = 45 d’un carré........................... 111
Figure 3-3 Sinogramme de la transformation de Radon prise par 180 angles de projection.112
Figure 3-4 Représentation des images reconstruites du fantôme tête de Shepp – Logan..... 114
LISTE DES TABLEAUX
Chapitre 2
Table 5-1 : CODE MATLAB ................................................................................................ 49
Annexe B
Table 2-1 Des formats d’images supportés par MATLAB................................................... 105
trongton© 2004
CHAPITRE
INTRODUCTION
1. Motivation
La Tomographie est un jeune domaine de recherche (environ 30 ans de développement)
mais elle a créé une application très large dans des domaines scientifiques : la médecine, la
biologie, l’astronomie, la géophysique, la résonance
magnétique nucléaire (RMN) et
l’optique. Dans ce présent mémoire, nous nous intéressons à la recherche dans le domaine de
la Tomographie médicale.
En effet, la Tomographie médicale a été développée rapidement dans les années 1970 et
1980. En 1979, Allan Cormark et Godfrey Hounsfield ont reçu le prix Nobel de médecine
pour leurs contributions dans l’invention du CT scanner ou la Tomographie X médicale
d’aujourd’hui. Cette découverte entraîna à la création des différents types de machine de
tomographie comme l’imagerie par résonance magnétique (IRM), la gamma-caméra (SPECT)
et la Tomographie par émission de positons (TEP). Ces machines de Tomographique
apportent à la médecine de merveilleux outils d’observation à l’intérieur du corps des
patients sans faire une intervention chirurgicale.
Cependant, ces inventions sont retournées à la redécouverte des résultats de la théorie de
Radon en 1917. Pour cette raison, la transformation de Radon est le fondement de la
Tomographie en résolvant le problème de projection et de reconstruction à partir des
projections.
Donc, dans la première partie, nous étudions des applications actuelles de la
Tomographie médicale comme la Radiographie X numérique, le CT scanner et l’Imagerie
par Résonance Magnétique (IRM). Ensuite, la deuxième partie est consacrée à la théorie de la
transformation de Radon et au problème de reconstruction en géométrie parallèle.
Chapitre 0. INTRODUCTION
2
Nous définissons la théorie de Radon en se basant sur l’hypothèse que la fonction f(x, y)
est continue et à support compact. La transformation de Radon est donc définie par
l’intégrale de curviligne au long d’une droite L. Les mesures de fonction f(x, y) est appelées
la projection ou le profil de l’objet. À partir de ces projections, nous développons trois
méthode de reconstitution de fonction f(x, y) :
Z méthode directe de Fourier,
Z méthode du filtrage de la rétro-projection,
Z méthode de rétro-projection des projections filtrées.
Au début des années 1990, l’évolution de la technologie a conduit à l’apparition d’une
nouvelle branche du domaine d’imagerie médicale : analyse d’image médicale. En fait, le
développement des systèmes de Tomographique aujourd’hui presque atteint sa limite avec
l’évolution de différents de système d’émission – acquisition et le temps de reconstruction
optimisée. Les chercheurs de l’informatique et de médecine ont l’intention de déplacer leurs
recherches au domaine de l’analyse d’image médicale et de Tomographie diagnostique par
ordinateur.
Ces idées ont été réalisées en se basant sur le système de mesure dans l’imagerie
médicale comme Unité Hounsfield (UH) dans la Tomographie X. Ces travaux contribueront
significativement à la médecine dans l’avenir car un système diagnostique va aider
efficacement des docteurs dans le traitement des maladies courantes. De plus, ces systèmes
peuvent s’intégrer facilement aux systèmes tomographiques existants afin d’utiliser les
données générées durant l’opération de ces systèmes Tomographiques.
Aujourd’hui, la recherche sur le domaine d’imagerie médicale est de plus en plus
intensive et très active. Plusieurs conférences scientifiques et d’expositions de l’imagerie
médicale ont été organisées dans les années 2000. De plus, on a publié de nombreux
documents et articles sur ce sujet. Germes Science publication est une maison d’édition
prestigieuse pour des chercheurs francophones dans ce domaine. Beaucoup d’universités ont
crée une branche de recherche post-universitaire dans ce domaine comme l’Université de
MIT (États-Unis), INP Grenoble et l’Université de Liège de Bruxelles.
Malgré leurs efforts, les résultats obtenus de ces recherches sont limités car la structure
du corps humain est une des structures les plus complexes. On ne se concentre qu’à étudier
un organisme spécifique du corps. Par exemple, au département de « Medical Image
trongton© 2004
LA TRANSFORMATION DE RADON ET SON APPLICATION …
3
Analysis » de MIT, on a examiné principalement le cerveau, le sein (détection des cancers du
sein) et le genou.
De ce fait, dans la dernière partie du mémoire, nous développons une méthode pour
détecter des anomalies dans une radiographie pulmonaire. Nous avons réalisé deux modules
pour en servir :
Z unité de traitement d’image pour l’amélioration de la qualité de radiographie obtenue.
Z unité de détection et de localisation des anomalies.
Dans cette méthode, nous utilisons des données de la transformation de Radon produites
pendant la phase de projection pour localiser des changements anomaux dans ces données.
Grâce à la définition de transformation de Radon et ses propriétés, nous pouvons retrouver
ces anomalies dans la radiographie originaire.
La contribution de ce mémoire dans la théorie de Radon est de développer une formule
en générale pour calculer la transformation de Radon en géométrie parallèle d’une image
numérique de niveau de gris. En effet, cette méthode est indépendante de l’implémentation
de la technique de Tomographique puisqu’on calcul la transformation de Radon de l’image
en se basant sur la résultat de transformation de Radon d’un pixel présentatif. Le problème de
calcul de la transformation de Radon d’image est donc transformé au problème de calcul de
la transformation de Radon d’un carré unité.
Par ailleurs, notre contribution principale dans le domaine de l’analyse d’image médicale
est de proposer une méthode de solution du problème de détection des anomalies dans une
radiographie pulmonaire. Nous choisissons d’examiner la radiographie pulmonaire pour deux
raisons :
Z les maladies de poumon causées par le cancer, la tuberculose et la tumeur sont
populaires au Vietnam.
Z les anomalies de poumon dans une radiographie sont plutôt faciles à détecter.
Cependant, cette méthode peut être étendue pour le même problème des autres
organismes comme la foie, le rein et le cerveau. Nous espérons que le résultat obtenu dans ce
mémoire est de temps en temps plus précis.
trongton© 2004
Chapitre 0. INTRODUCTION
4
2. Objectif du mémoire
Z Systématisation des applications actuelles de la Tomographie dans le domaine
d’Imagerie médicale.
Z Étude sur la transformation de Radon et le problème de reconstruction d’une image à
partir de ses projections.
Z Application des algorithmes de traitement d’image numérique pour l’amélioration de
la qualité de la radiographie.
Z Proposition d’une méthode pour détecter les anomalies dans une radiographie
pulmonaire. Expérimentation de la faisabilité de cette méthode par MATLAB.
3. Méthode et outil de recherche
3.1. Méthode de recherche
La première partie résume le résultat de deux mois de stage à FV Hôpital de Ho Chi
Minh ville. Grâce à l’aide des docteurs et des techniciens au département d’Imagerie, nous
avons une bonne occasion d’étudier les documents professionnels et les connaissances
intéressantes d’imagerie médicale. Nous consultons ainsi des documents et des sites Web sur
les problèmes technologiques comme les différentes versions du CT scanner, le calcul
d’unité Hounsfield, le format du ficher DICOM et la technique d’imagerie par résonance
magnétique (IRM).
Dans la deuxième partie, la définition et les propriétés de la théorie mathématique
fondamentale de Radon sont principalement extraits du livre de Stanley R. Deans (1983) :
«The Radon transform and some of its applications » et le papier de [Khanh2004]. Le
problème de reconstruction en géométrie parallèle et en géométrie divergente abordé dans
Chapitre 3 peut être trouvé plus détaillé dans le livre de Kak et Slaney (1999): « Principles of
Computerized Tomographic Imaging ».
La dernière partie de ce mémoire concerne le problème de traitement de la radiographie
pulmonaire. Les algorithmes de traitement d’image numérique fondamentaux
sont
référencés du livre bien connu de Gonzalez et Woods (2002): « Digital Image Processing ».
Dans Figure 3-1, nous illustrons le processus de la méthode de détection des anomalies
dans une radiographie pulmonaire. Puisque nous n’avons pas de condition de tester cette
trongton© 2004
LA TRANSFORMATION DE RADON ET SON APPLICATION …
5
méthode sur un système de Tomographie X réel, nous utiliserons l’outil de traitement
d’image de MATLAB pour établir un système de simulation d’un CT scanner actuel. La
fonction Radon dans cet outil nous permet de calculer les projections en géométrie parallèle
d’une image pour former la matrice de transformation de Radon de cette image. Grâce aux
données fournies par MATLAB, nous pouvons examiner la tâche de détection des anomalies
de poumon.
CT Scanner
(simulation par
MATLAB)
(1)
Rf ( p, θ )
(2)
Matrice de
Radon
(sinogramme)
Radiographie
pulmonaire
(3)
Détection
des anomalies
Algorithme de
Reconstruction
Vérification
des résultats
Représentation
de l’image au
moniteur
(4)
Reconstitution
f(x, y)
de l’image
(6)
(5)
Figure 3-1 Processus de la détection des anomalies pulmonaires et de la vérification des résultats dans un
système de Tomographie X.
3.2. Outils de recherche
Z Outil de mathématiques et de traitement d’image : MATLAB 6.5 R13.
Z Langage de programmation : C#, C/C++.
Z Environnement de programmation : Microsoft Visual Studio .NET, Microsoft .NET
framework.
Z Système d’exploitation : Windows XP.
trongton© 2004
Chapitre 0. INTRODUCTION
6
4. Les difficultés
En réalisant ce mémoire, nous avons fait face à beaucoup de difficultés :
Z des termes et des connaissances spécifiques dans le domaine de l’Imagerie médicale
et de la médecine
Z traduction des termes correspondants en anglais et en français
Z manque de document de référence des certaines problèmes spécialistes comme : le
format de ficher DICOM 3.0 utilisé dans les CT scanners commerciaux, calcul
d’unité Hounsfield (HU). Donc, nous devons simuler tous ces problèmes pour obtenir
des valeurs proches des résultats actuels
Z le problème de l’analyse d’image médicale est assez nouveau. Donc, il n’existe pas
beaucoup d’outils ou de documents concernant le traitement de la radiographie
pulmonaire sur l’Internet
Z la qualité des radiographies obtenues est très variable. Elle dépend de plusieurs
éléments comme : la lésion du patient, les paramètres de scanner pour chaque
examen, la préparation de la position du patient, la dose du produit contraste….
5. Structure du mémoire
Ce mémoire est structuré en cinq chapitres :
Z Chapitre 1 : Les applications actuelles de la Tomographie dans le domaine de
l’Imagerie médicale.
Z Chapitre 2 : La théorie de la transformation de Radon et le problème de projection en
géométrie parallèle d’une image numérique.
Z Chapitre 3 : Les trois méthodes de reconstruction d’image à partir de ses projections
en géométrie parallèle.
Z Chapitre 4 : Le traitement de la radiographie pulmonaire en deux tâches :
amélioration de la qualité d’image obtenue et détection des anomalies dans une
radiographie de poumon.
Z Chapitre 5 : La conclusion et le développement de ce sujet dans le futur.
Finalement, nous terminons ce mémoire par deux annexes :
Z Annexe A : La transformation de Fourier.
Z Annexe B : Utilisation de l’outil de traitement d’image de MATLAB.
trongton© 2004
CHAPITRE
LA TOMOGRAPHIE MEDICALE
Dans ce chapitre, nous allons aborder en bref l’histoire et l’évolution de la Tomographie
dans son développement depuis des années 1970. Depuis la découverte du rayonnement
X par le physicien allemand Wilhelm Conrad Rontgen en 1895, la technologie de la
Tomographie a fait une évolution merveilleuse dans le domaine d’Imagerie médicale.
Ensuite, nous présentons les matériels et ainsi les logiciels du système d’imagerie
médicale les plus modernes comme : la radiographie à rayon X numérique, le CT scanner
et IRM (Imagerie par Résonance Magnétique). Nous présentons leurs fonctions, les
images générées par ces machines, le modèle de technique utilisé ... Une petite légende
autour de la transformation de Radon est ainsi présentée dans ce chapitre.
Chapitre 1. LA TOMOGRAPHIE MÉDICALE
8
1. Introduction
La Tomographie assistée par ordinateur (TAO)1 ou Tomodensitométrie (TDM) en
médecine est une technique d’acquisition et d’analyse d’images médicales numériques.
Dans cette technique, un ordinateur collecte un grand nombre de données (valeurs
d’atténuation), sur une région déterminée de l’organisme, ce qui permet d’évaluer les
relations spatiales des structures absorbantes les rayons X à l’intérieur de celle-ci. Avec
l’aide d’un programme informatique, il est possible d’améliorer la qualité de l’image
obtenue, d’identifier les structures internes, de quantifier les variations de densité, de
localiser la présence de défauts. Un système de l’imagerie médicale fournit ainsi une
présentation virtuelle de la réalité comme : reformation en 3D, simulation de la diffusion
et de la perfusion du poumon, observation du rythme du cœur …
Le mot Tomographie est l’origine d’un mot du grec : « tomos » = tranche. C’est une
technique qui utilise des rayonnements pénétrants comme les rayonnements X, gamma ou
certaines ondes électromagnétiques ou acoustiques (comme ultrasonore d’échographie).
Par combinaison d’un ensemble de mesures et grâce à des calculs mathématiques de la
reconstruction, la Tomographie permet de voir sur l’écran l’organisme intérieur du corps
humain, selon un ou plusieurs plans de coupe. Alors qu’auparavant on y avait accès soit
par l’imagination, en interprétant les mesures du sang ou d’urine, ou soit par
l’observation, en découpant matériellement les objets. Dans le cas d’imagerie médicale,
une observation directe nécessite une intervention chirurgicale. Avec la Tomographie, on
a un outil formidable pour découvrir sans détruire les structures du corps, leur
organisation et leur fonction dans l’espace et dans le temps. L’utilisateur pourra alors
bénéficier de l’assistance des logiciels de traitement, d’analyse et de visualisation des
images numériques.
Au cours des 30 dernières années, les développements dans les techniques d’imagerie
médicale ont conduit à des changements révolutionnaires dans la pratique de la médecine.
L’imagerie est, en effet, au cœur du processus de diagnostic, en facilitant notamment un
diagnostic précoce, mais elle est également importante pour l’établissement et le suivi du
traitement. Elle constitue, en outre, un outil pour la recherche tant clinique que
fondamentale.
Au fil du temps, l’imagerie médicale est devenue un travail d’équipe. Un système
d’imagerie médicale rassemble plusieurs composants technologiques. Son développement
1
Computed Tomography (CT)
trongton© 2004
LA TRANSFORMATION DE RADON ET SON APPLICATION …
9
requiert la participation des utilisateurs finaux comme les médecins, les physiciens, les
biologistes pour spécifier les besoins ; les ingénieurs, les chercheurs, les informaticiens
pour mettre au point les nouvelles techniques et enfin les entreprises industrielles pour
réaliser et commercialiser ces systèmes.
Aujourd’hui, il existe plusieurs types de système d’imagerie médicale et leurs
applications dépendent de la spécialité du traitement de maladie ou de fonction de
l’organisme du corps ou du besoin des médecins. Dans ce mémoire, nous voulons
proposer un modèle de classification de ces systèmes. Initialement, ce sont des systèmes
de l’imagerie médicale morphologique comme la Tomographie X médicale (ou CT
scanner), l’Imagerie par Magnétique Résonance (IRM). Dans la deuxième branche, ce
sont des systèmes de l’imagerie médicale fonctionnelle comme la gamma-caméra
(SPECT1), la Tomographie par émission de positons (TEP), la Tomographie cérébrale par
NMR 2…
Dans ce chapitre, nous allons étudier trois exemplaires, du plus simple au plus
complexe, du plus ancien au plus récent, du système d’imagerie médicale : la
Radiographie à rayon X, la Tomographie X médicale (ou CT scanner) et l’Imagerie par
Magnétique Résonance (IRM).
2. La Radiographie à rayon X
2.1. Introduction
La radiographie à rayon X a vu le jour grâce à la découverte des rayons X par le
physicien allemand Wilhelm Conrad Ronghen en novembre 1895 (Ronghen a reçu le
premier prix Nobel de physique pour ses travaux). Cette découverte fut, en effet, très
rapidement suivie par la première application clinique qui eut lieu dès janvier 1896.
En 1913, Coolidge inventa le tube générateur de rayon X, ce qui conduit au rapide
développement de la radiographie par rayon X avec utilisation de plaques
photographiques. Cette technique est très utile pour visualiser les structures osseuses et
les masses anormalement denses qui absorbent particulièrement les rayons X (Fig. 2-1).
Cependant elle ne fournit qu’une image en projection et ne permet donc pas la
visualisation en profondeur dans la direction d’observation.
1
2
SPECT : Single Photo Emission Computed Tomography
NMR : Nuclear Magnetic Resonance
trongton© 2004
Chapitre 1. LA TOMOGRAPHIE MÉDICALE
10
Figure 2-1 Radiographie du crâne (Microsoft Encyclopédie Encarta 2002).
Aujourd’hui, la Radiographie à rayon X traditionnelle a fait une évolution avec la
digitalisée de l’image d’acquisition. Cette méthode permet de manipuler et de
sauvegarder plus facilement les images dans des équipements informatiques comme le
disque magnétique ou le disque optique. Cependant, la Radiographie à rayon X
traditionnelle a dominé plus de 70% de département de radiologie du monde entier
[Merrill1999] et joue un rôle important dans la qualité des soins médicaux depuis plus de
100 ans.
2.2. Principe de la technique
Le corps humain est de lui-même assez peu efficace comme composante active de
l’imagerie. Ses émissions naturelles, telles que les infrarouges, les potentiels électriques
de surface ou l’énergie acoustique liée au mouvement de l’air dans les poumons, sont trop
faibles pour pouvoir en tirer des images des structures internes. Il faut donc recourir à des
sondes externes ou à des émissions internes artificielles. Par cette raison la radiographie
utilise des ondes courtes entre 1018 Hz – 1020 Hz (environ 3x10-10 m), notamment le
rayonnement X.
Les propriétés principales de rayon X sont :
•
Les rayons X sont absorbés par la matière; leur absorption est fonction de la
masse atomique des atomes absorbants.
•
Les rayons X sont diffusés par la matière; c'est le rayonnement secondaire ou
rayonnement de fluorescence.
•
Les rayons X impressionnent la plaque photographique.
•
Les rayons X déchargent les corps chargés électriquement.
La technique d’imagerie par Radiographie à rayon X est basée sur la physique des
interactions entre l’énergie (la sonde) et la matière (le tissu biologique qu’on veut
trongton© 2004
LA TRANSFORMATION DE RADON ET SON APPLICATION …
11
imager). On utilise une source d’émission de rayon X, un système de collimation et un
récepteur pour enregistrer des informations d’atténuation d’énergie (Fig. 2-2).
Figure 2-2 Un système de radiographie à rayon X
conventionnelle.
Figure 2-3 Ce diagramme illustre comment
fonctionne t-il un système de la radiographie X
Le tube d’émission de rayon X se compose par la cathode et l’anode (Fig. 2-4).
Figure 2-4 Dispositif expérimental de production des rayons X.
•
La cathode se constitue d’un filament de tungstène qui est chauffé par un courant
(de 40 à 140 kilovolts). Aux environs de 2500oC, l’échauffement du filament fait
trongton© 2004
Chapitre 1. LA TOMOGRAPHIE MÉDICALE
12
naître un nuage d’électrons. En faisant varier le courant dans le filament on
contrôle le nombre d’électrons émis par unité de temps dont dépend directement
l’émission de photons X [Monn2002].
•
L’anode est la cible qui va arrêter le faisceau d’électrons et produire des rayons
X. Le rendement est déplorable, en effet 99% de l’énergie est perdue sous forme
de chaleur et seul 1% sert à la production de rayons X [Monn2002].
Le récepteur de l’image est un film qui reçoit l’énergie de rayon X et forme de
l’image du corps humain. Dans la radiographie diagnostique, il existe 3 types principaux
des récepteurs de l’image [Merrill1999] :
•
La cassette avec le film : C’est le film conventionnel d’un système de
radiographique depuis son premier jour au service. D’abord, il faut avoir une
chambre noire pour développer le cliché de ce type de film. En suite, on peut voir
l’image de ce film grâce à un illuminateur.
•
La cassette avec le phosphore plaque : L’image est « mémorisée » dans un
phosphore plaque. Puis, un lecteur de la cassette va développer cette phosphore
plaque pour obtenir de l’image. Cette technique n’exige pas une chambre noire et
le temps pour développer un film et plus rapide. De plus, l’image peut transformer
au format numérique pour transférer à l’ordinateur et présenter à l’écran d’un
moniteur.
•
L’écran de fluoroscopique : Le rayon X frappe directement sur un écran de
fluoroscopique où l’image d’une partie du corps a été formée. Et puis, l’image est
transmise à la télévision de manipulateur par une caméra. Le point fort de ce type
est de permettre la manipulation de l’image d’acquisition en temps réel.
2.3. Un système de radiographie à rayon X numérique 1
La Radiographie à rayon X a été digitalisée pour bénéficier de la puissance et la
rapidité de développement de technologie de l’informatique. Tandis que la plupart des
facteurs dans un système de Radiographie conventionnelle tels la machine de
radiographie, les techniques de manipulation du patient … ne changent pas beaucoup
dans le nouveau système, la technique d’acquisition de l’image a été numérisée grâce à un
phosphore plaque au lieu d’un cliché traditionnel. On va observer ensuite le système
Centricity SP 1001 fabriqué par GE Medical installant au FV Hôpital de Ho Chi Minh
ville.
1
Computed Radiography (CR)
trongton© 2004
LA TRANSFORMATION DE RADON ET SON APPLICATION …
13
Ce système comprend 5 components principaux : une machine de radiographie, des
cassettes, une lecture de la cassette, un système de console de traitement et un imprimeur
du film laser.
2.3.1.
Machine de radiographie
Figure 2-5 Une machine de la radiographie numérique de GE Medical (Imagerie/FV Hôpital)
Cette machine fonctionne comme un tube d’émission du rayonnement X. En
appliquant plusieurs nouvelles technologies et le matériel d’émission, on a optimisé
notamment la dose d’irradiation dans un examen pour chaque patient. Les manipulateurs
peuvent contrôler facilement l’intensité (de 10 à 800 mA) et la différence potentielle
d’électrique (de 40 kV à 140 kV) pour déterminer essentiellement la qualité mais aussi la
quantité du faisceau de rayon X. Elle permet ainsi des techniciens de localiser une région
d’intérêt ou de préparer la position du patient pour obtenir une bonne image.
En effet, la machine de radiographie devient maintenant plus efficace et a moins
d’effets secondaires sur le corps humain.
2.3.2.
Cassette avec le phosphore plaque
Pareil au film conventionnel, la cassette sert à acquérir une partie de rayonnement X
passant du patient. Cette cassette contient à l’intérieur une couche qui s’appelle le
phosphore plaque ce qui joue un rôle très important pour former l’image. L’image plaque
trongton© 2004
Chapitre 1. LA TOMOGRAPHIE MÉDICALE
14
est protégée grâce à une couverture en plastique (Fig. 2-6). La taille de la cassette varie de
15x30cm à 43x35cm d’après une norme internationale en médecine.
Figure 2-6 Une radiographie cassette avec le phosphore plaque changeable (Imagerie/FV Hôpital)
L’image phosphore plaque a une structure très complexe et se compose de plusieurs
couches [Merrill1999 p.310] comme : couche de protection, couche de phosphore, couche
de réflexion, couche de support et couche d’identification (Fig. 2-7).
Couche de protection
Couche de phosphore
BaFx : Cristal Eu2+
Couche de réflexion
Couche de support
Couche en arrière
Couche d’identification
Figure 2-7 La structure d’une image phosphore plaque
Le rayon X frappe directement à la couche de phosphore et conduite le cristal BaFx
changer à nouvel semi-stable état. La distribution de ces cristaux forme une latente
image. La couche de réflexion empêche les effets inattendus de la lumière ou du laser.
Puis, la couche de support protège la couche de phosphore contre des chocs externes.
Finalement, la couche d’indentification fournit un mécanisme pour associer chaque image
plaque avec des informations d’un patient identique.
Le phosphore plaque est flexible et très fin (environ 1mm). Il peut mémoriser la
latente image pendant une certaine période de temps. Normalement, l’image est gardée
pendant 24 heures.
trongton© 2004
LA TRANSFORMATION DE RADON ET SON APPLICATION …
2.3.3.
15
Lecture de la cassette
La lecture de l’image plaque est un autre component très important dans un système
Radiographie à rayon X numérique. Elle transforme des informations continuos de latente
image au format d’image digitalisée. Cette dernière est transmise à l’ordinateur grâce à
l’interface d’une carte de réseau (Fig. 2-8).
Figure 2-8 Cette lecture permet de développer une cassette à la taille de 15x30 cm à 43x35 cm en mois
de 60 secondes et rapidement transmise à la console de traitement (Imagerie/FV Hôpital).
L’image obtenue est normalisée au format de DICOM1. La spécification de ce format
est le résultat de la coopération de National Electrical Manufacturers Association
(NEMA) et de American College of Radiology (ACR). La version de DICOM 3 (fichier de
la spécification 2003) supporte l’image de très haute qualité :
•
Riche en résolution : 8, 10, 12, 16 jusqu’à 24 bits de l’échelle de gris.
•
Nouvelle technologie de compression de l’image (JPEG, JPEG 2000).
•
Ajustement en direct du niveau/largeur de la fenêtre.
•
Spécification détaillée de l’interface d’échange et de réseau.
•
Fonction de stockage et d’imprimante.
•
…
2.3.4.
Console de traitement et d’imprimeur du film
Le logiciel installé dans la console (Fig. 2-9) permet à l’utilisateur de :
•
Gérer des informations personnelles du patient comme : ID, nom, prénom, date de
naissance, les examens concernant, information sur la position …
1
DICOM: Digital Imaging and COmmunications in Medicine
trongton© 2004
Chapitre 1. LA TOMOGRAPHIE MÉDICALE
16
•
Visualiser l’image sur l’écran du moniteur
•
Ajuster la valeur de densité (le niveau/largeur de la fenêtre) pour améliorer qualité
de l’image (Fig. 2-10)
•
Rotation ou change la taille de l’image
•
Corriger des artéfacts ou des bruits de l’image
•
Sauvegarder au mémoire secondaire : disque magnétique ou disque optique.
•
Imprimer les images au film laser pour les analyses du docteur.
•
…
Figure 2-9 Une console avec son logiciel permet de visualiser et de manipuler l’image. En fin, l’image
est imprimée au film laser au format de 20x25 cm ou de 35x43 cm (Imagerie/FV Hôpital)
Figure 2-10 Démonstration d’une fonction de traitement d’image du logiciel de console. A gauche :
l’image d’une radiographie pulmonaire. A droite : l’image inversé de radiographie pour développer le cliché
(Imagerie/FV Hôpital).
trongton© 2004
LA TRANSFORMATION DE RADON ET SON APPLICATION …
17
3. La Tomographie X (CT Scanner)
3.1. Introduction
Bien que la Radiographie à rayon X permette de mieux observer l’image excellente
d’une partie du corps humain à la surface plate, elle s’est limitée en trois aspects
principaux :
•
Naturellement, la structure du corps humain est une structure multi-couches
(ou la structure overlap). Un organe peut être recouvert par un autre organe.
Prenons, par exemple dans une radiographie pulmonaire, une portion du cœur
cachée par la côte (voir Fig. 2-10).
•
Il est très difficile pour différencier les tissus dans un même organe. Donc, on
n’utilise jamais une radiographique pour traiter les lésions ou les tumeurs.
•
La radiographie nous donne seulement des images anatomiques corporelles de
l’humain. Elle ne contient aucune des informations sur la physiologie et la
biologie de l’organe vivant.
En vue de résoudre le problème de la structure overlap du corps, le premier scanner a
été présenté par Godfrey Hounsfield et ses collègues au EMI Laboratoire à Londres en
1971. A ce moment, il utilisait le terme « Tomographie axial par ordinateur1 » pour
exprimer que l’image de la coupe obtenue se trouve au plan axial et non au plan frontal
comme le dit la radiographie conventionnelle.
Figure 3-1 La première clinique image du cérébral obtenue par Hounsfield (Nobel Prize Website).
En 1979, Allan Cormark, un physicien américain, et Hounsfield se rejoignaient pour
obtenir un Prix Nobel en Médecine pour leurs contributions en développement de la
tomographie assistée par ordinateur (TAO).
1
Computer axial tomography (CAT) [Dean1983]
trongton© 2004
Chapitre 1. LA TOMOGRAPHIE MÉDICALE
18
Une autre contribution significative de ces deux physiciens était de redécouvrir la
théorie de la transformation de Radon1, publiée en 1917. En effet, cette théorie
mathématique est au cœur de la technique de tomographique. Pourtant, la théorie n’a
trouvé que sa propre application respectueuse après plus de 60 ans dans la bibliothèque.
Grâce au calcul intégral de cette transformation, la réalisation du CT scanner devient plus
simple et plus efficace.
Aujourd’hui, l’application de la tomographie X s’élargit particulièrement dans le
domaine médecine diagnostique. Grâce aux évolutions technologiques, plusieurs types de
machines tomographie X ont été réalisés comme les tomographes à rotation continue et
les tomographes à multicoupes. Cependant, ces machines ont le même but de diminuer le
temps d’acquisition et d’augmenter la qualité de l’image reconstruction.
3.2. Principe de la tomographie X
L’idée principale de la tomographie est
basée sur l’hypothèse de Radon ce qu’on
peut reconstruire l’image d’un objet depuis
toutes ses projections à différents angles
(Fig. 3-3). Pourtant, cette hypothèse n’est
jamais vérifiée car il est impossible de
collecter toutes les projections de l’objet.
En plus, les données présentées dans
l’ordinateur sont sous forme de discrète
numérique. Hounsfield a surmonté ces
problèmes en proposant un algorithme
d’interpolation de données absentes depuis
des projections existées. Cette découverte a
conduit à l’extension rapide de plusieurs
types du scanner aujourd’hui.
Similairement à la radiographie X
Figure 3-2 Principe de la technique. Les faisceaux
de rayon X traversent le patient sous différents
angles, dans un plan perpendiculaire à son grand
axe. L’atténuation du faisceau est enregistrée par un
ensemble de détecteurs. (TDM Corps Entier).
1
Sir Johann Radon (1989 - 1956), [Dean1983].
trongton© 2004
traditionnelle, la tomographie utilise les
propriétés du rayonnement X pour mesurer
des absorptions des rayons X passant d’un
organisme
du
patient.
Toutes
ces
LA TRANSFORMATION DE RADON ET SON APPLICATION …
19
informations d’atténuation sont enregistrées grâce à une bande détectrice tournant
simultanément avec la source d’émission des rayons X (voir Fig. 3-2).
Enfin, un programme de reconstruction
est
utilisé
pour
tomographique
à
générer
partir
une
des
image
données
obtenues pendant la phase de projection.
3.2.1.
Projection et mesure de
la valeur d’atténuation
Il y avait deux types de projections
importantes dans la technique tomographie
conventionnelle :
Figure 3-3 Projection de l’objet. Dans ce dessin,
on peut voir deux ombres différentes d’une fille
avec une banane à gauche et un ananas devant sur le
mur. Est-ce qu’on peut imaginer l’image de cette
fille depuis ces deux projections ?
•
Projection en géométrie parallèle.
•
Projection en géométrie d’éventail
(ou fan-beam).
Plus récent, on a un nouveau type de
projection en tridimensionnelle c’est la
projection en géométrie conique (ou cone-beam). Cette projection utilise au plus haut
degré des données générées dans un tour du couple source – détecteur. La réalisation de
ces types de projection est présentée plus en détails dans la partie suivante.
Source
Rayon X
Détecteur
Input : Ni photons
Output : No photons
Figure 3-4 Principe d’acquisition des mesures
L’atténuation des rayons X se produit lorsque le rayonnement traverse le corps
humain. La valeur d’atténuation dépend de l’intensité de la diffusion du rayonnement et
des caractéristiques du tissu examiné (Fig. 3-4). Chaque tissu a un coefficient
d’atténuation précis µ. La valeur d’atténuation est calculée grâce à la formule de
l’atténuation suivante :
I = I0e-µd
I0 : intensité du faisceau à l’entrée
I : intensité du faisceau à la sortie
µ : coefficient d’atténuation linéaire du tissu
d : épaisseur de coupe
©
trongton 2004
Chapitre 1. LA TOMOGRAPHIE MÉDICALE
20
3.2.2.
Reconstruction de l’image
Les valeurs d’atténuation de la projection sont présentées sous forme d’une matrice de
transformation (ou sinogramme de Radon). En appliquant les calculs intégraux sur cette
matrice, on peut reconstruire l’image d’origine. En fait, on a développé trois méthodes en
vue de reconstruction de l’image à partir de ses projections :
•
Méthode directe de Fourier
•
Méthode du filtrage de la rétroprojection
•
Méthode de rétroprojection des projections filtrées1
La méthode de Fourier est basée essentiellement sur le théorème du profil central. Elle
permet de reconstruire directement l’image en utilisant deux transformations de Fourier
1D et une transformée de Fourrier 2D à l’inverse. Pratiquement, cette méthode est très
difficile à implémenter de façon numériquement. De plus, le temps d’exécution est
inacceptable. Donc, la méthode de Fourier n’a que la valeur analytique et théorique pour
mieux comprendre la nature du processus de reconstruction de l‘image.
Dans les deux dernières méthodes, toutes les données d’atténuation sont filtrées et
contournées (fonction de convolution) avant ou après une rétroprojection. Ces méthodes
sont plus tolérantes avec des bruits et des artéfacts de l’image reconstruction. En réalité,
la méthode de rétroprojection des projections filtrées a été adoptée car elle convient plus
aux problèmes particuliers des scanners actuels. Elle donne un résultat considérable entre
le temps de reconstruction et la qualité de l’image d’acquisition. Vous trouverez le
fondement théorique et mathématique de ces méthodes plus en détail au chapitre 3.
3.3. L’évolution de la tomographie X
L’impact de la tomographie X sur la pratique de l’imagerie médicale diagnostique a
été très profond lors de sa première introduction pendant les années 1970. La
Tomodensitométrie (TDM) a progressé et différentes générations de machines ont été
mises au point pour acquérir l’ensemble des informations nécessaires à la reconstruction
de l’image.
Au commencement, on a la projection en géométrie parallèle, on a développé une
nouvelle géométrie de projection en éventail pour diminuer la dose d’irradiations dans un
examen et en même temps réduire notamment le temps d’acquisition d’un plan de coupe.
Récemment, la projection en géométrie du conique vient d’être recherchée afin de profiter
la puissante d’informatique qui permet de reconstruire d’images en temps réelle
1
Algorithm filtered backprojection (FBP)
trongton© 2004
LA TRANSFORMATION DE RADON ET SON APPLICATION …
21
[Germe2002]. L’évolution de tomographie X concerne ainsi le développement de système
source – détecteur, de mécanique et d’informatique.
3.3.1.
Système de tomographes conventionnels
Système de rotation – translation à détecteur unique (1re génération)
Figure 3-5 Un système de rotation – translation à détecteur unique (TDM Corps Entier)
Un fin faisceau de rayons X traverse l’organisme à 180 reprises, avec un déplacement
angulaire de 1o. L’atténuation du faisceau est mesurée par l’élément détecteur
controlatéral correspondant. Après chaque incrément angulaire, une translation linéaire
est effectuée, de manière à ce que le faisceau incident traverse l’organisme (Fig. 3-5). Le
temps de coupe atteint plusieurs minutes [Otto1994].
Système de rotation – translation à détecteurs multiples (2e génération)
Un ensemble de 5 à 50 détecteurs est localisé à l’opposé de la source de rayons X
(Fig. 3-6), qui émet un faisceau linéaire ou divergent de rayon X. Le nombre
d’incréments angulaires nécessaires est réduit par rapport à la méthode précédente. Les
coupes sont effectuées à des intervalles de 10o, cet angle correspondant à l’angle
divergence du faisceau. Le temps de coupe est compris entre 6 et 20 secondes [Otto1994].
Figure 3-6 Un système de rotation – translation à détecteurs multiples (TDM Corps Entier)
trongton© 2004
Chapitre 1. LA TOMOGRAPHIE MÉDICALE
22
Système de rotation à multi-détecteurs mobiles (3e génération)
Un faisceau divergent large traverse l’objet radiographié en tournant autour de lui, en
même temps qu’un ensemble mobile de 200 unités de détection (Fig.3-7). Le temps de
coupe réduit énormément de 1 à 4 secondes [Otto1994].
Figure 3-7 Un système de rotation à multi-détecteurs mobiles en géométrie R/R (TDM Corps Entier).
Système de rotation à multi-détecteurs stationnaires (4e génération)
L’angle du faisceau divergent couvre l’intégralité du patient. La source tourne
à l’intérieur ou à l’extérieur d’un ensemble annulaire de 300 à 4000 détecteurs (Fig.3-8).
Le temps de coupe est de 3 à 8 secondes [Otto1994].
Figure 3-8 Un système de rotation à muti-détecteurs fixes en géométrie R/S (TDM Corps Entier).
3.3.2.
Les tomographes à rotation continue
Les évolutions technologiques ont conduit à l’apparition au début des années 1990 de
tomographes à rotation continue qui permettent d’acquérir les données en continu alors
que le patient est déplacé dans le système. La difficulté technologique majeure qui doit
être surmontée est la mise au point de tubes à rayon X pouvant fonctionner en continu
plusieurs dizaines de secondes.
trongton© 2004
LA TRANSFORMATION DE RADON ET SON APPLICATION …
23
Figure 3-9 TDM spiralée ou hélicoïdale. L’acquisition continue, pendant le déplacement de la table,
entraîne un balayage spiralé (TDM Corps Entier).
Si le lit du patient est animé d’un mouvement de translation uniforme pendant que
l’ensemble source – détecteur tourne continûment, la source décrit une spirale ou une
hélice par rapport au patient (Fig. 3-9). Ainsi, dans un temps donné, un système à rotation
continue peut acquérir un volume de données 5 à 20 plus grand que les tomographes
conventionnels des années 1980 (jusqu’à 0,5s/tour).
La capacité d’acquérir rapidement des volumes de données conduit à une renaissance
de la modalité tomographie X, en améliorant les performances dans les applications
existante et en s’imposant dans de nouvelles applications. Un exemple d’application
existante qui a largement bénéficié de l’arrivée des tomographes à rotation continue est la
tomographie thoracique. L’accroissement du nombre de coupes pouvant être acquis
pendant une apnée réduit les problèmes de mauvais recalages liés à la respiration et réduit
le volume du produit de contraste injecté pour la détection de lésions.
3.3.3.
Les tomographes X multicoupes
La fin des années 1990 a vu l’arrivée de tomographes multicoupes, qui permettent
d’obtenir plusieurs plans de coupes en une seule rotation (typiquement quatre coupes
simultanées actuellement). La géométrie de ces machines est tridimensionnelle, avec un
faisceau de rayon X conique et un détecteur matriciel (Fig. 3-10). Le détecteur est
l’élément clé de ces systèmes.
Ainsi, en faisant varier la collimation et la sommation des contributions de plusieurs
lignes de détection, les machines actuelles permettent d’obtenir en une seule rotation,
typiquement quatre coupes fines en n’utilisant que la partie centrale du détecteur, ou
quatre coupes d’épaisseur moyenne en utilisant la moitié du détecteur, ou quatre coupes
épaisses en utilisant l’ensemble du détecteur.
trongton© 2004
Chapitre 1. LA TOMOGRAPHIE MÉDICALE
24
Figure 3-10 Tomographe multicoupe
Bien que le recul sur ce type de machine soit encore faible, les avantages des
tomographes multicoupes en diagnostique clinque sont [Germe2002] :
•
L’allongement de la zone examinée pour un temps donné d’acquisition.
•
La réduction du temps d’examen pour la même hauteur d’exploration.
•
L’amélioration de la résolution dans la direction longitudinale.
•
L’amélioration de la résolution temporelle ce qui conduit à la disparition des
artéfacts respiratoires et mouvements.
3.4. Les éléments dans la Tomodensitométrie (TDM)
3.4.1.
Elément pictural
Figure 3-11 Volume du pixel (Voxel). (a), (b) = taille de l’élément pictural (pixel) ; (d) = épaisseur de
coupe, (D) = diamètre total de la coupe ou champ de mesure (TDM Corps Entier).
La plus petite unité constitutive de l’image tomographie X est l’élément pictural ou
pixel. Celui-ci représente une certaine proportion de l’ensemble de l’image, dont
l’importance dépend de la taille du champ d’examen et de celle de la matrice. Le pixel
correspond à la projection d’un volume tissulaire dont l’épaisseur est déterminée par celle
de la coupe. Les dimensions de cet élément de volume élémentaire ou voxel dépendent
donc de la taille de la matrice, du diamètre du champ d’examen, et de l’épaisseur de
coupe (Fig. 3-11).
trongton© 2004
LA TRANSFORMATION DE RADON ET SON APPLICATION …
3.4.2.
25
Unité Hounsfield (UH)
Les valeurs d’atténuation de la tomographie X sont mesurées en unités Hounsfield
(UH) :
UH = 1000
µ − µ eau
µ eau
où µ et µeau sont respectivement le coefficient d’atténuation linéaire des tissus considérés
et le coefficient d’atténuation linéaire de l’eau. Une unité Hounsfield (UH) correspond à
0.1% de coefficient d’atténuation.
Les valeurs d’atténuation de l’eau et de l’air (respectivement 0 UH et -1000 UH)
représentent des points fixes sur l’échelle densitométrique, qui ne dépendent pas de la
configuration du scanner. En revanche, les valeurs d’atténuation des différents tissus et
des structures osseuses varient suivant la quantité de rayon X délivrée (Fig. 3-12).
Figure 3-12 Échelle de Hounsfield. La limite inférieure de l’échelle -1000 UH, correspond à la densité de
l’air. Les valeurs d’atténuation des structures osseuses très denses dépassent 1000 UH, celles de la plupart
des tissus et liquides corporels sont comprises entre -100 et +100 UH (TDM Corps Entier).
trongton© 2004
Chapitre 1. LA TOMOGRAPHIE MÉDICALE
26
3.4.3.
Valeurs de densité
A chaque voxel est attribuée une valeur numérique, dite valeur d’atténuation, qui
correspond à la dose moyenne de rayonnement absorbée par le tissu dans cet élément
pictural. La densité varie de manière linéaire avec coefficient d’atténuation, une constante
tissulaire influencée par de nombreux facteurs. Le coefficient d’atténuation traduit
l’absorption du rayon X. Sur une machine correctement calibrée, la densité de l’eau est de
0 UH, celle de l’air de -1000 UH.
Les différents types de tissus reçoivent des valeurs d’atténuation exprimées sur
l’échelle de Hounsfield, ces chiffres sont donc arbitraires, mais traduisent de manière
relative les degrés variables d’atténuation du rayonnement X pour les différents tissus.
Dans les organes parenchymateux comme le cerveau, la foie, le rein et le pancréas, le
coefficient la densité du tissu sain avoisinant sert de base de comparaison.
Figure 3-13 Deux fenêtre avec les valeurs différentes de densité. A gauche : fenêtre osseuse, à droite :
fenêtre pulmonaire (Imagerie/FV Hôpital)
La traduction en échelle de gris d’un objet examiné donne des informations sur la
densité relative (radiodensité) des structures visualisées sur l’image. Par comparaison
avec le tissu avoisinant, la structure peut être décrite comme
•
Isodense : densité identique
•
Hypodense : densité inférieure
•
Hyperdense : densité supérieure
3.4.4.
Produit de contraste
Un produit de contraste utilisé dans un examen de la tomographie X permet de
distinguer une région anatomie depuis sa pathologie et de renforcer le contraste certaines
anomalies de l’organisme (voir Fig. 3-14). Le produit de contraste administré par voie
trongton© 2004
LA TRANSFORMATION DE RADON ET SON APPLICATION …
27
intra vasculaire se répartit dans les différents compartiments tissulaires suivant une
distribution variable dans le temps. L’intensité du rehaussement dépend d’une part de la
dose injectée, d’autre part de facteurs pharmacocinétiques variés (conditions
hémodynamiques, hydrophilie, lipohilie, osmolarité, liaison aux protéines, etc.).
Foie
Rein
Avant l’injection du produit de contraste
Après l’injection 100ml du produit de contraste IV.
La densité des régions examinées (la foie et le rein)
est rehaussée plus clairement.
Figure 3-14 Comparaison deux images avant et après l’injection une dose du produit de contraste
Les produits de contraste non ioniques sont actuellement largement utilisés en
pratique radiologique courante. Ils sont bien tolérés cliniquement. Leur clairance rénale
est élevée, leur liaison aux protéines plasmatiques est faible (1%), leur distribution est
quasi exclusive dans les espaces extracellulaires [Otto1994].
3.4.5.
Artéfact
Artéfact est une forme de distorsion d’images. Plusieurs types d’artéfacts peuvent
apparaître
dans
un
système
d’imagerie
médicale
aussi
complexe
que
la
tomodensitométrie. L’enregistrement des coefficients d’atténuation et les calculs
électroniques sont soumis à des effets de projection et de reconstruction d’images. Les
perturbations de l’image aboutiront souvent à des artéfacts qui peuvent s’entendre à
l’ensemble de l’image.
Les artéfact de mouvements sont cliniquement significatifs car les projections des
parties en mouvement d’un organe ne peuvent pas être reconstruites avec exactitude. Le
résultat n’est pas une perte localisée de résolution, mais un aspect strié, étoilé, qui diffuse
à partir de la zone de perturbation et s’entrecroise de façon tangentielle avec l’organe en
mouvement (Fig. 3-15).
trongton© 2004
Chapitre 1. LA TOMOGRAPHIE MÉDICALE
28
Artéfact des mouvements oscillatoires
pendant l’acquisition des données
Artéfact en strie causé par une prothèse de
hanche métallique
Figure 3-15 Deux artéfacts exemplaires dans les examens du CT scanner.
Afin de diminuer les incidents des artéfacts, des programmes de correction ont été
créés pour corriger de nombreux artéfacts de le Tomographie X. Par ailleurs, pendant
l’examen de l’abdomen ou de thorax, les patients vont être demandés de restreindre leurs
mouvements et leur respiration.
3.5. Applications médicales de la Tomographie X
La TDM est une technique d’imagerie morphologique en coupes de l’anatomie
humaine. Les utilisations médicales reposent sur deux caractéristiques essentielles
[Germes2002] :
•
La restitution sans distorsion de l’anatomie en coupes axiales transverses
•
L’étude des densités des structures explorées, exprimées dans l’échelle de
Hounsfield.
Le premier scanner a été utilisé fondement pour la diagnostique les problèmes
concernant du cerveau et du neurone. Avec l’évolution technologique de la technique
tomographie, le domaine d’application du CT scanner a été élargie aux plusieurs
organismes du corps. Parmi ces examens, les procédures demandées souvent sont des
examens de la tête, sinus, thorax et abdomen. Grâce à l’échelle de Hounsfield très large,
la TDM permet une excellente étude des organes variant entre l’os et les tissus.
Particulièrement, l’image tomographique est successible démontrer une structure très
complexe d’une région intérêt des tissus du poumon ou d’abdomen comme des lésions
métastatiques, des aneurismes, des abcès ou des nodules.
trongton© 2004
LA TRANSFORMATION DE RADON ET SON APPLICATION …
29
Figure 3-16 Un CT scanner hélicoïdale de GE Medical, version HiSpeed NX/i. Cet appareil permet de
sélectionner soit au mode séquentiel, soit au mode hélicoïdal. Le temps d’acquisition d’un plan de coupe
atteint jusqu’à 0.25s ou quatre coupes par seconde au mode hélicoïdal (Imagerie/FV Hôpital).
Récemment, la réalisation du scanner hélicoïdal (Fig. 3-16) offre plusieurs avantages
dans le domaine imagerie médicale :
•
Acquisition exhaustive d’un volume de l’organisme dans un temps compatible
avec la durée d’une apnée, ce qui conduit à la disparition des artéfacts respiratoire
et de mouvements
•
Optimisation de l’étude densitométrique rendue possible grâce aux reconstructions
axiales chevauchantes passant par le centre des petites lésions.
•
Optimisation
de
l’opacification
iodée,
rendant
l’angiographie
par
tomodensitométrie (TDM) et l’étude de la cinétique de perfusion des organes.
•
Ouverture sur l’imagerie multiplanaire et tridimensionnel
•
Réduction de la dose d’irradiation grâce à l’utilisation de pitchs élevés.
3.6. Outil pour analyser d’images
En vue d’amélioration la qualité de l’image d’acquisition, un système de
tomodensitométrie est accompagné souvent d’un logiciel de traitement d’images (Fig.317). Ce logiciel, en fait, aide les docteurs de mieux observer d’une région d’intérêt du
corps ou de localiser des anomalies dans un organisme du patient. Bien que le
développement d’informatique aujourd’hui soit bien intégré dans le domaine imagerie
médicale pour assister les docteurs en diagnostique des maladies, aucun programme ne
pourra être changer les docteurs en identification la cause de maladie et de proposer une
solution pour traiter ces pathologiques.
trongton© 2004
Chapitre 1. LA TOMOGRAPHIE MÉDICALE
30
Figure 3-17 L’interface d’un programme de traitement d’image du scanner. Ce logiciel permet à
l'usager de visualiser l’image reconstruction, améliorer la qualité de l’image, de mesurer en valeurs de UH,
reformater en 3D… (Imagerie/FV Hôpital).
Le programme d’analyse d’images utilise des opérations de calcul simples sur chaque
pixel comme la convolution matrice. Les fonctions principales de ce programme sont :
•
Ajuste du contraste
•
Filtre de bruits et rehaussement
•
Soustraction, addition, profil de densité
•
Magnification ou change de la taille d’image
•
Analyse par histogramme
•
Mesure de distance ou d’angle
•
Mesure de surface et de volume
•
Reformat en 3D (voir Fig. 3-18)
Figure 3-18 Reformation en 3D de la structure
osseuse et de l’artère (Imagerie/FV Hôpital).
trongton© 2004
LA TRANSFORMATION DE RADON ET SON APPLICATION …
31
4. Imagerie par Résonance Magnétique (IRM)
4.1. Introduction
En 1946, deux physiciens américains et anglais, Félix Bloch et Purcell, sont les
premiers à découvrir les propriétés des noyaux atomiques soumis à un champ
magnétique. Leurs travaux conduisent à utiliser la spectroscopie par résonance
magnétique en analysant la structure de molécule complexe et des processus dynamique
de la chimique. Bloch et Purcell ont partagé un prix du Nobel pour leurs contributions
dans le domaine de physique en 1952 [Merrill1999]. La théorie de la spectroscopie ne
s’appliquait qu’en 1973 grâce à Lauterbur, un physicien anglais, mais son apparition dans
le domaine de l’imagerie médicale est récente. Les premiers appareils n'ont été installés
qu'au début des années 1980.
L’imagerie par résonance magnétique (IRM) regroupe les techniques d’imagerie
dérivées du principe de la résonance magnétique nucléaire (RMN). Le terme de
résonance magnétique nucléaire a été choisi parce qu’il s’agit, à l’aide de puissants
aimants (d’où le terme « magnétique »), de modifier l’orientation des noyaux dans
l’espace (d’où le terme « nucléaire») en exploitant le phénomène de résonance (d’où le
terme « résonance») [Monn2002].
Figure 4-1 L’image générée par l’IRM d’une lésion du ligament croisé antéro-externe au plan sagittal
(GE Medical).
Aujourd’hui, la recherche du phénomène de la spectroscopie de l’IRM est encore en
cours pour augmenter la résolution spatiale et le contraste de l’image obtenue. Cependant,
la technique de l’imagerie par résonance magnétique (IRM) paraît la plus innocuité pour
la santé dans les conditions d’un examen normales car elle n’utilise aucune radiation
ionisante (comme le rayon X du CT scanner). Du à son caractère non invasif et la
trongton© 2004
Chapitre 1. LA TOMOGRAPHIE MÉDICALE
32
possibilité d’obtenir des coupes dans 3 dimensions (axial, sagittal et coronal), l’IRM a
rapidement montré qu’elle est bien adaptée à l’étude du système nerveux central, système
osseux, articulaire et musculaire (Fig. 4-1).
4.2. Principe de l’IRM
Tandis que la résonance magnétique nucléaire exploite les propriétés magnétiques des
noyaux qui possèdent un nombre impair de nucléons tels que l’hydrogène (1H), le
carbone 13 (13C), le fluor 19 (19F), le sodium 23 (23Na), le phosphore 31 (31P).
L’imagerie par résonance magnétique (IRM) exploite spécifiquement les propriétés
magnétiques du noyau d’hydrogène (1 H) qui sont formé d’un seul proton. L’utilisation
de ce noyau est optimale du fait de sa grande abondance dans les tissus vivants.
Radio fréquence (RF)
B0
Figure 4-2 Principe de la technique de l’imagerie par résonance magnétique (IRM)
4.2.1.
Création d’une aimantation macroscopique
En imagerie par résonance magnétique, la première étape consiste à soumettre le sujet
examen à l’action d’un champ magnétique statique uniforme B0 fourni par un aimant. Ce
champ magnétique B0 a pour but de créer une aimantation macroscopique des différents
tissus de l’organisme. L’intensité de ce puissant champ magnétique statique B0 varie
entre 0,1 et 2 Tesla1.
4.2.2.
Impulsion de radiofréquence
Une fois l’aimantation macroscopique des différents tissus de l’organisme obtenue à
l’aide du champ magnétique statique B0, on perturbe cet état d’équilibre à l’aide d’une
impulsion de radiofréquence. Cette impulse de radiofréquence perturbe l’état d’équilibre
et fournit de l’énergie aux protons des différents tissus.
1
1 Tesla = 10 000 gauss
trongton© 2004
LA TRANSFORMATION DE RADON ET SON APPLICATION …
4.2.3.
33
Recueil du signal IRM
A l’arrêt de l’impulsion de radiofréquence, les photons reviennent à leur position
d’équilibre. C’est la relaxation. En revenant à leur position d’équilibre, les photons
réémettent l’énergie qui leur a été transmise, il s’agit d’un signal de relaxation. Ce signal
dépend du nombre de proton stimulé [densité de proton : (Φ)] et de deux constantes de
temps de relaxation (Fig. 4-3) :
•
La constante de relaxation longitudinale T1
•
La constante de relaxation transversale T2
Aimantation Mz
Mxy
B0
z
y
63%
x
37%
T1
t
T2
t
Figure 4-3 Temps de relaxation T1 et T2.
Ce sont ces constantes de relaxation différentes d’un tissu à l’autre et différents d’un
processus pathologique par rapport à un organe sain qui permet de reconstruire l’image.
Pour obtenir une image reproduisant le formalisme anatomique, il reste encore à
localiser l’origine du signal émis. Ceci est effectué avec des gradients de champ
magnétique qui permettent d’obtenir un champ magnétique pour chacune des régions de
l’espace.
4.3. Caractéristique de l’IRM
4.3.1.
Les avantages
Le signal des tissus de l’organisme est déterminé par la valeur de la densité de proton
(Φ) et les constantes de temps de relaxation longitudinale T1 et transversale T2. Ces
constantes étant différents d’un tissu à l’autre, l’imagerie par résonance magnétique est
caractérisée par la bonne qualité du contraste spontané existant entre les différents tissus
(Fig. 4-2 et 4-3). Comme pour le CT scanner, il est possible d'utiliser des produits de
contrastes comportant du Gadolinium, un élément ferromagnétique prisonnier d'une
protéine, afin d’augmenter le contraste d’une région d’intérêt.
trongton© 2004
Chapitre 1. LA TOMOGRAPHIE MÉDICALE
34
Figure 4-4 Image en IRM permet d’observer des
différents tissus du cerveau grâce à la qualité du
contraste spontané d’IRM.
Figure 4-5 Image du CT scanner permet
seulement de localiser des organes différentiels
(os et tissus) du cerveau.
La localisation du signal dépendant des variations de champ magnétique induites par
les gradients de champ magnétique, donc on peut obtenir en IRM des coupes en trois
plans de l’espace (Fig. 4-6). En plus, l’image peut reconstruire à n’importe quel degré ce
qui demande de changer de la position du patient chez la radiographie à rayon X ou
d’installer une technique de reconstruction de volume au CT scanner.
Figure 4-6 Axial, coronal et sagittal coupes
Enfin, l’utilisation de champ magnétique et de radiofréquence explique le caractère
parfaitement non invasif de l’imagerie par résonance magnétique. Par cette raison,
l’imagerie par résonance magnétique est souvent utilisée dans les examens pédiatriques
car elle n’effectue pas des effets potentiels sur le corps des enfants et des adultes.
trongton© 2004
LA TRANSFORMATION DE RADON ET SON APPLICATION …
4.3.2.
35
Les inconvénients
Les contre-indications absolues se résument aux porteurs d’un stimulateur cardiaque
(pacemaker) dont le rythme risque d’être modifié par les champs magnétiques et les
porteurs de clips vasculaires intracrâniens ferromagnétiques.
Les prothèses métalliques, les matériaux dentaires, les fils métalliques vont créer des
artéfacts à leur contact de par la distorsion du champ magnétique qu’ils provoquent (Fig.
4-7).
Figure 4-7 Les matériaux dentaires métalliques causent des artéfacts
En imagerie médicale, l’IRM a été limitée par la durée du temps d’acquisition et les
mouvements volontaires du patient (comme mouvement du cœur et du poumon) pendant
l’examen (Fig. 4-8 et 4-9). Un examen d’IRM peut durer normalement de 20 à 90 minutes
et un petit mouvement du patient conduit à une reprise de l’étude. Donc, la diminution
impressionnante du temps d’acquisition explique le développement des applications de
l’imagerie par résonance magnétique.
Figure 4-8 L’image obtenue sans la technique de
compensions du mouvement de cardiaque et de
poumon.
trongton© 2004
Figure 4-9 L'image obtenue en utilisant la
technique du gating. Il requise de données à
chaque période du cardiaque. Cette technique a
éliminé efficacement le mouvement cardiaque.
Chapitre 1. LA TOMOGRAPHIE MÉDICALE
36
Finalement, le coût pour un système d’imagerie par résonance magnétique (IRM) est
très coûteux. Donc le prix d’un examen est également très cher. Par cette raison, il n’y a
que 178 centres d’hôpitaux en France (en 2000) qui installent cette machine et seulement
2 établissements à Hô Chi Minh ville.
4.4. L’IRM en futur
La technologie d’imagerie par résonance magnétique (IRM) en ce moment est la
dernière génération dans la famille de la Tomographie en imagerie médicale. En effet,
pendant environ 20 années de développement (en comparant avec plus 100 années de
rayon X), l’imagerie par résonance magnétique a été acceptée très rapidement et
largement dans le domaine l’imagerie médicale morphologique et l’imagerie
fonctionnelle. Encore que cette technique doive modifier non seulement de mises au point
des nouvelles matériaux mais aussi la technologie d’acquisition de l’image en profitant le
développement de technologie d’information.
La tâche principale d’amélioration de matériel est de perfectionner le magnétique
utilisé pour qu’elle soit plus léger. Autrefois, une IRM scanner mesurait environ 7.711 kg
de poids. Maintenant, un nouveau scanner pèse seulement 4.400 kg. Par conséquent, la
taille du magnétique est ainsi diminuée environ 0,5 m de longueur. Cette modification est
très importante afin que le système d’IRM devienne de plus en plus compatible avec les
patients.
Figure 4-10 Un moderne IRM scanner à superbe conduction magnétique 1,5 Tesla (GE Medical).
trongton© 2004
LA TRANSFORMATION DE RADON ET SON APPLICATION …
37
En outre, la qualité et la stabilité du magnétique joue un rôle très décisif de la haute
qualité de l’image acquisition. Aujourd’hui, tous les systèmes d’IRM scanner utilisent
actuellement le gradient magnétique1 malgré sa faible intensité et son instabilité. Bien
qu’un système d’IRM à superbe conduction magnétique soit réalisé par GE Medical (Fig.
4-10), ce dernier n’est pas utilisé largement à cause de son prix. On espère que dans
l’avenir ces systèmes seront plus populaires dans les hôpitaux.
Dans le domaine de la médecine diagnostique, la recherche sur la fonction du cerveau
est en train de se développer intensivement. Grâce à l’image d’acquisition par IRM, on
peut mieux comprendre comment notre cerveau fonctionne. Par exemple, en observation
sur certaines régions spécifiques de l’image d’acquisition, on peut connaître l’état
sentimental ou physique du patient : détendu ou stress, joyeux ou triste (voir Fig. 4-11).
Une autre application dans ce domaine est de visualiser la fonction dynamique du
poumon en deux périodes de ventilation et de perfusion.
Figure 4-11 L’IRM permet de visualiser l'activité des cellules de différentes zones du cerveau au
repos, puis en réponse à trois stimulations acoustiques de nature différente (Microsoft Encyclopédie
Encarta 2002).
En conclusion, l’IRM ne se limitera d’après notre imagination. Il est certain que les
patients bénéficieront plus du progrès de l’imagerie par résonance magnétique (IRM).
1
Dans une machine d’IRM conventuelle, il y a trois gradients magnétiques. La puissance de chaque
magnétique varie de 180 – 270 gauss (de 18 – 27 milli Tesla)
trongton© 2004
Chapitre 1. LA TOMOGRAPHIE MÉDICALE
38
5. Conclusion
La découverte des rayons X de Ronghen en 1895 a fait naissance une nouvelle
branche en médecine diagnostique : Imagerie médicale. Bien que l’imagerie médicale soit
un domaine d’application assez nouveau, elle a développé très rapidement et a été
considéré comme une spécialité de recherche la plus active au monde médical.
La Radiographie à rayon X est la première machine de l’imagerie médicale qui a
apparu dans les années 1890. Pendant plus de 100 ans au service, la radiographie à rayon
X a fait beaucoup d’évolution pour perfectionner l’image obtenue comme digitalisé les
équipements d’acquisition, diminue la dose d’irradiation et simplifié l’étape de
développement du cliché. Malgré le développement de plusieurs types de la machine
imagerie médicale aujourd’hui, la radiographie à rayon X reste encore un rôle
inchangeable dans la qualité des soins médicaux.
L’arrivée du CT scanner dans les années 1970 ouvre des perspectives en imagerie
axiale grâce à la technique de la tomographie X. Le développement de la tomographie est
beaucoup plus rapide que la radiographie à rayon X. Plusieurs types de machine ont été
créés pour répondre au besoin de la qualité et de la rapidité d’acquisition de l’image
d’utilisateurs.
Le
tomographe
multicoupes
est
la
dernière
d’évolution
de la
tomodensitométrie (TDM) à ce moment. Cette machine a élargi le domaine de
l’application du CT scanner en imagerie cardiaque (coronaire et perfusion) qui est le
prochain défi de la TDM.
L’introduction au début des années 1980 de l’Imagerie par Résonance Magnétique
(IRM) a représenté une avancée majeure en imagerie médicale. L’image d’acquisition ne
s’est limitée plus au plan frontal ou axial mais a été ouverte au plan sagittal. Un autre
caractère de l’IRM qui s’intéresse les chercheurs à continuer ses études est la
caractéristique de sécurité pour la santé du champ magnétique de l’IRM. On peut dire
également que l’imagerie par résonance magnétique (IRM) est la cible de développement
pour toutes les machines de l’imagerie médicale à l’avenir.
En effet, la science de l’imagerie médicale est au carrefour de la science naturelle, de
la médecine et de l’informatique. L’art visuel et la science de la santé se croisent à
l’imagerie médicale pour servir la vie de l’homme.
trongton© 2004
CHAPITRE
LA TRANSFORMATION DE RADON
y
x
Comme nous avons introduit dans Chapitre 1, la transformation de Radon (1917) est au cœur
de la Tomographie en Imagerie médicale. Dans ce chapitre, nous aimerions présenter le côté
mathématique de cette transformation. D’abord, nous abordons le fondement de la théorie de
Radon, ses propriétés et ainsi ses relations avec les autres transformations comme la
transformation de Fourier et la transformation de Hough. Ensuite, nous expliquerons
comment la transformation de Radon est appliquée dans les problèmes spécifiques de la
projection en géométrie parallèle. Finalement, nous illustrons l’algorithme de cette
transformation par un programme en MATLAB.
Chapitre 2. LA TRANSFORMATION DE RADON
40
1. Définition
Soit f(x, y) une fonction continue et à support compact dans R2. La transformation de
Radon de f(x, y) est définie par les intégrales de curvilignes au long d’une droite L :
Rf =∫ f ( x, y )dl
(2.1)
L
dont la droite L ≡ L (θ, p) est établie par la formule
p = x cos θ + y sin θ
∀p ∈ R , θ ∈ [0, 2π )
(2.2)
y
p0
θ0
0
x
(L) : p = x cos(θ ) + y sin(θ )
Figure 1-1 Droite L est déterminée par deux paramètres p0 et θ0
( Rf )(θ , p ) =∫ f ( x, y )dl
Notation :
L
Si on ne collecte que certaines valeurs de p et θ, on obtient seulement un échantillon de la
transformation de Radon. L’ensemble des mesures de la transformation de Radon ( Rf )(θ , p)
obtenues pour une valeur fixée de θ avec p ∈ (−∞, +∞) est appelé une projection de f(x, y).
L’ensemble des mesures de Radon ( Rf )(θ , p) obtenues pour p ∈ (−∞, +∞) et θ ∈ [0, 2π )
est appelé un sinogramme. On l’appelle sinogramme car les données associées au point
d’objet
f ( x, y ) = δ (x-x 0 )δ (y-y 0 )
sont
uniquement
non
nulles
sinusoïde p = x cos(θ ) + y sin(θ ) dans le domaine (p,θ) (Fig. 1-2).
p
θ
Figure 1-2 Sinogramme pour un point objet dans l’espace (p, θ)
trongton© 2004
le
long
de
la
LA TRANSFORMATION DE RADON ET SON APPLICATION …
41
Maintenant, supposons que les axes du système de coordonnée (Oxy) tournent d’un angle
de θ (Fig. 1-3). Notons les nouveaux axes du système de coordonnée Oq et Op .
y
p
G
θ ⊥ = (− sin θ , cos θ )
G q
θ = (cos θ ,sin θ )
θ
O
x
L(θ , q)
Figure 1-3 Représentation la droite L dans l’espace (θ, q)
La droite L⊥ ≡ L⊥ (θ, q) perpendiculaire à la droite L peut être calculée par :
q = - x sin θ + y cos θ
(2.3)
On compose cette formule avec Formule (2.2) pour former l’équation paramètre de ligne L :
⎧ x = p cos θ − q sin θ
⎨
⎩ y = p sin θ + q cos θ
(2.4)
( Rf )(θ , p) = ∫ f ( p cos θ − q sin θ , p sin θ + q cos θ )dq
(2.5)
Formules (2.4) et (2.1) entraînent :
+∞
−∞
G
G
Soient θ = (cosθ , sin θ ) et θ ⊥ = (− sin θ , cosθ ) les vecteurs d’unité dans le système de
coordonnées Opq, Formule (2.5) devient :
G
G
( Rf )(θ , p ) = ∫ f ( pθ + qθ ⊥ )dq
+∞
−∞
(2.6)
G
Pour la simplicité d’écriture, on utilise plus souvent la notion f ( p, θ ) pour insister à la
G
caractéristique vectorielle de cette transformation où axe Oq est présenté par vecteur θ et
JJJG
G
axe Op est présenté par vecteur θ ⊥ . La transformation de Radon donc devient :
G
(2.7)
f ( p,θ ) = ( Rf )(θ , p)
trongton© 2004
Chapitre 2. LA TRANSFORMATION DE RADON
42
En pratique, on ne calcule que la transformation de Radon dans une région d’intérêt D.
Soient q1 et q2 les deux points d’intersection de ligne L(θ,q) et courbe f(x,y) dans le système
de coordonnées Opq. Donc, on a
q2
G G
G G
G G
q1
+∞
( Rf )(θ , p) = ∫ f ( pθ , qθ ⊥ )dq + ∫ f ( pθ , qθ ⊥ )dq + ∫ f ( pθ , qθ ⊥ )dq
−∞
q2
q1
Alors,
Rf (θ , p ) =
q1
∫
G G
f ( pθ , qθ ⊥ )dq
(2.8)
q2
y
p
q1
f ( x, y )
q
x
q2
L (θ , p )
Figure 1-4 Illustration de la transformation de Radon d’une région D de f(x, y).
2. Les propriétés de base
2.1. Linéarité
Considérons qu’on a deux fonctions f et g et deux constantes c1 et c2, alors :
R (c1 f + c2 g ) =c1 ( Rf ) + c 2 ( Rg )
La propriété linéaire est la propriété la plus importante de la transformation de Radon.
2.2. Translation
On suppose que fonction f(x, y) est déplacée d’une distance (x0, y0). La transformation de
Radon de cette fonction est :
g(x, y) = f(x-x0, y-y0)
⇒ g ( p, θ ) = f ( p − x0 cos θ − y0 sin θ ,θ )
On peut noter que le décalage de la transformation de Radon ne varie qu’à la coordonnée
de p.
trongton© 2004
LA TRANSFORMATION DE RADON ET SON APPLICATION …
43
2.3. Rotation
Ici, fonction f(x, y) est présentée aux coordonnées polaires, f(x, y) = f(p,θ). On suppose
que angle θ tourne d’une valeur φ0 . La transformation de Radon est calculée facilement à
partir de la transformation de Radon de f(x, y).
g(p,θ) = f(p, θ - φ0 )
⇒ g ( p, θ ) = f ( p, θ − φ0 )
Le cas particulier de cette propriété est φ0 = π, alors
f ( p, θ ) = f ( p, θ − π )
∀p ∈ R
Grâce à la propriété de rotation, il suffit de collecter des projections dans une période de
π. Elle permet ainsi de diminuer d’une moitié de données et de temps de traitement dans la
phase de projections quand on réalise la technique de la tomographie X.
3. Exemple de la transformation de Radon
Nous présentons dans cette section un exemple très connu dans la théorie de Radon qui
s’appelle le fantôme tête de Shepp et Logan. On l’a utilisé comme une norme pour simuler la
précision des différents algorithmes de projection et de reconstruction. L’image dans Figure
3-1 montre un fantôme tête qui se compose de dix ellipses de tailles différentes. Les
paramètres de ces ellipses sont fournis dans Figure 3-1.
Le majeur avantage d’utilisation du fantôme tête dans la simulation du programme de
projection et de reconstruction est que ce dernier a une structure similaire à la structure de la
tête humaine. Donc, on peut tester les algorithmes sur cette tête pour obtenir les résultats à
proximité des résultats dans la réalité sans risque de faire du mal au patient. De plus, la tête
de Shepp et Logan est un bon exemple pour l’analyse de la théorie de projection de Radon.
Elle démontre très fortement la propriété linéaire de la transformation de Radon. Simplement,
la projection de cette image est la somme de projection de chaque ellipse dans l’image. Pour
cette raison, on ne calcule que la projection d’un disque d’unité. Puis, la transformation de
Radon des ellipses peut être déduite facilement à partir de la transformation de Radon de ce
disque d’unité. On va observer ensuite un exemple du calcul de la transformation de Radon
d’un disque d’unité.
trongton© 2004
Chapitre 2. LA TRANSFORMATION DE RADON
44
Figure 3-1 Le fantôme tête de Shepp-Logan et ses paramètres
Soit f(x, y) la fonction d’un disque d’unité. On note la formule de ce disque sous la forme
S= {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤1}
⎧⎪ x 2 + y 2
f ( x, y ) = ⎨
⎪⎩0
x ≤1 ∧ y ≤1
(A l'interieur de disque)
x >1 ∨
(A l'exterieur de disque)
y >1
La transformation de Radon de f(x, y) avec p ∈ (-∞, +∞), θ∈[0, 2π) est :
+∞
( Rf )(θ , p) = ∫ ( p 2 + q 2 )dq
−∞
En résolvant l’équation p2+q2=1 on obtient q = ± 1 − p 2
On applique Formule (2.8) pour limiter la transformation de Radon dans un domaine D
[ − 1 − p 2 , + 1 − p 2 ], alors
1− p 2
Rf (θ , p) =
∫
( p 2 + q 2 )dq
− 1− p 2
⎧⎪ 2 1 − p 2
⇒ Rf (θ , p ) = ⎨
⎪⎩0
trongton© 2004
p ≤1
p >1
LA TRANSFORMATION DE RADON ET SON APPLICATION …
45
Rf (θ , p)
f ( x, y )
Figure 3-2 La projection du disque d’unité à un angle
θ
fixé
Figure 3-3 illustre le sinogramme correspondant de la transformation de Radon du fantôme
tête de Shepp-Logan.
Figure 3-3 Sinogramme du fantôme tête de Shepp–Logan.
trongton© 2004
Chapitre 2. LA TRANSFORMATION DE RADON
46
4. Relations avec les autres transformations
4.1. Radon et la transformation de Fourier
En 1917, Radon a établi un lien entre une fonction f(x, y) et ses projections g(θ, s) =
(Rf)(s, θ) dans son très célèbre papier. Cette relation est connue sous le nom théorème du
profil central1 :
G
( F1 g )(θ , σ ) = ( F2 f )(σθ )
Dans cette formule, (F1g)(θ,σ) représente la transformation de Fourier 1D (unidimensionnel)
de la transformation de Radon g(θ, s) par rapport à s :
F1 ( g )(θ , σ ) = ∫
+∞
−∞
e −2iπσ s g (θ , s )ds
G
et ( F2 f )(σθ ) est la transformée de Fourier 2D (bidimensionnels) de f(x, y)
f
R
f
F1-1
F2
f
Figure 4-1 Démonstration de la relation entre la transformation de Radon et la transformation de
Fourier dans l’espace de deux dimensions.
On peut énoncer le théorème du profil central comme suit :
Théorème : La transformation de FOURIER de la projection de f(x, y) à un angle θ est
G
identique à la transformation de FOURIER 2D de f(x, y) le long de la ligne de direction θ
qui passe par l’origine dans le domaine fréquentiel de f (x, y).
Nous allons discuter plus en détail de ce théorème dans Chapitre 3 « Reconstruction en
géométrie parallèle ». Nous illustrerons comment on peut reconstruire l’image à partir de ses
mesures de l’intégrale de ligne en utilisant le théorème du profil central. Vous trouveriez
ainsi la discussion de la transformation de Fourier dans Annexe A.
1
Fourier Slice Theorem
trongton© 2004
LA TRANSFORMATION DE RADON ET SON APPLICATION …
47
4.2. Radon et la transformation de Hough
En 1962, Hough a développé un algorithme de la transformation pour détecter les droites
dans les images numériques. Actuellement, la transformation de Hough a été utilisée comme
la plus efficace transformation dans les problèmes d’analyse d’image. Cependant, on a
montré qu’elle est simplement un cas particulier de la transformation de Radon1.
L’idée principale de la transformation de Hough ou de Radon se base directement sur la
définition de la ligne dans ces transformations. On reprend la Formule (2.2) pour définir la
fonction f(x, y) d’une droite L au point intéressé δ ( x − x0 )δ ( y − y0 ) ce qui rend une courbe de
la sinusoïdale
p = x0 cos θ + y0 sin θ
dans le domaine (p,θ) (voir Fig. 4-2).
y
p
p0
p0
0
θ0
L
x
0
θ0
π
θ
Figure 4-2 La relation entre ligne et point dans la transformation de Hough. Un point objet dans plan (x, y)
rend à une courbe sinusoïdale dans plan (p,θ ). Inversement, un point dans plan (p,θ ) sert à identifier une ligne
dans plan (x, y).
Par contre, tous les points, qui sont arrangé linéairement au long d’une droite dans plan
(x, y) avec les valeurs p0 et θ0 uniques, correspondent à des courbes sinusoïdales dans plan
(p,θ ). Ces sinusoïdes se croisent au même point : (p,θ ) = (p0, θ0) dans espace pθ. Donc, si
on choisit une méthode convenable pour dessiner fonction f dans l’espace de p et θ, la
transformation de Radon peut être considérée comme une transformation de ligne en point.
Figures 4-3 et 4-4 illustrent la transformation d’une ligne dans espace xy en un point dans
espace de paramètre pθ (ou l’espace de Radon).
1
La démonstration peut trouver dans un papier paru en 1981 par S R. Deans : « Hough transform from the
Radon transform »
trongton© 2004
Chapitre 2. LA TRANSFORMATION DE RADON
48
Figure 4-3 Sinogramme pour un objet de 3 points. Chaque point dans espace xy est transformé en une
sinusoïde dans espace pθ.
Figure 4-4 La transformation d’une ligne dans plan (x, y) en un point dans plan (p,θ). Pour identifier une
ligne dans plan xy il suffit de détecter un peak1 dans le sinogramme de la transformation de cette ligne.
Aujourd’hui, la transformation de Radon ne se limite plus à la détection de ligne comme
la transformation de Hough. L’idée de cette transformation a été élargie à la détection la
courbe en général et même de la structure d’un objet dans une image bruitée. Simultanément,
l’application de la transformation de Radon est ouverte aux domaines de l’analyse de scène,
la vision par ordinateur et la compression de l’image …
1
Un point qui a la valeur maximum locale dans espace de paramètre pθ
trongton© 2004
LA TRANSFORMATION DE RADON ET SON APPLICATION …
49
5. Algorithme de la transformation de Radon
L’algorithme suivant montre comment on calcule la transformation de Radon d’une
fonction f(x, y) avec la valeur déterminée de s et de θ.
Algorithme :
•
Entrée : fonction f(x, y), angle theta, déplacement s
•
Sortie : la valeur de la transformation de Radon
1. Calcul des deux points d’intersection q1 et q2 entre ligne L(s, θ) et courbe f(x, y).
2. Remplacement de x, y par les formules suivantes dans f(x, y) :
x = cos(t ) *cos(theta ) - sin(t ) *sin(theta)
y = cos(t )*sin(theta) + sin(t ) *cos(theta)
3. Calcul de l’intégrale de fonction f(x, y) dans segment [q1, q2]
Le coût de cet algorithme est de O(n)
On réalise cette fonction en MATLAB comme suit :
Table 5-1 : CODE MATLAB
Function rad=radon(fxy, theta, p)
syms x y t I
fxp=sym(fxy);
fxy0='';
i=1;
n= findstr(fxy,'=');
while i<n
a=fxy(i);
fxy0=strcat(fxy0,a);
i=i+1;
end
fxp=sub(fxp,y,p); %remplacement y par p dans fxp
[q]=solve(fxp,x); %calcul des deux d'intersection q1
et q2
ftheta=subs(sym(fxy0),{x,y},
{cos(t)*cos(theta)-sin(t)*sin(theta),
{cos(t)*sin(theta)+sin(t)*cos(theta)});
gtheta=int(ftheta,t,q[2],q[1]); %calcul de l'integral
de fxy dans segment [q1,q2]
rad=gtheta; %cacul de la valeur de transformation de
radon
trongton© 2004
Chapitre 2. LA TRANSFORMATION DE RADON
50
6. La transformation de Radon d’une image numérique
6.1. Définition
La présentation d’une image numérique est souvent sous forme d’un rectangle dans
l’espace R2. Ce rectangle a la taille de N × M où N est la largeur et M est la hauteur. La plus
petite unité dans une image numérique est appelée un pixel1. Chaque pixel est représenté par
un carré d’unité de taille h (cette valeur dépend de la résolution des dispositifs de
visualisation spécifique). Chaque pixel comporte ainsi une valeur réelle ou entière pour
indiquer l’intensité de couleur de ce pixel.
Il existe en courant deux types d’image numérique principaux :
•
Image couleur : chaque pixel est codé par 3 octets : Rouge – Vert – Bleu (Fig. 6-1).
•
Image de niveaux de gris : chaque pixel a une valeur entre 0 (noir) et 255 (blanc).
0
x
0.678
y
25x25 pixels
Figure 6-1 Représentation d’une image couleur numérique et son système de coordonnée
Dans cette partie, on s’intéresse plus au deuxième type d’image et à la présentation réelle
du niveau de gris de pixel. Pour calculer la transformation de Radon d’une image, on n’a pas
besoin de calculer la transformation de Radon pour tous les pixels de l’image. Grâce aux
propriétés de linéarité de transformation de Radon, on n’effectue que le calcul pour un seul
pixel présentatif de l’image. C'est-à-dire on calcul la transformation de Radon Rf d’un carré
d’unité f(x, y), centre O, arrête h.
1
pixel : picture element
trongton© 2004
LA TRANSFORMATION DE RADON ET SON APPLICATION …
51
6.2. La transformation de Radon d’un carré d’unité
Figure 6-2 illustre fonction f d’un carré d’unité dans plan xy. On observe que ce carré a
une forme symétrique au premier huitième angle. Donc, on va examiner ce carré dans une
longueur de π / 4 . On divise le problème en deux cas particulier de l’angle de projection
avec θ = 0 et 0< θ ≤ π/4. Le reste de carré peut être déduit facilement à partir de ces résultats
par la propriété de rotation de transformation de Radon comme suit :
⇒ g ( p, θ ) = f ( p, θ − φ0 ),
∀p ∈ R, θ ∈ [0, π )
y
−
h
2
0 < θ2 ≤ π / 4
θ1 = 0
0
x
h
2
Figure 6-2 Illustration de la projection d’un carré d’unité.
Pour θ = 0 , on a :
⎧h
( Rf )( p,θ ) = ⎨
⎩0
∀p ∈ [−h / 2, h / 2]
∀p ∉ [-h / 2, h / 2]
(2.9)
y
f ( x, y )
Rf ( p, θ )
R
0
Figure 6-3 Projection à l’angle
θ =0
Pour 0 < θ ≤ π/4, soient t1, t2 les deux points d’intersection de fonction f et la projection à
angle θ, t1 = (cos(θ)-sin(θ))h/2, t2 = (cos(θ)+sin(θ))h/2. Donc, on a :
trongton© 2004
Chapitre 2. LA TRANSFORMATION DE RADON
52
⎧h / cos(θ ) = h 2 /(t1 + t2 )
⎪
( Rf )( p, θ ) = ⎨h 2 (t2 - | p |) / (t12 + t2 2 )
⎪0
⎩
f ( x, y )
y
p ∈ [-t1 , t1 ];
p ∈ ( - t1 , t2 ];
(2.10)
p ∉ [-t1 , t1 ].
Rf ( p, θ )
R
0
x
Figure 6-4 Projection à l’angle
θ =π /4
Finalement, on complète le résultat de la transformation de Radon d’un carré d’unité dans
une période de π.
⎧ ( Rf )( p, π / 2 - θ ), ∀p ∈ R, θ ∈ ( π / 4, π / 2]
⎪
( Rf )( p, θ ) = ⎨ ( Rf )( p, θ - π / 2 ), ∀p ∈ R, θ ∈ ( π / 2, 3π / 4]
⎪ ( Rf )( p, π - θ ), ∀p ∈ R, θ ∈ ( 3π / 4, π ]
⎩
(2.11)
À partir de ces résultats, on peut donc calculer la transformation d’une image numérique
dans la géométrie de projection en parallèle. Par ailleurs, ces résultats sont également utiles
pour le problème de reconstruction de la fonction f d’un carré d’unité en utilisant la
transformation de Radon inverse.
7. Projection en géométrie parallèle
7.1. Géométrie parallèle
La géométrie parallèle se compose de nombreuses projections fixées au plan parallèle.
Ces projections sont équidistantes. Par exemple, dans un système de la Tomographie X qui
contient de n source d’émissions et de n détecteurs, donc, on doit faire également n
projections dans la géométrie parallèle (Fig. 7-1).
trongton© 2004
LA TRANSFORMATION DE RADON ET SON APPLICATION …
53
En pratique, une image I est entourée par un disque d’unité pour que cette image soit à
support compact dans le domaine [−1,1] × [−1,1] . Quand l’image I tourne d’un angle θ , la
projection ∆p qui passe le pixel I X ,Y , doit satisfaire l’équation suivante
p = x cos(θ ) + y sin(θ )
où 1 ≤ x ≤ N et 1 ≤ y ≤ M . On choisit souvent pour la taille d’une image un nombre
exponentiel de 2. Par exemple N=M=64 pour la première version de la tomographie X et
N=M=256 ou 512 pour les scanners commerciaux actuels.
1
-1
1
y
Détecteur
Source
-1
x
Figure 7-1 La géométrie de projection en parallèle du fantôme tête de Shepp-Logan.
Soient Nt le nombre d’angle de projection et Np le nombre de projection à un angle θ
fixé. Les mesures de la transformation de Radon pour tout l’angle de projection θ dans une
longueur de π sont :
G = {( p, θ ) / p = x cos(θ ) + y sin(θ ), 1 ≤ x ≤ N , 1 ≤ y ≤ M , 0 ≤ θ < π }
(2.12)
Si image I a la taille N × M , alors Np est calculée par la formule suivante:
Np = [ N 2 + M 2 ] + 1
En effet, si on collecte toutes les projections d’image I, on peut former une matrice de
projection (ou matrice de Radon) avec deux dimensions alternatives de taille Np et Nt. Cette
matrice est très utile dans de nombreuses tâches de traitement numérique comme location des
peaks, identification des échanges d’image, comparaison de deux images par leurs matrices
de Radon…
Enfin, soit I(x, y) le niveau de gris du pixel (x, y). On a la transformation de Radon
d’image I comme suit
trongton© 2004
Chapitre 2. LA TRANSFORMATION DE RADON
54
M
N
G ( p, θ ) = ∑∑ I ( x, y )
(2.13)
x =1 y =1
7.2. Algorithme de la projection
On réalise l’algorithme de projection d’une image I en géométrie parallèle comme suit
Algorithme :
• Entrée : Image I, angle θ
• Sortie : la matrice de transformation à angle θ
1. [M, N] = size (I)
2. Nt = length(theta)
3. Np = [( M 2 + N 2 )] + 1
4. G = zeros(Np, Nt)
5. t = 1
6. If t > 179 End.
7. angle = [theta(t) * pi]/180
8. x = 1
9. If x >M goto 19
10. y=1
11. If y>N goto 17
12. p = [xcos(angle) + ysin(angle)]
13. G (θ, p) = G (θ, p) + I(x, y)
14. y = y + 1
15. Return 12
16. x = x + 1
17. Return 10
18. t = t + 1
19. Return 7
Le coût de cet algorithme est de O(Nt)×O(M)×O(N) ~ O(n3)
trongton© 2004
LA TRANSFORMATION DE RADON ET SON APPLICATION …
55
8. Conclusions et perspectives
Dans ce chapitre, nous avons étudié des notions mathématiques de la théorie classique de
Radon. Trois propriétés importantes de cette transformation sont ainsi considérées dans la
deuxième section. Ces propriétés permettent de réaliser la théorie de Radon plus efficace car
elle diminue d’une moitié les données requises dans une période et accélère le temps de
traitement simultanément.
Pour illustrer l’application de la transformation de Radon, nous réutilisons l’exemple bien
connu dans le domaine de Tomographie X : la transformation du fantôme tête de SheppLogan. Cet exemple permet de vérifier la précision de l’algorithme de projection et ainsi de
reconstruction testée. En vue de faciliter le calcul, on désintègre la tête en plusieurs ellipses
de tailles différentes. Puis, on n’effectue que le calcul sur un disque d’unité. Enfin, en se
basant sur le résultat obtenu et les propriétés de Radon, on déduit facilement la
transformation des autres ellipses.
Dans Section 4, nous avons abordé les relations de transformation de Radon avec les
autres transformations comme la transformation de Fourier et la transformation de Hough. En
effet, ces relations sont très importantes pour le développement de la théorie de Radon.
Particulièrement, la transformation de Fourier joue un rôle très décisif dans le processus de
reconstruction d’image à partir des projections qu’on va étudier dans le chapitre suivant.
Dans la dernière partie du chapitre, nous avons expliqué l’application de la
transformation de Radon dans le problème très vivant de la technique Tomographique X.
C’est le calcul de transformation de Radon d’une image numérique, notamment dans la
géométrie de projection en parallèle. C’est une étape indispensable de la préparation des
données pour le problème de reconstruction d’image dans Chapitre 3.
Comme nous avons introduit dans Chapitre 1, la technologique de Tomographie X ne
cesse pas d’évoluer. Elle conduit à l’évolution de la projection en différentes géométries
comme géométrie d’éventail et géométrie conique. En fait, les développeurs s’intéressent
plus à la projection en géométrie d’éventail qu’à la projection en géométrie parallèle car
celle-là est naturellement plus proche de la réalité et peut dériver les résultats de la projection
en géométrie parallèle. Dans le cadre de ce mémoire, nous n’avons pas l’intention de
l’étudier profondément. Cependant, c’est la cible du développement de ce mémoire dans le
futur.
trongton© 2004
CHAPITRE
RECONSTRUCTION EN
GEOMETRIE PARALLELE
y
(Projection)
Reconstruction
x
y
(Rétro-projection)
x
Dans ce chapitre, nous exposons sur le problème de reconstruction de l’image à partir de ses
projections en géométrie parallèle. Nous décrivons trois méthodes pour résoudre ce
problème : méthode directe de Fourier, méthode du filtrage de la rétro-projection et méthode
de rétro-projection des projections filtrées. Pour chaque méthode, nous décrivons le principe
de mathématique utilisé. Et puis nous proposons un algorithme correspondant pour illustrer
cette théorie. Nous comparons ainsi ces trois algorithmes en nous basant sur deux
critères importants : la complexité et la faisabilité. Finalement, nous détaillons la méthode de
rétro-projection des projections filtrées car elle est actuellement appliquée dans la technique
de Tomographique X.
LA TRANSFORMATION DE RADON ET SON APPLICATION …
57
1. Introduction
Bien que la théorie de Radon ait été découverte très tôt en 1917, il y avait peu de
personne qui consacre à implémenter une méthode pour le problème de l’inversion de
transformation de Radon. Cette situation ne cesse qu’en 1956 avec le travail de Bracewell
dans la radio astronomie. Plus récemment, c’étaient les travaux de Hounsfield et Cormark
dans leurs ouvrages de mise en œuvre du CT scanner. Le prix de Nobel pour leurs
contributions a encouragé d’autres chercheurs dans ce domaine. De centaines d’auteurs
avaient mis à jour la nouvelle technique et développée de différents algorithmes de
reconstruction.
Grâce à ces travaux, pendant une vingtaine d’années, on a découvert plusieurs méthodes
qui reconstruisent f(x, y) à partir de ses intégrales de lignes, notamment le problème de
reconstruction d’une image depuis ses projections. Dans la partie suivante, nous allons
étudier trois méthodes analytiques qui résolvent ce problème :
1. La méthode directe de Fourier.
2. La méthode du filtrage de la rétro-projection.
3. La méthode de rétro-projection des projections filtrées.
Pratiquement, la troisième méthode nous intéressent la plus car elle est facile à
implémenter et numériquement plus stable que les autres. En plus, elle donne un résultat très
encourageant en estimant le coût du temps de traitement et la complexité du calcul
mathématique.
2. Méthode directe de Fourier
2.1. Théorème du profil central
La méthode directe de Fourier correspond à une implémentation du théorème du profil
central1 qu’on a discuté dans la Section 5 de Chapitre 2. Ici, on reprend la formule de relation
entre f(x, y) et sa transformation de Fourier en deux dimensions :
G
( F1 g )(θ , σ ) = ( F2 f )(σθ )
(3.1)
De là, on déduit la formule de calcul de f(x, y) comme suit. :
G
f (σθ ) = F2 -1 ( F1g(θ , σ ))
(3.2)
1
Fourier slice theorem
trongton© 2004
Chapitre 3. RECONSTRUCTION EN GEOMETRIE PARELLELE
58
Figure 2-1 Illustration du théorème du profil central
Ce théorème se base sur deux conditions strictes :
•
Les projections de f(x, y) sont connues pour tout angle θ situé dans un intervalle
angulaire de longueur π.
•
Les mesures de ces projections doivent être parfaitement précises. C'est-à-dire il ne
permet pas à la perturbation ou l’incorrection dans les données acquises pendant la
phase de projection.
trongton© 2004
LA TRANSFORMATION DE RADON ET SON APPLICATION …
59
G
Lorsqu’une de ces conditions n’est pas satisfaite, il est impossible d’obtenir ( F2 f )( X ) pour
G
tout point X , et donc impossible de reconstruire f(x, y).
Notons ainsi que les mesures des projections de la transformation de Radon se font sur
une grille circulaire et ses distributions sont non-uniformes. Pour calculer l’inversion de la
transformation de Fourier 2D, il est nécessaire d’utiliser l’opération d’interpolation 2D pour
transformer ces mesures à la grille rectangulaire avec la distribution uniforme. Il existe
plusieurs méthodes d’interpolation comme nearest neighbor, bilinéaire ou bicubic.
Interpolation
Figure 2-2 Interpolation des échantillons de la transformation de Fourier des projections sur la grille
circulaire à la grille rectangulaire de la transformation de Fourier 2D.
2.2. Algorithme de reconstruction
Grâce à Formule (3.2), on a donc l’algorithme de reconstruction par la méthode directe de
Fourier comme suit :
1. Calcul de la transformation de Fourier 1D des projections par FFT1 (algorithme
de transformation de Fourier rapide) pour obtenir les échantillons de la
transformation de Fourier 2D de f(x, y) sur une grille circulaire.
2. Interpolation 2D pour obtenir des échantillons de la transformation de Fourier
2D de f(x, y) sur une grille rectangulaire.
3. Calcul de f(x, y) par inversion de Fourier 2D rapide (IFFT2 2D)
Le coût de cet algorithme est de O(n)+ O(n2)+O(n2)
Pratiquement, la méthode directe de Fourier est très difficile à implémenter de façons
numériques à cause de ses deux conditions du théorème du profil central. Cependant, elle
1
2
FFT : Fast Fourier Transform
IFFT : Invert Fast Fourier Transform
trongton© 2004
Chapitre 3. RECONSTRUCTION EN GEOMETRIE PARELLELE
60
présente essentiellement une méthode analytique du problème de reconstruction en géométrie
parallèle. Au point de vue de cette méthode, on a développé plusieurs méthodes différentes
en vue d’améliorer ses défauts et de profiter des points forts potentiels de la méthode directe
de Fourier. On va voir ensuite deux méthodes qui ont été dérivées de cette méthode dans
Sections 3 et 4.
3. Méthode du filtrage de la rétro-projection1
Dans cette partie, vous serez familiarisé à un terme qui joue un rôle très décisif dans la
méthode du filtrage de la rétro-projection et même la méthode de rétro-projection des
projections filtrées. Vous verrez que l’opération de la rétro-projection est une étape
intermédiaire très importante dans le processus de reconstruction de ces algorithmes.
En fait, le terme rétro-projection a été introduit par Crowther, DeRossier et Klug en
1970. Puis, elle a été étendue pour trois dimensions par Gilbert en 1972 dans sa publication
portée le nom « The reconstruction of a tree dimensional structure from projections and its
application to electron microscopy». D’autres termes ont été utilisés pour cette opération
comme «sommation» ou « superposition linéaire ». Pourtant, elles ne sont appliquées que
dans un sens strict de la version discrète de cette opération.
Revenons à la méthode du filtrage de la rétro-projection. Dans cette méthode, la
reconstruction d’une image f(x, y) se fait en deux étapes :
•
Rétro-projection des projections g(θ, s) qui donne une image fB(x, y)(image
intermédiaire et différente d’image f(x, y)).
•
Filtrage de fB(x, y) afin d’obtenir image f(x, y).
D’abord, on observe le côté mathématique de cette méthode.
3.1. Principe de la mathématique
G
Soient image f B ( x, y ) = f B ( x ) est obtenue par la rétro-projection des mesures g(θ, s) :
π
f B ( x, y ) = ∫ dθ g (θ , s )
GG
s = xθ
(3.3)
0
Géométriquement, pour un θ fixé, s = x cos θ + y sin θ correspond à la distance séparant
G
l’origine O et la projection orthogonale du point x = ( x, y ) sur la projection g(θ, s) (voir Fig.
1
Filtering after Backprojection Algorithm
trongton© 2004
LA TRANSFORMATION DE RADON ET SON APPLICATION …
61
3-1). La rétro-projection fB(x, y) est alors égale à la somme des contributions de chaque
projection (Fig. 3-2).
Figure 3-1 Illustration de la géométrie pour obtenir la rétro-projection d’un angle θ fixé.
y
y
x
(b)
x
Figure 3-2 Principe de la méthode rétro-projection. (a) deux projections d’un rectangle (b) rétro-projection
de ces deux projections et superposition pour former une proximité de l’image originaire. (Stanley1983)
Figure 3-3 montre le résultat de l’opération rétro-projection des projections qui donnent
image fB(x, y) d’une ellipse. On observe que fB(x, y) est une version floue de f(x, y) avec
valeurs non nulles, en dehors d’image originaire f(x, y). Donc, on cherche un filtre 2D qui
permet de retrouver f(x, y) à partir de fB(x, y).
trongton© 2004
Chapitre 3. RECONSTRUCTION EN GEOMETRIE PARELLELE
62
1 rétro-projection
4 rétro-projections
64 rétro-projections
512 rétro-projections
Figure 3-3 Les résultats de l’étape rétro-projection avec des différents angles de projection.
Il existe une relation directe entre la transformation de Fourier respective de f(x, y) et fB(x,
y). Cette relation est exposée par la formule suivante :
G
G
G
( F2 f )( X ) =| X | ( F2 f B )( x )
(3.4)
G
G
G
⇒ f ( X ) = F2−1 (| X | ( F2 f B )( x ))
(3.5)
G
G
où | X | en composant avec la transformation de Fourier inverse 2D est un filtre et f B ( x ) est
l’ image de la rétro-projection des projections.
G
En effet, filtre | X | est très difficile à implémenter car fB(x, y) n’est pas à support
compact (son support peut sortir de la grille de reconstruction). En pratique, pour obtenir des
images de qualité satisfaisante en utilisant la méthode du filtrage de la rétro-projection, il faut
trongton© 2004
LA TRANSFORMATION DE RADON ET SON APPLICATION …
63
calculer image fB(x, y) sur une grille de pixels de trois à quatre fois plus grande que celle
utilisée pour f(x, y).
3.2. Algorithme de reconstruction
On décrit l’algorithme du filtrage de la rétro-projection en trois étapes principales comme
suit :
1. Rétro-projection des projections pour obtenir fB(x, y).
G
2. Calcul de la transformation de Fourier 2D de fB(x, y), application du filtre| X | .
3. Calcul de la transformation de Fourier 2D à l’inverse du résultat d’Étape 2 pour
obtenir f(x, y).
Le coût de cet algorithme est de O(n)+ O(n2)+O(n2)
À cause de la complexité de l’étape de filtrage, on trouve alors un algorithme très lent. Le
temps de traitement est inacceptable dans la réalisation des scanners actuels. Une
modification de cet algorithme est la méthode de rétro-projection des projections filtrées. Ce
dernier peut apporter des résultats très encourageants et bien adapter aux problèmes vivants
de la tomographie X.
4. Méthode de rétro-projection des projections filtrées1
Cette méthode a été complétée par de nombreux auteurs entre les années 1970 et 1980.
La théorie mathématique a été développée par Cho, Ahn, Bohm et Huth (1974), Logan et
Shepp (1975), Tanaka et Iinuma (1975, 1976), Lewitt (1979). On trouve ainsi l’algorithme
d’implémentation de rétro-projection des projections filtrées dans les publications de
Rosenfeld et Kak (1982), Kak et Slaney (1988).
Aujourd’hui, l’algorithme de reconstruction en géométrie parallèle appliquant cette
méthode a été étendu au problème de reconstruction en géométrie divergente pour appliquer
directement dans les scanners X commerciaux. Les auteurs qui ont contribué très tôt dans ce
travail sont Lakshminarayanan (1975), Herman, Lakshminarayanan et Naparstek (1976,
1977), Herman et Naparstek (1977).
1
Filtered Backprojection Algorithm(FBP)
trongton© 2004
Chapitre 3. RECONSTRUCTION EN GEOMETRIE PARELLELE
64
4.1. Principe de la mathématique
À l’inverse de la méthode du filtrage de la rétro-projection, l’opération de filtrage est
réalisée avant la rétro-projection. On utilise l’expression mathématique
π
f ( x, y ) = ∫ dθ g F (θ , s )
s = x cos θ + y sin θ
0
où
g F (θ , s) sont les projections filtrées. Chaque projection
(3.6)
g F (θ , s)
est filtrée
indépendamment des autres grâce à la formule
( F1 g F )(θ , σ ) = h( s) *( F1 g )(θ , σ )
(3.7)
où h( s ) est l’opération du filtre des projections. Notons ici qu’on utilise ici l’opérateur *
(convolution) au lieu d’une multiplication arithmétique courante. Pour cette raison, on
nomme
la
méthode
de
rétro-projection
des
projections
filtrées
par
une
plus
courte appellation: méthode de rétro-projection de convolution1.
Figure 4-1 permet de visualiser pas à pas la procédure de reconstruction d’image f(x,y)
dans Formules (3.6) et (3.7). On constate que R est la transformation de Radon. F signifie la
transformation de Fourier (version normale ou version rapide). À la fin du processus, on
utilise opération B pour représenter l’étape de la rétro-projection.
R
f(x, y)
f ( s, θ )
Algorithme de
B
g F ( s, θ )
F1
convolution
F1
-1
| h |*f
*|h|
f ( s, θ )
Figure 4-1 Diagramme d’implémentation de la méthode de rétro-projection des projections filtrées ou
méthode de convolution [Dean1983].
1
Convolution Back Projection Algorithm
trongton© 2004
LA TRANSFORMATION DE RADON ET SON APPLICATION …
65
En effet, le choix du filtre h( s ) dans Formule (3.7) est une étape très importante de
l’algorithme de rétro-projection des projections filtrées. La qualité de l’image de
reconstruction est affectée principalement par l’opération du filtre h( s ) par ce qu’elle peut
filtrer efficacement des bruits et des artéfacts dans les données acquises. En pratique, on a
développé plusieurs filtres différents comme filtre rampe, filtre Cosine, filtre Hann et filtre
Hamming.
Z Filtre Ram-Lak ou filtre rampe :
Le filtre rampe permet d’éliminer les signaux ayant une fréquence qui dépasse une limite
fc prédéfinie. La formule de ce filtre présente comme suit :
h( s ) =| σ |
avec | σ | < fc
(3.8)
h( s ) =| σ |
− fc
fc
σ
Figure 4-2 Le filtre rampe dans le domaine fréquentiel
En fait, le filtre rampe est sensible à des bruits de haute fréquence. Donc, on multiplie le filtre
rampe avec une fenêtre pour qu’il soit plus tolérant aux bruits.
Z Filtre Shepp-Logan :
Le filtre Shepp-Logan multiplie le filtre rampe par une fonction de sinusoïdale.
⎛ πσ ⎞
sin ⎜
⎟
2σ 1 ⎠
1
⎝
h( s ) =| σ |
2 ⎛ πσ ⎞
⎜
⎟
⎝ 2σ 1 ⎠
(3.9)
Z Filtre Hann:
Le filtre Hann multiplie le filtre rampe par une fenêtre du Hann.
⎛
⎛ πσ
h( s ) =| σ | ⎜⎜1 + cos ⎜
⎝ σ1
⎝
trongton© 2004
⎞⎞
⎟ ⎟⎟
⎠⎠
(3.10)
Chapitre 3. RECONSTRUCTION EN GEOMETRIE PARELLELE
66
0.3
0.2
0.1
0
-2
0
+2
Figure 4-3 Filtre rampe avec la fenêtre du Hann
Z Filtre Hamming :
Le filtre Hamming multiplie le filtre rampe par une fenêtre du Hamming.
⎛
⎛ πσ
h( s ) =| σ | ⎜ α + (1 − α ) cos ⎜
⎜
⎝ πσ u
⎝
⎞⎞
⎟ ⎟⎟
⎠⎠
(3.11)
Dans Figure 4-4, on démontre l’application du filtre Hann d’une projection d’ellipse.
Cette opération peut être complétée plusieurs fois. Chaque fois correspond à un angle de
projection de l’objet. Puis, ces projections filtrées sont prêtes à l’étape de la rétro-projection.
-1
0
(a)
+1
-1
0
(b)
+1
Figure 4-4 (a) la projection d’une ellipse à angle θ = 0o. (b) le sinogramme de la projection après
l’application du filtre Hann.
4.2. Algorithme de reconstruction
Nous décrivons l’algorithme de rétro-projection des projections filtrées en nous basant
sur le diagramme dans Figure 4-1 :
trongton© 2004
LA TRANSFORMATION DE RADON ET SON APPLICATION …
67
1. Transformation de Fourier 1D de chaque projection g(s, θ) dans le domaine de
fréquence.
2. Application du filtre h(s), par défaut on utilise le filtre rampe | σ | pour la
simplicité.
3. Calcul de la transformation de Fourier 1D inverse pour obtenir la projection
filtrée g F ( s,θ ) .
4. Rétro-projection des projections filtrées pour obtenir f(x, y).
Le coût de cette méthode est de : O(n) + O(n2) + O(n2)
L’avantage de la dernière méthode est tout d’abord la simplicité de l’étape de filtrage
de la projection. Maintenant, le calcul du filtre ne se fait qu’à une dimension grâce à
l’opération de convolution. Cependant, l’avantage le plus important est que, dès que la
première projection a été acquise, il est possible d’obtenir une première approximation de
l’image avant même que l’acquisition globale des mesures ne soit terminée. Chaque fois une
nouvelle projection est mesurée. Elle est filtrée, et rétro-projectée. Ce processus se répété
jusqu’à la dernière projection. Donc, il permet au manipulateur d’équilibrer entre la qualité
de l’image de reconstruction et le temps de traitement. La plus haute résolution de l’image de
reconstruction est reconstituée, le plus grand nombre des projections aux différents angles la
console doit traiter.
(a) 18 projections
(b) 90 projections
Figure 4-5 Reconstruction du fantôme tête de Shepp-Logan avec des nombres de projection différents. La
qualité de l’image dans (a) est très mauvaise tandis que celle obtenue dans (b) est proche de l’image originaire.
trongton© 2004
Chapitre 3. RECONSTRUCTION EN GEOMETRIE PARELLELE
68
Effectivement, l’algorithme de rétro-projection des projections filtrées est considéré
largement comme la meilleure solution du problème de reconstruction d’image à partir de
des projections. Elle est donc utilisée couramment dans les CT scanners actuels.
5. Conclusions
Nous avons étudié dans ce chapitre le problème de reconstruction de l’image à partir de
ses données de projection en géométrie parallèle. Nous présentons trois méthodes analytiques
pour répondre à ce problème : méthode directe de Fourier, méthode du filtrage de la rétroprojection et méthode de rétro-projection des projections filtrées. Bien que ces algorithmes
aident à résoudre le problème de reconstruction efficacement, elles sont considérées comme
des méthodes proches de la transformation de Radon inverse.
Dans ces trois méthodes, nous concentrons le plus à la troisième dont la mise en œuvre
est la plus naturelle. L’étape de filtre des projections aide à éliminer efficacement des bruits
dans les données obtenues et renforcer la qualité de l’image de reconstruction après l’étape
de rétro-projection.
Aujourd’hui, on est en train de réaliser beaucoup de recherches sur une méthode directe
de la transformation de Radon inverse en vue de surmonter le problème d’interpolation. Ces
travaux sont mathématiquement très complexes par exemple la méthode de Cauchy et
Hadamard [Khanh2004]. Par ailleurs, du côté technique, il y a trois tâches qui nous
préoccupent : extension du problème pour plusieurs dimensions (3D, 4D), reconstruction en
géométrie divergente (la géométrie d’éventail et la géométrie conique) et optimisation du
temps de traitement.
Donc, nous finissons Chapitre 3 ici et ainsi terminons la partie de la théorie de Radon et
ses applications. Nous avons donné une perspective bien complète d’une branche de
recherche très active aujourd’hui : la Tomographie médicale. Dans la partie suivante, nous
aborderons de l’application de ces théories dans un problème très courant dans l’imagerie
médicale : traitement de la radiographie. Nous allons réaliser deux tâches principales dans
Chapitre 4 : amélioration de la qualité de radiographie et détection des anomalies
pulmonaires.
trongton© 2004
CHAPITRE
TRAITEMENT DE LA
RADIOGRAPHIE PULMONAIRE
(CT Image)
(CR Image)
(MRI Image)
(Imagerie / FV Hôpital)
Nous présentons dans ce chapitre le côté d’application de ce mémoire. Nous divisons le
problème de traitement de la radiographie pulmonaire en trois parties. La première partie
aborde les algorithmes de prétraitement des images numériques pour améliorer la qualité de
la radiographie obtenue, par exemple, ajustement du contraste, analyse par histogramme,
correction des bruits. La deuxième partie étudie la structure générale du poumon et ses
anomalies populaires comme la tumeur et la tuberculose. La troisième partie propose une
méthode pour détecter automatiquement les anomalies dans un système de la Tomographie
actuelle. Une discussion sur la méthode proposée est ainsi abordée dans cette dernière partie.
Chapitre 4. TRAITEMENT DE LA RADIOGRAPHIE PULMONAIRE
70
1. Introduction
Le traitement d’images numériques (ou Imagerie) est actuellement un des domaines les
plus avancés de l’informatique. L’évolution des dispositifs d’acquisition des images permet
d’étendre l’application de l’Imagerie dans tous les domaines de la technologie et de la
vie quotidienne: radar, robotique et vision par ordinateur, médecine, multimédia, synthèse
d’images, jeux d’ordinateur… L’Imagerie est actuellement au centre de tous les processus de
traitement et joue un rôle très important dans la plupart des applications technologiques. Par
exemple, les systèmes robotiques sont souvent dotés d’un système de vision par ordinateur
dont le noyau se compose de plusieurs modules de traitement d’images. Un autre exemple de
l’Imagerie dans la vie habituelle est le système de télésurveillance des incidents connecté à
des caméras positionnelles.
Figure 1-1 Un exemple du jeu « Rayman 3 » qui utilise une machine de génération des modèles 3D. Cette
machine doit réaliser énormément des algorithmes de traitement d’images et de synthèse d’images.
La numérisation des systèmes d’acquisition d’image permet aux systèmes d’imagerie
médicale de profiter de la puissance de l’informatique pour traiter des radiographies. L’image
médicale d’aujourd’hui n’est plus une image « morte ». C’est-à-dire, autrefois l’image
obtenue a était fixée sur le film radiographique malgré sa mauvaise qualité. Maintenant, les
techniciens ont des outils de traitement de la radiographie pour ajuster le contraste, optimiser
le rehaussement d’image, localiser une région d’intérêt et enfin les archiver au disque dur. En
effet, le traitement numérique des images médicales a fait une évolution dans la qualité de
soin médicale et le mode de diagnostic des maladies.
trongton© 2004
LA TRANSFORMATION DE RADON ET SON APPLICATION …
71
Tout au long de ce chapitre, nous utiliserons le terme radiographie en générale pour
indiquer les images générées par les machines d’imagerie médicale comme la Radiographie
X numérique, CT scanner ou IRM. Particulièrement, nous emploierons le terme radiographie
pulmonaire pour les images obtenues par le CT scanner. Pourtant, on applique les mêmes
algorithmes de prétraitement d’image numérique pour toutes ces images. D’autant plus, le
format de la radiographie supportée par le programme est le format d’image du niveau de
gris (8-bit ou 24-bit image). Donc, nous restreignons les fonctions de traitement de la
radiographie aux opérations du niveau de gris.
Le processus de traitement d’image numérique a été récapitulé dans le livre « Digital
Image Processing » de Rafael C. Gonzalez et Richard E. Woods. Nous démontrons dans
Figure 1-2 un processus optimisé pour la tâche de traitement de la radiographie. Nous
discuterons trois modules reliant directement le sujet de traitement de la radiographie
pulmonaire: module d’acquisition d’image, module de prétraitement d’image et module de
recognition et décision.
Représentation
et description
Segmentation
Prétraitement
d’image
BASE DE
CONNAISSANCE
Sortie
Entrée
Acquisition
d’image
Recognition
et
Décision
Figure 1-2 Diagramme du processus de traitement d’image numérique. [Rafael2002]
D’abord, nous commençons par le module d’acquisition d’image dans un système
tomographique. Dans Chapitre 1, nous avons présenté la machine de la radiographie et sa
console d’acquisition de données comme un système d’acquisition d’image médicale. Des
données acquises de la machine de radiographique vont être transformés au format d’image
médicale digitalisée (DICOM 3.0).
trongton© 2004
Chapitre 4. TRAITEMENT DE LA RADIOGRAPHIE PULMONAIRE
72
D’ici, la radiographie est transmise au module de prétraitement d’image – un ordinateur
avec la configuration des matériels élevés. Grâce à l’aide du programme de traitement
d’image, les docteurs utilisent ces fonctions pour augmenter la visibilité de la radiographie.
À ce moment, le processus de traitement s’arrête à l’étape de prétraitement d’image car il
n’existe pas réellement un module de recognition et décision de la radiographie dans
l’imagerie médicale. Cependant, ce module est en train d’être élaboré par des chercheurs
dans le domaine d’analyse d’image médicale. On espère que ce module va bientôt s’intégrer
au système d’imagerie médicale existant pour aider les docteurs à détecter des anomalies et à
diagnostiquer des maladies.
De ce fait, nous traitons dans la section suivante les algorithmes de prétraitement de la
radiographie. Ensuite, la Section 3 examine la structure générale du poumon et ses anomalies
populaires. En se basant sur les analyses de cette section, nous proposons une méthode de
détection des anomalies dans une radiographie pulmonaire. Cette méthode peut être
considérée comme une solution de la réalisation du module de recognition dans un système
tomographique X actuel.
2. Amélioration de la qualité de radiographie
Le programme RadioAnalyser supporte des fonctions riches en prétraitement de la
radiographie. Cependant, dans cette section, nous ne traitons que les algorithmes importants
pour l’étape de prétraitement de la radiographie comme analyse de la radiographie par
histogramme, méthode de fenêtrage (ajustement du contraste) et filtrage des bruits.
2.1. Analyse par histogramme
2.1.1.
Graphe de l’histogramme
Le graphe de l’histogramme nous permet de visualiser la distribution de l’intensité dans
une radiographie. De plus, l’histogramme donne ainsi des informations statistiques d’une
image. Pour cette raison on peut facilement distinguer une image foncée d’une image claire
en comparant leur graphe de l’histogramme.
Par ailleurs, on utilise l’histogramme comme une méthode très efficace pour le
rehaussement du contraste de l’image. On va observer ensuite deux opération de
modification d’histogramme afin d’améliorer le contraste dans une radiographie à faible
trongton© 2004
LA TRANSFORMATION DE RADON ET SON APPLICATION …
73
contraste : égalisation de l’histogramme et normalisation de l’histogramme. Mais d’abord, on
aborde la définition de l’histogramme d’une image numérique.
Figure 2-1 Exemple d’une radiographie pulmonaire et son graphe de l’histogramme.
Soit une image numérique au niveau de gris et l’échelle de gris supportée dans
l’intervalle [0, L-1]. L’histogramme de cette image est calculé par :
h(rk ) = nk
k ∈ [0,1, 2,...,L -1]
(2.1)
où rk dénote la keme niveau de gris et nk est le nombre de pixels dans cette image ayant le
niveau de gris rk. Observons l’histogramme dans Figure 2-1, l’axe vertical représente
l’échelle de gris de la radiographie de 0 (noir) à 255(blanc) et l’axe horizontal représente le
nombre de pixels du niveau de gris correspondant.
2.1.2.
Normalisation de l’histogramme
En pratique, la normalisation de l’histogramme se fait en divisant chaque élément de
l’histogramme en nombre total de pixels n de l’image. Donc, la normalisation de
l’histogramme est fournie par la formule suivante
p (rk ) =
nk
n
k ∈ [0,..., L -1]
(2.2)
De là, on peut conclure que la valeur p(rk) donne une estimation de la probabilité
d’occurrence du niveau de gris rk dans une image. Notons ainsi que la somme de tous les
éléments de p(rk) est égal à 1.
Figure 2-2 démontre le résultat de la fonction de normalisation de l’histogramme réalisée
par le programme RadioAnalyser.
trongton© 2004
Chapitre 4. TRAITEMENT DE LA RADIOGRAPHIE PULMONAIRE
74
Avant
Après
Figure 2-2 La radiographie pulmonaire et son histogramme après l’étape de normalisation de
l’histogramme
2.1.3.
Égalisation de l’histogramme
Les radiographies obtenues sont souvent à faible contraste à cause de la distribution nonuniforme des intensités dans leur histogramme. Il peut concentrer énormément de pixels dans
une certaine zone de niveau de gris tandis que les autres régions en sont très rares. Donc, on
cherche une opération pour redistribuer l’histogramme plus hormogène.
Avant
Après
Figure 2-3 La radiographie pulmonaire et son histogramme après l’étape d’égalisation de l’histogramme.
Le contraste de la radiographie a été rehaussé clairement.
trongton© 2004
LA TRANSFORMATION DE RADON ET SON APPLICATION …
75
L’opération d’égalisation de l’histogramme réutilise le résultat de l’opération de
normalisation de l’histogramme pour calculer la fonction de la probabilité d’occurrence de
densité (probability density function PDF)
pr (rk ) =
nk
n
k ∈ [0,..., L -1]
(2.3)
Puis, la fonction de transformation de histogramme est fournie par la formule suivante
qui s’appelle la fonction de distribution cumulative (cumulative distribution function CDF)
k
sk = T (rk ) = ∑ pr (rj )
j =0
k
nj
j =0
n
=∑
(2.4)
k ∈ [0,..., L − 1]
où n dénote le nombre total des pixels de l’image, nk est le nombre de pixel au niveau de gris
k et L représente la largeur de l’échelle de gris.
Par conséquence, le processus pour calculer la valeur du pixel de l’image sortie se réalise
en deux étapes comme suit :
1. calcul de la probabilité d’occurrence du niveau de gris rk,
2. projection de chaque pixel au niveau de gris rk de l’image entrée au pixel de
niveau de gris sk correspondant de l’image sortie par la fonction de distribution
cumulative au dessus (Formule (2.4)).
Donc, le graphe qui représente la relation entre l’échelle de gris et sa distribution cumulative
dans une image à niveau de gris est nommée l’histogramme d’égalisation.
2.2. Méthode du fenêtrage
La méthode du fenêtrage est utilisée très couramment dans tous les systèmes d’imagerie.
Elle est facile à implémenter et très efficace dans les tâches d’amélioration du contraste et de
l’éclat de la radiographie. Dans cette section, nous introduisons l’application de la technique
de LUT (Look-up Table) pour accélérer le calcul de l’opération d’ajustement du contraste
de la radiographie.
2.2.1.
Technique de LUT (Look-up Table)
Normalement, si on veut ajuster le contraste d’une image à taille 256x256 pixels on doit
réaliser 2562 l’opération de calcul afin de projeter la valeur de chaque pixel dans l’image
trongton© 2004
Chapitre 4. TRAITEMENT DE LA RADIOGRAPHIE PULMONAIRE
76
originaire à une nouvelle valeur dans l’image modifiée. Donc, le coût de l’algorithme de
transformation augmente jusqu’à O(N2) tandis qu’on a seulement L niveaux de gris à
calculer. La technique de LUT est proposée en vue d’économiser le nombre des calculs
dispensable et donc accélérer le temps de traitement de la radiographie.
Le LUT est archivé dans la mémoire sous forme d’un tableau de deux dimensions. La
première ligne correspond à L niveaux de gris de l’image originaire et la deuxième représente
les niveaux de gris de l’image sortie. Initialement, tous les éléments de LUT sont affectés,
respectivement, aux niveaux de gris de l’image originaire. Ensuite, on calcule les nouveaux
niveaux de gris de l’image sortie et les stocke dans LUT. Finalement, en parcourant les pixels
de l’image originaire, on projette le niveau de gris de chaque pixel à la nouvelle valeur dans
LUT pour ajuster l’image originaire.
Niveau de gris
Valeur du LUT
0
0
1
1
2
2
3
3
….
….
252
252
253
253
254
254
255
255
(a) l’état initial du LUT
Niveau de gris
Valeur du LUT
0
f(0)
1
f(1)
2
f(2)
3
f(3)
….
….
252
253
254
255
f(252) f(253) f(254) f(255)
(b) l’état modifié par la fonction f du LUT.
2.2.2.
Ajustement du contraste
Les radiographies obtenues sont souvent à faible contraste à cause de la technique
d’acquisition de la radiographie et les paramètres très variés de la machine de
radiographique. Donc, il est nécessaire de chercher une opération d’ajustement du contraste
de la radiographie dans l’étape de prétraitement.
Mathématiquement, la fonction d’ajustement du contraste est classée en groupes de
fonctions de transformation linéaire du pixel. Cette fonction est exprimée par la formule
suivante :
⎧α u
⎪
f (u ) = ⎨ β (u − a ) + va
⎪
⎩γ (u − b) + vb
α ≤u<a
a≤u<b
(2.5)
b≤u< L
Les paramètres α , β et γ déterminent le niveau du contraste relatif. L représente la valeur
maximale de l’échelle de gris et u indique le niveau de gris de l’image entrée.
trongton© 2004
LA TRANSFORMATION DE RADON ET SON APPLICATION …
77
v
γ
vb
β
va
0
Figure 2-4 La transformation du contraste. Pour la région
foncée de la radiographie α > 1, a L / 3 ; la région au
α
a
b
L
u
milieu
β > 1, b 2 L / 3 ; et la région clarté γ > 1 .
À partir de la formule ci-dessus, on réalise l’algorithme d’ajustement du contraste de la
radiographie en se basant sur la technique de LUT comme suit
Entrée : La radiographie R, les trois paramètres du contraste α , β et γ
Sortie : La radiographie ajustée R’
1. Calcul du tableau de LUT en utilisant la formule (2.5),
2. Parcours de la radiographie entrée; projection du niveau de gris du pixel entré
au niveau de gris du pixel sorti en consultant les valeurs fournies par LUT,
3. Reconstitution de la radiographie sortie R’.
La radiographie à gauche dans Figure 2-5 montre un faible contraste et un peu sombre.
En variant les paramètres du contraste, on obtient une meilleure représentation de la
radiographie finale à droite.
Figure 2-5 La fonction d’ajustement du contraste du programme RadioAnalyser.
trongton© 2004
Chapitre 4. TRAITEMENT DE LA RADIOGRAPHIE PULMONAIRE
78
2.3. Filtrage des bruits
L’acquisition d’une radiographie est souvent accompagnée d’une distorsion ou d’une
certaine artéfact. On les appelle souvent par le terme « bruit » en spécialité de traitement
d’images numériques. Ces bruits se présentent sous forme de signaux à haute fréquence dans
une radiographie. Donc, on applique un filtre de deux dimensions en vue d’éliminer des
hautes fréquences mais en même temps garder les fréquences utiles de la radiographie.
Figure 2-6 montre un exemple de bruit qui est causé par les artéfacts de la prothèse
métallique pendant la phase d’acquisition du CT scanner.
Figure 2-6 Exemple d’un cas d’artéfact de haut contraste dans une radiographie dentaire.
On observe que les bruits causés par des artéfacts se concentrent de très haute fréquence (zone orange de
l’histogramme) autour du niveau de gris de blanc tandis que la plupart de la radiographie est à basse fréquence
(zone bleue de l’histogramme).
En pratique, on utilise le filtre passe-bas afin de filtrer des bruits à haute fréquence. Un
filtre passe-bas est un système linéaire qui ne modifie pas les basses fréquences de la
radiographie entrée. Par contre, les hautes fréquences de la radiographie sont atténuées ou
même annulées en appliquant l’opération de convolution du filtre passe-bas. Cependant,
cette opération risque de faire apparaître un certain flou dans la radiographie filtrée.
u(m,n)
hautes fréquences filtrées
Filtre passe-bas
basses fréquences
Figure 2-7 Diagramme du filtre passe-bas.
trongton© 2004
+
v(m,n)
LA TRANSFORMATION DE RADON ET SON APPLICATION …
79
Un exemple commun de filtre passe-bas est le filtre moyen (mean filter) défini par la
fonction du filtre spatial suivante :
v(m, n) = ∑
∑ a(k , l )u(m − k , n − l )
(2.6)
k ,l∈W
où :
u(m, n) : la radiographie entrée,
v(m, n) : la radiographie sortie,
W
: la fenêtre du filtre,
a(k, l)
: le coefficient du filtre.
En raison d’utilisation du même coefficient du filtre, Formule (2.6) entraîne
v(m, n) =
Donc, le coefficient de filtre a(k , l ) =
1
Nw
∑ ∑ u (m − k , n − l )
(2.7).
k ,l∈W
1
, avec Nw est le nombre de pixels dans la fenêtre de
Nw
filtre W. Dans cet exemple, on choisit la fenêtre du filtre à taille 3x3 pixels. Leurs valeurs
sont attribuées comme suit
ak , l
⎛ 1 1 1⎞
1⎜
⎟
= ⎜ 1 1 1⎟
9⎜
⎟
⎝ 1 1 1⎠
Figure 2-8 La radiographie filtrée par le filtre moyen et son histogramme plus fine.
La radiographie dans Figure 2-8 a été filtrée par le filtre moyen encore qu’il existe une
petite portion des hautes fréquences dans son histogramme. Cependant, si on applique trop
du filtre moyen, il conduit à diminuer rapidement le contraste de la radiographie.
trongton© 2004
Chapitre 4. TRAITEMENT DE LA RADIOGRAPHIE PULMONAIRE
80
3. La structure du poumon et ses anomalies populaires
La structure du poumon est une des structures d’organisme les plus complexes dans
l’anatomie du corps humain. Nous n’avons pas d’ambition d’étudier la structure complète et
la fonction de ce système respiratoire. Dans cette section, nous ne présentons que la structure
générale du poumon et ses radiographies pour illustrer quelques anomalies populaires dans
une radiographie pulmonaire.
3.1. La structure générale du poumon
En effet, la structure du parenchyme pulmonaire est plutôt symétrique au plan frontal de
la radiographie du poumon. Elle se compose de deux lobes des poumons, un arbre
bronchique et les septa pulmonaires.
Figure 3-1 La structure générale du poumon. Deux lobes des poumons entourent le coeur. L’arbre
bronchique divisé en deux branches primaires qui entrent les deux lobes.
Z Lobe pulmonaire : la structure du tissu spongieux. Elle filtre l’oxygène dans l’air
fourni par l’arbre bronchique et les septa pulmonaires.
Z Arbre bronchique : la racine des septa pulmonaires. Elle joue le rôle une voie du
transport principal de l’air au poumon.
Z Septa pulmonaires : sont en continuité avec le feuillet viscéral de la plèvre qui
tapisse la périphérie de chaque lobe.
trongton© 2004
LA TRANSFORMATION DE RADON ET SON APPLICATION …
81
Nous présentons dans la figure suivante l’anatomie du poumon coupe par coupe des
radiographies générés par le CT Scanner.
1
1
2
2
3
3
4
4
Figure 3-2 Quatre coupes de la radiographie représentative d’un poumon normal. (Imagerie/FV Hôpital)
3.2. Les anomalies pulmonaires populaires
Les systèmes de tomographique fournissent actuellement les radiographies des anomalies
pulmonaires à très haute qualité. Les outils d’ajustement des fenêtres nous permettent ainsi
d’observer le poumon par différentes vues. Donc, on peut visualiser très en détail les zones
de transition entre le parenchyme pulmonaire, les tissus mous et les structures osseuses.
trongton© 2004
Chapitre 4. TRAITEMENT DE LA RADIOGRAPHIE PULMONAIRE
82
Grâce au caractère hormogène des deux lobes pulmonaires, les anomalies sont souvent
identiques à leurs avoisinantes. En plus, nous avons examiné la mesure d’UH (Unité
Hounsfield) des anomalies pulmonaires en comparant avec les régions normales
avoisinantes. Tandis que la valeur d’UH des régions normales varie autour celle de l’air
(environ -850 UH), la valeur des anomalies pulmonaires augmente jusqu’à environ -600 UH
ou même 200 (pour les tumeurs).
Nous présentons ensuite les anomalies très typiques de poumons.
Z Perte de volume partielle
Figure 3-3 : La perte de volume pulmonaire est
causée par un épanchement de liquide pleural ou
gazeux, ou une rétraction cicatricielle du
parenchyme pulmonaire. Elle risque de réduire la
ventilation du poumon. (Imagerie / FV Hôpital)
Z Abcès du poumon
Figure 3-4 : L’abcès pulmonaire résulte
habituellement l’évolution névrosante d’une
pneumopathie. La valeur d’UH est faible entre
-600 et -200 UH. (Imagerie / FV Hôpital)
trongton© 2004
LA TRANSFORMATION DE RADON ET SON APPLICATION …
83
Z Tumeur
Figure 3-5 : Les tumeurs sont des lésions qui sont
visualisées sous forme d’une opacité arrondie,
parfois polylobée, mesurant moins de 4cm de
diamètre. Leur densité est située entre 80 et 180
UH. (Imagerie / FV Hôpital)
Z Nodules solidaires
Figure 3-6 : Une nodule solide peut correspondre à
un carcinome bronchique, à une tumeur bénigne
ou à un granulome cicatriciel. (Imagerie / FV
Hôpital)
4. Détection des anomalies pulmonaires
Nous présentons dans cette section une méthode pour détecter automatiquement les
anomalies pulmonaires dans une radiographie. Puisque les anomalies de poumon sont très
variées comme nous venons d’observer dans Section 3. Donc, nous prenons la radiographie
de la tumeur de poumon illustrée dans Figure 3-5 comme exemple pour les expérimentations
dans cette section.
4.1. Processus détaillé
Le processus de la méthode proposée se compose de six étapes principales (voir Fig. 4-1).
Il est ainsi accordé avec l’opération d’un système de Tomographie X actuelle. On va analyser
ensuite la réalisation détaillée de ces étapes.
trongton© 2004
Chapitre 4. TRAITEMENT DE LA RADIOGRAPHIE PULMONAIRE
84
CT Scanner
(simulation par
MATLAB)
(1)
Rf ( p, θ )
(2)
Matrice de
Radon
(sinogramme)
(3)
Radiographie
pulmonaire
Détection
des anomalies
Algorithme de
Reconstruction
Vérification
des résultats
Représentation
de l’image au
moniteur
(6)
Reconstitution
de l’image
(4)
f(x, y)
(5)
Figure 4-1 Processus de la détection des anomalies pulmonaires et de la vérification des résultats dans un
système de Tomographie X.
D’abord, on suppose que le patient va scanner son poumon lors d’un examen médical
pour la vérification ses lésions. La région examinée est représentée par une radiographie
pulmonaire (Fig 4-2a). En faisant passer les rayonnements X de la source à la bande de
détectrice, le CT scanner enregistre toutes les informations d’atténuations du rayon X
pendant la phase de projection. Par manque de condition pour expérimenter cette méthode
sur un CT scanner actuel, nous devons simuler l’opération de ce système en utilisant les
fonctions radon et irandon fournies par MATLAB. Cependant, on peut obtenir les mêmes
valeurs d’atténuation que celles produites par un système tomographique actuel.
Dans la deuxième étape, les valeurs d’atténuation acquises sont reformées sous forme
d’une matrice de transformation de Radon. Cette matrice joue un rôle très important dans la
tâche de détection des anomalies. Comme introduit dans Chapitre 2, chaque pixel de l’image
originaire est transformé en une sinusoïde dans le sinogramme de transformation de Radon.
Donc, une région anomalie, qui est représentée par une valeur d’UH différente des régions
trongton© 2004
LA TRANSFORMATION DE RADON ET SON APPLICATION …
85
avoisinantes dans la radiographie, va être convertie en un peak dans le sinogramme de
transformation de Radon (Fig. 4-2b). Intuitivement, les peaks dans la matrice de
transformation de Radon sont reconnus par les points qui portent les valeurs maximales
locales (Fig. 4-2c).
(a)
(b)
(c)
Figure 4-2 L’idée principale du tâche de détection des anomalies pulmonaires. (a) la radiographie
examinée, (b) le sinogramme de la transformation de Radon et les deux peaks des anomalies, (c) visualisation
de la matrice de Radon en 3D, la flèche pointe à un point maximal local (un peak) dans la matrice de Radon.
De ce fait, la tâche de détection des anomalies pulmonaires devient le problème de
localisation des peaks dans un sinogramme de transformation de Radon ou notamment le
problème de recherche des points maximaux locaux dans la matrice de Radon. Pour régler ce
trongton© 2004
Chapitre 4. TRAITEMENT DE LA RADIOGRAPHIE PULMONAIRE
86
problème, nous proposons d’appliquer l’algorithme Hill-Climbing (Section 4.2.1) pour
chercher ces valeurs maximales locales.
L(θ , s )
Pour chaque point maximal local identifié,
y
p
on obtient deux valeurs importantes dans la
matrice Radon : angle θ et déplacement s. Ces
q
valeurs permettent de positionner les anomalies
θ
s
O
dans l’image originaire en se basant sur la
x
définition de transformation de Radon abordée
dans Chapitre 2.
Étapes 4 et 5 représentent le processus de
reconstruction et de reconstitution de la
radiographie originaire. L’étape de reconstruction se fait par l’algorithme de rétro-projection
des projections filtrées en géométrie parallèle qui donne une matrice de densité de la
radiographie à nombre réel représentée par fonction f(x, y). Ici, on réalise la tâche de
vérification des résultats obtenus dans l’étape précédente. On compare la densité (ou la
valeur d’UH) mesurée de la région d’anomalie localisée avec la densité d’anomalie
pulmonaire examinée dans la section avant. Après cette étape, on ne maintient que les
résultats ayant la valeur proche de celle de l’anomalie pulmonaire.
Enfin, fonction f(x, y) est reconstituée sous forme d’une image de niveaux de gris (8-bit ou
24-bit) pour l’affichage au moniteur de l’utilisateur. Dans cette dernière étape, on préfère de
remarquer les anomalies détectées de la radiographie examinée soit par le contour, soit par
une couleur distincte des autres régions. Pour cette raison, nous choisissons d’utiliser
l’algorithme FloodFill de l’Infographie. L’implémentation de ce dernier est présentée dans
Section 4.2.2. Par ailleurs, on peut commenter la région d’anomalie avec les renseignements
complémentaires comme la position, la superficie de la région et la densité en UH.
4.2. Méthodologies
4.2.1.
Algorithme maximal local (Hill-Climbing)
La recherche de la solution optimale dans un espace de problème a été discutée
profondément dans la spécialité de l’Intelligence Artificielle. Cependant, nous voulons
appliquer l’idée de ces algorithmes pour résoudre le problème de recherche des peaks dans
trongton© 2004
LA TRANSFORMATION DE RADON ET SON APPLICATION …
87
un sinogramme, notamment le problème de localisation des valeurs maximales locales dans
une matrice de transformation de Radon (voir Fig. 4-3). Donc, nous choisissons de présenter
l’algorithme Hill Climbing pour régler ce dernier.
Figure 4-3 Application de l’algorithme Hill-Climbing en cherchant des maximaux locaux.
L’idée principale de l’algorithme Hill-Climbing se résume en cinq étapes suivantes :
1. Choix par hasard d’un point dans l’espace de recherche
2. Observation de tous ses avoisinants dans l’état présent.
3. Sélection d’un voisin à la plus haute qualité et avancement à cet état.
4. Répétition l’étape 2 à l’étape 4 jusqu’à ce que tous les voisins soient à basse qualité
en comparant avec l’état présent
5. L’état de solution est l’état présent.
Figure 4-4 Principe de l’algorithme Hill-Climbing.
En fait, la notion « plus haute qualité » est utilisée généralement pour un problème
abstrait. Donc, quand on l’applique pour résoudre le problème actuel de localisation des
peaks, on utilise les valeurs de transformation de Radon en vue de comparer deux points
dans un même état. En outre, on a utilisé un seuil pour y limiter les valeurs à considérer.
trongton© 2004
Chapitre 4. TRAITEMENT DE LA RADIOGRAPHIE PULMONAIRE
88
Cependant, la valeur du seuil varie dépendamment de la radiographie et des anomalies
examinées.
4.2.2.
Algorithme FloodFill
Le problème qui se pose ici est comment remplir la région anomalie localisée dans
l’étape précédente par une couleur remarquable afin de présenter les anomalies au moniteur
de l’utilisateur. Donc, nous proposons d’utiliser l’algorithme récursif de FloodFill en
utilisant quatre points avoisinants pour la simplicité et la rapidité (Fig. 4-5).
L’idée principale de cet algorithme est de :
1. commencer par un point initial dans la région examinée ;
2. vérifier les quatre points avoisinants du point initial. S’il y a un point avoisinant qui
n’est pas rempli, changer sa couleur par la couleur remplir ;
3. répéter le processus récursivement jusqu’à ce qu’on ne trouve aucun point avoisinant
à remplir.
Figure 4-5 Démonstration de l’idée principale de l’algorithme FloodFill avec quatre points avoisinants.
On réalise l’algorithme de FloodFill en langage de programmation C comme suit
Entrée : radiographie R, position (x, y), couleur à remplir FillColor et couleur du
contour BoundaryColor,
Sortie : radiographie remplie R’.
void FloodFill4(int x, int y, int FillColor, int BoundaryColor)
{
int CurrenColor;
CurrentColor = getpixel(x,y);
if((CurrentColor!=BoundaryColor)&&CurrentColor!= FillColor))
{
putpixel(x,y,FillColor);
FloodFill4(x-1, y, FillColor, BoundaryColor); // point à gauche
FloodFill4(x, y+1, FillColor, BoundaryColor); // point en haut
FloodFill4(x+1, y, FillColor, BoundaryColor); // point à droit
FloodFill4(x, y-1, FillColor, BoundaryColor); // point en bas
trongton© 2004
LA TRANSFORMATION DE RADON ET SON APPLICATION …
89
}
} // Fin du FloodFill4
4.3. Analyse du résultat
(a)
(b)
(c)
(d)
Figure 4-6 Démonstration du résultat de la méthode de détection des anomalies pulmonaires. (a) la
radiographie pulmonaire avec une tumeur à lobe gauche, (b) position des anomalies localisée par l’algorithme
maximal locale, (c) la région anomalie contournée, (d) la région anomalie remplie par une couleur prédéfinie.
Nous avons expérimenté cette méthode sur une radiographie pulmonaire avec une tumeur
à gauche (Fig. 4-6a). En appliquant l’algorithme maximal local, nous détectons deux peaks
dans le sinogramme de transformation de Radon de cette radiographie : p1 (θ = 910 , s = 30) et
p2 (θ = 900 , s = −35) . Ces deux points correspondent aux deux régions anomalies
(remarquées par deux croix dans Fig. 4-6b) dans la radiographie. Finalement, les résultats
trongton© 2004
Chapitre 4. TRAITEMENT DE LA RADIOGRAPHIE PULMONAIRE
90
sont présentés au moniteur soit par le contour ou soit par la couleur en utilisant l’algorithme
FloodFill (Fig. 4-6c et 4-6d).
Bien que les résultats produits par l’étape de localisation des peaks de l’algorithme de
maximal local soient nombreux, nous ne choisissons qu’à présenter les deux points qui sont
proches des anomalies actuelles. Les autres points peuvent être considérés comme les fautes
dans le processus de détection automatique des anomalies pulmonaires.
4.4. Discussions
Le problème de détection des lésions dans un organisme est souvent complexe.
Cependant ces travaux sont très nécessaires pour qu’on informatise complètement le
processus de traitement et de diagnostic des maladies dans le domaine d’Imagerie médicale.
Durant la réalisation de ce mémoire, nous avons consulté plusieurs travaux et leurs
méthodes proposées en analyse et en segmentation de l’image médicale. Un exemple est une
thèse de l’Université de Technologie de la Suède, qui a proposé deux méthode : ACM (Active
Contour Models) et ASM (Active Shape Models). Cependant, elles sont limitées à la
segmentation des lésions orales dans une image couleur et à la localisation du contour
ventriculaire dans une échographie.
De ce fait, nous essayons d’expérimenter une nouvelle méthode de détection des
anomalies pulmonaires en nous basant sur la transformation de Radon. Cette méthode a des
avantages par rapport aux autres méthodes :
Z plus naturelle et plus facile ;
Z profit du maximum des données générées par le système tomographique pendant la
phase de projection et de reconstruction ;
Z le problème peut être étendu pour d’autres organismes et pour les autres types de
machine tomographique comme IRM, TEP, et gamma caméras (SPECT).
Cependant, elle présente des inconvénients :
Z dépendance de plusieurs éléments techniques : les paramètres de la machine de
Tomographie, le produit de contraste utilisé, la position et la région examinée du
patient … Donc, les radiographies obtenues sont très variées .
Z moins efficace pour les anomalies ayant la structure et la mesure d’UH similaires à
celles des régions normales du corps comme les tissus et les graisses.
trongton© 2004
LA TRANSFORMATION DE RADON ET SON APPLICATION …
91
5. Conclusions
Ce chapitre a introduit en bref
le rôle du traitement d’image numérique dans le
développement de la technologie et dans la vie habituelle. Nous avons essentiellement
expliqué comment appliquer le processus de traitement d’image dans le domaine de
l’Imagerie médicale.
La Section 2 a été consacrée principalement à étudier les algorithmes de traitement de la
radiographie comme analyse par histogramme, méthode du fenêtrage et l’opération de
filtrage des bruits. Le graphe de l’histogramme est un outil avantageux pour visualiser la
distribution de l’intensité de la radiographie et pour modifier le contraste de cette dernière.
Pour la méthode de fenêtrage, la technique de LUT a été appliquée afin d’optimiser la
performance du calcul des fonctions de transformation de pixel. À la fin de cette section,
nous avons proposé le filtre passe-bas en vue d’éliminer les bruits dans les radiographies
acquises.
Dans la Section 3, nous avons étudié la structure générale du poumon. Puis, on a examiné
quatre exemples des anomalies populaires du poumon : perte de volume partielle, abcès du
poumon, tumeur et nodules solitaires. Cette section est une étape intermédiaire pour le
développement de la méthode de détection des anomalies pulmonaires dans la section
suivante.
Enfin, la Section 4 a discuté la réalisation du processus de détection des anomalies
pulmonaires et de vérification des résultats. Pour réaliser ces idées nous avons proposé deux
algorithmes : algorithme maximal local pour localiser des peaks et algorithme FloodFill pour
marquer les régions d’anomalie dans la radiographie. Finalement, nous donnons les analyses
du résultat et notre estimation de la méthode proposée.
Dans le chapitre suivant, nous allons récapituler les études et les contributions de ce
mémoire dans le domaine de Tomographie Médicale. Nous discuterons ainsi quelques
problèmes ouverts à ce sujet.
trongton© 2004
CHAPITRE
CONCLUSIONS
Ce mémoire expose nos études aux domaines de la Tomographie Médicale et de la
théorie de la transformation de Radon ainsi que son application pour le problème de
traitement de la radiographie. Ce chapitre achève le mémoire en concluant et évaluant les
travaux réalisés. Nous discutons ainsi quelques problèmes ouverts du sujet.
1. Conclusion générale
La recherche de la Tomographie médicale hérite des réalisations de plusieurs domaines
scientifiques différents incluant mathématiques, physiques, informatique, médecine et la mise
en œuvre des nouvelles techniques. Cette partie résume nos études de la théorie de Radon et
nos contributions à l’application de cette théorie dans le traitement de la radiographie. La
conclusion comporte cinq aspects principaux ci-dessous :
Z Les applications actuelles de la Tomographie médicale d’aujourd’hui. Nous
avons présenté dans le premier chapitre les trois applications de la technique de
Tomographique en médecine : la Radiographie à rayon X numérique, le CT Scanner
et l’Imagerie par résonance magnétique (IRM). En effet, ces applications ont été
utilisées largement dans la plupart des départements d’Imagerie médicale des
hôpitaux à l’heure actuelle. Nous avons présenté non seulement leurs modèles
techniques mais aussi l’histoire et l’évolution de différents types de la machine en vue
de donner un regard général sur le processus de développement de la Tomographie.
Nous avons essayé de résoudre des problèmes techniques importants de la
construction et du développement des systèmes d’Imagerie médicale.
Z La théorie de la transformation de Radon. Nous avons étudié principalement dans
Chapitre 2 la théorie de Radon (1917), ses propriétés et ses relations avec d’autres
transformations. Notre approche de cette théorie mathématique était au point de vue
trongton© 2004
LA TRANSFORMATION DE RADON ET SON APPLICATION …
93
d’un informaticien. Donc, nous n’avons pas trop discuté les théories ou les
démonstrations mathématiques. Par contre, nous avons présenté ces théories et leurs
formules mathématiques par des diagrammes et des algorithmes qui sont plus
familiers envers les informaticiens et les rendent faciles à implémenter.
Z Le problème de reconstruction en géométrie parallèle. Nous avons élaboré trois
méthodes analytiques pour le problème de reconstruction d’image à partir de ses
projections : méthode directe de Fourier, méthode du filtrage de la rétro-projection et
méthode de rétro-projection des projections filtrées. La méthodologie utilisée consiste
à analyser pas à pas le processus de la reconstruction. De plus, nous avons comparé
ces méthodes selon deux critères importants : la complexité et la faisabilité.
Z L’amélioration de la qualité de la radiographie. L’étape de prétraitement d’image
est une tâche indispensable pour augmenter la qualité et la visibilité d’une image
numérique dont une radiographie est un cas spécial. De ce fait, nous avons développé
des algorithmes et leurs implémentions pour la tâche d’amélioration de la qualité de
radiographie comme ajustement du contraste, analyse par histogramme, rotation
d’image, magnification, changement de la taille d’image, et correction des bruits. En
plus, nous avons construit un frame-work de l’application qui est facile à élargir et
prêt à y intégrer de nouveaux composants.
Z L’application de la transformation de Radon pour la détection des anomalies
dans une radiographie pulmonaire. Nous avons premièrement étudié et analysé la
structure générale du poumon et ses anomalies populaires. Puis, en se basant sur les
analyses, une méthode pour détecter automatiquement des anomalies dans une
radiographie pulmonaire a été proposée et expérimentée. En effet, cette méthode
applique principalement la définition de la transformation de Radon et ses propriétés
en profitant des données générées durant l’opération du système de Tomographie X.
Nous en discutons ainsi les avantages et les inconvénients.
En réalisant ce mémoire, nous avons acquis des connaissances très précieuses de la
Tomographie médicale et de l’Imagerie médicale. Nous constatons que l’application des
systèmes interactifs de diagnostic médicale deviendra rapidement une tendance de
développement clef dans le domaine de l’Imagerie médicale et de la Tomographie
diagnostique dans le futur. Donc, nous souhaitons avoir des conditions permettant
trongton© 2004
Chapitre 5. CONCLUSIONS
94
d’approfondir nos connaissances dans ce domaine intéressant et de déployer l’application
dans un système de Tomographique actuel.
2. Problèmes ouverts
La recherche dans le domaine de tomographie est encore ouverte. En fait, il existe
beaucoup de problèmes et même des obstacles qu’on doit surmonter. Pour cette raison, nous
discutons dans cette partie trois propos d’ouverture pour une recherche plus profonde sur
sujet.
Z Projection en géométrie divergente. Bien qu’il existe aux marchés des scanners à
rayons X réalisant la technique de projection en géométrie divergente (incluant
géométrie d’éventail et géométrie conique), la théorie de cette dernière n’est pas
encore bien complétée. Une extension de la recherche de la projection en géométrie
divergente est donc nécessaire.
Z Ouverture de l’application pour d’autres organismes. Durant notre travail au
département d’Imagerie de FV Hôpital, nous avons examiné de nombreuses images
tomographiques de différents organismes du corps humain comme la foie, le rein, et
le cerveau. Nous remarquons que ces organismes ont une structure assez similaire à
celle du poumon: ce sont des structures homogènes et des anomalies sont identiques à
celles des autres régions. Nous pensons qu’on peut appliquer la méthode de
détections des anomalies pulmonaires pour ces organismes. Donc, on ne modifie que
des paramètres du programme pour qu’ils soient plus applicables avec un organe
spécifique.
Z Intégration d’un module de radiographie diagnostique à l’application. C’est une
étape plus avancée du programme. Ce module contient des connaissances des
spécialistes dans le domaine d’Imagerie médicale qui aident à diagnostiquer des
maladies courantes. Le diagnostic se base sur des résultats de l’étape de détection des
anomalies.
trongton© 2004
ANNEXE
LA TRANSFORMATON DE FOURIER
La transformation de Fourier est une des transformations la plus importante dans la branche
de traitement du signal et particulièrement dans la spécialité de traitement d’image
numérique. Comme nous avons introduit dans Chapitre 3, la transformation de Radon a une
relation très intime avec la transformation de Fourier. Donc, dans cette partie, nous voulons
présenter en bref la théorie mathématique de transformation de Fourier unidimensionnelle et
bidimensionnelle. Les propriétés importantes de cette transformation sont ainsi abordées dans
Section 2. Finalement, on va étudier un exemple de la transformation de Fourier appliquant
en calcul de la fonction Rectangle.
Annexe A. LA TRANSFORMATION DE FOURIER
96
1. Définition
1.1. Transformation de Fourier unidimensionnelle (Fourier 1D)
Soit f(x) une fonction continue où variable x représente la distance. La transformation de
Fourier de f(x), dénotation F(u), est définie par
F (u ) = ∫
+∞
f ( x)e −2π jxu dx
−∞
(1.1)
où u représente la fréquence spatiale dans direction x. Généralement, la valeur de F(u) est un
nombre complexe bien que la valeur de fonction f(x) soit un nombre réel. Cette formule
présente une relation importante entre la magnitude de la fréquence présentée et sa
magnitude de phase dans l’espace d’une dimension.
Figure 1-1 Exemple de la transformation de Fourier 1D de fonction Rectangle. La fonction transformée est
appelée la fonction sinus.
Pour reconstituer fonction f(x) depuis sa transformation F(u), on peut utiliser la
transformation de Fourier inverse comme suit
f ( x) = ∫
+∞
−∞
F (u )e −2π jux du
(1.2)
En vue de pouvoir réaliser cette formule, la fonction F(u) doit satisfaire la condition suivante
−∞ < F (u ) < +∞
Maintenant, on développe la transformation de Fourier bidimensionnelle (Fourier 2D) en
se basant sur des résultats de la transformation de Fourier unidimensionnelle (Fourier 1D).
trongton© 2004
LA TRANSFORMATION DE RADON ET SON APPLICATION …
97
1.2. Transformation de Fourier bidimensionnelle (Fourier 2D)
La transformation de Fourier d’une image f(x, y) est définie par
F (u , v) = ∫
+∞
−∞
∫
+∞
−∞
f ( x, y )e −2π j ( xu + yv ) dxdy
(1.3)
où u et v désignent les fréquences spatiales dans directions x et y. À partir de la
transformation de Fourier, il est possible de reconstituer exactement l’image originale en
prenant la transformation de Fourier inverse
f ( x, y ) = ∫
+∞
−∞
∫
+∞
−∞
F (u , v)e −2π j ( ux + vy ) dudv
(1.4)
Cependant, pour appliquer la transformation de Fourier inverse, l’image transformée doit
satisfaire la condition suivante :
+∞
+∞
−∞
−∞
∫ ∫
f ( x, y )dxdy < +∞
(1.5)
La transformation de Fourier nous fournit une interprétation intéressante car elle
décompose l’image en composantes fréquentielles définies sur [−∞, +∞] × [−∞, +∞] . L’image
f(x, y) et sa transformation F(u, v) forment une paire de transformation de Fourier représentée
par
f ( x, y ) U F (u, v)
(1.6)
En général, F(u, v) est une fonction de u et v à valeurs complexes. On peut donc
l’exprimer sous la forme
F (u, v) =|| F (u , v) || e jθ ( u ,v )
(1.7)
où ||F(u, v)|| est appelé module de F(u, v) ou spectre fréquentiel d’image f(x, y) et θ (u, v) est
la phase de F(u, v) ou spectre de phase de F(u, v). Dans le cas particulier où f(x, y) est une
fonction à nombres réels, on a
F (−u, −v) = F * (u, v)
Alors,
|| F (−u , −v) ||= F (u, v)
(1.8)
θ (−u, −v) = −θ (u, v)
On peut déduire deux propriétés importantes d’une image à nombres réels :
1. le spectre fréquentiel de l’image est symétrique par rapport à l’origine du système
de l’axe des uv (Fig. 1-2). C'est-à-dire la connaissance d’un demi-plan est
trongton© 2004
Annexe A. LA TRANSFORMATION DE FOURIER
98
suffisante. Ce résultat est satisfaisant car, dans le plan spatial, si on dispose
M × N variables indépendantes, la transformation de Fourier fournit seulement
( M × N ) / 2 variables indépendantes mais ces variables sont complexes.
2. le spectre de phase de l’image est anti-symétrique par rapport à l’origine du
système de coordonnées uv.
Figure 1-2 Module de l’image d’une fille après centrage de l’origine
2. Les propriétés de Fourier 2D
2.1. Séparabilité
En permutant l’ordre d’intégration dans (1.3), on obtient
F (u, v) = ∫
+∞
−∞
⎡ +∞ f ( x, y )e−2π jxu dx ⎤e −2π jyv dy
⎢⎣ ∫−∞
⎥⎦
(2.1)
La transformation de Fourier d’une image f(x, y) peut être réalisée en deux étapes suivantes :
• Calcul de la transformation de Fourier unidimensionnelle (Fourier 1D) de f(x, y) pour
tout y fixé ; transformation de variable x en variable u
• Transformation de Fourier unidimensionnelle de la fonction obtenue pour tout u fixé ;
transformation de variable y en variable v.
2.2. Linéarité
Soient f1 ( x, y ) U F1 (u , v) et f 2 ( x, y ) U F2 (u, v) . Alors, pour toutes constantes c1 et c2
c1 f 1( x, y ) + c2 f 2 ( x, y ) U c1 F1 (u , v) + c2 F2 (u, v)
trongton© 2004
(2.2)
LA TRANSFORMATION DE RADON ET SON APPLICATION …
99
2.3. Homothétie
On suppose que l’image f(ax, by) correspond à l’image f(x, y) qui est compressée dans
l’espace par un facteur a dans direction x et par un facteur b dans direction y. Si
f ( x, y ) U F (u, v) , alors
f (ax, by ) U
1
⎛u v⎞
F⎜ , ⎟
| ab | ⎝ a b ⎠
(2.3)
On peut conclure qu’une compression dans le domaine spatial est égale à une extension dans
le domaine fréquentiel et vice-versa.
2.4. Dualité
Si f ( x, y ) U F (u, v) , alors
F (−u , −v) U f (−u, −v)
(2.4)
f ( x, y )e2π j (u0 x + v0 y ) = F (u − u0 , v − v0 )
(2.5)
2.5. Translation spatiale
Si f ( x, y ) U F (u, v) , alors
2.6. Translation fréquentielle
Si f ( x, y ) U F (u, v) , alors
f ( x − x0 , y − y0 ) = F (u, v)e−2π j ( x0u + y0v )
(2.6)
3. La transformation de Fourier discrète1
Les images numériques sont actuellement sauvegardées dans l’ordinateur aux valeurs
discrètes en vue d’accélérer la vitesse de traitement des données. Donc, on a besoin de
reformuler la transformation de Fourier générale pour obtenir la transformation de Fourier
discrète. Ce processus peut compléter entièrement en remplaçant l’opération d’intégrale par
l’opération de sommation.
Dans Fourier 1D, on suppose que la valeur de x incrémente de 0 à N-1.
F (u ) =
1
Discrete Fourier Transform (DFT)
trongton© 2004
1
N
N −1
∑ f ( x )e
x =0
−2π jxu / N
(3.1)
Annexe A. LA TRANSFORMATION DE FOURIER
100
Et l’inversion de cette dernière est donnée par
N−1
f (x) = ∑F(u)e−2π jux/ N
u=0
(3.2)
Similairement, pour l’espace de deux dimensions, on applique la formule suivante avec
deux constantes N et M.
F (u , v) =
1
NM
N −1 M −1
∑ ∑ f ( x, y ) e
−2π j ( xu / N + yv / M )
(3.3)
x =0 y =0
et
N −1 M −1
f ( x, y ) = ∑ ∑ F (u, v)e−2π j ( xu / N + yv / M )
(3.4)
u =0 v =0
4. Illustrations de fonction Rectangle
Considérons image f(x, y) qui est définie par
f ( x, y ) = Arect[ a ,b ] ( x, y )
(4.1)
où
⎧
⎪1
rect[ a ,b ] ( x, y ) = ⎨
⎪⎩0
a
b
,| y |<
2
2
ailleurs
| x |<
(4.2)
Cette fonction est appelée fonction Rectangle. Image f(x, y) a une valeur A à l’intérieur
du rectangle de longueur a et de largueur b dont les côtés sont parallèles aux axes Ox et Oy,
et zéro en dehors du rectangle (Fig. 4-1).
La transformation de Fourier d’image f(x, y) est donnée par
F (u , v) = ∫
+a / 2
−a / 2
dx ∫
+b / 2
−b / 2
dyAe −2π j ( xu + yv )
⎛ sin(π au ) ⎞⎛ sin(π bv) ⎞
= Aab ⎜
⎟⎜
⎟
⎝ π au ⎠⎝ π bv ⎠
(4.3)
Il s’agit du produit de deux sinus cardinaux. Ce résultat aurait pu être obtenu en remarquant
que l’image f(x, y) est séparable spatialement en utilisant la propriété de séparabilité. Nous
avons donc la paire de la transformation de Fourier
⎛ sin(π au ) ⎞ ⎛ sin(π bv) ⎞
rect[ a ,b ] U ab ⎜
⎟⎜
⎟
⎝ π au ⎠ ⎝ π bv ⎠
trongton© 2004
(4.4)
LA TRANSFORMATION DE RADON ET SON APPLICATION …
101
y
b
2
−
a
2
a
2
0
−
x
b
2
Figure 4-1 Fonction du Rectangle
Figure 4-2 présente image f(x, y) dans l’espace 3D. Le module de sa transformation de
Fourier est ainsi représenté à Figure 4-3.
Figure 4-2 Illustration de fonction Rectangle en 3D. La troisième dimension est présentée par la valeur de
f(x, y).
trongton© 2004
Annexe A. LA TRANSFORMATION DE FOURIER
102
Figure 4-3 Module de la transformation de Fourier correspondant à fonction Rectangle
trongton© 2004
ANNEXE
OUTIL DE TRAITEMENT
D’IMAGE DE MATLAB
Dans cette dernière annexe, nous introduisons le fondement de l’utilisation de l’Outil
traitement d’Image (Image processing Toolbox) dans MATLAB (version 6.5 R13). Cet outil
fournit des fonctions très riches en traitement d’image numérique comme : les fonctions de
représentation de l’image, les opérations de filtrage, l’analyse d’image, transformation et
segmentation d’image. Cependant, dans cette section, nous n’examinerons que les fonctions
indispensables pour la représentation et la transformation de l’image. Deux fonctions les plus
importantes sont les fonctions de la transformation de Radon : radon et iradon. Ces fonctions
nous permettent de simuler un système de Tomographie X actuelle.
Annexe B. OUTIL DE TRAITEMENT D’IMAGE DE MATLAB
104
1. Introduction
MATLAB est un outil et ainsi un langage de programmation très utile pour les
techniciens, les mathématiciens et les informaticiens. Il a été actuellement appliqué dans de
différents domaines scientifiques comme traitement de signal, analyse de données,
acquisition de données en temps réel, réseaux de neurone, traitement d’image, et simulation.
MATLAB expose ses points forts dans le calcul des opérations sur des matrices complexes et
dans le traitement des grosses données.
MATLAB présente l’Outil de traitement d’Image (Image processing Toolbox)
particulièrement pour le traitement d’image numérique. Les types d’image supportés par cet
outil sont très variés comme
Z image d’index,
Z image d’intensité,
Z image binaire,
Z image couleur (RGB).
En outre, cet outil contient beaucoup de fonctions de traitement d’image comme :
Z fonctions de lecture et de représentation de l’image,
Z opérations géométriques : rotation, coupe et change de la taille d’image,
Z groupe des opérations de filtrage : convolution, FIR1, méthode de fenêtrage,
Z transformation d’image : Fourrier, Cosine, Radon,
Z analyse et rehaussement : profil d’intensité, histogramme, détection de bord,
ajustement du contraste,
Z segmentation de l’image.
Dans la partie suivante, nous présenterons les fonctions concernant la lecture et la
représentation d’image. Nous introduisons ainsi les opérations fondamentales pour travailler
avec l’histogramme de l’image et pour ajuster le contraste. Dans la dernière section, nous
expliquerons deux fonctions importantes de la transformation de Radon dans MATLAB : la
fonction radon et la fonction iradon.
1
FIR : Finite impulse response
trongton© 2004
LA TRANSFORMATION DE RADON ET SON APPLICATION …
105
2. Les fonctions de traitement d’image
2.1. Lecture et représentation de l’image
Pour lire la structure d’une image à partir d’un fichier, on utilise la fonction imread,
syntaxe A = imread (filename, fmt). Le premier paramètre de cette fonction indique le
chemin du fichier contenant l’image. Le deuxième est l’un des formats d’image supportés qui
se trouvent dans le tableau suivant :
Format
Type du fichier
‘bmp’
Windows Bitmap (BMP)
‘cur’
Windows Cursor resources (CUR)
‘hdf’
Hierarchical Data Format (HDF)
‘ico’
Windows Icon resources (ICO)
‘jpg’ ou ‘jpeg’
Joint Photographic Experts Group (JPEG)
‘pcx’
Windows Paintbrush (PCX)
‘png’
Portable Network Graphics (PNG)
‘tif’ ou ‘tiff’
Tagged Image File Format (TIFF)
‘xwd’
X Windows Dump (XWD)
Table 2-1 Des formats d’images supportés par MATLAB
Par défaut, on peut réduire le deuxième paramètre car MATLAB identifie
automatiquement le format de l’image en accédant à l’en-tête du fichier. On lit, par exemple,
une image TIFF:
I = imread('rice.tif');
Le fichier rice.tif est reconnu comme une image TIFF valide. La fonction lit immédiatement
les données de cette image et les stocke dans la mémoire sous forme d’une matrice de deux
dimensions. Pour vérifier la représentation de l’image dans la mémoire, on tape :
Whos
MATLAB repond:
Name
I
Size
291x240
Bytes
Class
69840 uint8 array
où, le nombre 69840 manifeste le nombre total d’octets pour archiver cette image et chaque
élément utilise seulement un octet (uint8) de la mémoire.
trongton© 2004
Annexe B. OUTIL DE TRAITEMENT D’IMAGE DE MATLAB
106
Puis, on affiche image I sur l’écran par la fonction imshow
figure, imshow(I)
Figure 2-1 L’affichage de l’image rice.tif
2.2. Égalisation d’histogramme
Histogramme est un diagramme statistique qui représente la distribution d’intensité d’une
image d’index ou d’une image d’intensité. La fonction imhist nous permet d’observer
l’histogramme d’une image entrée.
figure, imhist(I)
Figure 2-2 Histogramme de l’image rice.tif
trongton© 2004
LA TRANSFORMATION DE RADON ET SON APPLICATION …
107
Dans cet histogramme, on observe que le nombre maximum des distributions de densité se
concentre au tour de la valeur 100 du niveau de gris dû au fond foncé (dark-background) de
l’image I.
Donc, on peut régler le contraste et la distribution d’intensité de cette image en utilisant la
fonction d’égalisation d’histogramme histeq. Cette fonction permet de redistribuer
l’histogramme d’une image plus égale et plus large. Le contraste de l’image est donc plus
élevé.
J = histeq(I);
imshow(I);
figure, imshow(J) ;
figure, imhist(J) ;
Figure 2-3 Image J et son histogramme après exécuter la fonction d’égalisation histogramme
2.3. Ajuste du contraste
Maintenant, l’image J devient un peu plus sombre.
Donc, on utilise la fonction
imadjust(I,[low_in high_in],[low_out high_out],gamma) en vue d’ajuster le contraste de
cette image.
I2 = imadjust(J, [0 max(J(:))], [0 1]);
figure, imshow(I2);
Regardons les deux vecteurs utilisés dans la syntaxe de cette fonction : [low high] et
[bottom top]. En fournissant les valeurs de ces paramètres, MATLAB projette la valeur low
trongton© 2004
Annexe B. OUTIL DE TRAITEMENT D’IMAGE DE MATLAB
108
dans l’image entrée à la valeur bottom dans l’image sortie. Il projette de façon similaire avec
les valeurs hight et top. Pour les valeurs se trouvant au milieu de ces deux limites, MATLAB
utilise l’opération d’interpolation linéaire pour les déduire.
Figure 2-4 Le contraste de l’image rice.tif a été réglé abondamment en appliquant la fonction imadjust.
2.4. Enregistrement d’image sur disque
Comment peut-on sauvegarder une image traitée sur le disque? MATLAB nous fournit la
fonction qui s’appelle imwrite(A, filename, fmt). Le symbole A représente la matrice d’image
qu’on veut stocker. Les deux paramètres filename et fmt ont le même sens que ceux de la
fonction imread au dessus. Par exemple, si on veut sauvegarder l’image modifiée I2 (de
l’image originale I1), la syntaxe de la commande est comme suit
imwrite (I2, 'rice2.png');
Ici, l’extension choisie du fichier d’image sortie est PNG. MATLAB accepte ce format et
écrit l’image sur le disque. L’image I2 est stockée dans la mémoire sous forme d’une image
de 8-bits. Donc, pour diminuer la taille du fichier, on peut indiquer la valeur du paramètre
bitdepth dans la fonction imwrite comme suit
imwrite(I2, 'rice2.png', 'BitDepth', '4');
Dans cet exemple, on a diminué la profondeur de l’image jusqu’à une valeur de 4-bits. Pour
vérifier le résultat, on tape dans la console du MATLAB la commande suivante
imfinfo('rice2.png')
trongton© 2004
LA TRANSFORMATION DE RADON ET SON APPLICATION …
109
MATLAB répond:
ans =
Filename: 'rice2.png'
FileModDate: '03-Jun-2004 15:50:25'
FileSize: 36938
Format: 'png'
FormatVersion: []
Width: 240
Height: 291
BitDepth: 4
ColorType: 'grayscale'
3. La transformation de Radon dans MATLAB
3.1. La fonction radon
La fonction radon calcule les projections d’une matrice d’image à certains angles
précisés. Comme nous avons défini dans Chapitre 2, la projection d’une fonction de deux
dimensions f(x, y) est déterminée par l’intégrale de curviligne à une direction spécifique. Par
exemple, Figure 3-1 montre deux projections d’une fonction f(x, y). L’intégrale de ligne à la
direction horizontale correspond à la projection de f(x, y) à l’axe Ox. L’intégrale de ligne à la
direction verticale correspond à la projection de f(x, y) à l’axe Oy.
trongton© 2004
Annexe B. OUTIL DE TRAITEMENT D’IMAGE DE MATLAB
Projection à l’axe Oy
110
Projection à l’axe Ox
Figure 3-1 Projection horizontale et projection verticale d’une fonction simple f(x, y)
La syntaxe de la fonction radon qui calcule la transformation de Radon d’image I à de
certains angles theta spécifiés se présente comme suit :
[R,xp] = radon(I,theta);
Le résultat de cette dernière donne une matrice R de deux dimensions et un vecteur xp. Les
colonnes de R contiennent la transformation de Radon à chaque angle de projection dans
theta. Le vecteur xp contient des coordonnées correspondantes au long de l’axe Ox.
Les commandes au dessous calculent et désignent la transformation de Radon à l’angle
theta = 0 et theta = 45 d’un carré simple.
I = zeros(100,100);
I(25:75, 25:75) = 1;
imshow(I)
trongton© 2004
LA TRANSFORMATION DE RADON ET SON APPLICATION …
111
[R,xp] = radon(I,[0 45]);
figure; plot(xp,R(:,1)); title('R_{0^o} (x\prime)')
figure; plot(xp,R(:,2)); title('R_{45^o} (x\prime)')
Figure 3-2 Deux projections à l’angle theta = 0 et theta = 45 d’un carré.
Si on veut simuler un système de Tomographique X, on doit calculer l’ensemble des
projections de fonction f(x, y) dans un plus grand nombre d’angles : de 0o à 180o avec
incrément de 1o. En complétant toutes ces projections, on obtient une matrice entière de la
transformation de Radon de fonction f(x, y).
theta = 0:180; %180 d’angles de projections
[R,xp] = radon(I,theta);
imagesc(theta,xp,R); % sinogramme de la transformation de Radon
title('R_{\theta} (X\prime)');
xlabel('\theta (degrees)');
ylabel('X\prime');
set(gca,'XTick',0:20:180);
colormap(hot);
colorbar
trongton© 2004
Annexe B. OUTIL DE TRAITEMENT D’IMAGE DE MATLAB
112
Figure 3-3 Sinogramme de la transformation de Radon prise par 180 angles de projection.
3.2. La fonction iradon
La fonction iradon est utilisée pour calculer la transformation de Radon inverse de la
transformée de Radon de fonction f(x, y). Dans le cas de l’image I, elle reconstruit l’image
originaire à partir des mesures de ses projections en géométrie parallèle. En fait, cette
fonction est une implémentation de l’algorithme de rétro-projection des projections filtrées
version discrète. Le temps d’exécution de cette dernière est plutôt rapide (acceptable) en
comparant avec des applications de la tomographie usuelle. De plus, la qualité de l’image
reconstruite satisfait la demande des applications médicales normales.
Comme on a discuté dans Section 3.1, la fonction radon nous donne la matrice de Radon
d’une image I de l’ensemble d’angles de projection précisée theta. Pour calculer la
transformation de Radon inverse, on applique la fonction iradon avec les syntaxes comme
suit :
I = iradon(P,theta)
I = iradon(P,theta,interp,filter,d,n)
La première est simplement la forme réduite de la deuxième. Ensuite, on va expliquer en
détail des paramètres de la deuxième syntaxe.
trongton© 2004
LA TRANSFORMATION DE RADON ET SON APPLICATION …
113
P dénote la matrice de transformation de Radon. Les colonnes de P sont les données de
projection en géométrie parallèle. Le symbole theta décrit des angles de rétro-projection. La
valeur de theta est soit un vecteur qui contient les angles de rétro-projection, soit un nombre
scalaire D_theta qui représente l’incrément d’angle entre les deux projetions. Si on utilise la
grandeur scalaire D_theta, la valeur de theta peut être déduite par la formule suivante :
theta = m*D_theta, m = 0, 1, 2, …, size(P, 2) – 1.
L’option interp spécifie le type d’algorithme d’interpolation appliqué dans la phase de
rétro-projection. La liste suivante classe les noms d’algorithme dans son ordre
d’augmentation de la précision et de la complexité.
Z 'nearest' – nearest neighbor interpolation,
Z 'linear' – linear interpolation (par défaut),
Z 'spline' – spline interpolation.
L’option filter détermine la méthode du filtrage utilisée dans la phase de filtrage des
projections. Elle peut comporter l’un des filtres suivants :
Z 'Ram-Lak' – Filtre rampe (par défaut),
Z 'Shepp-Logan' – Filtre Shepp-Logan,
Z 'Cosine' – Filtre cosine,
Z 'Hamming' – Filtre Hamming,
Z 'Hann' – Filtre Hann.
d est un nombre scalaire à support compact (0, 1]. Par défaut, la valeur de d est 1. Si on
modifie cette valeur, le domaine fréquentiel du filtre est compressé dans une rangée de [0, d].
La valeur n est aussi un nombre scalaire qui décide la taille de l’image reconstruite. Par
défaut, cette valeur est calculée par la formule suivante :
n = 2*floor(size(P,1)/(2*sqrt(2)))
Pour la démonstration de l’application de fonction iradon, on réutilise l’exemple du
fantôme tête de Shepp– Logan dans Chapitre 3. La commande suivante représente l’image
d’une tête à la taille 128x128 pixels.
P = phantom(128);
imshow(P) ;
trongton© 2004
Annexe B. OUTIL DE TRAITEMENT D’IMAGE DE MATLAB
114
Et puis, on calcule la transformation de Radon avec différents angles de projection.
theta1 = 0:10:170; [R1,xp] = radon(P,theta1);
theta2 = 0:5:175; [R2,xp] = radon(P,theta2);
theta3 = 0:2:178; [R3,xp] = radon(P,theta3);
Enfin, on utilise la fonction de transformation de Radon inverse pour reconstruire l’image
du fantôme tête à différents angles de projection.
I1 = iradon(R1,10); figure, imshow(I1);
I2 = iradon(R2,5); figure, imshow(I2);
I3 = iradon(R3,2); figure, imshow(I3);
I1 (18 projections)
I2 (36 projections)
I3 (90 projections)
Figure 3-4 Représentation des images reconstruites du fantôme tête de Shepp – Logan.
trongton© 2004
BIBLIOGRAPHIE
115
BIBLIOGRAPHIE
*****
[Hung2001]
Đoàn Công Hùng, Khôi phục ảnh cắt lớp, Luận văn Thạc sỹ Khoa Công Nghệ
Thông Tin, Đại học Khoa học Tự nhiên, 2001.
[Duc2003]
Vũ Văn Đức, Phép biến đổi Radon trong xử lý ảnh, Luận văn Thạc sỹ chuyên
ngành Giải tích, Đại học Cần thơ, 2003.
[Khanh2004] Bùi Doãn Khanh[+] – Nguyễn Đình Thúc[*], Bước đầu xây dựng một máy cắt
lớp X-Quang ba chiều trong kỹ nghệ và trong y khoa,
[+]
Đại học Paris VI và
[*]
Đai học Khoa học Tự nhiên, 2004.
[Otto1994]
Otto H.Wegener avec la collaboration de Regine Fassel et Doris Welger, TDM
Corps entier (1ere édition française), ARNETTE, 1994.
[Monn2002] J P Monnier et J M Tubianna, Pratique des techniques du radiodiagnostic 3e
édition, Masson, 2002.
[Germes2002] Pierre Grangeat, La tomographie médicale – Imagerie morphologique et
imagerie fonctionnelle, Germes Science publication, LAVOISIER, 2002.
[Germes2003] Guy Cazuguel et Basel Solaiman, Santé et technologie de l’information,
Annales des télécommunications, LAVOISIER, mai/juin 2003.
[Dean1983]
Stanley R. Dean, The Randon transform and some of its applcations,
Department of Physics – University of South Florida, A Wiley – Interscience
Publication, 1983.
[Jain1989]
Anil K. Jain, The fundamentals of digital image processing, University of
California, Prentice Hall, 1989.
[Toft1996]
Peter Toft, The Radon Transform – Theory and implementation, Department
of Mathematical Modeling – Technical University of Denmark, Ph.D. Thesis,
1996.
[Kak1999]
Avinash C. Kak & Malcolm Slaney, Principles of Computerized Tomographic
Imaging, IEEE Press, 1999.
[Merrill1999] Philip W. Ballinger & Eugene D. Frank, Merrill’s Atlas of Radiographic
Positions and Radiologic Procedures (volume one & three) ninth edition,
Mosby, 1999.
trongton© 2004
116
BIBLIOGRAPHIE
[Rafael2002] Rafael C. Gonzalez & Richard E. Woods, Digital Image Processing 2nd
edition, Prentice Hall international, 2002.
Conférence : “L’imagerie médicale aujourd’hui”, le 10 mars 2004 à l’IDECAF, 28 rue Le
Thanh Ton 1er arr. HCMV.
Æ Des spécialistes de l’Hôpital franco-vietnamien et de l’Institut du cœur de
Ho Chi Minh ville présentent et commentent des images réalisées au sein de
leur établissement dans le domaine de la tomographie médicale, la médicine
nucléaire, la radiologie actuelle (3D…) et le diagnostic des maladies.
trongton© 2004