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MINISTÈRE DE L’ÉDUCATION ET DE LA FORMATION UNIVERSITÉ DES SCIENCES NATURELLES FACULTÉ DE TECHNOLOGIE DE L’INFORMATION W*X Avec le soutien de l’Agence Universitaire de la Francophonie Année universitaire 2000 – 2004 MÉMOIRE DE FIN D’ÉTUDE Pour l’obtention de la licence Option: Technologie de Connaissance Présenté et soutenu publiquement par PHAM TRONG TÔN Tuteur : Dr. NGUYEN DINH THUC Ho Chi Minh ville - juillet 2004. MINISTÈRE DE L’ÉDUCATION ET DE LA FORMATION UNIVERSITÉ DES SCIENCES NATURELLES FACULTÉ DE TECHNOLOGIE DE L’INFORMATION W*X Avec le soutien de l’Agence Universitaire de la Francophonie Année universitaire 2000 – 2004 MÉMOIRE DE FIN D’ÉTUDE Option: Technologie de Connaissance PHAM TRONG TÔN Tuteur : Dr. NGUYEN DINH THUC Télécharger : http://trongton.free.fr/memoire HCMV – 07/2004. À ma mère … REMERCIEMENTS ***** Ce travail a été effectué au sein de la coopération de l’École des Sciences Naturelles (ESN) de Ho Chi Minh ville et l’Agence Universitaire de la Francophonie (AUF). Donc, je voudrais en premier lieu exprimer mes reconnaissances à mon école et à l’AUF pour leurs encouragements et leurs soutiens de ce mémoire. En effet, elles m’ont donné une bonne occasion pour achever mes connaissances pendant quatre années universitaires en français. Je tiens à remercier tout particulièrement Monsieur NGUYEN Dinh Thuc, Professeur à l’ESN, pour sa confidence en acceptant de diriger ce travail et pour m’avoir donné sa passion de recherche dans le domaine de la tomographie médicale. Je me rappelle les bons dimanches matin pendant lesquels nous avons discuté franchement sur le travail. J’exprime mes remerciements respectueux à Madame DO Ai Ngoc, Madame DONG Thi Bich Thuy, les professeurs et les tuteurs de l’ESN, qui nous ont fournis les connaissances très précieuses. J’adresse ma profonde gratitude à Madame NGUYEN Thi Lenh Anh, mon professeur de français à l’ESN, qui nous enseigne non seulement la langue et la culture de la France mais aussi le savoir-vivre et le savoir-faire. Je tiens à remercier FV Hôpital de Ho Chi Minh ville qui m’a donné une bonne occasion pour m’approcher des équipements modernes installés au département d’Imagerie comme le CT scanner et la Radiographie numérique. Mes remerciements vont également à Madame Sylvie Feuerle, Dr. Nghia, Dr. Nghi, les docteurs rotationnels et les techniciens de FV Hôpital pour leur bienveillance durant deux mois où je travaille comme stagiaire. Je les remercie aussi pour les images excellentes et pour les connaissances acquises dans le domaine Imagerie médicale. J’exprime mes remerciements sincères à Monsieur LE Viet Dung (UdM), mon correcteur de français, pour sa gentillesse et sa patience. Merci aussi à DO Huy Vu, HUYNH Quoc Hung, HUYNH Dat Vu Khoa, les thésards à INP Grenoble, pour leurs aides et leurs conseils. Finalement, je remercie ma famille, un appui très solide de ma vie, et tous mes amis. RÉSUMÉ Ce mémoire concerne la théorie de la transformation de Radon et de la reconstruction d’image à partir de ses projections en géométrie parallèle. Elles sont deux problèmes principaux dans la technique de la Tomographie assistée par ordinateur. Du côté d’application, ce mémoire donne une perspective pratique des applications actuelles de la technique de Tomographique. En plus, ce mémoire propose une méthode pour traiter des anomalies dans une radiographie de poumon en utilisant des données de transformation de Radon. Dans la première partie, nous illustrons les applications actuelles de la Tomographie dans le domaine de l’imagerie médicale d’aujourd’hui. Nous présentons l’histoire et l’évolution de différents types de machine de Tomographique comme le CT scanner et l’imagerie par résonance magnétique (IRM). Nous décrivons leurs fonctions et leurs applications dans le traitement d’image médicale. Cette partie est le résultat de deux mois de travail au département d’Imagerie de FV Hôpital. La deuxième partie de ce mémoire est consacrée aux fondements de la théorie de transformation de Radon qui est au cœur de la Tomographie X. Nous abordons la définition mathématique de cette transformation, ses propriétés intéressantes et ses relations avec les autres transformations comme la transformation de Fourier et la transformation de Hough. Et puis, nous étudions le problème de projections en géométrie parallèle d’une image numérique. L’algorithme de transformation de Radon est illustré en MATLAB. Pour le problème de reconstruction d’image à partir des projections, nous comparons trois méthodes importantes: méthode directe de Fourier, méthode du filtrage de la rétro-projection et méthode de rétroprojection des projections filtrées. Nous concentrons à la troisième méthode car elle est implémentée dans le CT scanner actuel. Finalement, nous appliquons les algorithmes de traitement d’image numérique pour améliorer la qualité et la visibilité de la radiographie. Puis, nous proposons une méthode assez nouvelle dans le domaine de l’analyse d’image pour détecter des anomalies dans une radiographie pulmonaire en profitant des données générées par le CT scanner durant la phase de projection. Mots clés : imagerie médicale, tomographie X, imagerie par résonance magnétique (IRM), reconstruction en géométrie parallèle, traitement d’image, analyse d’image médicale. ABSTRACT The subject of this thesis is to study the mathematical theory of the Radon transform, which is suitable for the reconstruction of tomography images and its application for processing x-ray images. The thesis is divided into three main parts. The first part describes the applications of computed tomography in the medical imaging. We present different types of the tomography machine like CT scanner and magnetic resonance imaging - MRI. Its functionality and applications in the medical imaging are also discussed. This part is the result of our two-month working at The Imaging Department - FV Hospital. The second part of the thesis studies the Radon transform, its properties and its relations with other transforms: Hough transform and Fourier transform. The discrete version of Radon transform is investigated for digital images. Algorithm of the Radon transform will be described and implemented in MATLAB. For the problem of the reconstruction, we present three well-known approaches to obtain an image from its projections: direct Fourier method, backprojection-filtering method and filtered-backprojection method. The most interesting method is the third one because it is more stable to discretize errors and data noise than the others. Finally, we apply some of image processing algorithms for x-ray images enhancement and for vision of x-ray images. Furthermore, we propose a new method for detection of anomalous locales in chest image from data that are generated by CT scanner. Keywords: medical imaging, computed tomography, magnetic resonance imaging (MRI), image reconstruction, image processing, medical image analysis. i TABLE DES MATIÈRES TABLE DES MATIÈRES i TABLE DES FIGURES v LISTE DES TABLEAUX ix Chapitre 0. INTRODUCTION 1 1. 2. 3. Motivation......................................................................................................................... 1 Objectif du mémoire ......................................................................................................... 3 Méthode et outil de recherche........................................................................................... 4 3.1. Méthode de recherche ............................................................................................... 4 3.2. Outils de recherche ................................................................................................... 5 4. Les difficultés.................................................................................................................... 6 5. Structure du mémoire........................................................................................................ 6 Chapitre 1. LA TOMOGRAPHIE MÉDICALE 1. 2. 7 Introduction........................................................................................................................8 La Radiographie à rayon X ................................................................................................9 2.1. Introduction................................................................................................................9 2.2. Principe de la technique ...........................................................................................10 2.3. Un système de radiographie à rayon X numérique .................................................12 2.3.1. Machine de radiographie..................................................................................13 2.3.2. Cassette avec le phosphore plaque...................................................................13 2.3.3. Lecture de la cassette .......................................................................................15 2.3.4. Console de traitement et d’imprimeur du film.................................................15 3. La Tomographie X (CT Scanner) ....................................................................................17 3.1. Introduction..............................................................................................................17 3.2. Principe de la tomographie X ..................................................................................18 3.2.1. Projection et mesure de la valeur d’atténuation...............................................19 3.2.2. Reconstruction de l’image ...............................................................................20 3.3. L’évolution de la tomographie X.............................................................................20 3.3.1. Système de tomographes conventionnels ........................................................21 3.3.2. Les tomographes à rotation continue ...............................................................22 3.3.3. Les tomographes X multicoupes......................................................................23 3.4. Les éléments dans la Tomodensitométrie (TDM) ...................................................24 3.4.1. Elément pictural ...............................................................................................24 3.4.2. Unité Hounsfield (UH) ....................................................................................25 3.4.3. Valeurs de densité ............................................................................................26 3.4.4. Produit de contraste..........................................................................................26 trongton© 2004 ii 3.4.5. Artéfact ............................................................................................................27 3.5. Applications médicales de la Tomographie X .........................................................28 3.6. Outil pour analyser d’images ...................................................................................29 4. Imagerie par Résonance Magnétique (IRM)....................................................................31 4.1. Introduction..............................................................................................................31 4.2. Principe de l’IRM ....................................................................................................32 4.2.1. Création d’une aimantation macroscopique.....................................................32 4.2.2. Impulsion de radiofréquence............................................................................32 4.2.3. Recueil du signal IRM .....................................................................................33 4.3. Caractéristique de l’IRM..........................................................................................33 4.3.1. Les avantages ...................................................................................................33 4.3.2. Les inconvénients.............................................................................................35 4.4. L’IRM en futur.........................................................................................................36 5. Conclusions......................................................................................................................38 Chapitre 2. LA TRANSFORMATION DE RADON 39 1. 2. Définition ........................................................................................................................ 40 Les propriétés de base..................................................................................................... 42 2.1. Linéarité .................................................................................................................. 42 2.2. Translation .............................................................................................................. 42 2.3. Rotation................................................................................................................... 43 3. Exemple de la transformation de Radon......................................................................... 43 4. Relations avec les autres transformations ....................................................................... 46 4.1. Radon et la transformation de Fourier .................................................................... 46 4.2. Radon et la transformation de Hough ..................................................................... 47 5. Algorithme de la transformation de Radon..................................................................... 49 6. La transformation de Radon d’une image numérique..................................................... 50 6.1. Définition ................................................................................................................ 50 6.2. La transformation de Radon d’un carré d’unité...................................................... 51 7. Projection en géométrie parallèle.................................................................................... 52 7.1. Géométrie parallèle................................................................................................. 52 7.2. Algorithme de la projection .................................................................................... 54 8. Conclusions et perspectives ............................................................................................ 55 Chapitre 3. RECONSTRUCTION EN GEOMETRIE PARELLELE 1. 2. 56 Introduction..................................................................................................................... 57 Méthode directe de Fourier............................................................................................. 57 2.1. Théorème du profil central...................................................................................... 57 2.2. Algorithme de reconstruction ................................................................................. 59 3. Méthode du filtrage de la rétro-projection ...................................................................... 60 3.1. Principe de la mathématique................................................................................... 60 3.2. Algorithme de reconstruction ................................................................................. 63 4. Méthode de rétro-projection des projections filtrées ...................................................... 63 trongton© 2004 iii 4.1. Principe de la mathématique................................................................................... 64 4.2. Algorithme de reconstruction ................................................................................. 66 5. Conclusions..................................................................................................................... 68 Chapitre 4. TRAITEMENT DE LA RADIOGRAPHIE PULMONAIRE 69 1. 2. Introduction..................................................................................................................... 70 Amélioration de la qualité de radiographie..................................................................... 72 2.1. Analyse par histogramme ....................................................................................... 72 2.1.1. Graphe de l’histogramme................................................................................ 72 2.1.2. Normalisation de l’histogramme..................................................................... 73 2.1.3. Égalisation de l’histogramme ......................................................................... 74 2.2. Méthode du fenêtrage ............................................................................................. 75 2.2.1. Technique de LUT (Look-up Table)............................................................... 75 2.2.2. Ajustement du contraste.................................................................................. 76 2.3. Filtrage des bruits.................................................................................................... 78 3. La structure du poumon et ses anomalies populaires...................................................... 80 3.1. La structure générale du poumon............................................................................ 80 3.2. Les anomalies pulmonaires populaires ................................................................... 81 4. Détection des anomalies pulmonaires............................................................................. 83 4.1. Processus détaillé .................................................................................................... 83 4.2. Méthodologies......................................................................................................... 86 4.2.1. Algorithme maximal local (Hill-Climbing) .................................................... 86 4.2.2. Algorithme FloodFill ...................................................................................... 88 4.3. Analyse du résultat.................................................................................................. 89 4.4. Discussions ............................................................................................................. 90 5. Conclusions..................................................................................................................... 91 Chapitre 5. CONCLUSIONS 1. 2. 92 Conclusion générale........................................................................................................ 92 Problèmes ouverts........................................................................................................... 94 Annexe A. LA TRANSFORMATION DE FOURIER 1. 95 Définition ........................................................................................................................ 96 1.1. Transformation de Fourier unidimensionnelle (Fourier 1D) .................................. 96 1.2. Transformation de Fourier bidimensionnelle (Fourier 2D) .................................... 97 2. Les propriétés de Fourier 2D .......................................................................................... 98 2.1. Séparabilité ............................................................................................................. 98 2.2. Linéarité .................................................................................................................. 98 2.3. Homothétie.............................................................................................................. 99 2.4. Dualité..................................................................................................................... 99 2.5. Translation spatiale ................................................................................................. 99 trongton© 2004 iv 3. 4. 2.6. Translation fréquentielle ......................................................................................... 99 La transformation de Fourier discrète............................................................................. 99 Illustrations de fonction Rectangle ............................................................................... 100 Annexe B. OUTIL DE TRAITEMENT D’IMAGE DE MATLAB 103 1. 2. Introduction................................................................................................................... 104 Les fonctions de traitement d’image............................................................................. 105 2.1. Lecture et représentation de l’image..................................................................... 105 2.2. Égalisation d’histogramme ................................................................................... 106 2.3. Ajuste du contraste................................................................................................ 107 2.4. Enregistrement d’image sur disque....................................................................... 108 3. La transformation de Radon dans MATLAB ............................................................... 109 3.1. La fonction radon ................................................................................................. 109 3.2. La fonction iradon ................................................................................................ 112 BIBLIOGRAPHIE trongton© 2004 115 v TABLE DES FIGURES Chapitre 0 Figure 3-1 Processus de la détection des anomalies pulmonaires et de la vérification des résultats dans un système de Tomographie X......................................................................5 Chapitre 1 Figure 2-1 Radiographie du crâne (Microsoft Encyclopédie Encarta 2002). ..........................10 Figure 2-2 Un système de radiographie à rayon X conventionnelle........................................11 Figure 2-3 Ce diagramme illustre comment fonctionne t-il un système de la radiographie X11 Figure 2-4 Dispositif expérimental de production des rayons X. ............................................11 Figure 2-5 Une machine de la radiographie numérique de GE Medical (Imagerie / FV Hôpital) ............................................................................................................................13 Figure 2-6 Une radiographie cassette avec le phosphore plaque changeable (Imagerie/FV Hôpital) ............................................................................................................................14 Figure 2-7 La structure d’une image phosphore plaque ..........................................................14 Figure 2-8 Cette lecture permet de développer une cassette à la taille de 15x30 cm à 43x35 cm en mois de 60 secondes et rapidement transmise à la console de traitement (Imagerie/FV Hôpital). ....................................................................................................15 Figure 2-9 Une console avec son logiciel permet de visualiser et de manipuler l’image. En fin, l’image est imprimée au film laser au format de 20x25 cm ou de 35x43 cm (Imagerie/FV Hôpital) .....................................................................................................16 Figure 2-10 Démonstration d’une fonction de traitement d’image du logiciel de console. A gauche : l’image d’une radiographie pulmonaire. A droite : l’image inversé de radiographie pour développer le cliché (Imagerie/FV Hôpital).......................................16 Figure 3-1 La première clinique image du cérébral obtenue par Hounsfield (Nobel Prize Website). ..........................................................................................................................17 Figure 3-2 Principe de la technique. Les faisceaux de rayon X traversent le patient sous différents angles, dans un plan perpendiculaire à son grand axe. L’atténuation du faisceau est enregistrée par un ensemble de détecteurs. (TDM Corps Entier). ...............18 Figure 3-3 Projection de l’objet. Dans ce dessin, on peut voir deux ombres différentes d’une fille avec une banane à gauche et un ananas devant sur le mur. Est-ce qu’on peut imaginer l’image de cette fille depuis ces deux projections ? .........................................19 Figure 3-4 Principe d’acquisition des mesures ........................................................................19 Figure 3-5 Un système de rotation – translation à détecteur unique (TDM Corps Entier)......21 Figure 3-6 Un système de rotation – translation à détecteurs multiples (TDM Corps Entier) 21 Figure 3-7 Un système de rotation à multi-détecteurs mobiles en géométrie R/R (TDM Corps Entier). .............................................................................................................................22 Figure 3-8 Un système de rotation à muti-détecteurs fixes en géométrie R/S (TDM Corps Entier). .............................................................................................................................22 Figure 3-9 TDM spiralée ou hélicoïdale. L’acquisition continue, pendant le déplacement de la table, entraîne un balayage spiralé (TDM Corps Entier). ............................................23 Figure 3-10 Tomographe multicoupe ......................................................................................24 trongton© 2004 vi Figure 3-11 Volume du pixel (Voxel). (a), (b) = taille de l’élément pictural (pixel) ; (d) = épaisseur de coupe, (D) = diamètre total de la coupe ou champ de mesure (TDM Corps Entier). .............................................................................................................................24 Figure 3-12 Échelle de Hounsfield. La limite inférieure de l’échelle -1000 UH, correspond à la densité de l’air. Les valeurs d’atténuation des structures osseuses très denses dépassent 1000 UH, celles de la plupart des tissus et liquides corporels sont comprises entre -100 et +100 UH (TDM Corps Entier). ..................................................................25 Figure 3-13 Deux fenêtre avec les valeurs différentes de densité. A gauche : fenêtre osseuse, à droite : fenêtre pulmonaire (Imagerie/FV Hôpital).......................................................26 Figure 3-14 Comparaison deux images avant et après l’injection une dose du produit de contraste ...........................................................................................................................27 Figure 3-15 Deux artéfacts exemplaires dans les examens du CT scanner. ............................28 Figure 3-16 Un CT scanner hélicoïdale de GE Medical, version HiSpeed NX/i. Cet appareil permet de sélectionner soit au mode séquentiel, soit au mode hélicoïdal. Le temps d’acquisition d’un plan de coupe atteint jusqu’à 0.25s ou quatre coupes par seconde au mode hélicoïdal (Imagerie/FV Hôpital)...........................................................................29 Figure 3-17 L’interface d’un programme de traitement d’image du scanner. Ce logiciel permet à l'usager de visualiser l’image reconstruction, améliorer la qualité de l’image, de mesurer en valeurs de UH, reformater en 3D… (Imagerie/FV Hôpital). ...................30 Figure 3-18 Reformation en 3D de la structure osseuse et de l’artère (Imagerie/FV Hôpital).30 Figure 4-1 L’image générée par l’IRM d’une lésion du ligament croisé antéro-externe au plan sagittal (GE Medical).......................................................................................................31 Figure 4-2 Principe de la technique de l’imagerie par résonance magnétique (IRM) .............32 Figure 4-3 Temps de relaxation T1 et T2. ...............................................................................33 Figure 4-4 Image en IRM permet d’observer des différents tissus du cerveau grâce à la qualité du contraste spontané d’IRM. ..............................................................................34 Figure 4-5 Image du CT scanner permet seulement de localiser des organes différentiels (os et tissus) du cerveau. ........................................................................................................34 Figure 4-6 Axial, coronal et sagittal coupes ............................................................................34 Figure 4-7 Les matériaux dentaires métalliques causent des artéfacts ....................................35 Figure 4-8 L’image obtenue sans la technique de compensions du mouvement de cardiaque et de poumon....................................................................................................................35 Figure 4-9 L'image obtenue en utilisant la technique du gating. Il requise de données à chaque période du cardiaque. Cette technique a éliminé efficacement le mouvement cardiaque. .........................................................................................................................35 Figure 4-10 Un moderne IRM scanner à superbe conduction magnétique 1,5 Tesla (GE Medical). ..........................................................................................................................36 Figure 4-11 L’IRM permet de visualiser l'activité des cellules de différentes zones du cerveau au repos, puis en réponse à trois stimulations acoustiques de nature différente (Microsoft Encyclopédie Encarta 2002). ...........................................................................................37 Chapitre 2 Figure 1-1 Droite L est déterminée par deux paramètres p0 et θ0 .......................................... 40 Figure 1-2 Sinogramme pour un point objet dans l’espace (p, θ)........................................... 40 Figure 1-3 Représentation la droite L dans l’espace (θ, q)..................................................... 41 trongton© 2004 vii Figure 1-4 Illustration de la transformation de Radon d’une région D de f(x, y). .................. 42 Figure 3-1 Le fantôme tête de Shepp-Logan et ses paramètres .............................................. 44 Figure 3-2 La projection du disque d’unité à un angle θ fixé................................................ 45 Figure 3-3 Sinogramme du fantôme tête de Shepp–Logan. ................................................... 45 Figure 4-1 Démonstration de la relation entre la transformation de Radon et la transformation de Fourier dans l’espace de deux dimensions................................................................... 46 Figure 4-2 La relation entre ligne et point dans la transformation de Hough. Un point objet dans plan (x, y) rend à une courbe sinusoïdale dans plan (p,θ ). Inversement, un point dans plan (p,θ ) sert à identifier une ligne dans plan (x, y). .............................................. 47 Figure 4-3 Sinogramme pour un objet de 3 points. Chaque point dans espace xy est transformé en une sinusoïde dans espace pθ. ................................................................... 48 Figure 4-4 La transformation d’une ligne dans plan (x, y) en un point dans plan (p,θ). Pour identifier une ligne dans plan xy il suffit de détecter un peak dans le sinogramme de la transformation de cette ligne............................................................................................. 48 Figure 6-2 Représentation d’une image couleur numérique et son système de coordonnée .. 50 Figure 6-3 Illustration de la projection d’un carré d’unité...................................................... 51 Figure 6-4 Projection à l’angle θ = 0 ..................................................................................... 51 Figure 6-5 Projection à l’angle θ = π / 4 ................................................................................ 52 Figure 7-1 La géométrie de projection en parallèle du fantôme tête de Shepp-Logan........... 53 Chapitre 3 Figure 2-1 Illustration du théorème du profil central.............................................................. 58 Figure 2-2 Interpolation des échantillons de la transformation de Fourier des projections sur la grille circulaire à la grille rectangulaire de la transformation de Fourier 2D. .............. 59 Figure 3-1 Illustration de la géométrie pour obtenir la rétro-projection d’un angle θ fixé..... 61 Figure 3-2 Principe de la méthode rétro-projection. (a) deux projections d’un rectangle (b) rétro-projection de ces deux projections et superposition pour former une proximité de l’image originaire. (Stanley1983) ..................................................................................... 61 Figure 3-3 Les résultats de l’étape rétro-projection avec des différents angles de projection.62 Figure 4-1 Diagramme d’implémentation de la méthode de rétro-projection des projections filtrées ou méthode de convolution [Dean1983]............................................................... 64 Figure 4-2 Le filtre rampe dans le domaine fréquentiel ......................................................... 65 Figure 4-3 Filtre rampe avec la fenêtre du Hann .................................................................... 66 Figure 4-4 La projection d’une ellipse à angle θ = 0o (a). (b) le sinogramme de la projection après l’application du filtre Hann. .................................................................................... 66 Figure 4-5 Reconstruction du fantôme tête de Shepp-Logan avec des nombres de projection différents. La qualité de l’image dans (a) est très mauvaise tandis que celle obtenue dans (b) est proche de l’image originaire. ................................................................................. 67 Chapitre 4 Figure 1-1 Un exemple du jeu « Rayman 3 » qui utilise une machine de génération des modèles 3D. Cette machine doit réaliser énormément des algorithmes de traitement d’images et de synthèse d’images..................................................................................... 70 Figure 1-2 Diagramme du processus de traitement d’image numérique. [Rafael2002] ......... 71 trongton© 2004 viii Figure 2-1 Exemple d’une radiographie pulmonaire et son graphe de l’histogramme........... 73 Figure 2-2 La radiographie pulmonaire et son histogramme après l’étape de normalisation de l’histogramme ................................................................................................................... 74 Figure 2-3 La radiographie pulmonaire et son histogramme après l’étape d’égalisation de l’histogramme. Le contraste de la radiographie a été rehaussé clairement....................... 74 Figure 2-4 La transformation du contraste. Pour la région foncée de la radiographie α > 1, a L / 3 ; la région au milieu β > 1, b 2 L / 3 ; et la région clarté γ > 1 ................ 77 Figure 2-5 La fonction d’ajustement du contraste du programme RadioAnalyser................. 77 Figure 2-6 Exemple d’un cas d’artéfact de haut contraste dans une radiographie dentaire. .. 78 Figure 2-7 Diagramme du filtre passe-bas. ............................................................................ 78 Figure 2-8 La radiographie filtrée par le filtre moyen et son histogramme plus fine............. 79 Figure 3-1 La structure générale du poumon. Deux lobes des poumons entourent le coeur. L’arbre bronchique divisé en deux branches primaires qui entrent les deux lobes. ......... 80 Figure 3-2 Quatre coupes de la radiographie représentative d’un poumon normal. (Imagerie/FV Hôpital) ...................................................................................................... 81 Figure 3-3 : La perte de volume pulmonaire est causée par un épanchement de liquide pleural ou gazeux, ou une rétraction cicatricielle du parenchyme pulmonaire. Elle risque de réduire la ventilation du poumon. (Imagerie / FV Hôpital) .............................................. 82 Figure 3-4 : L’abcès pulmonaire résulte habituellement l’évolution névrosante d’une pneumopathie. La valeur d’UH est faible entre -600 et -200 UH.(Imagerie/FV Hôpital) 82 Figure 3-5 : Les tumeurs sont des lésions qui sont visualisées sous forme d’une opacité arrondie, parfois polylobée, mesurant moins de 4cm de diamètre. Leur densité est située entre 80 et 180 UH. (Imagerie / FV Hôpital).................................................................... 83 Figure 3-6 : Une nodule solide peut correspondre à un carcinome bronchique, à une tumeur bénigne ou à un granulome cicatriciel. (Imagerie / FV Hôpital) ..................................... 83 Figure 4-1 Processus de la détection des anomalies pulmonaires et de la vérification des résultats dans un système de Tomographie X................................................................... 84 Figure 4-2 L’idée principale du tâche de détection des anomalies pulmonaires. (a) la radiographie examinée, (b) le sinogramme de la transformation de Radon et ses deux peaks des anomalies, (c) visualisation de la matrice de Radon en 3D, le flèche représente un point maximal local (un peak) dans la matrice de Radon............................................ 85 Figure 4-3 Application de l’algorithme Hill-Climbing en cherchant des maximaux locaux.. 87 Figure 4-4 Principe de l’algorithme Hill-Climbing. ............................................................... 87 Figure 4-5 Démonstration de l’idée principale de l’algorithme FloodFill avec quatre points avoisinants......................................................................................................................... 88 Figure 4-6 Démonstration du résultat de la méthode de détection des anomalies pulmonaires. (a) la radiographie pulmonaire avec une tumeur à lobe gauche, (b) position des anomalies localisée par l’algorithme maximal locale, (c) la région anomalie contournée, (d) la région anomalie remplie par une couleur prédéfinie…………………………………….89 Annexe A Figure 1-1 Exemple de la transformation de Fourier 1D de fonction Rectangle. La fonction transformée est appelée la fonction sinus. ........................................................................ 96 trongton© 2004 ix Figure 1-2 Module de l’image d’une fille après centrage de l’origine ................................... 98 Figure 4-1 Fonction du Rectangle......................................................................................... 101 Figure 4-2 Illustration de fonction Rectangle en 3D. La troisième dimension est présentée par la valeur de f(x, y)............................................................................................................ 101 Figure 4-3 Module de la transformation de Fourier correspondant à fonction Rectangle.... 102 Annexe B Figure 2-1 L’affichage de l’image rice.tif............................................................................. 106 Figure 2-2 Histogramme de l’image rice.tif ......................................................................... 106 Figure 2-3 Image J et son histogramme après exécuter la fonction d’égalisation histogramme.................................................................................................................... 107 Figure 2-4 Le contraste de l’image rice.tif a été réglé abondamment en appliquant la fonction imadjust........................................................................................................................... 108 Figure 3-1 Projection horizontale et projection verticale d’une fonction simple f(x, y) ....... 110 Figure 3-2 Deux projections à l’angle theta = 0 et theta = 45 d’un carré........................... 111 Figure 3-3 Sinogramme de la transformation de Radon prise par 180 angles de projection.112 Figure 3-4 Représentation des images reconstruites du fantôme tête de Shepp – Logan..... 114 LISTE DES TABLEAUX Chapitre 2 Table 5-1 : CODE MATLAB ................................................................................................ 49 Annexe B Table 2-1 Des formats d’images supportés par MATLAB................................................... 105 trongton© 2004 CHAPITRE INTRODUCTION 1. Motivation La Tomographie est un jeune domaine de recherche (environ 30 ans de développement) mais elle a créé une application très large dans des domaines scientifiques : la médecine, la biologie, l’astronomie, la géophysique, la résonance magnétique nucléaire (RMN) et l’optique. Dans ce présent mémoire, nous nous intéressons à la recherche dans le domaine de la Tomographie médicale. En effet, la Tomographie médicale a été développée rapidement dans les années 1970 et 1980. En 1979, Allan Cormark et Godfrey Hounsfield ont reçu le prix Nobel de médecine pour leurs contributions dans l’invention du CT scanner ou la Tomographie X médicale d’aujourd’hui. Cette découverte entraîna à la création des différents types de machine de tomographie comme l’imagerie par résonance magnétique (IRM), la gamma-caméra (SPECT) et la Tomographie par émission de positons (TEP). Ces machines de Tomographique apportent à la médecine de merveilleux outils d’observation à l’intérieur du corps des patients sans faire une intervention chirurgicale. Cependant, ces inventions sont retournées à la redécouverte des résultats de la théorie de Radon en 1917. Pour cette raison, la transformation de Radon est le fondement de la Tomographie en résolvant le problème de projection et de reconstruction à partir des projections. Donc, dans la première partie, nous étudions des applications actuelles de la Tomographie médicale comme la Radiographie X numérique, le CT scanner et l’Imagerie par Résonance Magnétique (IRM). Ensuite, la deuxième partie est consacrée à la théorie de la transformation de Radon et au problème de reconstruction en géométrie parallèle. Chapitre 0. INTRODUCTION 2 Nous définissons la théorie de Radon en se basant sur l’hypothèse que la fonction f(x, y) est continue et à support compact. La transformation de Radon est donc définie par l’intégrale de curviligne au long d’une droite L. Les mesures de fonction f(x, y) est appelées la projection ou le profil de l’objet. À partir de ces projections, nous développons trois méthode de reconstitution de fonction f(x, y) : Z méthode directe de Fourier, Z méthode du filtrage de la rétro-projection, Z méthode de rétro-projection des projections filtrées. Au début des années 1990, l’évolution de la technologie a conduit à l’apparition d’une nouvelle branche du domaine d’imagerie médicale : analyse d’image médicale. En fait, le développement des systèmes de Tomographique aujourd’hui presque atteint sa limite avec l’évolution de différents de système d’émission – acquisition et le temps de reconstruction optimisée. Les chercheurs de l’informatique et de médecine ont l’intention de déplacer leurs recherches au domaine de l’analyse d’image médicale et de Tomographie diagnostique par ordinateur. Ces idées ont été réalisées en se basant sur le système de mesure dans l’imagerie médicale comme Unité Hounsfield (UH) dans la Tomographie X. Ces travaux contribueront significativement à la médecine dans l’avenir car un système diagnostique va aider efficacement des docteurs dans le traitement des maladies courantes. De plus, ces systèmes peuvent s’intégrer facilement aux systèmes tomographiques existants afin d’utiliser les données générées durant l’opération de ces systèmes Tomographiques. Aujourd’hui, la recherche sur le domaine d’imagerie médicale est de plus en plus intensive et très active. Plusieurs conférences scientifiques et d’expositions de l’imagerie médicale ont été organisées dans les années 2000. De plus, on a publié de nombreux documents et articles sur ce sujet. Germes Science publication est une maison d’édition prestigieuse pour des chercheurs francophones dans ce domaine. Beaucoup d’universités ont crée une branche de recherche post-universitaire dans ce domaine comme l’Université de MIT (États-Unis), INP Grenoble et l’Université de Liège de Bruxelles. Malgré leurs efforts, les résultats obtenus de ces recherches sont limités car la structure du corps humain est une des structures les plus complexes. On ne se concentre qu’à étudier un organisme spécifique du corps. Par exemple, au département de « Medical Image trongton© 2004 LA TRANSFORMATION DE RADON ET SON APPLICATION … 3 Analysis » de MIT, on a examiné principalement le cerveau, le sein (détection des cancers du sein) et le genou. De ce fait, dans la dernière partie du mémoire, nous développons une méthode pour détecter des anomalies dans une radiographie pulmonaire. Nous avons réalisé deux modules pour en servir : Z unité de traitement d’image pour l’amélioration de la qualité de radiographie obtenue. Z unité de détection et de localisation des anomalies. Dans cette méthode, nous utilisons des données de la transformation de Radon produites pendant la phase de projection pour localiser des changements anomaux dans ces données. Grâce à la définition de transformation de Radon et ses propriétés, nous pouvons retrouver ces anomalies dans la radiographie originaire. La contribution de ce mémoire dans la théorie de Radon est de développer une formule en générale pour calculer la transformation de Radon en géométrie parallèle d’une image numérique de niveau de gris. En effet, cette méthode est indépendante de l’implémentation de la technique de Tomographique puisqu’on calcul la transformation de Radon de l’image en se basant sur la résultat de transformation de Radon d’un pixel présentatif. Le problème de calcul de la transformation de Radon d’image est donc transformé au problème de calcul de la transformation de Radon d’un carré unité. Par ailleurs, notre contribution principale dans le domaine de l’analyse d’image médicale est de proposer une méthode de solution du problème de détection des anomalies dans une radiographie pulmonaire. Nous choisissons d’examiner la radiographie pulmonaire pour deux raisons : Z les maladies de poumon causées par le cancer, la tuberculose et la tumeur sont populaires au Vietnam. Z les anomalies de poumon dans une radiographie sont plutôt faciles à détecter. Cependant, cette méthode peut être étendue pour le même problème des autres organismes comme la foie, le rein et le cerveau. Nous espérons que le résultat obtenu dans ce mémoire est de temps en temps plus précis. trongton© 2004 Chapitre 0. INTRODUCTION 4 2. Objectif du mémoire Z Systématisation des applications actuelles de la Tomographie dans le domaine d’Imagerie médicale. Z Étude sur la transformation de Radon et le problème de reconstruction d’une image à partir de ses projections. Z Application des algorithmes de traitement d’image numérique pour l’amélioration de la qualité de la radiographie. Z Proposition d’une méthode pour détecter les anomalies dans une radiographie pulmonaire. Expérimentation de la faisabilité de cette méthode par MATLAB. 3. Méthode et outil de recherche 3.1. Méthode de recherche La première partie résume le résultat de deux mois de stage à FV Hôpital de Ho Chi Minh ville. Grâce à l’aide des docteurs et des techniciens au département d’Imagerie, nous avons une bonne occasion d’étudier les documents professionnels et les connaissances intéressantes d’imagerie médicale. Nous consultons ainsi des documents et des sites Web sur les problèmes technologiques comme les différentes versions du CT scanner, le calcul d’unité Hounsfield, le format du ficher DICOM et la technique d’imagerie par résonance magnétique (IRM). Dans la deuxième partie, la définition et les propriétés de la théorie mathématique fondamentale de Radon sont principalement extraits du livre de Stanley R. Deans (1983) : «The Radon transform and some of its applications » et le papier de [Khanh2004]. Le problème de reconstruction en géométrie parallèle et en géométrie divergente abordé dans Chapitre 3 peut être trouvé plus détaillé dans le livre de Kak et Slaney (1999): « Principles of Computerized Tomographic Imaging ». La dernière partie de ce mémoire concerne le problème de traitement de la radiographie pulmonaire. Les algorithmes de traitement d’image numérique fondamentaux sont référencés du livre bien connu de Gonzalez et Woods (2002): « Digital Image Processing ». Dans Figure 3-1, nous illustrons le processus de la méthode de détection des anomalies dans une radiographie pulmonaire. Puisque nous n’avons pas de condition de tester cette trongton© 2004 LA TRANSFORMATION DE RADON ET SON APPLICATION … 5 méthode sur un système de Tomographie X réel, nous utiliserons l’outil de traitement d’image de MATLAB pour établir un système de simulation d’un CT scanner actuel. La fonction Radon dans cet outil nous permet de calculer les projections en géométrie parallèle d’une image pour former la matrice de transformation de Radon de cette image. Grâce aux données fournies par MATLAB, nous pouvons examiner la tâche de détection des anomalies de poumon. CT Scanner (simulation par MATLAB) (1) Rf ( p, θ ) (2) Matrice de Radon (sinogramme) Radiographie pulmonaire (3) Détection des anomalies Algorithme de Reconstruction Vérification des résultats Représentation de l’image au moniteur (4) Reconstitution f(x, y) de l’image (6) (5) Figure 3-1 Processus de la détection des anomalies pulmonaires et de la vérification des résultats dans un système de Tomographie X. 3.2. Outils de recherche Z Outil de mathématiques et de traitement d’image : MATLAB 6.5 R13. Z Langage de programmation : C#, C/C++. Z Environnement de programmation : Microsoft Visual Studio .NET, Microsoft .NET framework. Z Système d’exploitation : Windows XP. trongton© 2004 Chapitre 0. INTRODUCTION 6 4. Les difficultés En réalisant ce mémoire, nous avons fait face à beaucoup de difficultés : Z des termes et des connaissances spécifiques dans le domaine de l’Imagerie médicale et de la médecine Z traduction des termes correspondants en anglais et en français Z manque de document de référence des certaines problèmes spécialistes comme : le format de ficher DICOM 3.0 utilisé dans les CT scanners commerciaux, calcul d’unité Hounsfield (HU). Donc, nous devons simuler tous ces problèmes pour obtenir des valeurs proches des résultats actuels Z le problème de l’analyse d’image médicale est assez nouveau. Donc, il n’existe pas beaucoup d’outils ou de documents concernant le traitement de la radiographie pulmonaire sur l’Internet Z la qualité des radiographies obtenues est très variable. Elle dépend de plusieurs éléments comme : la lésion du patient, les paramètres de scanner pour chaque examen, la préparation de la position du patient, la dose du produit contraste…. 5. Structure du mémoire Ce mémoire est structuré en cinq chapitres : Z Chapitre 1 : Les applications actuelles de la Tomographie dans le domaine de l’Imagerie médicale. Z Chapitre 2 : La théorie de la transformation de Radon et le problème de projection en géométrie parallèle d’une image numérique. Z Chapitre 3 : Les trois méthodes de reconstruction d’image à partir de ses projections en géométrie parallèle. Z Chapitre 4 : Le traitement de la radiographie pulmonaire en deux tâches : amélioration de la qualité d’image obtenue et détection des anomalies dans une radiographie de poumon. Z Chapitre 5 : La conclusion et le développement de ce sujet dans le futur. Finalement, nous terminons ce mémoire par deux annexes : Z Annexe A : La transformation de Fourier. Z Annexe B : Utilisation de l’outil de traitement d’image de MATLAB. trongton© 2004 CHAPITRE LA TOMOGRAPHIE MEDICALE Dans ce chapitre, nous allons aborder en bref l’histoire et l’évolution de la Tomographie dans son développement depuis des années 1970. Depuis la découverte du rayonnement X par le physicien allemand Wilhelm Conrad Rontgen en 1895, la technologie de la Tomographie a fait une évolution merveilleuse dans le domaine d’Imagerie médicale. Ensuite, nous présentons les matériels et ainsi les logiciels du système d’imagerie médicale les plus modernes comme : la radiographie à rayon X numérique, le CT scanner et IRM (Imagerie par Résonance Magnétique). Nous présentons leurs fonctions, les images générées par ces machines, le modèle de technique utilisé ... Une petite légende autour de la transformation de Radon est ainsi présentée dans ce chapitre. Chapitre 1. LA TOMOGRAPHIE MÉDICALE 8 1. Introduction La Tomographie assistée par ordinateur (TAO)1 ou Tomodensitométrie (TDM) en médecine est une technique d’acquisition et d’analyse d’images médicales numériques. Dans cette technique, un ordinateur collecte un grand nombre de données (valeurs d’atténuation), sur une région déterminée de l’organisme, ce qui permet d’évaluer les relations spatiales des structures absorbantes les rayons X à l’intérieur de celle-ci. Avec l’aide d’un programme informatique, il est possible d’améliorer la qualité de l’image obtenue, d’identifier les structures internes, de quantifier les variations de densité, de localiser la présence de défauts. Un système de l’imagerie médicale fournit ainsi une présentation virtuelle de la réalité comme : reformation en 3D, simulation de la diffusion et de la perfusion du poumon, observation du rythme du cœur … Le mot Tomographie est l’origine d’un mot du grec : « tomos » = tranche. C’est une technique qui utilise des rayonnements pénétrants comme les rayonnements X, gamma ou certaines ondes électromagnétiques ou acoustiques (comme ultrasonore d’échographie). Par combinaison d’un ensemble de mesures et grâce à des calculs mathématiques de la reconstruction, la Tomographie permet de voir sur l’écran l’organisme intérieur du corps humain, selon un ou plusieurs plans de coupe. Alors qu’auparavant on y avait accès soit par l’imagination, en interprétant les mesures du sang ou d’urine, ou soit par l’observation, en découpant matériellement les objets. Dans le cas d’imagerie médicale, une observation directe nécessite une intervention chirurgicale. Avec la Tomographie, on a un outil formidable pour découvrir sans détruire les structures du corps, leur organisation et leur fonction dans l’espace et dans le temps. L’utilisateur pourra alors bénéficier de l’assistance des logiciels de traitement, d’analyse et de visualisation des images numériques. Au cours des 30 dernières années, les développements dans les techniques d’imagerie médicale ont conduit à des changements révolutionnaires dans la pratique de la médecine. L’imagerie est, en effet, au cœur du processus de diagnostic, en facilitant notamment un diagnostic précoce, mais elle est également importante pour l’établissement et le suivi du traitement. Elle constitue, en outre, un outil pour la recherche tant clinique que fondamentale. Au fil du temps, l’imagerie médicale est devenue un travail d’équipe. Un système d’imagerie médicale rassemble plusieurs composants technologiques. Son développement 1 Computed Tomography (CT) trongton© 2004 LA TRANSFORMATION DE RADON ET SON APPLICATION … 9 requiert la participation des utilisateurs finaux comme les médecins, les physiciens, les biologistes pour spécifier les besoins ; les ingénieurs, les chercheurs, les informaticiens pour mettre au point les nouvelles techniques et enfin les entreprises industrielles pour réaliser et commercialiser ces systèmes. Aujourd’hui, il existe plusieurs types de système d’imagerie médicale et leurs applications dépendent de la spécialité du traitement de maladie ou de fonction de l’organisme du corps ou du besoin des médecins. Dans ce mémoire, nous voulons proposer un modèle de classification de ces systèmes. Initialement, ce sont des systèmes de l’imagerie médicale morphologique comme la Tomographie X médicale (ou CT scanner), l’Imagerie par Magnétique Résonance (IRM). Dans la deuxième branche, ce sont des systèmes de l’imagerie médicale fonctionnelle comme la gamma-caméra (SPECT1), la Tomographie par émission de positons (TEP), la Tomographie cérébrale par NMR 2… Dans ce chapitre, nous allons étudier trois exemplaires, du plus simple au plus complexe, du plus ancien au plus récent, du système d’imagerie médicale : la Radiographie à rayon X, la Tomographie X médicale (ou CT scanner) et l’Imagerie par Magnétique Résonance (IRM). 2. La Radiographie à rayon X 2.1. Introduction La radiographie à rayon X a vu le jour grâce à la découverte des rayons X par le physicien allemand Wilhelm Conrad Ronghen en novembre 1895 (Ronghen a reçu le premier prix Nobel de physique pour ses travaux). Cette découverte fut, en effet, très rapidement suivie par la première application clinique qui eut lieu dès janvier 1896. En 1913, Coolidge inventa le tube générateur de rayon X, ce qui conduit au rapide développement de la radiographie par rayon X avec utilisation de plaques photographiques. Cette technique est très utile pour visualiser les structures osseuses et les masses anormalement denses qui absorbent particulièrement les rayons X (Fig. 2-1). Cependant elle ne fournit qu’une image en projection et ne permet donc pas la visualisation en profondeur dans la direction d’observation. 1 2 SPECT : Single Photo Emission Computed Tomography NMR : Nuclear Magnetic Resonance trongton© 2004 Chapitre 1. LA TOMOGRAPHIE MÉDICALE 10 Figure 2-1 Radiographie du crâne (Microsoft Encyclopédie Encarta 2002). Aujourd’hui, la Radiographie à rayon X traditionnelle a fait une évolution avec la digitalisée de l’image d’acquisition. Cette méthode permet de manipuler et de sauvegarder plus facilement les images dans des équipements informatiques comme le disque magnétique ou le disque optique. Cependant, la Radiographie à rayon X traditionnelle a dominé plus de 70% de département de radiologie du monde entier [Merrill1999] et joue un rôle important dans la qualité des soins médicaux depuis plus de 100 ans. 2.2. Principe de la technique Le corps humain est de lui-même assez peu efficace comme composante active de l’imagerie. Ses émissions naturelles, telles que les infrarouges, les potentiels électriques de surface ou l’énergie acoustique liée au mouvement de l’air dans les poumons, sont trop faibles pour pouvoir en tirer des images des structures internes. Il faut donc recourir à des sondes externes ou à des émissions internes artificielles. Par cette raison la radiographie utilise des ondes courtes entre 1018 Hz – 1020 Hz (environ 3x10-10 m), notamment le rayonnement X. Les propriétés principales de rayon X sont : • Les rayons X sont absorbés par la matière; leur absorption est fonction de la masse atomique des atomes absorbants. • Les rayons X sont diffusés par la matière; c'est le rayonnement secondaire ou rayonnement de fluorescence. • Les rayons X impressionnent la plaque photographique. • Les rayons X déchargent les corps chargés électriquement. La technique d’imagerie par Radiographie à rayon X est basée sur la physique des interactions entre l’énergie (la sonde) et la matière (le tissu biologique qu’on veut trongton© 2004 LA TRANSFORMATION DE RADON ET SON APPLICATION … 11 imager). On utilise une source d’émission de rayon X, un système de collimation et un récepteur pour enregistrer des informations d’atténuation d’énergie (Fig. 2-2). Figure 2-2 Un système de radiographie à rayon X conventionnelle. Figure 2-3 Ce diagramme illustre comment fonctionne t-il un système de la radiographie X Le tube d’émission de rayon X se compose par la cathode et l’anode (Fig. 2-4). Figure 2-4 Dispositif expérimental de production des rayons X. • La cathode se constitue d’un filament de tungstène qui est chauffé par un courant (de 40 à 140 kilovolts). Aux environs de 2500oC, l’échauffement du filament fait trongton© 2004 Chapitre 1. LA TOMOGRAPHIE MÉDICALE 12 naître un nuage d’électrons. En faisant varier le courant dans le filament on contrôle le nombre d’électrons émis par unité de temps dont dépend directement l’émission de photons X [Monn2002]. • L’anode est la cible qui va arrêter le faisceau d’électrons et produire des rayons X. Le rendement est déplorable, en effet 99% de l’énergie est perdue sous forme de chaleur et seul 1% sert à la production de rayons X [Monn2002]. Le récepteur de l’image est un film qui reçoit l’énergie de rayon X et forme de l’image du corps humain. Dans la radiographie diagnostique, il existe 3 types principaux des récepteurs de l’image [Merrill1999] : • La cassette avec le film : C’est le film conventionnel d’un système de radiographique depuis son premier jour au service. D’abord, il faut avoir une chambre noire pour développer le cliché de ce type de film. En suite, on peut voir l’image de ce film grâce à un illuminateur. • La cassette avec le phosphore plaque : L’image est « mémorisée » dans un phosphore plaque. Puis, un lecteur de la cassette va développer cette phosphore plaque pour obtenir de l’image. Cette technique n’exige pas une chambre noire et le temps pour développer un film et plus rapide. De plus, l’image peut transformer au format numérique pour transférer à l’ordinateur et présenter à l’écran d’un moniteur. • L’écran de fluoroscopique : Le rayon X frappe directement sur un écran de fluoroscopique où l’image d’une partie du corps a été formée. Et puis, l’image est transmise à la télévision de manipulateur par une caméra. Le point fort de ce type est de permettre la manipulation de l’image d’acquisition en temps réel. 2.3. Un système de radiographie à rayon X numérique 1 La Radiographie à rayon X a été digitalisée pour bénéficier de la puissance et la rapidité de développement de technologie de l’informatique. Tandis que la plupart des facteurs dans un système de Radiographie conventionnelle tels la machine de radiographie, les techniques de manipulation du patient … ne changent pas beaucoup dans le nouveau système, la technique d’acquisition de l’image a été numérisée grâce à un phosphore plaque au lieu d’un cliché traditionnel. On va observer ensuite le système Centricity SP 1001 fabriqué par GE Medical installant au FV Hôpital de Ho Chi Minh ville. 1 Computed Radiography (CR) trongton© 2004 LA TRANSFORMATION DE RADON ET SON APPLICATION … 13 Ce système comprend 5 components principaux : une machine de radiographie, des cassettes, une lecture de la cassette, un système de console de traitement et un imprimeur du film laser. 2.3.1. Machine de radiographie Figure 2-5 Une machine de la radiographie numérique de GE Medical (Imagerie/FV Hôpital) Cette machine fonctionne comme un tube d’émission du rayonnement X. En appliquant plusieurs nouvelles technologies et le matériel d’émission, on a optimisé notamment la dose d’irradiation dans un examen pour chaque patient. Les manipulateurs peuvent contrôler facilement l’intensité (de 10 à 800 mA) et la différence potentielle d’électrique (de 40 kV à 140 kV) pour déterminer essentiellement la qualité mais aussi la quantité du faisceau de rayon X. Elle permet ainsi des techniciens de localiser une région d’intérêt ou de préparer la position du patient pour obtenir une bonne image. En effet, la machine de radiographie devient maintenant plus efficace et a moins d’effets secondaires sur le corps humain. 2.3.2. Cassette avec le phosphore plaque Pareil au film conventionnel, la cassette sert à acquérir une partie de rayonnement X passant du patient. Cette cassette contient à l’intérieur une couche qui s’appelle le phosphore plaque ce qui joue un rôle très important pour former l’image. L’image plaque trongton© 2004 Chapitre 1. LA TOMOGRAPHIE MÉDICALE 14 est protégée grâce à une couverture en plastique (Fig. 2-6). La taille de la cassette varie de 15x30cm à 43x35cm d’après une norme internationale en médecine. Figure 2-6 Une radiographie cassette avec le phosphore plaque changeable (Imagerie/FV Hôpital) L’image phosphore plaque a une structure très complexe et se compose de plusieurs couches [Merrill1999 p.310] comme : couche de protection, couche de phosphore, couche de réflexion, couche de support et couche d’identification (Fig. 2-7). Couche de protection Couche de phosphore BaFx : Cristal Eu2+ Couche de réflexion Couche de support Couche en arrière Couche d’identification Figure 2-7 La structure d’une image phosphore plaque Le rayon X frappe directement à la couche de phosphore et conduite le cristal BaFx changer à nouvel semi-stable état. La distribution de ces cristaux forme une latente image. La couche de réflexion empêche les effets inattendus de la lumière ou du laser. Puis, la couche de support protège la couche de phosphore contre des chocs externes. Finalement, la couche d’indentification fournit un mécanisme pour associer chaque image plaque avec des informations d’un patient identique. Le phosphore plaque est flexible et très fin (environ 1mm). Il peut mémoriser la latente image pendant une certaine période de temps. Normalement, l’image est gardée pendant 24 heures. trongton© 2004 LA TRANSFORMATION DE RADON ET SON APPLICATION … 2.3.3. 15 Lecture de la cassette La lecture de l’image plaque est un autre component très important dans un système Radiographie à rayon X numérique. Elle transforme des informations continuos de latente image au format d’image digitalisée. Cette dernière est transmise à l’ordinateur grâce à l’interface d’une carte de réseau (Fig. 2-8). Figure 2-8 Cette lecture permet de développer une cassette à la taille de 15x30 cm à 43x35 cm en mois de 60 secondes et rapidement transmise à la console de traitement (Imagerie/FV Hôpital). L’image obtenue est normalisée au format de DICOM1. La spécification de ce format est le résultat de la coopération de National Electrical Manufacturers Association (NEMA) et de American College of Radiology (ACR). La version de DICOM 3 (fichier de la spécification 2003) supporte l’image de très haute qualité : • Riche en résolution : 8, 10, 12, 16 jusqu’à 24 bits de l’échelle de gris. • Nouvelle technologie de compression de l’image (JPEG, JPEG 2000). • Ajustement en direct du niveau/largeur de la fenêtre. • Spécification détaillée de l’interface d’échange et de réseau. • Fonction de stockage et d’imprimante. • … 2.3.4. Console de traitement et d’imprimeur du film Le logiciel installé dans la console (Fig. 2-9) permet à l’utilisateur de : • Gérer des informations personnelles du patient comme : ID, nom, prénom, date de naissance, les examens concernant, information sur la position … 1 DICOM: Digital Imaging and COmmunications in Medicine trongton© 2004 Chapitre 1. LA TOMOGRAPHIE MÉDICALE 16 • Visualiser l’image sur l’écran du moniteur • Ajuster la valeur de densité (le niveau/largeur de la fenêtre) pour améliorer qualité de l’image (Fig. 2-10) • Rotation ou change la taille de l’image • Corriger des artéfacts ou des bruits de l’image • Sauvegarder au mémoire secondaire : disque magnétique ou disque optique. • Imprimer les images au film laser pour les analyses du docteur. • … Figure 2-9 Une console avec son logiciel permet de visualiser et de manipuler l’image. En fin, l’image est imprimée au film laser au format de 20x25 cm ou de 35x43 cm (Imagerie/FV Hôpital) Figure 2-10 Démonstration d’une fonction de traitement d’image du logiciel de console. A gauche : l’image d’une radiographie pulmonaire. A droite : l’image inversé de radiographie pour développer le cliché (Imagerie/FV Hôpital). trongton© 2004 LA TRANSFORMATION DE RADON ET SON APPLICATION … 17 3. La Tomographie X (CT Scanner) 3.1. Introduction Bien que la Radiographie à rayon X permette de mieux observer l’image excellente d’une partie du corps humain à la surface plate, elle s’est limitée en trois aspects principaux : • Naturellement, la structure du corps humain est une structure multi-couches (ou la structure overlap). Un organe peut être recouvert par un autre organe. Prenons, par exemple dans une radiographie pulmonaire, une portion du cœur cachée par la côte (voir Fig. 2-10). • Il est très difficile pour différencier les tissus dans un même organe. Donc, on n’utilise jamais une radiographique pour traiter les lésions ou les tumeurs. • La radiographie nous donne seulement des images anatomiques corporelles de l’humain. Elle ne contient aucune des informations sur la physiologie et la biologie de l’organe vivant. En vue de résoudre le problème de la structure overlap du corps, le premier scanner a été présenté par Godfrey Hounsfield et ses collègues au EMI Laboratoire à Londres en 1971. A ce moment, il utilisait le terme « Tomographie axial par ordinateur1 » pour exprimer que l’image de la coupe obtenue se trouve au plan axial et non au plan frontal comme le dit la radiographie conventionnelle. Figure 3-1 La première clinique image du cérébral obtenue par Hounsfield (Nobel Prize Website). En 1979, Allan Cormark, un physicien américain, et Hounsfield se rejoignaient pour obtenir un Prix Nobel en Médecine pour leurs contributions en développement de la tomographie assistée par ordinateur (TAO). 1 Computer axial tomography (CAT) [Dean1983] trongton© 2004 Chapitre 1. LA TOMOGRAPHIE MÉDICALE 18 Une autre contribution significative de ces deux physiciens était de redécouvrir la théorie de la transformation de Radon1, publiée en 1917. En effet, cette théorie mathématique est au cœur de la technique de tomographique. Pourtant, la théorie n’a trouvé que sa propre application respectueuse après plus de 60 ans dans la bibliothèque. Grâce au calcul intégral de cette transformation, la réalisation du CT scanner devient plus simple et plus efficace. Aujourd’hui, l’application de la tomographie X s’élargit particulièrement dans le domaine médecine diagnostique. Grâce aux évolutions technologiques, plusieurs types de machines tomographie X ont été réalisés comme les tomographes à rotation continue et les tomographes à multicoupes. Cependant, ces machines ont le même but de diminuer le temps d’acquisition et d’augmenter la qualité de l’image reconstruction. 3.2. Principe de la tomographie X L’idée principale de la tomographie est basée sur l’hypothèse de Radon ce qu’on peut reconstruire l’image d’un objet depuis toutes ses projections à différents angles (Fig. 3-3). Pourtant, cette hypothèse n’est jamais vérifiée car il est impossible de collecter toutes les projections de l’objet. En plus, les données présentées dans l’ordinateur sont sous forme de discrète numérique. Hounsfield a surmonté ces problèmes en proposant un algorithme d’interpolation de données absentes depuis des projections existées. Cette découverte a conduit à l’extension rapide de plusieurs types du scanner aujourd’hui. Similairement à la radiographie X Figure 3-2 Principe de la technique. Les faisceaux de rayon X traversent le patient sous différents angles, dans un plan perpendiculaire à son grand axe. L’atténuation du faisceau est enregistrée par un ensemble de détecteurs. (TDM Corps Entier). 1 Sir Johann Radon (1989 - 1956), [Dean1983]. trongton© 2004 traditionnelle, la tomographie utilise les propriétés du rayonnement X pour mesurer des absorptions des rayons X passant d’un organisme du patient. Toutes ces LA TRANSFORMATION DE RADON ET SON APPLICATION … 19 informations d’atténuation sont enregistrées grâce à une bande détectrice tournant simultanément avec la source d’émission des rayons X (voir Fig. 3-2). Enfin, un programme de reconstruction est utilisé pour tomographique à générer partir une des image données obtenues pendant la phase de projection. 3.2.1. Projection et mesure de la valeur d’atténuation Il y avait deux types de projections importantes dans la technique tomographie conventionnelle : Figure 3-3 Projection de l’objet. Dans ce dessin, on peut voir deux ombres différentes d’une fille avec une banane à gauche et un ananas devant sur le mur. Est-ce qu’on peut imaginer l’image de cette fille depuis ces deux projections ? • Projection en géométrie parallèle. • Projection en géométrie d’éventail (ou fan-beam). Plus récent, on a un nouveau type de projection en tridimensionnelle c’est la projection en géométrie conique (ou cone-beam). Cette projection utilise au plus haut degré des données générées dans un tour du couple source – détecteur. La réalisation de ces types de projection est présentée plus en détails dans la partie suivante. Source Rayon X Détecteur Input : Ni photons Output : No photons Figure 3-4 Principe d’acquisition des mesures L’atténuation des rayons X se produit lorsque le rayonnement traverse le corps humain. La valeur d’atténuation dépend de l’intensité de la diffusion du rayonnement et des caractéristiques du tissu examiné (Fig. 3-4). Chaque tissu a un coefficient d’atténuation précis µ. La valeur d’atténuation est calculée grâce à la formule de l’atténuation suivante : I = I0e-µd I0 : intensité du faisceau à l’entrée I : intensité du faisceau à la sortie µ : coefficient d’atténuation linéaire du tissu d : épaisseur de coupe © trongton 2004 Chapitre 1. LA TOMOGRAPHIE MÉDICALE 20 3.2.2. Reconstruction de l’image Les valeurs d’atténuation de la projection sont présentées sous forme d’une matrice de transformation (ou sinogramme de Radon). En appliquant les calculs intégraux sur cette matrice, on peut reconstruire l’image d’origine. En fait, on a développé trois méthodes en vue de reconstruction de l’image à partir de ses projections : • Méthode directe de Fourier • Méthode du filtrage de la rétroprojection • Méthode de rétroprojection des projections filtrées1 La méthode de Fourier est basée essentiellement sur le théorème du profil central. Elle permet de reconstruire directement l’image en utilisant deux transformations de Fourier 1D et une transformée de Fourrier 2D à l’inverse. Pratiquement, cette méthode est très difficile à implémenter de façon numériquement. De plus, le temps d’exécution est inacceptable. Donc, la méthode de Fourier n’a que la valeur analytique et théorique pour mieux comprendre la nature du processus de reconstruction de l‘image. Dans les deux dernières méthodes, toutes les données d’atténuation sont filtrées et contournées (fonction de convolution) avant ou après une rétroprojection. Ces méthodes sont plus tolérantes avec des bruits et des artéfacts de l’image reconstruction. En réalité, la méthode de rétroprojection des projections filtrées a été adoptée car elle convient plus aux problèmes particuliers des scanners actuels. Elle donne un résultat considérable entre le temps de reconstruction et la qualité de l’image d’acquisition. Vous trouverez le fondement théorique et mathématique de ces méthodes plus en détail au chapitre 3. 3.3. L’évolution de la tomographie X L’impact de la tomographie X sur la pratique de l’imagerie médicale diagnostique a été très profond lors de sa première introduction pendant les années 1970. La Tomodensitométrie (TDM) a progressé et différentes générations de machines ont été mises au point pour acquérir l’ensemble des informations nécessaires à la reconstruction de l’image. Au commencement, on a la projection en géométrie parallèle, on a développé une nouvelle géométrie de projection en éventail pour diminuer la dose d’irradiations dans un examen et en même temps réduire notamment le temps d’acquisition d’un plan de coupe. Récemment, la projection en géométrie du conique vient d’être recherchée afin de profiter la puissante d’informatique qui permet de reconstruire d’images en temps réelle 1 Algorithm filtered backprojection (FBP) trongton© 2004 LA TRANSFORMATION DE RADON ET SON APPLICATION … 21 [Germe2002]. L’évolution de tomographie X concerne ainsi le développement de système source – détecteur, de mécanique et d’informatique. 3.3.1. Système de tomographes conventionnels Système de rotation – translation à détecteur unique (1re génération) Figure 3-5 Un système de rotation – translation à détecteur unique (TDM Corps Entier) Un fin faisceau de rayons X traverse l’organisme à 180 reprises, avec un déplacement angulaire de 1o. L’atténuation du faisceau est mesurée par l’élément détecteur controlatéral correspondant. Après chaque incrément angulaire, une translation linéaire est effectuée, de manière à ce que le faisceau incident traverse l’organisme (Fig. 3-5). Le temps de coupe atteint plusieurs minutes [Otto1994]. Système de rotation – translation à détecteurs multiples (2e génération) Un ensemble de 5 à 50 détecteurs est localisé à l’opposé de la source de rayons X (Fig. 3-6), qui émet un faisceau linéaire ou divergent de rayon X. Le nombre d’incréments angulaires nécessaires est réduit par rapport à la méthode précédente. Les coupes sont effectuées à des intervalles de 10o, cet angle correspondant à l’angle divergence du faisceau. Le temps de coupe est compris entre 6 et 20 secondes [Otto1994]. Figure 3-6 Un système de rotation – translation à détecteurs multiples (TDM Corps Entier) trongton© 2004 Chapitre 1. LA TOMOGRAPHIE MÉDICALE 22 Système de rotation à multi-détecteurs mobiles (3e génération) Un faisceau divergent large traverse l’objet radiographié en tournant autour de lui, en même temps qu’un ensemble mobile de 200 unités de détection (Fig.3-7). Le temps de coupe réduit énormément de 1 à 4 secondes [Otto1994]. Figure 3-7 Un système de rotation à multi-détecteurs mobiles en géométrie R/R (TDM Corps Entier). Système de rotation à multi-détecteurs stationnaires (4e génération) L’angle du faisceau divergent couvre l’intégralité du patient. La source tourne à l’intérieur ou à l’extérieur d’un ensemble annulaire de 300 à 4000 détecteurs (Fig.3-8). Le temps de coupe est de 3 à 8 secondes [Otto1994]. Figure 3-8 Un système de rotation à muti-détecteurs fixes en géométrie R/S (TDM Corps Entier). 3.3.2. Les tomographes à rotation continue Les évolutions technologiques ont conduit à l’apparition au début des années 1990 de tomographes à rotation continue qui permettent d’acquérir les données en continu alors que le patient est déplacé dans le système. La difficulté technologique majeure qui doit être surmontée est la mise au point de tubes à rayon X pouvant fonctionner en continu plusieurs dizaines de secondes. trongton© 2004 LA TRANSFORMATION DE RADON ET SON APPLICATION … 23 Figure 3-9 TDM spiralée ou hélicoïdale. L’acquisition continue, pendant le déplacement de la table, entraîne un balayage spiralé (TDM Corps Entier). Si le lit du patient est animé d’un mouvement de translation uniforme pendant que l’ensemble source – détecteur tourne continûment, la source décrit une spirale ou une hélice par rapport au patient (Fig. 3-9). Ainsi, dans un temps donné, un système à rotation continue peut acquérir un volume de données 5 à 20 plus grand que les tomographes conventionnels des années 1980 (jusqu’à 0,5s/tour). La capacité d’acquérir rapidement des volumes de données conduit à une renaissance de la modalité tomographie X, en améliorant les performances dans les applications existante et en s’imposant dans de nouvelles applications. Un exemple d’application existante qui a largement bénéficié de l’arrivée des tomographes à rotation continue est la tomographie thoracique. L’accroissement du nombre de coupes pouvant être acquis pendant une apnée réduit les problèmes de mauvais recalages liés à la respiration et réduit le volume du produit de contraste injecté pour la détection de lésions. 3.3.3. Les tomographes X multicoupes La fin des années 1990 a vu l’arrivée de tomographes multicoupes, qui permettent d’obtenir plusieurs plans de coupes en une seule rotation (typiquement quatre coupes simultanées actuellement). La géométrie de ces machines est tridimensionnelle, avec un faisceau de rayon X conique et un détecteur matriciel (Fig. 3-10). Le détecteur est l’élément clé de ces systèmes. Ainsi, en faisant varier la collimation et la sommation des contributions de plusieurs lignes de détection, les machines actuelles permettent d’obtenir en une seule rotation, typiquement quatre coupes fines en n’utilisant que la partie centrale du détecteur, ou quatre coupes d’épaisseur moyenne en utilisant la moitié du détecteur, ou quatre coupes épaisses en utilisant l’ensemble du détecteur. trongton© 2004 Chapitre 1. LA TOMOGRAPHIE MÉDICALE 24 Figure 3-10 Tomographe multicoupe Bien que le recul sur ce type de machine soit encore faible, les avantages des tomographes multicoupes en diagnostique clinque sont [Germe2002] : • L’allongement de la zone examinée pour un temps donné d’acquisition. • La réduction du temps d’examen pour la même hauteur d’exploration. • L’amélioration de la résolution dans la direction longitudinale. • L’amélioration de la résolution temporelle ce qui conduit à la disparition des artéfacts respiratoires et mouvements. 3.4. Les éléments dans la Tomodensitométrie (TDM) 3.4.1. Elément pictural Figure 3-11 Volume du pixel (Voxel). (a), (b) = taille de l’élément pictural (pixel) ; (d) = épaisseur de coupe, (D) = diamètre total de la coupe ou champ de mesure (TDM Corps Entier). La plus petite unité constitutive de l’image tomographie X est l’élément pictural ou pixel. Celui-ci représente une certaine proportion de l’ensemble de l’image, dont l’importance dépend de la taille du champ d’examen et de celle de la matrice. Le pixel correspond à la projection d’un volume tissulaire dont l’épaisseur est déterminée par celle de la coupe. Les dimensions de cet élément de volume élémentaire ou voxel dépendent donc de la taille de la matrice, du diamètre du champ d’examen, et de l’épaisseur de coupe (Fig. 3-11). trongton© 2004 LA TRANSFORMATION DE RADON ET SON APPLICATION … 3.4.2. 25 Unité Hounsfield (UH) Les valeurs d’atténuation de la tomographie X sont mesurées en unités Hounsfield (UH) : UH = 1000 µ − µ eau µ eau où µ et µeau sont respectivement le coefficient d’atténuation linéaire des tissus considérés et le coefficient d’atténuation linéaire de l’eau. Une unité Hounsfield (UH) correspond à 0.1% de coefficient d’atténuation. Les valeurs d’atténuation de l’eau et de l’air (respectivement 0 UH et -1000 UH) représentent des points fixes sur l’échelle densitométrique, qui ne dépendent pas de la configuration du scanner. En revanche, les valeurs d’atténuation des différents tissus et des structures osseuses varient suivant la quantité de rayon X délivrée (Fig. 3-12). Figure 3-12 Échelle de Hounsfield. La limite inférieure de l’échelle -1000 UH, correspond à la densité de l’air. Les valeurs d’atténuation des structures osseuses très denses dépassent 1000 UH, celles de la plupart des tissus et liquides corporels sont comprises entre -100 et +100 UH (TDM Corps Entier). trongton© 2004 Chapitre 1. LA TOMOGRAPHIE MÉDICALE 26 3.4.3. Valeurs de densité A chaque voxel est attribuée une valeur numérique, dite valeur d’atténuation, qui correspond à la dose moyenne de rayonnement absorbée par le tissu dans cet élément pictural. La densité varie de manière linéaire avec coefficient d’atténuation, une constante tissulaire influencée par de nombreux facteurs. Le coefficient d’atténuation traduit l’absorption du rayon X. Sur une machine correctement calibrée, la densité de l’eau est de 0 UH, celle de l’air de -1000 UH. Les différents types de tissus reçoivent des valeurs d’atténuation exprimées sur l’échelle de Hounsfield, ces chiffres sont donc arbitraires, mais traduisent de manière relative les degrés variables d’atténuation du rayonnement X pour les différents tissus. Dans les organes parenchymateux comme le cerveau, la foie, le rein et le pancréas, le coefficient la densité du tissu sain avoisinant sert de base de comparaison. Figure 3-13 Deux fenêtre avec les valeurs différentes de densité. A gauche : fenêtre osseuse, à droite : fenêtre pulmonaire (Imagerie/FV Hôpital) La traduction en échelle de gris d’un objet examiné donne des informations sur la densité relative (radiodensité) des structures visualisées sur l’image. Par comparaison avec le tissu avoisinant, la structure peut être décrite comme • Isodense : densité identique • Hypodense : densité inférieure • Hyperdense : densité supérieure 3.4.4. Produit de contraste Un produit de contraste utilisé dans un examen de la tomographie X permet de distinguer une région anatomie depuis sa pathologie et de renforcer le contraste certaines anomalies de l’organisme (voir Fig. 3-14). Le produit de contraste administré par voie trongton© 2004 LA TRANSFORMATION DE RADON ET SON APPLICATION … 27 intra vasculaire se répartit dans les différents compartiments tissulaires suivant une distribution variable dans le temps. L’intensité du rehaussement dépend d’une part de la dose injectée, d’autre part de facteurs pharmacocinétiques variés (conditions hémodynamiques, hydrophilie, lipohilie, osmolarité, liaison aux protéines, etc.). Foie Rein Avant l’injection du produit de contraste Après l’injection 100ml du produit de contraste IV. La densité des régions examinées (la foie et le rein) est rehaussée plus clairement. Figure 3-14 Comparaison deux images avant et après l’injection une dose du produit de contraste Les produits de contraste non ioniques sont actuellement largement utilisés en pratique radiologique courante. Ils sont bien tolérés cliniquement. Leur clairance rénale est élevée, leur liaison aux protéines plasmatiques est faible (1%), leur distribution est quasi exclusive dans les espaces extracellulaires [Otto1994]. 3.4.5. Artéfact Artéfact est une forme de distorsion d’images. Plusieurs types d’artéfacts peuvent apparaître dans un système d’imagerie médicale aussi complexe que la tomodensitométrie. L’enregistrement des coefficients d’atténuation et les calculs électroniques sont soumis à des effets de projection et de reconstruction d’images. Les perturbations de l’image aboutiront souvent à des artéfacts qui peuvent s’entendre à l’ensemble de l’image. Les artéfact de mouvements sont cliniquement significatifs car les projections des parties en mouvement d’un organe ne peuvent pas être reconstruites avec exactitude. Le résultat n’est pas une perte localisée de résolution, mais un aspect strié, étoilé, qui diffuse à partir de la zone de perturbation et s’entrecroise de façon tangentielle avec l’organe en mouvement (Fig. 3-15). trongton© 2004 Chapitre 1. LA TOMOGRAPHIE MÉDICALE 28 Artéfact des mouvements oscillatoires pendant l’acquisition des données Artéfact en strie causé par une prothèse de hanche métallique Figure 3-15 Deux artéfacts exemplaires dans les examens du CT scanner. Afin de diminuer les incidents des artéfacts, des programmes de correction ont été créés pour corriger de nombreux artéfacts de le Tomographie X. Par ailleurs, pendant l’examen de l’abdomen ou de thorax, les patients vont être demandés de restreindre leurs mouvements et leur respiration. 3.5. Applications médicales de la Tomographie X La TDM est une technique d’imagerie morphologique en coupes de l’anatomie humaine. Les utilisations médicales reposent sur deux caractéristiques essentielles [Germes2002] : • La restitution sans distorsion de l’anatomie en coupes axiales transverses • L’étude des densités des structures explorées, exprimées dans l’échelle de Hounsfield. Le premier scanner a été utilisé fondement pour la diagnostique les problèmes concernant du cerveau et du neurone. Avec l’évolution technologique de la technique tomographie, le domaine d’application du CT scanner a été élargie aux plusieurs organismes du corps. Parmi ces examens, les procédures demandées souvent sont des examens de la tête, sinus, thorax et abdomen. Grâce à l’échelle de Hounsfield très large, la TDM permet une excellente étude des organes variant entre l’os et les tissus. Particulièrement, l’image tomographique est successible démontrer une structure très complexe d’une région intérêt des tissus du poumon ou d’abdomen comme des lésions métastatiques, des aneurismes, des abcès ou des nodules. trongton© 2004 LA TRANSFORMATION DE RADON ET SON APPLICATION … 29 Figure 3-16 Un CT scanner hélicoïdale de GE Medical, version HiSpeed NX/i. Cet appareil permet de sélectionner soit au mode séquentiel, soit au mode hélicoïdal. Le temps d’acquisition d’un plan de coupe atteint jusqu’à 0.25s ou quatre coupes par seconde au mode hélicoïdal (Imagerie/FV Hôpital). Récemment, la réalisation du scanner hélicoïdal (Fig. 3-16) offre plusieurs avantages dans le domaine imagerie médicale : • Acquisition exhaustive d’un volume de l’organisme dans un temps compatible avec la durée d’une apnée, ce qui conduit à la disparition des artéfacts respiratoire et de mouvements • Optimisation de l’étude densitométrique rendue possible grâce aux reconstructions axiales chevauchantes passant par le centre des petites lésions. • Optimisation de l’opacification iodée, rendant l’angiographie par tomodensitométrie (TDM) et l’étude de la cinétique de perfusion des organes. • Ouverture sur l’imagerie multiplanaire et tridimensionnel • Réduction de la dose d’irradiation grâce à l’utilisation de pitchs élevés. 3.6. Outil pour analyser d’images En vue d’amélioration la qualité de l’image d’acquisition, un système de tomodensitométrie est accompagné souvent d’un logiciel de traitement d’images (Fig.317). Ce logiciel, en fait, aide les docteurs de mieux observer d’une région d’intérêt du corps ou de localiser des anomalies dans un organisme du patient. Bien que le développement d’informatique aujourd’hui soit bien intégré dans le domaine imagerie médicale pour assister les docteurs en diagnostique des maladies, aucun programme ne pourra être changer les docteurs en identification la cause de maladie et de proposer une solution pour traiter ces pathologiques. trongton© 2004 Chapitre 1. LA TOMOGRAPHIE MÉDICALE 30 Figure 3-17 L’interface d’un programme de traitement d’image du scanner. Ce logiciel permet à l'usager de visualiser l’image reconstruction, améliorer la qualité de l’image, de mesurer en valeurs de UH, reformater en 3D… (Imagerie/FV Hôpital). Le programme d’analyse d’images utilise des opérations de calcul simples sur chaque pixel comme la convolution matrice. Les fonctions principales de ce programme sont : • Ajuste du contraste • Filtre de bruits et rehaussement • Soustraction, addition, profil de densité • Magnification ou change de la taille d’image • Analyse par histogramme • Mesure de distance ou d’angle • Mesure de surface et de volume • Reformat en 3D (voir Fig. 3-18) Figure 3-18 Reformation en 3D de la structure osseuse et de l’artère (Imagerie/FV Hôpital). trongton© 2004 LA TRANSFORMATION DE RADON ET SON APPLICATION … 31 4. Imagerie par Résonance Magnétique (IRM) 4.1. Introduction En 1946, deux physiciens américains et anglais, Félix Bloch et Purcell, sont les premiers à découvrir les propriétés des noyaux atomiques soumis à un champ magnétique. Leurs travaux conduisent à utiliser la spectroscopie par résonance magnétique en analysant la structure de molécule complexe et des processus dynamique de la chimique. Bloch et Purcell ont partagé un prix du Nobel pour leurs contributions dans le domaine de physique en 1952 [Merrill1999]. La théorie de la spectroscopie ne s’appliquait qu’en 1973 grâce à Lauterbur, un physicien anglais, mais son apparition dans le domaine de l’imagerie médicale est récente. Les premiers appareils n'ont été installés qu'au début des années 1980. L’imagerie par résonance magnétique (IRM) regroupe les techniques d’imagerie dérivées du principe de la résonance magnétique nucléaire (RMN). Le terme de résonance magnétique nucléaire a été choisi parce qu’il s’agit, à l’aide de puissants aimants (d’où le terme « magnétique »), de modifier l’orientation des noyaux dans l’espace (d’où le terme « nucléaire») en exploitant le phénomène de résonance (d’où le terme « résonance») [Monn2002]. Figure 4-1 L’image générée par l’IRM d’une lésion du ligament croisé antéro-externe au plan sagittal (GE Medical). Aujourd’hui, la recherche du phénomène de la spectroscopie de l’IRM est encore en cours pour augmenter la résolution spatiale et le contraste de l’image obtenue. Cependant, la technique de l’imagerie par résonance magnétique (IRM) paraît la plus innocuité pour la santé dans les conditions d’un examen normales car elle n’utilise aucune radiation ionisante (comme le rayon X du CT scanner). Du à son caractère non invasif et la trongton© 2004 Chapitre 1. LA TOMOGRAPHIE MÉDICALE 32 possibilité d’obtenir des coupes dans 3 dimensions (axial, sagittal et coronal), l’IRM a rapidement montré qu’elle est bien adaptée à l’étude du système nerveux central, système osseux, articulaire et musculaire (Fig. 4-1). 4.2. Principe de l’IRM Tandis que la résonance magnétique nucléaire exploite les propriétés magnétiques des noyaux qui possèdent un nombre impair de nucléons tels que l’hydrogène (1H), le carbone 13 (13C), le fluor 19 (19F), le sodium 23 (23Na), le phosphore 31 (31P). L’imagerie par résonance magnétique (IRM) exploite spécifiquement les propriétés magnétiques du noyau d’hydrogène (1 H) qui sont formé d’un seul proton. L’utilisation de ce noyau est optimale du fait de sa grande abondance dans les tissus vivants. Radio fréquence (RF) B0 Figure 4-2 Principe de la technique de l’imagerie par résonance magnétique (IRM) 4.2.1. Création d’une aimantation macroscopique En imagerie par résonance magnétique, la première étape consiste à soumettre le sujet examen à l’action d’un champ magnétique statique uniforme B0 fourni par un aimant. Ce champ magnétique B0 a pour but de créer une aimantation macroscopique des différents tissus de l’organisme. L’intensité de ce puissant champ magnétique statique B0 varie entre 0,1 et 2 Tesla1. 4.2.2. Impulsion de radiofréquence Une fois l’aimantation macroscopique des différents tissus de l’organisme obtenue à l’aide du champ magnétique statique B0, on perturbe cet état d’équilibre à l’aide d’une impulsion de radiofréquence. Cette impulse de radiofréquence perturbe l’état d’équilibre et fournit de l’énergie aux protons des différents tissus. 1 1 Tesla = 10 000 gauss trongton© 2004 LA TRANSFORMATION DE RADON ET SON APPLICATION … 4.2.3. 33 Recueil du signal IRM A l’arrêt de l’impulsion de radiofréquence, les photons reviennent à leur position d’équilibre. C’est la relaxation. En revenant à leur position d’équilibre, les photons réémettent l’énergie qui leur a été transmise, il s’agit d’un signal de relaxation. Ce signal dépend du nombre de proton stimulé [densité de proton : (Φ)] et de deux constantes de temps de relaxation (Fig. 4-3) : • La constante de relaxation longitudinale T1 • La constante de relaxation transversale T2 Aimantation Mz Mxy B0 z y 63% x 37% T1 t T2 t Figure 4-3 Temps de relaxation T1 et T2. Ce sont ces constantes de relaxation différentes d’un tissu à l’autre et différents d’un processus pathologique par rapport à un organe sain qui permet de reconstruire l’image. Pour obtenir une image reproduisant le formalisme anatomique, il reste encore à localiser l’origine du signal émis. Ceci est effectué avec des gradients de champ magnétique qui permettent d’obtenir un champ magnétique pour chacune des régions de l’espace. 4.3. Caractéristique de l’IRM 4.3.1. Les avantages Le signal des tissus de l’organisme est déterminé par la valeur de la densité de proton (Φ) et les constantes de temps de relaxation longitudinale T1 et transversale T2. Ces constantes étant différents d’un tissu à l’autre, l’imagerie par résonance magnétique est caractérisée par la bonne qualité du contraste spontané existant entre les différents tissus (Fig. 4-2 et 4-3). Comme pour le CT scanner, il est possible d'utiliser des produits de contrastes comportant du Gadolinium, un élément ferromagnétique prisonnier d'une protéine, afin d’augmenter le contraste d’une région d’intérêt. trongton© 2004 Chapitre 1. LA TOMOGRAPHIE MÉDICALE 34 Figure 4-4 Image en IRM permet d’observer des différents tissus du cerveau grâce à la qualité du contraste spontané d’IRM. Figure 4-5 Image du CT scanner permet seulement de localiser des organes différentiels (os et tissus) du cerveau. La localisation du signal dépendant des variations de champ magnétique induites par les gradients de champ magnétique, donc on peut obtenir en IRM des coupes en trois plans de l’espace (Fig. 4-6). En plus, l’image peut reconstruire à n’importe quel degré ce qui demande de changer de la position du patient chez la radiographie à rayon X ou d’installer une technique de reconstruction de volume au CT scanner. Figure 4-6 Axial, coronal et sagittal coupes Enfin, l’utilisation de champ magnétique et de radiofréquence explique le caractère parfaitement non invasif de l’imagerie par résonance magnétique. Par cette raison, l’imagerie par résonance magnétique est souvent utilisée dans les examens pédiatriques car elle n’effectue pas des effets potentiels sur le corps des enfants et des adultes. trongton© 2004 LA TRANSFORMATION DE RADON ET SON APPLICATION … 4.3.2. 35 Les inconvénients Les contre-indications absolues se résument aux porteurs d’un stimulateur cardiaque (pacemaker) dont le rythme risque d’être modifié par les champs magnétiques et les porteurs de clips vasculaires intracrâniens ferromagnétiques. Les prothèses métalliques, les matériaux dentaires, les fils métalliques vont créer des artéfacts à leur contact de par la distorsion du champ magnétique qu’ils provoquent (Fig. 4-7). Figure 4-7 Les matériaux dentaires métalliques causent des artéfacts En imagerie médicale, l’IRM a été limitée par la durée du temps d’acquisition et les mouvements volontaires du patient (comme mouvement du cœur et du poumon) pendant l’examen (Fig. 4-8 et 4-9). Un examen d’IRM peut durer normalement de 20 à 90 minutes et un petit mouvement du patient conduit à une reprise de l’étude. Donc, la diminution impressionnante du temps d’acquisition explique le développement des applications de l’imagerie par résonance magnétique. Figure 4-8 L’image obtenue sans la technique de compensions du mouvement de cardiaque et de poumon. trongton© 2004 Figure 4-9 L'image obtenue en utilisant la technique du gating. Il requise de données à chaque période du cardiaque. Cette technique a éliminé efficacement le mouvement cardiaque. Chapitre 1. LA TOMOGRAPHIE MÉDICALE 36 Finalement, le coût pour un système d’imagerie par résonance magnétique (IRM) est très coûteux. Donc le prix d’un examen est également très cher. Par cette raison, il n’y a que 178 centres d’hôpitaux en France (en 2000) qui installent cette machine et seulement 2 établissements à Hô Chi Minh ville. 4.4. L’IRM en futur La technologie d’imagerie par résonance magnétique (IRM) en ce moment est la dernière génération dans la famille de la Tomographie en imagerie médicale. En effet, pendant environ 20 années de développement (en comparant avec plus 100 années de rayon X), l’imagerie par résonance magnétique a été acceptée très rapidement et largement dans le domaine l’imagerie médicale morphologique et l’imagerie fonctionnelle. Encore que cette technique doive modifier non seulement de mises au point des nouvelles matériaux mais aussi la technologie d’acquisition de l’image en profitant le développement de technologie d’information. La tâche principale d’amélioration de matériel est de perfectionner le magnétique utilisé pour qu’elle soit plus léger. Autrefois, une IRM scanner mesurait environ 7.711 kg de poids. Maintenant, un nouveau scanner pèse seulement 4.400 kg. Par conséquent, la taille du magnétique est ainsi diminuée environ 0,5 m de longueur. Cette modification est très importante afin que le système d’IRM devienne de plus en plus compatible avec les patients. Figure 4-10 Un moderne IRM scanner à superbe conduction magnétique 1,5 Tesla (GE Medical). trongton© 2004 LA TRANSFORMATION DE RADON ET SON APPLICATION … 37 En outre, la qualité et la stabilité du magnétique joue un rôle très décisif de la haute qualité de l’image acquisition. Aujourd’hui, tous les systèmes d’IRM scanner utilisent actuellement le gradient magnétique1 malgré sa faible intensité et son instabilité. Bien qu’un système d’IRM à superbe conduction magnétique soit réalisé par GE Medical (Fig. 4-10), ce dernier n’est pas utilisé largement à cause de son prix. On espère que dans l’avenir ces systèmes seront plus populaires dans les hôpitaux. Dans le domaine de la médecine diagnostique, la recherche sur la fonction du cerveau est en train de se développer intensivement. Grâce à l’image d’acquisition par IRM, on peut mieux comprendre comment notre cerveau fonctionne. Par exemple, en observation sur certaines régions spécifiques de l’image d’acquisition, on peut connaître l’état sentimental ou physique du patient : détendu ou stress, joyeux ou triste (voir Fig. 4-11). Une autre application dans ce domaine est de visualiser la fonction dynamique du poumon en deux périodes de ventilation et de perfusion. Figure 4-11 L’IRM permet de visualiser l'activité des cellules de différentes zones du cerveau au repos, puis en réponse à trois stimulations acoustiques de nature différente (Microsoft Encyclopédie Encarta 2002). En conclusion, l’IRM ne se limitera d’après notre imagination. Il est certain que les patients bénéficieront plus du progrès de l’imagerie par résonance magnétique (IRM). 1 Dans une machine d’IRM conventuelle, il y a trois gradients magnétiques. La puissance de chaque magnétique varie de 180 – 270 gauss (de 18 – 27 milli Tesla) trongton© 2004 Chapitre 1. LA TOMOGRAPHIE MÉDICALE 38 5. Conclusion La découverte des rayons X de Ronghen en 1895 a fait naissance une nouvelle branche en médecine diagnostique : Imagerie médicale. Bien que l’imagerie médicale soit un domaine d’application assez nouveau, elle a développé très rapidement et a été considéré comme une spécialité de recherche la plus active au monde médical. La Radiographie à rayon X est la première machine de l’imagerie médicale qui a apparu dans les années 1890. Pendant plus de 100 ans au service, la radiographie à rayon X a fait beaucoup d’évolution pour perfectionner l’image obtenue comme digitalisé les équipements d’acquisition, diminue la dose d’irradiation et simplifié l’étape de développement du cliché. Malgré le développement de plusieurs types de la machine imagerie médicale aujourd’hui, la radiographie à rayon X reste encore un rôle inchangeable dans la qualité des soins médicaux. L’arrivée du CT scanner dans les années 1970 ouvre des perspectives en imagerie axiale grâce à la technique de la tomographie X. Le développement de la tomographie est beaucoup plus rapide que la radiographie à rayon X. Plusieurs types de machine ont été créés pour répondre au besoin de la qualité et de la rapidité d’acquisition de l’image d’utilisateurs. Le tomographe multicoupes est la dernière d’évolution de la tomodensitométrie (TDM) à ce moment. Cette machine a élargi le domaine de l’application du CT scanner en imagerie cardiaque (coronaire et perfusion) qui est le prochain défi de la TDM. L’introduction au début des années 1980 de l’Imagerie par Résonance Magnétique (IRM) a représenté une avancée majeure en imagerie médicale. L’image d’acquisition ne s’est limitée plus au plan frontal ou axial mais a été ouverte au plan sagittal. Un autre caractère de l’IRM qui s’intéresse les chercheurs à continuer ses études est la caractéristique de sécurité pour la santé du champ magnétique de l’IRM. On peut dire également que l’imagerie par résonance magnétique (IRM) est la cible de développement pour toutes les machines de l’imagerie médicale à l’avenir. En effet, la science de l’imagerie médicale est au carrefour de la science naturelle, de la médecine et de l’informatique. L’art visuel et la science de la santé se croisent à l’imagerie médicale pour servir la vie de l’homme. trongton© 2004 CHAPITRE LA TRANSFORMATION DE RADON y x Comme nous avons introduit dans Chapitre 1, la transformation de Radon (1917) est au cœur de la Tomographie en Imagerie médicale. Dans ce chapitre, nous aimerions présenter le côté mathématique de cette transformation. D’abord, nous abordons le fondement de la théorie de Radon, ses propriétés et ainsi ses relations avec les autres transformations comme la transformation de Fourier et la transformation de Hough. Ensuite, nous expliquerons comment la transformation de Radon est appliquée dans les problèmes spécifiques de la projection en géométrie parallèle. Finalement, nous illustrons l’algorithme de cette transformation par un programme en MATLAB. Chapitre 2. LA TRANSFORMATION DE RADON 40 1. Définition Soit f(x, y) une fonction continue et à support compact dans R2. La transformation de Radon de f(x, y) est définie par les intégrales de curvilignes au long d’une droite L : Rf =∫ f ( x, y )dl (2.1) L dont la droite L ≡ L (θ, p) est établie par la formule p = x cos θ + y sin θ ∀p ∈ R , θ ∈ [0, 2π ) (2.2) y p0 θ0 0 x (L) : p = x cos(θ ) + y sin(θ ) Figure 1-1 Droite L est déterminée par deux paramètres p0 et θ0 ( Rf )(θ , p ) =∫ f ( x, y )dl Notation : L Si on ne collecte que certaines valeurs de p et θ, on obtient seulement un échantillon de la transformation de Radon. L’ensemble des mesures de la transformation de Radon ( Rf )(θ , p) obtenues pour une valeur fixée de θ avec p ∈ (−∞, +∞) est appelé une projection de f(x, y). L’ensemble des mesures de Radon ( Rf )(θ , p) obtenues pour p ∈ (−∞, +∞) et θ ∈ [0, 2π ) est appelé un sinogramme. On l’appelle sinogramme car les données associées au point d’objet f ( x, y ) = δ (x-x 0 )δ (y-y 0 ) sont uniquement non nulles sinusoïde p = x cos(θ ) + y sin(θ ) dans le domaine (p,θ) (Fig. 1-2). p θ Figure 1-2 Sinogramme pour un point objet dans l’espace (p, θ) trongton© 2004 le long de la LA TRANSFORMATION DE RADON ET SON APPLICATION … 41 Maintenant, supposons que les axes du système de coordonnée (Oxy) tournent d’un angle de θ (Fig. 1-3). Notons les nouveaux axes du système de coordonnée Oq et Op . y p G θ ⊥ = (− sin θ , cos θ ) G q θ = (cos θ ,sin θ ) θ O x L(θ , q) Figure 1-3 Représentation la droite L dans l’espace (θ, q) La droite L⊥ ≡ L⊥ (θ, q) perpendiculaire à la droite L peut être calculée par : q = - x sin θ + y cos θ (2.3) On compose cette formule avec Formule (2.2) pour former l’équation paramètre de ligne L : ⎧ x = p cos θ − q sin θ ⎨ ⎩ y = p sin θ + q cos θ (2.4) ( Rf )(θ , p) = ∫ f ( p cos θ − q sin θ , p sin θ + q cos θ )dq (2.5) Formules (2.4) et (2.1) entraînent : +∞ −∞ G G Soient θ = (cosθ , sin θ ) et θ ⊥ = (− sin θ , cosθ ) les vecteurs d’unité dans le système de coordonnées Opq, Formule (2.5) devient : G G ( Rf )(θ , p ) = ∫ f ( pθ + qθ ⊥ )dq +∞ −∞ (2.6) G Pour la simplicité d’écriture, on utilise plus souvent la notion f ( p, θ ) pour insister à la G caractéristique vectorielle de cette transformation où axe Oq est présenté par vecteur θ et JJJG G axe Op est présenté par vecteur θ ⊥ . La transformation de Radon donc devient : G (2.7) f ( p,θ ) = ( Rf )(θ , p) trongton© 2004 Chapitre 2. LA TRANSFORMATION DE RADON 42 En pratique, on ne calcule que la transformation de Radon dans une région d’intérêt D. Soient q1 et q2 les deux points d’intersection de ligne L(θ,q) et courbe f(x,y) dans le système de coordonnées Opq. Donc, on a q2 G G G G G G q1 +∞ ( Rf )(θ , p) = ∫ f ( pθ , qθ ⊥ )dq + ∫ f ( pθ , qθ ⊥ )dq + ∫ f ( pθ , qθ ⊥ )dq −∞ q2 q1 Alors, Rf (θ , p ) = q1 ∫ G G f ( pθ , qθ ⊥ )dq (2.8) q2 y p q1 f ( x, y ) q x q2 L (θ , p ) Figure 1-4 Illustration de la transformation de Radon d’une région D de f(x, y). 2. Les propriétés de base 2.1. Linéarité Considérons qu’on a deux fonctions f et g et deux constantes c1 et c2, alors : R (c1 f + c2 g ) =c1 ( Rf ) + c 2 ( Rg ) La propriété linéaire est la propriété la plus importante de la transformation de Radon. 2.2. Translation On suppose que fonction f(x, y) est déplacée d’une distance (x0, y0). La transformation de Radon de cette fonction est : g(x, y) = f(x-x0, y-y0) ⇒ g ( p, θ ) = f ( p − x0 cos θ − y0 sin θ ,θ ) On peut noter que le décalage de la transformation de Radon ne varie qu’à la coordonnée de p. trongton© 2004 LA TRANSFORMATION DE RADON ET SON APPLICATION … 43 2.3. Rotation Ici, fonction f(x, y) est présentée aux coordonnées polaires, f(x, y) = f(p,θ). On suppose que angle θ tourne d’une valeur φ0 . La transformation de Radon est calculée facilement à partir de la transformation de Radon de f(x, y). g(p,θ) = f(p, θ - φ0 ) ⇒ g ( p, θ ) = f ( p, θ − φ0 ) Le cas particulier de cette propriété est φ0 = π, alors f ( p, θ ) = f ( p, θ − π ) ∀p ∈ R Grâce à la propriété de rotation, il suffit de collecter des projections dans une période de π. Elle permet ainsi de diminuer d’une moitié de données et de temps de traitement dans la phase de projections quand on réalise la technique de la tomographie X. 3. Exemple de la transformation de Radon Nous présentons dans cette section un exemple très connu dans la théorie de Radon qui s’appelle le fantôme tête de Shepp et Logan. On l’a utilisé comme une norme pour simuler la précision des différents algorithmes de projection et de reconstruction. L’image dans Figure 3-1 montre un fantôme tête qui se compose de dix ellipses de tailles différentes. Les paramètres de ces ellipses sont fournis dans Figure 3-1. Le majeur avantage d’utilisation du fantôme tête dans la simulation du programme de projection et de reconstruction est que ce dernier a une structure similaire à la structure de la tête humaine. Donc, on peut tester les algorithmes sur cette tête pour obtenir les résultats à proximité des résultats dans la réalité sans risque de faire du mal au patient. De plus, la tête de Shepp et Logan est un bon exemple pour l’analyse de la théorie de projection de Radon. Elle démontre très fortement la propriété linéaire de la transformation de Radon. Simplement, la projection de cette image est la somme de projection de chaque ellipse dans l’image. Pour cette raison, on ne calcule que la projection d’un disque d’unité. Puis, la transformation de Radon des ellipses peut être déduite facilement à partir de la transformation de Radon de ce disque d’unité. On va observer ensuite un exemple du calcul de la transformation de Radon d’un disque d’unité. trongton© 2004 Chapitre 2. LA TRANSFORMATION DE RADON 44 Figure 3-1 Le fantôme tête de Shepp-Logan et ses paramètres Soit f(x, y) la fonction d’un disque d’unité. On note la formule de ce disque sous la forme S= {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤1} ⎧⎪ x 2 + y 2 f ( x, y ) = ⎨ ⎪⎩0 x ≤1 ∧ y ≤1 (A l'interieur de disque) x >1 ∨ (A l'exterieur de disque) y >1 La transformation de Radon de f(x, y) avec p ∈ (-∞, +∞), θ∈[0, 2π) est : +∞ ( Rf )(θ , p) = ∫ ( p 2 + q 2 )dq −∞ En résolvant l’équation p2+q2=1 on obtient q = ± 1 − p 2 On applique Formule (2.8) pour limiter la transformation de Radon dans un domaine D [ − 1 − p 2 , + 1 − p 2 ], alors 1− p 2 Rf (θ , p) = ∫ ( p 2 + q 2 )dq − 1− p 2 ⎧⎪ 2 1 − p 2 ⇒ Rf (θ , p ) = ⎨ ⎪⎩0 trongton© 2004 p ≤1 p >1 LA TRANSFORMATION DE RADON ET SON APPLICATION … 45 Rf (θ , p) f ( x, y ) Figure 3-2 La projection du disque d’unité à un angle θ fixé Figure 3-3 illustre le sinogramme correspondant de la transformation de Radon du fantôme tête de Shepp-Logan. Figure 3-3 Sinogramme du fantôme tête de Shepp–Logan. trongton© 2004 Chapitre 2. LA TRANSFORMATION DE RADON 46 4. Relations avec les autres transformations 4.1. Radon et la transformation de Fourier En 1917, Radon a établi un lien entre une fonction f(x, y) et ses projections g(θ, s) = (Rf)(s, θ) dans son très célèbre papier. Cette relation est connue sous le nom théorème du profil central1 : G ( F1 g )(θ , σ ) = ( F2 f )(σθ ) Dans cette formule, (F1g)(θ,σ) représente la transformation de Fourier 1D (unidimensionnel) de la transformation de Radon g(θ, s) par rapport à s : F1 ( g )(θ , σ ) = ∫ +∞ −∞ e −2iπσ s g (θ , s )ds G et ( F2 f )(σθ ) est la transformée de Fourier 2D (bidimensionnels) de f(x, y) f R f F1-1 F2 f Figure 4-1 Démonstration de la relation entre la transformation de Radon et la transformation de Fourier dans l’espace de deux dimensions. On peut énoncer le théorème du profil central comme suit : Théorème : La transformation de FOURIER de la projection de f(x, y) à un angle θ est G identique à la transformation de FOURIER 2D de f(x, y) le long de la ligne de direction θ qui passe par l’origine dans le domaine fréquentiel de f (x, y). Nous allons discuter plus en détail de ce théorème dans Chapitre 3 « Reconstruction en géométrie parallèle ». Nous illustrerons comment on peut reconstruire l’image à partir de ses mesures de l’intégrale de ligne en utilisant le théorème du profil central. Vous trouveriez ainsi la discussion de la transformation de Fourier dans Annexe A. 1 Fourier Slice Theorem trongton© 2004 LA TRANSFORMATION DE RADON ET SON APPLICATION … 47 4.2. Radon et la transformation de Hough En 1962, Hough a développé un algorithme de la transformation pour détecter les droites dans les images numériques. Actuellement, la transformation de Hough a été utilisée comme la plus efficace transformation dans les problèmes d’analyse d’image. Cependant, on a montré qu’elle est simplement un cas particulier de la transformation de Radon1. L’idée principale de la transformation de Hough ou de Radon se base directement sur la définition de la ligne dans ces transformations. On reprend la Formule (2.2) pour définir la fonction f(x, y) d’une droite L au point intéressé δ ( x − x0 )δ ( y − y0 ) ce qui rend une courbe de la sinusoïdale p = x0 cos θ + y0 sin θ dans le domaine (p,θ) (voir Fig. 4-2). y p p0 p0 0 θ0 L x 0 θ0 π θ Figure 4-2 La relation entre ligne et point dans la transformation de Hough. Un point objet dans plan (x, y) rend à une courbe sinusoïdale dans plan (p,θ ). Inversement, un point dans plan (p,θ ) sert à identifier une ligne dans plan (x, y). Par contre, tous les points, qui sont arrangé linéairement au long d’une droite dans plan (x, y) avec les valeurs p0 et θ0 uniques, correspondent à des courbes sinusoïdales dans plan (p,θ ). Ces sinusoïdes se croisent au même point : (p,θ ) = (p0, θ0) dans espace pθ. Donc, si on choisit une méthode convenable pour dessiner fonction f dans l’espace de p et θ, la transformation de Radon peut être considérée comme une transformation de ligne en point. Figures 4-3 et 4-4 illustrent la transformation d’une ligne dans espace xy en un point dans espace de paramètre pθ (ou l’espace de Radon). 1 La démonstration peut trouver dans un papier paru en 1981 par S R. Deans : « Hough transform from the Radon transform » trongton© 2004 Chapitre 2. LA TRANSFORMATION DE RADON 48 Figure 4-3 Sinogramme pour un objet de 3 points. Chaque point dans espace xy est transformé en une sinusoïde dans espace pθ. Figure 4-4 La transformation d’une ligne dans plan (x, y) en un point dans plan (p,θ). Pour identifier une ligne dans plan xy il suffit de détecter un peak1 dans le sinogramme de la transformation de cette ligne. Aujourd’hui, la transformation de Radon ne se limite plus à la détection de ligne comme la transformation de Hough. L’idée de cette transformation a été élargie à la détection la courbe en général et même de la structure d’un objet dans une image bruitée. Simultanément, l’application de la transformation de Radon est ouverte aux domaines de l’analyse de scène, la vision par ordinateur et la compression de l’image … 1 Un point qui a la valeur maximum locale dans espace de paramètre pθ trongton© 2004 LA TRANSFORMATION DE RADON ET SON APPLICATION … 49 5. Algorithme de la transformation de Radon L’algorithme suivant montre comment on calcule la transformation de Radon d’une fonction f(x, y) avec la valeur déterminée de s et de θ. Algorithme : • Entrée : fonction f(x, y), angle theta, déplacement s • Sortie : la valeur de la transformation de Radon 1. Calcul des deux points d’intersection q1 et q2 entre ligne L(s, θ) et courbe f(x, y). 2. Remplacement de x, y par les formules suivantes dans f(x, y) : x = cos(t ) *cos(theta ) - sin(t ) *sin(theta) y = cos(t )*sin(theta) + sin(t ) *cos(theta) 3. Calcul de l’intégrale de fonction f(x, y) dans segment [q1, q2] Le coût de cet algorithme est de O(n) On réalise cette fonction en MATLAB comme suit : Table 5-1 : CODE MATLAB Function rad=radon(fxy, theta, p) syms x y t I fxp=sym(fxy); fxy0=''; i=1; n= findstr(fxy,'='); while i<n a=fxy(i); fxy0=strcat(fxy0,a); i=i+1; end fxp=sub(fxp,y,p); %remplacement y par p dans fxp [q]=solve(fxp,x); %calcul des deux d'intersection q1 et q2 ftheta=subs(sym(fxy0),{x,y}, {cos(t)*cos(theta)-sin(t)*sin(theta), {cos(t)*sin(theta)+sin(t)*cos(theta)}); gtheta=int(ftheta,t,q[2],q[1]); %calcul de l'integral de fxy dans segment [q1,q2] rad=gtheta; %cacul de la valeur de transformation de radon trongton© 2004 Chapitre 2. LA TRANSFORMATION DE RADON 50 6. La transformation de Radon d’une image numérique 6.1. Définition La présentation d’une image numérique est souvent sous forme d’un rectangle dans l’espace R2. Ce rectangle a la taille de N × M où N est la largeur et M est la hauteur. La plus petite unité dans une image numérique est appelée un pixel1. Chaque pixel est représenté par un carré d’unité de taille h (cette valeur dépend de la résolution des dispositifs de visualisation spécifique). Chaque pixel comporte ainsi une valeur réelle ou entière pour indiquer l’intensité de couleur de ce pixel. Il existe en courant deux types d’image numérique principaux : • Image couleur : chaque pixel est codé par 3 octets : Rouge – Vert – Bleu (Fig. 6-1). • Image de niveaux de gris : chaque pixel a une valeur entre 0 (noir) et 255 (blanc). 0 x 0.678 y 25x25 pixels Figure 6-1 Représentation d’une image couleur numérique et son système de coordonnée Dans cette partie, on s’intéresse plus au deuxième type d’image et à la présentation réelle du niveau de gris de pixel. Pour calculer la transformation de Radon d’une image, on n’a pas besoin de calculer la transformation de Radon pour tous les pixels de l’image. Grâce aux propriétés de linéarité de transformation de Radon, on n’effectue que le calcul pour un seul pixel présentatif de l’image. C'est-à-dire on calcul la transformation de Radon Rf d’un carré d’unité f(x, y), centre O, arrête h. 1 pixel : picture element trongton© 2004 LA TRANSFORMATION DE RADON ET SON APPLICATION … 51 6.2. La transformation de Radon d’un carré d’unité Figure 6-2 illustre fonction f d’un carré d’unité dans plan xy. On observe que ce carré a une forme symétrique au premier huitième angle. Donc, on va examiner ce carré dans une longueur de π / 4 . On divise le problème en deux cas particulier de l’angle de projection avec θ = 0 et 0< θ ≤ π/4. Le reste de carré peut être déduit facilement à partir de ces résultats par la propriété de rotation de transformation de Radon comme suit : ⇒ g ( p, θ ) = f ( p, θ − φ0 ), ∀p ∈ R, θ ∈ [0, π ) y − h 2 0 < θ2 ≤ π / 4 θ1 = 0 0 x h 2 Figure 6-2 Illustration de la projection d’un carré d’unité. Pour θ = 0 , on a : ⎧h ( Rf )( p,θ ) = ⎨ ⎩0 ∀p ∈ [−h / 2, h / 2] ∀p ∉ [-h / 2, h / 2] (2.9) y f ( x, y ) Rf ( p, θ ) R 0 Figure 6-3 Projection à l’angle θ =0 Pour 0 < θ ≤ π/4, soient t1, t2 les deux points d’intersection de fonction f et la projection à angle θ, t1 = (cos(θ)-sin(θ))h/2, t2 = (cos(θ)+sin(θ))h/2. Donc, on a : trongton© 2004 Chapitre 2. LA TRANSFORMATION DE RADON 52 ⎧h / cos(θ ) = h 2 /(t1 + t2 ) ⎪ ( Rf )( p, θ ) = ⎨h 2 (t2 - | p |) / (t12 + t2 2 ) ⎪0 ⎩ f ( x, y ) y p ∈ [-t1 , t1 ]; p ∈ ( - t1 , t2 ]; (2.10) p ∉ [-t1 , t1 ]. Rf ( p, θ ) R 0 x Figure 6-4 Projection à l’angle θ =π /4 Finalement, on complète le résultat de la transformation de Radon d’un carré d’unité dans une période de π. ⎧ ( Rf )( p, π / 2 - θ ), ∀p ∈ R, θ ∈ ( π / 4, π / 2] ⎪ ( Rf )( p, θ ) = ⎨ ( Rf )( p, θ - π / 2 ), ∀p ∈ R, θ ∈ ( π / 2, 3π / 4] ⎪ ( Rf )( p, π - θ ), ∀p ∈ R, θ ∈ ( 3π / 4, π ] ⎩ (2.11) À partir de ces résultats, on peut donc calculer la transformation d’une image numérique dans la géométrie de projection en parallèle. Par ailleurs, ces résultats sont également utiles pour le problème de reconstruction de la fonction f d’un carré d’unité en utilisant la transformation de Radon inverse. 7. Projection en géométrie parallèle 7.1. Géométrie parallèle La géométrie parallèle se compose de nombreuses projections fixées au plan parallèle. Ces projections sont équidistantes. Par exemple, dans un système de la Tomographie X qui contient de n source d’émissions et de n détecteurs, donc, on doit faire également n projections dans la géométrie parallèle (Fig. 7-1). trongton© 2004 LA TRANSFORMATION DE RADON ET SON APPLICATION … 53 En pratique, une image I est entourée par un disque d’unité pour que cette image soit à support compact dans le domaine [−1,1] × [−1,1] . Quand l’image I tourne d’un angle θ , la projection ∆p qui passe le pixel I X ,Y , doit satisfaire l’équation suivante p = x cos(θ ) + y sin(θ ) où 1 ≤ x ≤ N et 1 ≤ y ≤ M . On choisit souvent pour la taille d’une image un nombre exponentiel de 2. Par exemple N=M=64 pour la première version de la tomographie X et N=M=256 ou 512 pour les scanners commerciaux actuels. 1 -1 1 y Détecteur Source -1 x Figure 7-1 La géométrie de projection en parallèle du fantôme tête de Shepp-Logan. Soient Nt le nombre d’angle de projection et Np le nombre de projection à un angle θ fixé. Les mesures de la transformation de Radon pour tout l’angle de projection θ dans une longueur de π sont : G = {( p, θ ) / p = x cos(θ ) + y sin(θ ), 1 ≤ x ≤ N , 1 ≤ y ≤ M , 0 ≤ θ < π } (2.12) Si image I a la taille N × M , alors Np est calculée par la formule suivante: Np = [ N 2 + M 2 ] + 1 En effet, si on collecte toutes les projections d’image I, on peut former une matrice de projection (ou matrice de Radon) avec deux dimensions alternatives de taille Np et Nt. Cette matrice est très utile dans de nombreuses tâches de traitement numérique comme location des peaks, identification des échanges d’image, comparaison de deux images par leurs matrices de Radon… Enfin, soit I(x, y) le niveau de gris du pixel (x, y). On a la transformation de Radon d’image I comme suit trongton© 2004 Chapitre 2. LA TRANSFORMATION DE RADON 54 M N G ( p, θ ) = ∑∑ I ( x, y ) (2.13) x =1 y =1 7.2. Algorithme de la projection On réalise l’algorithme de projection d’une image I en géométrie parallèle comme suit Algorithme : • Entrée : Image I, angle θ • Sortie : la matrice de transformation à angle θ 1. [M, N] = size (I) 2. Nt = length(theta) 3. Np = [( M 2 + N 2 )] + 1 4. G = zeros(Np, Nt) 5. t = 1 6. If t > 179 End. 7. angle = [theta(t) * pi]/180 8. x = 1 9. If x >M goto 19 10. y=1 11. If y>N goto 17 12. p = [xcos(angle) + ysin(angle)] 13. G (θ, p) = G (θ, p) + I(x, y) 14. y = y + 1 15. Return 12 16. x = x + 1 17. Return 10 18. t = t + 1 19. Return 7 Le coût de cet algorithme est de O(Nt)×O(M)×O(N) ~ O(n3) trongton© 2004 LA TRANSFORMATION DE RADON ET SON APPLICATION … 55 8. Conclusions et perspectives Dans ce chapitre, nous avons étudié des notions mathématiques de la théorie classique de Radon. Trois propriétés importantes de cette transformation sont ainsi considérées dans la deuxième section. Ces propriétés permettent de réaliser la théorie de Radon plus efficace car elle diminue d’une moitié les données requises dans une période et accélère le temps de traitement simultanément. Pour illustrer l’application de la transformation de Radon, nous réutilisons l’exemple bien connu dans le domaine de Tomographie X : la transformation du fantôme tête de SheppLogan. Cet exemple permet de vérifier la précision de l’algorithme de projection et ainsi de reconstruction testée. En vue de faciliter le calcul, on désintègre la tête en plusieurs ellipses de tailles différentes. Puis, on n’effectue que le calcul sur un disque d’unité. Enfin, en se basant sur le résultat obtenu et les propriétés de Radon, on déduit facilement la transformation des autres ellipses. Dans Section 4, nous avons abordé les relations de transformation de Radon avec les autres transformations comme la transformation de Fourier et la transformation de Hough. En effet, ces relations sont très importantes pour le développement de la théorie de Radon. Particulièrement, la transformation de Fourier joue un rôle très décisif dans le processus de reconstruction d’image à partir des projections qu’on va étudier dans le chapitre suivant. Dans la dernière partie du chapitre, nous avons expliqué l’application de la transformation de Radon dans le problème très vivant de la technique Tomographique X. C’est le calcul de transformation de Radon d’une image numérique, notamment dans la géométrie de projection en parallèle. C’est une étape indispensable de la préparation des données pour le problème de reconstruction d’image dans Chapitre 3. Comme nous avons introduit dans Chapitre 1, la technologique de Tomographie X ne cesse pas d’évoluer. Elle conduit à l’évolution de la projection en différentes géométries comme géométrie d’éventail et géométrie conique. En fait, les développeurs s’intéressent plus à la projection en géométrie d’éventail qu’à la projection en géométrie parallèle car celle-là est naturellement plus proche de la réalité et peut dériver les résultats de la projection en géométrie parallèle. Dans le cadre de ce mémoire, nous n’avons pas l’intention de l’étudier profondément. Cependant, c’est la cible du développement de ce mémoire dans le futur. trongton© 2004 CHAPITRE RECONSTRUCTION EN GEOMETRIE PARALLELE y (Projection) Reconstruction x y (Rétro-projection) x Dans ce chapitre, nous exposons sur le problème de reconstruction de l’image à partir de ses projections en géométrie parallèle. Nous décrivons trois méthodes pour résoudre ce problème : méthode directe de Fourier, méthode du filtrage de la rétro-projection et méthode de rétro-projection des projections filtrées. Pour chaque méthode, nous décrivons le principe de mathématique utilisé. Et puis nous proposons un algorithme correspondant pour illustrer cette théorie. Nous comparons ainsi ces trois algorithmes en nous basant sur deux critères importants : la complexité et la faisabilité. Finalement, nous détaillons la méthode de rétro-projection des projections filtrées car elle est actuellement appliquée dans la technique de Tomographique X. LA TRANSFORMATION DE RADON ET SON APPLICATION … 57 1. Introduction Bien que la théorie de Radon ait été découverte très tôt en 1917, il y avait peu de personne qui consacre à implémenter une méthode pour le problème de l’inversion de transformation de Radon. Cette situation ne cesse qu’en 1956 avec le travail de Bracewell dans la radio astronomie. Plus récemment, c’étaient les travaux de Hounsfield et Cormark dans leurs ouvrages de mise en œuvre du CT scanner. Le prix de Nobel pour leurs contributions a encouragé d’autres chercheurs dans ce domaine. De centaines d’auteurs avaient mis à jour la nouvelle technique et développée de différents algorithmes de reconstruction. Grâce à ces travaux, pendant une vingtaine d’années, on a découvert plusieurs méthodes qui reconstruisent f(x, y) à partir de ses intégrales de lignes, notamment le problème de reconstruction d’une image depuis ses projections. Dans la partie suivante, nous allons étudier trois méthodes analytiques qui résolvent ce problème : 1. La méthode directe de Fourier. 2. La méthode du filtrage de la rétro-projection. 3. La méthode de rétro-projection des projections filtrées. Pratiquement, la troisième méthode nous intéressent la plus car elle est facile à implémenter et numériquement plus stable que les autres. En plus, elle donne un résultat très encourageant en estimant le coût du temps de traitement et la complexité du calcul mathématique. 2. Méthode directe de Fourier 2.1. Théorème du profil central La méthode directe de Fourier correspond à une implémentation du théorème du profil central1 qu’on a discuté dans la Section 5 de Chapitre 2. Ici, on reprend la formule de relation entre f(x, y) et sa transformation de Fourier en deux dimensions : G ( F1 g )(θ , σ ) = ( F2 f )(σθ ) (3.1) De là, on déduit la formule de calcul de f(x, y) comme suit. : G f (σθ ) = F2 -1 ( F1g(θ , σ )) (3.2) 1 Fourier slice theorem trongton© 2004 Chapitre 3. RECONSTRUCTION EN GEOMETRIE PARELLELE 58 Figure 2-1 Illustration du théorème du profil central Ce théorème se base sur deux conditions strictes : • Les projections de f(x, y) sont connues pour tout angle θ situé dans un intervalle angulaire de longueur π. • Les mesures de ces projections doivent être parfaitement précises. C'est-à-dire il ne permet pas à la perturbation ou l’incorrection dans les données acquises pendant la phase de projection. trongton© 2004 LA TRANSFORMATION DE RADON ET SON APPLICATION … 59 G Lorsqu’une de ces conditions n’est pas satisfaite, il est impossible d’obtenir ( F2 f )( X ) pour G tout point X , et donc impossible de reconstruire f(x, y). Notons ainsi que les mesures des projections de la transformation de Radon se font sur une grille circulaire et ses distributions sont non-uniformes. Pour calculer l’inversion de la transformation de Fourier 2D, il est nécessaire d’utiliser l’opération d’interpolation 2D pour transformer ces mesures à la grille rectangulaire avec la distribution uniforme. Il existe plusieurs méthodes d’interpolation comme nearest neighbor, bilinéaire ou bicubic. Interpolation Figure 2-2 Interpolation des échantillons de la transformation de Fourier des projections sur la grille circulaire à la grille rectangulaire de la transformation de Fourier 2D. 2.2. Algorithme de reconstruction Grâce à Formule (3.2), on a donc l’algorithme de reconstruction par la méthode directe de Fourier comme suit : 1. Calcul de la transformation de Fourier 1D des projections par FFT1 (algorithme de transformation de Fourier rapide) pour obtenir les échantillons de la transformation de Fourier 2D de f(x, y) sur une grille circulaire. 2. Interpolation 2D pour obtenir des échantillons de la transformation de Fourier 2D de f(x, y) sur une grille rectangulaire. 3. Calcul de f(x, y) par inversion de Fourier 2D rapide (IFFT2 2D) Le coût de cet algorithme est de O(n)+ O(n2)+O(n2) Pratiquement, la méthode directe de Fourier est très difficile à implémenter de façons numériques à cause de ses deux conditions du théorème du profil central. Cependant, elle 1 2 FFT : Fast Fourier Transform IFFT : Invert Fast Fourier Transform trongton© 2004 Chapitre 3. RECONSTRUCTION EN GEOMETRIE PARELLELE 60 présente essentiellement une méthode analytique du problème de reconstruction en géométrie parallèle. Au point de vue de cette méthode, on a développé plusieurs méthodes différentes en vue d’améliorer ses défauts et de profiter des points forts potentiels de la méthode directe de Fourier. On va voir ensuite deux méthodes qui ont été dérivées de cette méthode dans Sections 3 et 4. 3. Méthode du filtrage de la rétro-projection1 Dans cette partie, vous serez familiarisé à un terme qui joue un rôle très décisif dans la méthode du filtrage de la rétro-projection et même la méthode de rétro-projection des projections filtrées. Vous verrez que l’opération de la rétro-projection est une étape intermédiaire très importante dans le processus de reconstruction de ces algorithmes. En fait, le terme rétro-projection a été introduit par Crowther, DeRossier et Klug en 1970. Puis, elle a été étendue pour trois dimensions par Gilbert en 1972 dans sa publication portée le nom « The reconstruction of a tree dimensional structure from projections and its application to electron microscopy». D’autres termes ont été utilisés pour cette opération comme «sommation» ou « superposition linéaire ». Pourtant, elles ne sont appliquées que dans un sens strict de la version discrète de cette opération. Revenons à la méthode du filtrage de la rétro-projection. Dans cette méthode, la reconstruction d’une image f(x, y) se fait en deux étapes : • Rétro-projection des projections g(θ, s) qui donne une image fB(x, y)(image intermédiaire et différente d’image f(x, y)). • Filtrage de fB(x, y) afin d’obtenir image f(x, y). D’abord, on observe le côté mathématique de cette méthode. 3.1. Principe de la mathématique G Soient image f B ( x, y ) = f B ( x ) est obtenue par la rétro-projection des mesures g(θ, s) : π f B ( x, y ) = ∫ dθ g (θ , s ) GG s = xθ (3.3) 0 Géométriquement, pour un θ fixé, s = x cos θ + y sin θ correspond à la distance séparant G l’origine O et la projection orthogonale du point x = ( x, y ) sur la projection g(θ, s) (voir Fig. 1 Filtering after Backprojection Algorithm trongton© 2004 LA TRANSFORMATION DE RADON ET SON APPLICATION … 61 3-1). La rétro-projection fB(x, y) est alors égale à la somme des contributions de chaque projection (Fig. 3-2). Figure 3-1 Illustration de la géométrie pour obtenir la rétro-projection d’un angle θ fixé. y y x (b) x Figure 3-2 Principe de la méthode rétro-projection. (a) deux projections d’un rectangle (b) rétro-projection de ces deux projections et superposition pour former une proximité de l’image originaire. (Stanley1983) Figure 3-3 montre le résultat de l’opération rétro-projection des projections qui donnent image fB(x, y) d’une ellipse. On observe que fB(x, y) est une version floue de f(x, y) avec valeurs non nulles, en dehors d’image originaire f(x, y). Donc, on cherche un filtre 2D qui permet de retrouver f(x, y) à partir de fB(x, y). trongton© 2004 Chapitre 3. RECONSTRUCTION EN GEOMETRIE PARELLELE 62 1 rétro-projection 4 rétro-projections 64 rétro-projections 512 rétro-projections Figure 3-3 Les résultats de l’étape rétro-projection avec des différents angles de projection. Il existe une relation directe entre la transformation de Fourier respective de f(x, y) et fB(x, y). Cette relation est exposée par la formule suivante : G G G ( F2 f )( X ) =| X | ( F2 f B )( x ) (3.4) G G G ⇒ f ( X ) = F2−1 (| X | ( F2 f B )( x )) (3.5) G G où | X | en composant avec la transformation de Fourier inverse 2D est un filtre et f B ( x ) est l’ image de la rétro-projection des projections. G En effet, filtre | X | est très difficile à implémenter car fB(x, y) n’est pas à support compact (son support peut sortir de la grille de reconstruction). En pratique, pour obtenir des images de qualité satisfaisante en utilisant la méthode du filtrage de la rétro-projection, il faut trongton© 2004 LA TRANSFORMATION DE RADON ET SON APPLICATION … 63 calculer image fB(x, y) sur une grille de pixels de trois à quatre fois plus grande que celle utilisée pour f(x, y). 3.2. Algorithme de reconstruction On décrit l’algorithme du filtrage de la rétro-projection en trois étapes principales comme suit : 1. Rétro-projection des projections pour obtenir fB(x, y). G 2. Calcul de la transformation de Fourier 2D de fB(x, y), application du filtre| X | . 3. Calcul de la transformation de Fourier 2D à l’inverse du résultat d’Étape 2 pour obtenir f(x, y). Le coût de cet algorithme est de O(n)+ O(n2)+O(n2) À cause de la complexité de l’étape de filtrage, on trouve alors un algorithme très lent. Le temps de traitement est inacceptable dans la réalisation des scanners actuels. Une modification de cet algorithme est la méthode de rétro-projection des projections filtrées. Ce dernier peut apporter des résultats très encourageants et bien adapter aux problèmes vivants de la tomographie X. 4. Méthode de rétro-projection des projections filtrées1 Cette méthode a été complétée par de nombreux auteurs entre les années 1970 et 1980. La théorie mathématique a été développée par Cho, Ahn, Bohm et Huth (1974), Logan et Shepp (1975), Tanaka et Iinuma (1975, 1976), Lewitt (1979). On trouve ainsi l’algorithme d’implémentation de rétro-projection des projections filtrées dans les publications de Rosenfeld et Kak (1982), Kak et Slaney (1988). Aujourd’hui, l’algorithme de reconstruction en géométrie parallèle appliquant cette méthode a été étendu au problème de reconstruction en géométrie divergente pour appliquer directement dans les scanners X commerciaux. Les auteurs qui ont contribué très tôt dans ce travail sont Lakshminarayanan (1975), Herman, Lakshminarayanan et Naparstek (1976, 1977), Herman et Naparstek (1977). 1 Filtered Backprojection Algorithm(FBP) trongton© 2004 Chapitre 3. RECONSTRUCTION EN GEOMETRIE PARELLELE 64 4.1. Principe de la mathématique À l’inverse de la méthode du filtrage de la rétro-projection, l’opération de filtrage est réalisée avant la rétro-projection. On utilise l’expression mathématique π f ( x, y ) = ∫ dθ g F (θ , s ) s = x cos θ + y sin θ 0 où g F (θ , s) sont les projections filtrées. Chaque projection (3.6) g F (θ , s) est filtrée indépendamment des autres grâce à la formule ( F1 g F )(θ , σ ) = h( s) *( F1 g )(θ , σ ) (3.7) où h( s ) est l’opération du filtre des projections. Notons ici qu’on utilise ici l’opérateur * (convolution) au lieu d’une multiplication arithmétique courante. Pour cette raison, on nomme la méthode de rétro-projection des projections filtrées par une plus courte appellation: méthode de rétro-projection de convolution1. Figure 4-1 permet de visualiser pas à pas la procédure de reconstruction d’image f(x,y) dans Formules (3.6) et (3.7). On constate que R est la transformation de Radon. F signifie la transformation de Fourier (version normale ou version rapide). À la fin du processus, on utilise opération B pour représenter l’étape de la rétro-projection. R f(x, y) f ( s, θ ) Algorithme de B g F ( s, θ ) F1 convolution F1 -1 | h |*f *|h| f ( s, θ ) Figure 4-1 Diagramme d’implémentation de la méthode de rétro-projection des projections filtrées ou méthode de convolution [Dean1983]. 1 Convolution Back Projection Algorithm trongton© 2004 LA TRANSFORMATION DE RADON ET SON APPLICATION … 65 En effet, le choix du filtre h( s ) dans Formule (3.7) est une étape très importante de l’algorithme de rétro-projection des projections filtrées. La qualité de l’image de reconstruction est affectée principalement par l’opération du filtre h( s ) par ce qu’elle peut filtrer efficacement des bruits et des artéfacts dans les données acquises. En pratique, on a développé plusieurs filtres différents comme filtre rampe, filtre Cosine, filtre Hann et filtre Hamming. Z Filtre Ram-Lak ou filtre rampe : Le filtre rampe permet d’éliminer les signaux ayant une fréquence qui dépasse une limite fc prédéfinie. La formule de ce filtre présente comme suit : h( s ) =| σ | avec | σ | < fc (3.8) h( s ) =| σ | − fc fc σ Figure 4-2 Le filtre rampe dans le domaine fréquentiel En fait, le filtre rampe est sensible à des bruits de haute fréquence. Donc, on multiplie le filtre rampe avec une fenêtre pour qu’il soit plus tolérant aux bruits. Z Filtre Shepp-Logan : Le filtre Shepp-Logan multiplie le filtre rampe par une fonction de sinusoïdale. ⎛ πσ ⎞ sin ⎜ ⎟ 2σ 1 ⎠ 1 ⎝ h( s ) =| σ | 2 ⎛ πσ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ 2σ 1 ⎠ (3.9) Z Filtre Hann: Le filtre Hann multiplie le filtre rampe par une fenêtre du Hann. ⎛ ⎛ πσ h( s ) =| σ | ⎜⎜1 + cos ⎜ ⎝ σ1 ⎝ trongton© 2004 ⎞⎞ ⎟ ⎟⎟ ⎠⎠ (3.10) Chapitre 3. RECONSTRUCTION EN GEOMETRIE PARELLELE 66 0.3 0.2 0.1 0 -2 0 +2 Figure 4-3 Filtre rampe avec la fenêtre du Hann Z Filtre Hamming : Le filtre Hamming multiplie le filtre rampe par une fenêtre du Hamming. ⎛ ⎛ πσ h( s ) =| σ | ⎜ α + (1 − α ) cos ⎜ ⎜ ⎝ πσ u ⎝ ⎞⎞ ⎟ ⎟⎟ ⎠⎠ (3.11) Dans Figure 4-4, on démontre l’application du filtre Hann d’une projection d’ellipse. Cette opération peut être complétée plusieurs fois. Chaque fois correspond à un angle de projection de l’objet. Puis, ces projections filtrées sont prêtes à l’étape de la rétro-projection. -1 0 (a) +1 -1 0 (b) +1 Figure 4-4 (a) la projection d’une ellipse à angle θ = 0o. (b) le sinogramme de la projection après l’application du filtre Hann. 4.2. Algorithme de reconstruction Nous décrivons l’algorithme de rétro-projection des projections filtrées en nous basant sur le diagramme dans Figure 4-1 : trongton© 2004 LA TRANSFORMATION DE RADON ET SON APPLICATION … 67 1. Transformation de Fourier 1D de chaque projection g(s, θ) dans le domaine de fréquence. 2. Application du filtre h(s), par défaut on utilise le filtre rampe | σ | pour la simplicité. 3. Calcul de la transformation de Fourier 1D inverse pour obtenir la projection filtrée g F ( s,θ ) . 4. Rétro-projection des projections filtrées pour obtenir f(x, y). Le coût de cette méthode est de : O(n) + O(n2) + O(n2) L’avantage de la dernière méthode est tout d’abord la simplicité de l’étape de filtrage de la projection. Maintenant, le calcul du filtre ne se fait qu’à une dimension grâce à l’opération de convolution. Cependant, l’avantage le plus important est que, dès que la première projection a été acquise, il est possible d’obtenir une première approximation de l’image avant même que l’acquisition globale des mesures ne soit terminée. Chaque fois une nouvelle projection est mesurée. Elle est filtrée, et rétro-projectée. Ce processus se répété jusqu’à la dernière projection. Donc, il permet au manipulateur d’équilibrer entre la qualité de l’image de reconstruction et le temps de traitement. La plus haute résolution de l’image de reconstruction est reconstituée, le plus grand nombre des projections aux différents angles la console doit traiter. (a) 18 projections (b) 90 projections Figure 4-5 Reconstruction du fantôme tête de Shepp-Logan avec des nombres de projection différents. La qualité de l’image dans (a) est très mauvaise tandis que celle obtenue dans (b) est proche de l’image originaire. trongton© 2004 Chapitre 3. RECONSTRUCTION EN GEOMETRIE PARELLELE 68 Effectivement, l’algorithme de rétro-projection des projections filtrées est considéré largement comme la meilleure solution du problème de reconstruction d’image à partir de des projections. Elle est donc utilisée couramment dans les CT scanners actuels. 5. Conclusions Nous avons étudié dans ce chapitre le problème de reconstruction de l’image à partir de ses données de projection en géométrie parallèle. Nous présentons trois méthodes analytiques pour répondre à ce problème : méthode directe de Fourier, méthode du filtrage de la rétroprojection et méthode de rétro-projection des projections filtrées. Bien que ces algorithmes aident à résoudre le problème de reconstruction efficacement, elles sont considérées comme des méthodes proches de la transformation de Radon inverse. Dans ces trois méthodes, nous concentrons le plus à la troisième dont la mise en œuvre est la plus naturelle. L’étape de filtre des projections aide à éliminer efficacement des bruits dans les données obtenues et renforcer la qualité de l’image de reconstruction après l’étape de rétro-projection. Aujourd’hui, on est en train de réaliser beaucoup de recherches sur une méthode directe de la transformation de Radon inverse en vue de surmonter le problème d’interpolation. Ces travaux sont mathématiquement très complexes par exemple la méthode de Cauchy et Hadamard [Khanh2004]. Par ailleurs, du côté technique, il y a trois tâches qui nous préoccupent : extension du problème pour plusieurs dimensions (3D, 4D), reconstruction en géométrie divergente (la géométrie d’éventail et la géométrie conique) et optimisation du temps de traitement. Donc, nous finissons Chapitre 3 ici et ainsi terminons la partie de la théorie de Radon et ses applications. Nous avons donné une perspective bien complète d’une branche de recherche très active aujourd’hui : la Tomographie médicale. Dans la partie suivante, nous aborderons de l’application de ces théories dans un problème très courant dans l’imagerie médicale : traitement de la radiographie. Nous allons réaliser deux tâches principales dans Chapitre 4 : amélioration de la qualité de radiographie et détection des anomalies pulmonaires. trongton© 2004 CHAPITRE TRAITEMENT DE LA RADIOGRAPHIE PULMONAIRE (CT Image) (CR Image) (MRI Image) (Imagerie / FV Hôpital) Nous présentons dans ce chapitre le côté d’application de ce mémoire. Nous divisons le problème de traitement de la radiographie pulmonaire en trois parties. La première partie aborde les algorithmes de prétraitement des images numériques pour améliorer la qualité de la radiographie obtenue, par exemple, ajustement du contraste, analyse par histogramme, correction des bruits. La deuxième partie étudie la structure générale du poumon et ses anomalies populaires comme la tumeur et la tuberculose. La troisième partie propose une méthode pour détecter automatiquement les anomalies dans un système de la Tomographie actuelle. Une discussion sur la méthode proposée est ainsi abordée dans cette dernière partie. Chapitre 4. TRAITEMENT DE LA RADIOGRAPHIE PULMONAIRE 70 1. Introduction Le traitement d’images numériques (ou Imagerie) est actuellement un des domaines les plus avancés de l’informatique. L’évolution des dispositifs d’acquisition des images permet d’étendre l’application de l’Imagerie dans tous les domaines de la technologie et de la vie quotidienne: radar, robotique et vision par ordinateur, médecine, multimédia, synthèse d’images, jeux d’ordinateur… L’Imagerie est actuellement au centre de tous les processus de traitement et joue un rôle très important dans la plupart des applications technologiques. Par exemple, les systèmes robotiques sont souvent dotés d’un système de vision par ordinateur dont le noyau se compose de plusieurs modules de traitement d’images. Un autre exemple de l’Imagerie dans la vie habituelle est le système de télésurveillance des incidents connecté à des caméras positionnelles. Figure 1-1 Un exemple du jeu « Rayman 3 » qui utilise une machine de génération des modèles 3D. Cette machine doit réaliser énormément des algorithmes de traitement d’images et de synthèse d’images. La numérisation des systèmes d’acquisition d’image permet aux systèmes d’imagerie médicale de profiter de la puissance de l’informatique pour traiter des radiographies. L’image médicale d’aujourd’hui n’est plus une image « morte ». C’est-à-dire, autrefois l’image obtenue a était fixée sur le film radiographique malgré sa mauvaise qualité. Maintenant, les techniciens ont des outils de traitement de la radiographie pour ajuster le contraste, optimiser le rehaussement d’image, localiser une région d’intérêt et enfin les archiver au disque dur. En effet, le traitement numérique des images médicales a fait une évolution dans la qualité de soin médicale et le mode de diagnostic des maladies. trongton© 2004 LA TRANSFORMATION DE RADON ET SON APPLICATION … 71 Tout au long de ce chapitre, nous utiliserons le terme radiographie en générale pour indiquer les images générées par les machines d’imagerie médicale comme la Radiographie X numérique, CT scanner ou IRM. Particulièrement, nous emploierons le terme radiographie pulmonaire pour les images obtenues par le CT scanner. Pourtant, on applique les mêmes algorithmes de prétraitement d’image numérique pour toutes ces images. D’autant plus, le format de la radiographie supportée par le programme est le format d’image du niveau de gris (8-bit ou 24-bit image). Donc, nous restreignons les fonctions de traitement de la radiographie aux opérations du niveau de gris. Le processus de traitement d’image numérique a été récapitulé dans le livre « Digital Image Processing » de Rafael C. Gonzalez et Richard E. Woods. Nous démontrons dans Figure 1-2 un processus optimisé pour la tâche de traitement de la radiographie. Nous discuterons trois modules reliant directement le sujet de traitement de la radiographie pulmonaire: module d’acquisition d’image, module de prétraitement d’image et module de recognition et décision. Représentation et description Segmentation Prétraitement d’image BASE DE CONNAISSANCE Sortie Entrée Acquisition d’image Recognition et Décision Figure 1-2 Diagramme du processus de traitement d’image numérique. [Rafael2002] D’abord, nous commençons par le module d’acquisition d’image dans un système tomographique. Dans Chapitre 1, nous avons présenté la machine de la radiographie et sa console d’acquisition de données comme un système d’acquisition d’image médicale. Des données acquises de la machine de radiographique vont être transformés au format d’image médicale digitalisée (DICOM 3.0). trongton© 2004 Chapitre 4. TRAITEMENT DE LA RADIOGRAPHIE PULMONAIRE 72 D’ici, la radiographie est transmise au module de prétraitement d’image – un ordinateur avec la configuration des matériels élevés. Grâce à l’aide du programme de traitement d’image, les docteurs utilisent ces fonctions pour augmenter la visibilité de la radiographie. À ce moment, le processus de traitement s’arrête à l’étape de prétraitement d’image car il n’existe pas réellement un module de recognition et décision de la radiographie dans l’imagerie médicale. Cependant, ce module est en train d’être élaboré par des chercheurs dans le domaine d’analyse d’image médicale. On espère que ce module va bientôt s’intégrer au système d’imagerie médicale existant pour aider les docteurs à détecter des anomalies et à diagnostiquer des maladies. De ce fait, nous traitons dans la section suivante les algorithmes de prétraitement de la radiographie. Ensuite, la Section 3 examine la structure générale du poumon et ses anomalies populaires. En se basant sur les analyses de cette section, nous proposons une méthode de détection des anomalies dans une radiographie pulmonaire. Cette méthode peut être considérée comme une solution de la réalisation du module de recognition dans un système tomographique X actuel. 2. Amélioration de la qualité de radiographie Le programme RadioAnalyser supporte des fonctions riches en prétraitement de la radiographie. Cependant, dans cette section, nous ne traitons que les algorithmes importants pour l’étape de prétraitement de la radiographie comme analyse de la radiographie par histogramme, méthode de fenêtrage (ajustement du contraste) et filtrage des bruits. 2.1. Analyse par histogramme 2.1.1. Graphe de l’histogramme Le graphe de l’histogramme nous permet de visualiser la distribution de l’intensité dans une radiographie. De plus, l’histogramme donne ainsi des informations statistiques d’une image. Pour cette raison on peut facilement distinguer une image foncée d’une image claire en comparant leur graphe de l’histogramme. Par ailleurs, on utilise l’histogramme comme une méthode très efficace pour le rehaussement du contraste de l’image. On va observer ensuite deux opération de modification d’histogramme afin d’améliorer le contraste dans une radiographie à faible trongton© 2004 LA TRANSFORMATION DE RADON ET SON APPLICATION … 73 contraste : égalisation de l’histogramme et normalisation de l’histogramme. Mais d’abord, on aborde la définition de l’histogramme d’une image numérique. Figure 2-1 Exemple d’une radiographie pulmonaire et son graphe de l’histogramme. Soit une image numérique au niveau de gris et l’échelle de gris supportée dans l’intervalle [0, L-1]. L’histogramme de cette image est calculé par : h(rk ) = nk k ∈ [0,1, 2,...,L -1] (2.1) où rk dénote la keme niveau de gris et nk est le nombre de pixels dans cette image ayant le niveau de gris rk. Observons l’histogramme dans Figure 2-1, l’axe vertical représente l’échelle de gris de la radiographie de 0 (noir) à 255(blanc) et l’axe horizontal représente le nombre de pixels du niveau de gris correspondant. 2.1.2. Normalisation de l’histogramme En pratique, la normalisation de l’histogramme se fait en divisant chaque élément de l’histogramme en nombre total de pixels n de l’image. Donc, la normalisation de l’histogramme est fournie par la formule suivante p (rk ) = nk n k ∈ [0,..., L -1] (2.2) De là, on peut conclure que la valeur p(rk) donne une estimation de la probabilité d’occurrence du niveau de gris rk dans une image. Notons ainsi que la somme de tous les éléments de p(rk) est égal à 1. Figure 2-2 démontre le résultat de la fonction de normalisation de l’histogramme réalisée par le programme RadioAnalyser. trongton© 2004 Chapitre 4. TRAITEMENT DE LA RADIOGRAPHIE PULMONAIRE 74 Avant Après Figure 2-2 La radiographie pulmonaire et son histogramme après l’étape de normalisation de l’histogramme 2.1.3. Égalisation de l’histogramme Les radiographies obtenues sont souvent à faible contraste à cause de la distribution nonuniforme des intensités dans leur histogramme. Il peut concentrer énormément de pixels dans une certaine zone de niveau de gris tandis que les autres régions en sont très rares. Donc, on cherche une opération pour redistribuer l’histogramme plus hormogène. Avant Après Figure 2-3 La radiographie pulmonaire et son histogramme après l’étape d’égalisation de l’histogramme. Le contraste de la radiographie a été rehaussé clairement. trongton© 2004 LA TRANSFORMATION DE RADON ET SON APPLICATION … 75 L’opération d’égalisation de l’histogramme réutilise le résultat de l’opération de normalisation de l’histogramme pour calculer la fonction de la probabilité d’occurrence de densité (probability density function PDF) pr (rk ) = nk n k ∈ [0,..., L -1] (2.3) Puis, la fonction de transformation de histogramme est fournie par la formule suivante qui s’appelle la fonction de distribution cumulative (cumulative distribution function CDF) k sk = T (rk ) = ∑ pr (rj ) j =0 k nj j =0 n =∑ (2.4) k ∈ [0,..., L − 1] où n dénote le nombre total des pixels de l’image, nk est le nombre de pixel au niveau de gris k et L représente la largeur de l’échelle de gris. Par conséquence, le processus pour calculer la valeur du pixel de l’image sortie se réalise en deux étapes comme suit : 1. calcul de la probabilité d’occurrence du niveau de gris rk, 2. projection de chaque pixel au niveau de gris rk de l’image entrée au pixel de niveau de gris sk correspondant de l’image sortie par la fonction de distribution cumulative au dessus (Formule (2.4)). Donc, le graphe qui représente la relation entre l’échelle de gris et sa distribution cumulative dans une image à niveau de gris est nommée l’histogramme d’égalisation. 2.2. Méthode du fenêtrage La méthode du fenêtrage est utilisée très couramment dans tous les systèmes d’imagerie. Elle est facile à implémenter et très efficace dans les tâches d’amélioration du contraste et de l’éclat de la radiographie. Dans cette section, nous introduisons l’application de la technique de LUT (Look-up Table) pour accélérer le calcul de l’opération d’ajustement du contraste de la radiographie. 2.2.1. Technique de LUT (Look-up Table) Normalement, si on veut ajuster le contraste d’une image à taille 256x256 pixels on doit réaliser 2562 l’opération de calcul afin de projeter la valeur de chaque pixel dans l’image trongton© 2004 Chapitre 4. TRAITEMENT DE LA RADIOGRAPHIE PULMONAIRE 76 originaire à une nouvelle valeur dans l’image modifiée. Donc, le coût de l’algorithme de transformation augmente jusqu’à O(N2) tandis qu’on a seulement L niveaux de gris à calculer. La technique de LUT est proposée en vue d’économiser le nombre des calculs dispensable et donc accélérer le temps de traitement de la radiographie. Le LUT est archivé dans la mémoire sous forme d’un tableau de deux dimensions. La première ligne correspond à L niveaux de gris de l’image originaire et la deuxième représente les niveaux de gris de l’image sortie. Initialement, tous les éléments de LUT sont affectés, respectivement, aux niveaux de gris de l’image originaire. Ensuite, on calcule les nouveaux niveaux de gris de l’image sortie et les stocke dans LUT. Finalement, en parcourant les pixels de l’image originaire, on projette le niveau de gris de chaque pixel à la nouvelle valeur dans LUT pour ajuster l’image originaire. Niveau de gris Valeur du LUT 0 0 1 1 2 2 3 3 …. …. 252 252 253 253 254 254 255 255 (a) l’état initial du LUT Niveau de gris Valeur du LUT 0 f(0) 1 f(1) 2 f(2) 3 f(3) …. …. 252 253 254 255 f(252) f(253) f(254) f(255) (b) l’état modifié par la fonction f du LUT. 2.2.2. Ajustement du contraste Les radiographies obtenues sont souvent à faible contraste à cause de la technique d’acquisition de la radiographie et les paramètres très variés de la machine de radiographique. Donc, il est nécessaire de chercher une opération d’ajustement du contraste de la radiographie dans l’étape de prétraitement. Mathématiquement, la fonction d’ajustement du contraste est classée en groupes de fonctions de transformation linéaire du pixel. Cette fonction est exprimée par la formule suivante : ⎧α u ⎪ f (u ) = ⎨ β (u − a ) + va ⎪ ⎩γ (u − b) + vb α ≤u<a a≤u<b (2.5) b≤u< L Les paramètres α , β et γ déterminent le niveau du contraste relatif. L représente la valeur maximale de l’échelle de gris et u indique le niveau de gris de l’image entrée. trongton© 2004 LA TRANSFORMATION DE RADON ET SON APPLICATION … 77 v γ vb β va 0 Figure 2-4 La transformation du contraste. Pour la région foncée de la radiographie α > 1, a L / 3 ; la région au α a b L u milieu β > 1, b 2 L / 3 ; et la région clarté γ > 1 . À partir de la formule ci-dessus, on réalise l’algorithme d’ajustement du contraste de la radiographie en se basant sur la technique de LUT comme suit Entrée : La radiographie R, les trois paramètres du contraste α , β et γ Sortie : La radiographie ajustée R’ 1. Calcul du tableau de LUT en utilisant la formule (2.5), 2. Parcours de la radiographie entrée; projection du niveau de gris du pixel entré au niveau de gris du pixel sorti en consultant les valeurs fournies par LUT, 3. Reconstitution de la radiographie sortie R’. La radiographie à gauche dans Figure 2-5 montre un faible contraste et un peu sombre. En variant les paramètres du contraste, on obtient une meilleure représentation de la radiographie finale à droite. Figure 2-5 La fonction d’ajustement du contraste du programme RadioAnalyser. trongton© 2004 Chapitre 4. TRAITEMENT DE LA RADIOGRAPHIE PULMONAIRE 78 2.3. Filtrage des bruits L’acquisition d’une radiographie est souvent accompagnée d’une distorsion ou d’une certaine artéfact. On les appelle souvent par le terme « bruit » en spécialité de traitement d’images numériques. Ces bruits se présentent sous forme de signaux à haute fréquence dans une radiographie. Donc, on applique un filtre de deux dimensions en vue d’éliminer des hautes fréquences mais en même temps garder les fréquences utiles de la radiographie. Figure 2-6 montre un exemple de bruit qui est causé par les artéfacts de la prothèse métallique pendant la phase d’acquisition du CT scanner. Figure 2-6 Exemple d’un cas d’artéfact de haut contraste dans une radiographie dentaire. On observe que les bruits causés par des artéfacts se concentrent de très haute fréquence (zone orange de l’histogramme) autour du niveau de gris de blanc tandis que la plupart de la radiographie est à basse fréquence (zone bleue de l’histogramme). En pratique, on utilise le filtre passe-bas afin de filtrer des bruits à haute fréquence. Un filtre passe-bas est un système linéaire qui ne modifie pas les basses fréquences de la radiographie entrée. Par contre, les hautes fréquences de la radiographie sont atténuées ou même annulées en appliquant l’opération de convolution du filtre passe-bas. Cependant, cette opération risque de faire apparaître un certain flou dans la radiographie filtrée. u(m,n) hautes fréquences filtrées Filtre passe-bas basses fréquences Figure 2-7 Diagramme du filtre passe-bas. trongton© 2004 + v(m,n) LA TRANSFORMATION DE RADON ET SON APPLICATION … 79 Un exemple commun de filtre passe-bas est le filtre moyen (mean filter) défini par la fonction du filtre spatial suivante : v(m, n) = ∑ ∑ a(k , l )u(m − k , n − l ) (2.6) k ,l∈W où : u(m, n) : la radiographie entrée, v(m, n) : la radiographie sortie, W : la fenêtre du filtre, a(k, l) : le coefficient du filtre. En raison d’utilisation du même coefficient du filtre, Formule (2.6) entraîne v(m, n) = Donc, le coefficient de filtre a(k , l ) = 1 Nw ∑ ∑ u (m − k , n − l ) (2.7). k ,l∈W 1 , avec Nw est le nombre de pixels dans la fenêtre de Nw filtre W. Dans cet exemple, on choisit la fenêtre du filtre à taille 3x3 pixels. Leurs valeurs sont attribuées comme suit ak , l ⎛ 1 1 1⎞ 1⎜ ⎟ = ⎜ 1 1 1⎟ 9⎜ ⎟ ⎝ 1 1 1⎠ Figure 2-8 La radiographie filtrée par le filtre moyen et son histogramme plus fine. La radiographie dans Figure 2-8 a été filtrée par le filtre moyen encore qu’il existe une petite portion des hautes fréquences dans son histogramme. Cependant, si on applique trop du filtre moyen, il conduit à diminuer rapidement le contraste de la radiographie. trongton© 2004 Chapitre 4. TRAITEMENT DE LA RADIOGRAPHIE PULMONAIRE 80 3. La structure du poumon et ses anomalies populaires La structure du poumon est une des structures d’organisme les plus complexes dans l’anatomie du corps humain. Nous n’avons pas d’ambition d’étudier la structure complète et la fonction de ce système respiratoire. Dans cette section, nous ne présentons que la structure générale du poumon et ses radiographies pour illustrer quelques anomalies populaires dans une radiographie pulmonaire. 3.1. La structure générale du poumon En effet, la structure du parenchyme pulmonaire est plutôt symétrique au plan frontal de la radiographie du poumon. Elle se compose de deux lobes des poumons, un arbre bronchique et les septa pulmonaires. Figure 3-1 La structure générale du poumon. Deux lobes des poumons entourent le coeur. L’arbre bronchique divisé en deux branches primaires qui entrent les deux lobes. Z Lobe pulmonaire : la structure du tissu spongieux. Elle filtre l’oxygène dans l’air fourni par l’arbre bronchique et les septa pulmonaires. Z Arbre bronchique : la racine des septa pulmonaires. Elle joue le rôle une voie du transport principal de l’air au poumon. Z Septa pulmonaires : sont en continuité avec le feuillet viscéral de la plèvre qui tapisse la périphérie de chaque lobe. trongton© 2004 LA TRANSFORMATION DE RADON ET SON APPLICATION … 81 Nous présentons dans la figure suivante l’anatomie du poumon coupe par coupe des radiographies générés par le CT Scanner. 1 1 2 2 3 3 4 4 Figure 3-2 Quatre coupes de la radiographie représentative d’un poumon normal. (Imagerie/FV Hôpital) 3.2. Les anomalies pulmonaires populaires Les systèmes de tomographique fournissent actuellement les radiographies des anomalies pulmonaires à très haute qualité. Les outils d’ajustement des fenêtres nous permettent ainsi d’observer le poumon par différentes vues. Donc, on peut visualiser très en détail les zones de transition entre le parenchyme pulmonaire, les tissus mous et les structures osseuses. trongton© 2004 Chapitre 4. TRAITEMENT DE LA RADIOGRAPHIE PULMONAIRE 82 Grâce au caractère hormogène des deux lobes pulmonaires, les anomalies sont souvent identiques à leurs avoisinantes. En plus, nous avons examiné la mesure d’UH (Unité Hounsfield) des anomalies pulmonaires en comparant avec les régions normales avoisinantes. Tandis que la valeur d’UH des régions normales varie autour celle de l’air (environ -850 UH), la valeur des anomalies pulmonaires augmente jusqu’à environ -600 UH ou même 200 (pour les tumeurs). Nous présentons ensuite les anomalies très typiques de poumons. Z Perte de volume partielle Figure 3-3 : La perte de volume pulmonaire est causée par un épanchement de liquide pleural ou gazeux, ou une rétraction cicatricielle du parenchyme pulmonaire. Elle risque de réduire la ventilation du poumon. (Imagerie / FV Hôpital) Z Abcès du poumon Figure 3-4 : L’abcès pulmonaire résulte habituellement l’évolution névrosante d’une pneumopathie. La valeur d’UH est faible entre -600 et -200 UH. (Imagerie / FV Hôpital) trongton© 2004 LA TRANSFORMATION DE RADON ET SON APPLICATION … 83 Z Tumeur Figure 3-5 : Les tumeurs sont des lésions qui sont visualisées sous forme d’une opacité arrondie, parfois polylobée, mesurant moins de 4cm de diamètre. Leur densité est située entre 80 et 180 UH. (Imagerie / FV Hôpital) Z Nodules solidaires Figure 3-6 : Une nodule solide peut correspondre à un carcinome bronchique, à une tumeur bénigne ou à un granulome cicatriciel. (Imagerie / FV Hôpital) 4. Détection des anomalies pulmonaires Nous présentons dans cette section une méthode pour détecter automatiquement les anomalies pulmonaires dans une radiographie. Puisque les anomalies de poumon sont très variées comme nous venons d’observer dans Section 3. Donc, nous prenons la radiographie de la tumeur de poumon illustrée dans Figure 3-5 comme exemple pour les expérimentations dans cette section. 4.1. Processus détaillé Le processus de la méthode proposée se compose de six étapes principales (voir Fig. 4-1). Il est ainsi accordé avec l’opération d’un système de Tomographie X actuelle. On va analyser ensuite la réalisation détaillée de ces étapes. trongton© 2004 Chapitre 4. TRAITEMENT DE LA RADIOGRAPHIE PULMONAIRE 84 CT Scanner (simulation par MATLAB) (1) Rf ( p, θ ) (2) Matrice de Radon (sinogramme) (3) Radiographie pulmonaire Détection des anomalies Algorithme de Reconstruction Vérification des résultats Représentation de l’image au moniteur (6) Reconstitution de l’image (4) f(x, y) (5) Figure 4-1 Processus de la détection des anomalies pulmonaires et de la vérification des résultats dans un système de Tomographie X. D’abord, on suppose que le patient va scanner son poumon lors d’un examen médical pour la vérification ses lésions. La région examinée est représentée par une radiographie pulmonaire (Fig 4-2a). En faisant passer les rayonnements X de la source à la bande de détectrice, le CT scanner enregistre toutes les informations d’atténuations du rayon X pendant la phase de projection. Par manque de condition pour expérimenter cette méthode sur un CT scanner actuel, nous devons simuler l’opération de ce système en utilisant les fonctions radon et irandon fournies par MATLAB. Cependant, on peut obtenir les mêmes valeurs d’atténuation que celles produites par un système tomographique actuel. Dans la deuxième étape, les valeurs d’atténuation acquises sont reformées sous forme d’une matrice de transformation de Radon. Cette matrice joue un rôle très important dans la tâche de détection des anomalies. Comme introduit dans Chapitre 2, chaque pixel de l’image originaire est transformé en une sinusoïde dans le sinogramme de transformation de Radon. Donc, une région anomalie, qui est représentée par une valeur d’UH différente des régions trongton© 2004 LA TRANSFORMATION DE RADON ET SON APPLICATION … 85 avoisinantes dans la radiographie, va être convertie en un peak dans le sinogramme de transformation de Radon (Fig. 4-2b). Intuitivement, les peaks dans la matrice de transformation de Radon sont reconnus par les points qui portent les valeurs maximales locales (Fig. 4-2c). (a) (b) (c) Figure 4-2 L’idée principale du tâche de détection des anomalies pulmonaires. (a) la radiographie examinée, (b) le sinogramme de la transformation de Radon et les deux peaks des anomalies, (c) visualisation de la matrice de Radon en 3D, la flèche pointe à un point maximal local (un peak) dans la matrice de Radon. De ce fait, la tâche de détection des anomalies pulmonaires devient le problème de localisation des peaks dans un sinogramme de transformation de Radon ou notamment le problème de recherche des points maximaux locaux dans la matrice de Radon. Pour régler ce trongton© 2004 Chapitre 4. TRAITEMENT DE LA RADIOGRAPHIE PULMONAIRE 86 problème, nous proposons d’appliquer l’algorithme Hill-Climbing (Section 4.2.1) pour chercher ces valeurs maximales locales. L(θ , s ) Pour chaque point maximal local identifié, y p on obtient deux valeurs importantes dans la matrice Radon : angle θ et déplacement s. Ces q valeurs permettent de positionner les anomalies θ s O dans l’image originaire en se basant sur la x définition de transformation de Radon abordée dans Chapitre 2. Étapes 4 et 5 représentent le processus de reconstruction et de reconstitution de la radiographie originaire. L’étape de reconstruction se fait par l’algorithme de rétro-projection des projections filtrées en géométrie parallèle qui donne une matrice de densité de la radiographie à nombre réel représentée par fonction f(x, y). Ici, on réalise la tâche de vérification des résultats obtenus dans l’étape précédente. On compare la densité (ou la valeur d’UH) mesurée de la région d’anomalie localisée avec la densité d’anomalie pulmonaire examinée dans la section avant. Après cette étape, on ne maintient que les résultats ayant la valeur proche de celle de l’anomalie pulmonaire. Enfin, fonction f(x, y) est reconstituée sous forme d’une image de niveaux de gris (8-bit ou 24-bit) pour l’affichage au moniteur de l’utilisateur. Dans cette dernière étape, on préfère de remarquer les anomalies détectées de la radiographie examinée soit par le contour, soit par une couleur distincte des autres régions. Pour cette raison, nous choisissons d’utiliser l’algorithme FloodFill de l’Infographie. L’implémentation de ce dernier est présentée dans Section 4.2.2. Par ailleurs, on peut commenter la région d’anomalie avec les renseignements complémentaires comme la position, la superficie de la région et la densité en UH. 4.2. Méthodologies 4.2.1. Algorithme maximal local (Hill-Climbing) La recherche de la solution optimale dans un espace de problème a été discutée profondément dans la spécialité de l’Intelligence Artificielle. Cependant, nous voulons appliquer l’idée de ces algorithmes pour résoudre le problème de recherche des peaks dans trongton© 2004 LA TRANSFORMATION DE RADON ET SON APPLICATION … 87 un sinogramme, notamment le problème de localisation des valeurs maximales locales dans une matrice de transformation de Radon (voir Fig. 4-3). Donc, nous choisissons de présenter l’algorithme Hill Climbing pour régler ce dernier. Figure 4-3 Application de l’algorithme Hill-Climbing en cherchant des maximaux locaux. L’idée principale de l’algorithme Hill-Climbing se résume en cinq étapes suivantes : 1. Choix par hasard d’un point dans l’espace de recherche 2. Observation de tous ses avoisinants dans l’état présent. 3. Sélection d’un voisin à la plus haute qualité et avancement à cet état. 4. Répétition l’étape 2 à l’étape 4 jusqu’à ce que tous les voisins soient à basse qualité en comparant avec l’état présent 5. L’état de solution est l’état présent. Figure 4-4 Principe de l’algorithme Hill-Climbing. En fait, la notion « plus haute qualité » est utilisée généralement pour un problème abstrait. Donc, quand on l’applique pour résoudre le problème actuel de localisation des peaks, on utilise les valeurs de transformation de Radon en vue de comparer deux points dans un même état. En outre, on a utilisé un seuil pour y limiter les valeurs à considérer. trongton© 2004 Chapitre 4. TRAITEMENT DE LA RADIOGRAPHIE PULMONAIRE 88 Cependant, la valeur du seuil varie dépendamment de la radiographie et des anomalies examinées. 4.2.2. Algorithme FloodFill Le problème qui se pose ici est comment remplir la région anomalie localisée dans l’étape précédente par une couleur remarquable afin de présenter les anomalies au moniteur de l’utilisateur. Donc, nous proposons d’utiliser l’algorithme récursif de FloodFill en utilisant quatre points avoisinants pour la simplicité et la rapidité (Fig. 4-5). L’idée principale de cet algorithme est de : 1. commencer par un point initial dans la région examinée ; 2. vérifier les quatre points avoisinants du point initial. S’il y a un point avoisinant qui n’est pas rempli, changer sa couleur par la couleur remplir ; 3. répéter le processus récursivement jusqu’à ce qu’on ne trouve aucun point avoisinant à remplir. Figure 4-5 Démonstration de l’idée principale de l’algorithme FloodFill avec quatre points avoisinants. On réalise l’algorithme de FloodFill en langage de programmation C comme suit Entrée : radiographie R, position (x, y), couleur à remplir FillColor et couleur du contour BoundaryColor, Sortie : radiographie remplie R’. void FloodFill4(int x, int y, int FillColor, int BoundaryColor) { int CurrenColor; CurrentColor = getpixel(x,y); if((CurrentColor!=BoundaryColor)&&CurrentColor!= FillColor)) { putpixel(x,y,FillColor); FloodFill4(x-1, y, FillColor, BoundaryColor); // point à gauche FloodFill4(x, y+1, FillColor, BoundaryColor); // point en haut FloodFill4(x+1, y, FillColor, BoundaryColor); // point à droit FloodFill4(x, y-1, FillColor, BoundaryColor); // point en bas trongton© 2004 LA TRANSFORMATION DE RADON ET SON APPLICATION … 89 } } // Fin du FloodFill4 4.3. Analyse du résultat (a) (b) (c) (d) Figure 4-6 Démonstration du résultat de la méthode de détection des anomalies pulmonaires. (a) la radiographie pulmonaire avec une tumeur à lobe gauche, (b) position des anomalies localisée par l’algorithme maximal locale, (c) la région anomalie contournée, (d) la région anomalie remplie par une couleur prédéfinie. Nous avons expérimenté cette méthode sur une radiographie pulmonaire avec une tumeur à gauche (Fig. 4-6a). En appliquant l’algorithme maximal local, nous détectons deux peaks dans le sinogramme de transformation de Radon de cette radiographie : p1 (θ = 910 , s = 30) et p2 (θ = 900 , s = −35) . Ces deux points correspondent aux deux régions anomalies (remarquées par deux croix dans Fig. 4-6b) dans la radiographie. Finalement, les résultats trongton© 2004 Chapitre 4. TRAITEMENT DE LA RADIOGRAPHIE PULMONAIRE 90 sont présentés au moniteur soit par le contour ou soit par la couleur en utilisant l’algorithme FloodFill (Fig. 4-6c et 4-6d). Bien que les résultats produits par l’étape de localisation des peaks de l’algorithme de maximal local soient nombreux, nous ne choisissons qu’à présenter les deux points qui sont proches des anomalies actuelles. Les autres points peuvent être considérés comme les fautes dans le processus de détection automatique des anomalies pulmonaires. 4.4. Discussions Le problème de détection des lésions dans un organisme est souvent complexe. Cependant ces travaux sont très nécessaires pour qu’on informatise complètement le processus de traitement et de diagnostic des maladies dans le domaine d’Imagerie médicale. Durant la réalisation de ce mémoire, nous avons consulté plusieurs travaux et leurs méthodes proposées en analyse et en segmentation de l’image médicale. Un exemple est une thèse de l’Université de Technologie de la Suède, qui a proposé deux méthode : ACM (Active Contour Models) et ASM (Active Shape Models). Cependant, elles sont limitées à la segmentation des lésions orales dans une image couleur et à la localisation du contour ventriculaire dans une échographie. De ce fait, nous essayons d’expérimenter une nouvelle méthode de détection des anomalies pulmonaires en nous basant sur la transformation de Radon. Cette méthode a des avantages par rapport aux autres méthodes : Z plus naturelle et plus facile ; Z profit du maximum des données générées par le système tomographique pendant la phase de projection et de reconstruction ; Z le problème peut être étendu pour d’autres organismes et pour les autres types de machine tomographique comme IRM, TEP, et gamma caméras (SPECT). Cependant, elle présente des inconvénients : Z dépendance de plusieurs éléments techniques : les paramètres de la machine de Tomographie, le produit de contraste utilisé, la position et la région examinée du patient … Donc, les radiographies obtenues sont très variées . Z moins efficace pour les anomalies ayant la structure et la mesure d’UH similaires à celles des régions normales du corps comme les tissus et les graisses. trongton© 2004 LA TRANSFORMATION DE RADON ET SON APPLICATION … 91 5. Conclusions Ce chapitre a introduit en bref le rôle du traitement d’image numérique dans le développement de la technologie et dans la vie habituelle. Nous avons essentiellement expliqué comment appliquer le processus de traitement d’image dans le domaine de l’Imagerie médicale. La Section 2 a été consacrée principalement à étudier les algorithmes de traitement de la radiographie comme analyse par histogramme, méthode du fenêtrage et l’opération de filtrage des bruits. Le graphe de l’histogramme est un outil avantageux pour visualiser la distribution de l’intensité de la radiographie et pour modifier le contraste de cette dernière. Pour la méthode de fenêtrage, la technique de LUT a été appliquée afin d’optimiser la performance du calcul des fonctions de transformation de pixel. À la fin de cette section, nous avons proposé le filtre passe-bas en vue d’éliminer les bruits dans les radiographies acquises. Dans la Section 3, nous avons étudié la structure générale du poumon. Puis, on a examiné quatre exemples des anomalies populaires du poumon : perte de volume partielle, abcès du poumon, tumeur et nodules solitaires. Cette section est une étape intermédiaire pour le développement de la méthode de détection des anomalies pulmonaires dans la section suivante. Enfin, la Section 4 a discuté la réalisation du processus de détection des anomalies pulmonaires et de vérification des résultats. Pour réaliser ces idées nous avons proposé deux algorithmes : algorithme maximal local pour localiser des peaks et algorithme FloodFill pour marquer les régions d’anomalie dans la radiographie. Finalement, nous donnons les analyses du résultat et notre estimation de la méthode proposée. Dans le chapitre suivant, nous allons récapituler les études et les contributions de ce mémoire dans le domaine de Tomographie Médicale. Nous discuterons ainsi quelques problèmes ouverts à ce sujet. trongton© 2004 CHAPITRE CONCLUSIONS Ce mémoire expose nos études aux domaines de la Tomographie Médicale et de la théorie de la transformation de Radon ainsi que son application pour le problème de traitement de la radiographie. Ce chapitre achève le mémoire en concluant et évaluant les travaux réalisés. Nous discutons ainsi quelques problèmes ouverts du sujet. 1. Conclusion générale La recherche de la Tomographie médicale hérite des réalisations de plusieurs domaines scientifiques différents incluant mathématiques, physiques, informatique, médecine et la mise en œuvre des nouvelles techniques. Cette partie résume nos études de la théorie de Radon et nos contributions à l’application de cette théorie dans le traitement de la radiographie. La conclusion comporte cinq aspects principaux ci-dessous : Z Les applications actuelles de la Tomographie médicale d’aujourd’hui. Nous avons présenté dans le premier chapitre les trois applications de la technique de Tomographique en médecine : la Radiographie à rayon X numérique, le CT Scanner et l’Imagerie par résonance magnétique (IRM). En effet, ces applications ont été utilisées largement dans la plupart des départements d’Imagerie médicale des hôpitaux à l’heure actuelle. Nous avons présenté non seulement leurs modèles techniques mais aussi l’histoire et l’évolution de différents types de la machine en vue de donner un regard général sur le processus de développement de la Tomographie. Nous avons essayé de résoudre des problèmes techniques importants de la construction et du développement des systèmes d’Imagerie médicale. Z La théorie de la transformation de Radon. Nous avons étudié principalement dans Chapitre 2 la théorie de Radon (1917), ses propriétés et ses relations avec d’autres transformations. Notre approche de cette théorie mathématique était au point de vue trongton© 2004 LA TRANSFORMATION DE RADON ET SON APPLICATION … 93 d’un informaticien. Donc, nous n’avons pas trop discuté les théories ou les démonstrations mathématiques. Par contre, nous avons présenté ces théories et leurs formules mathématiques par des diagrammes et des algorithmes qui sont plus familiers envers les informaticiens et les rendent faciles à implémenter. Z Le problème de reconstruction en géométrie parallèle. Nous avons élaboré trois méthodes analytiques pour le problème de reconstruction d’image à partir de ses projections : méthode directe de Fourier, méthode du filtrage de la rétro-projection et méthode de rétro-projection des projections filtrées. La méthodologie utilisée consiste à analyser pas à pas le processus de la reconstruction. De plus, nous avons comparé ces méthodes selon deux critères importants : la complexité et la faisabilité. Z L’amélioration de la qualité de la radiographie. L’étape de prétraitement d’image est une tâche indispensable pour augmenter la qualité et la visibilité d’une image numérique dont une radiographie est un cas spécial. De ce fait, nous avons développé des algorithmes et leurs implémentions pour la tâche d’amélioration de la qualité de radiographie comme ajustement du contraste, analyse par histogramme, rotation d’image, magnification, changement de la taille d’image, et correction des bruits. En plus, nous avons construit un frame-work de l’application qui est facile à élargir et prêt à y intégrer de nouveaux composants. Z L’application de la transformation de Radon pour la détection des anomalies dans une radiographie pulmonaire. Nous avons premièrement étudié et analysé la structure générale du poumon et ses anomalies populaires. Puis, en se basant sur les analyses, une méthode pour détecter automatiquement des anomalies dans une radiographie pulmonaire a été proposée et expérimentée. En effet, cette méthode applique principalement la définition de la transformation de Radon et ses propriétés en profitant des données générées durant l’opération du système de Tomographie X. Nous en discutons ainsi les avantages et les inconvénients. En réalisant ce mémoire, nous avons acquis des connaissances très précieuses de la Tomographie médicale et de l’Imagerie médicale. Nous constatons que l’application des systèmes interactifs de diagnostic médicale deviendra rapidement une tendance de développement clef dans le domaine de l’Imagerie médicale et de la Tomographie diagnostique dans le futur. Donc, nous souhaitons avoir des conditions permettant trongton© 2004 Chapitre 5. CONCLUSIONS 94 d’approfondir nos connaissances dans ce domaine intéressant et de déployer l’application dans un système de Tomographique actuel. 2. Problèmes ouverts La recherche dans le domaine de tomographie est encore ouverte. En fait, il existe beaucoup de problèmes et même des obstacles qu’on doit surmonter. Pour cette raison, nous discutons dans cette partie trois propos d’ouverture pour une recherche plus profonde sur sujet. Z Projection en géométrie divergente. Bien qu’il existe aux marchés des scanners à rayons X réalisant la technique de projection en géométrie divergente (incluant géométrie d’éventail et géométrie conique), la théorie de cette dernière n’est pas encore bien complétée. Une extension de la recherche de la projection en géométrie divergente est donc nécessaire. Z Ouverture de l’application pour d’autres organismes. Durant notre travail au département d’Imagerie de FV Hôpital, nous avons examiné de nombreuses images tomographiques de différents organismes du corps humain comme la foie, le rein, et le cerveau. Nous remarquons que ces organismes ont une structure assez similaire à celle du poumon: ce sont des structures homogènes et des anomalies sont identiques à celles des autres régions. Nous pensons qu’on peut appliquer la méthode de détections des anomalies pulmonaires pour ces organismes. Donc, on ne modifie que des paramètres du programme pour qu’ils soient plus applicables avec un organe spécifique. Z Intégration d’un module de radiographie diagnostique à l’application. C’est une étape plus avancée du programme. Ce module contient des connaissances des spécialistes dans le domaine d’Imagerie médicale qui aident à diagnostiquer des maladies courantes. Le diagnostic se base sur des résultats de l’étape de détection des anomalies. trongton© 2004 ANNEXE LA TRANSFORMATON DE FOURIER La transformation de Fourier est une des transformations la plus importante dans la branche de traitement du signal et particulièrement dans la spécialité de traitement d’image numérique. Comme nous avons introduit dans Chapitre 3, la transformation de Radon a une relation très intime avec la transformation de Fourier. Donc, dans cette partie, nous voulons présenter en bref la théorie mathématique de transformation de Fourier unidimensionnelle et bidimensionnelle. Les propriétés importantes de cette transformation sont ainsi abordées dans Section 2. Finalement, on va étudier un exemple de la transformation de Fourier appliquant en calcul de la fonction Rectangle. Annexe A. LA TRANSFORMATION DE FOURIER 96 1. Définition 1.1. Transformation de Fourier unidimensionnelle (Fourier 1D) Soit f(x) une fonction continue où variable x représente la distance. La transformation de Fourier de f(x), dénotation F(u), est définie par F (u ) = ∫ +∞ f ( x)e −2π jxu dx −∞ (1.1) où u représente la fréquence spatiale dans direction x. Généralement, la valeur de F(u) est un nombre complexe bien que la valeur de fonction f(x) soit un nombre réel. Cette formule présente une relation importante entre la magnitude de la fréquence présentée et sa magnitude de phase dans l’espace d’une dimension. Figure 1-1 Exemple de la transformation de Fourier 1D de fonction Rectangle. La fonction transformée est appelée la fonction sinus. Pour reconstituer fonction f(x) depuis sa transformation F(u), on peut utiliser la transformation de Fourier inverse comme suit f ( x) = ∫ +∞ −∞ F (u )e −2π jux du (1.2) En vue de pouvoir réaliser cette formule, la fonction F(u) doit satisfaire la condition suivante −∞ < F (u ) < +∞ Maintenant, on développe la transformation de Fourier bidimensionnelle (Fourier 2D) en se basant sur des résultats de la transformation de Fourier unidimensionnelle (Fourier 1D). trongton© 2004 LA TRANSFORMATION DE RADON ET SON APPLICATION … 97 1.2. Transformation de Fourier bidimensionnelle (Fourier 2D) La transformation de Fourier d’une image f(x, y) est définie par F (u , v) = ∫ +∞ −∞ ∫ +∞ −∞ f ( x, y )e −2π j ( xu + yv ) dxdy (1.3) où u et v désignent les fréquences spatiales dans directions x et y. À partir de la transformation de Fourier, il est possible de reconstituer exactement l’image originale en prenant la transformation de Fourier inverse f ( x, y ) = ∫ +∞ −∞ ∫ +∞ −∞ F (u , v)e −2π j ( ux + vy ) dudv (1.4) Cependant, pour appliquer la transformation de Fourier inverse, l’image transformée doit satisfaire la condition suivante : +∞ +∞ −∞ −∞ ∫ ∫ f ( x, y )dxdy < +∞ (1.5) La transformation de Fourier nous fournit une interprétation intéressante car elle décompose l’image en composantes fréquentielles définies sur [−∞, +∞] × [−∞, +∞] . L’image f(x, y) et sa transformation F(u, v) forment une paire de transformation de Fourier représentée par f ( x, y ) U F (u, v) (1.6) En général, F(u, v) est une fonction de u et v à valeurs complexes. On peut donc l’exprimer sous la forme F (u, v) =|| F (u , v) || e jθ ( u ,v ) (1.7) où ||F(u, v)|| est appelé module de F(u, v) ou spectre fréquentiel d’image f(x, y) et θ (u, v) est la phase de F(u, v) ou spectre de phase de F(u, v). Dans le cas particulier où f(x, y) est une fonction à nombres réels, on a F (−u, −v) = F * (u, v) Alors, || F (−u , −v) ||= F (u, v) (1.8) θ (−u, −v) = −θ (u, v) On peut déduire deux propriétés importantes d’une image à nombres réels : 1. le spectre fréquentiel de l’image est symétrique par rapport à l’origine du système de l’axe des uv (Fig. 1-2). C'est-à-dire la connaissance d’un demi-plan est trongton© 2004 Annexe A. LA TRANSFORMATION DE FOURIER 98 suffisante. Ce résultat est satisfaisant car, dans le plan spatial, si on dispose M × N variables indépendantes, la transformation de Fourier fournit seulement ( M × N ) / 2 variables indépendantes mais ces variables sont complexes. 2. le spectre de phase de l’image est anti-symétrique par rapport à l’origine du système de coordonnées uv. Figure 1-2 Module de l’image d’une fille après centrage de l’origine 2. Les propriétés de Fourier 2D 2.1. Séparabilité En permutant l’ordre d’intégration dans (1.3), on obtient F (u, v) = ∫ +∞ −∞ ⎡ +∞ f ( x, y )e−2π jxu dx ⎤e −2π jyv dy ⎢⎣ ∫−∞ ⎥⎦ (2.1) La transformation de Fourier d’une image f(x, y) peut être réalisée en deux étapes suivantes : • Calcul de la transformation de Fourier unidimensionnelle (Fourier 1D) de f(x, y) pour tout y fixé ; transformation de variable x en variable u • Transformation de Fourier unidimensionnelle de la fonction obtenue pour tout u fixé ; transformation de variable y en variable v. 2.2. Linéarité Soient f1 ( x, y ) U F1 (u , v) et f 2 ( x, y ) U F2 (u, v) . Alors, pour toutes constantes c1 et c2 c1 f 1( x, y ) + c2 f 2 ( x, y ) U c1 F1 (u , v) + c2 F2 (u, v) trongton© 2004 (2.2) LA TRANSFORMATION DE RADON ET SON APPLICATION … 99 2.3. Homothétie On suppose que l’image f(ax, by) correspond à l’image f(x, y) qui est compressée dans l’espace par un facteur a dans direction x et par un facteur b dans direction y. Si f ( x, y ) U F (u, v) , alors f (ax, by ) U 1 ⎛u v⎞ F⎜ , ⎟ | ab | ⎝ a b ⎠ (2.3) On peut conclure qu’une compression dans le domaine spatial est égale à une extension dans le domaine fréquentiel et vice-versa. 2.4. Dualité Si f ( x, y ) U F (u, v) , alors F (−u , −v) U f (−u, −v) (2.4) f ( x, y )e2π j (u0 x + v0 y ) = F (u − u0 , v − v0 ) (2.5) 2.5. Translation spatiale Si f ( x, y ) U F (u, v) , alors 2.6. Translation fréquentielle Si f ( x, y ) U F (u, v) , alors f ( x − x0 , y − y0 ) = F (u, v)e−2π j ( x0u + y0v ) (2.6) 3. La transformation de Fourier discrète1 Les images numériques sont actuellement sauvegardées dans l’ordinateur aux valeurs discrètes en vue d’accélérer la vitesse de traitement des données. Donc, on a besoin de reformuler la transformation de Fourier générale pour obtenir la transformation de Fourier discrète. Ce processus peut compléter entièrement en remplaçant l’opération d’intégrale par l’opération de sommation. Dans Fourier 1D, on suppose que la valeur de x incrémente de 0 à N-1. F (u ) = 1 Discrete Fourier Transform (DFT) trongton© 2004 1 N N −1 ∑ f ( x )e x =0 −2π jxu / N (3.1) Annexe A. LA TRANSFORMATION DE FOURIER 100 Et l’inversion de cette dernière est donnée par N−1 f (x) = ∑F(u)e−2π jux/ N u=0 (3.2) Similairement, pour l’espace de deux dimensions, on applique la formule suivante avec deux constantes N et M. F (u , v) = 1 NM N −1 M −1 ∑ ∑ f ( x, y ) e −2π j ( xu / N + yv / M ) (3.3) x =0 y =0 et N −1 M −1 f ( x, y ) = ∑ ∑ F (u, v)e−2π j ( xu / N + yv / M ) (3.4) u =0 v =0 4. Illustrations de fonction Rectangle Considérons image f(x, y) qui est définie par f ( x, y ) = Arect[ a ,b ] ( x, y ) (4.1) où ⎧ ⎪1 rect[ a ,b ] ( x, y ) = ⎨ ⎪⎩0 a b ,| y |< 2 2 ailleurs | x |< (4.2) Cette fonction est appelée fonction Rectangle. Image f(x, y) a une valeur A à l’intérieur du rectangle de longueur a et de largueur b dont les côtés sont parallèles aux axes Ox et Oy, et zéro en dehors du rectangle (Fig. 4-1). La transformation de Fourier d’image f(x, y) est donnée par F (u , v) = ∫ +a / 2 −a / 2 dx ∫ +b / 2 −b / 2 dyAe −2π j ( xu + yv ) ⎛ sin(π au ) ⎞⎛ sin(π bv) ⎞ = Aab ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ π au ⎠⎝ π bv ⎠ (4.3) Il s’agit du produit de deux sinus cardinaux. Ce résultat aurait pu être obtenu en remarquant que l’image f(x, y) est séparable spatialement en utilisant la propriété de séparabilité. Nous avons donc la paire de la transformation de Fourier ⎛ sin(π au ) ⎞ ⎛ sin(π bv) ⎞ rect[ a ,b ] U ab ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ π au ⎠ ⎝ π bv ⎠ trongton© 2004 (4.4) LA TRANSFORMATION DE RADON ET SON APPLICATION … 101 y b 2 − a 2 a 2 0 − x b 2 Figure 4-1 Fonction du Rectangle Figure 4-2 présente image f(x, y) dans l’espace 3D. Le module de sa transformation de Fourier est ainsi représenté à Figure 4-3. Figure 4-2 Illustration de fonction Rectangle en 3D. La troisième dimension est présentée par la valeur de f(x, y). trongton© 2004 Annexe A. LA TRANSFORMATION DE FOURIER 102 Figure 4-3 Module de la transformation de Fourier correspondant à fonction Rectangle trongton© 2004 ANNEXE OUTIL DE TRAITEMENT D’IMAGE DE MATLAB Dans cette dernière annexe, nous introduisons le fondement de l’utilisation de l’Outil traitement d’Image (Image processing Toolbox) dans MATLAB (version 6.5 R13). Cet outil fournit des fonctions très riches en traitement d’image numérique comme : les fonctions de représentation de l’image, les opérations de filtrage, l’analyse d’image, transformation et segmentation d’image. Cependant, dans cette section, nous n’examinerons que les fonctions indispensables pour la représentation et la transformation de l’image. Deux fonctions les plus importantes sont les fonctions de la transformation de Radon : radon et iradon. Ces fonctions nous permettent de simuler un système de Tomographie X actuelle. Annexe B. OUTIL DE TRAITEMENT D’IMAGE DE MATLAB 104 1. Introduction MATLAB est un outil et ainsi un langage de programmation très utile pour les techniciens, les mathématiciens et les informaticiens. Il a été actuellement appliqué dans de différents domaines scientifiques comme traitement de signal, analyse de données, acquisition de données en temps réel, réseaux de neurone, traitement d’image, et simulation. MATLAB expose ses points forts dans le calcul des opérations sur des matrices complexes et dans le traitement des grosses données. MATLAB présente l’Outil de traitement d’Image (Image processing Toolbox) particulièrement pour le traitement d’image numérique. Les types d’image supportés par cet outil sont très variés comme Z image d’index, Z image d’intensité, Z image binaire, Z image couleur (RGB). En outre, cet outil contient beaucoup de fonctions de traitement d’image comme : Z fonctions de lecture et de représentation de l’image, Z opérations géométriques : rotation, coupe et change de la taille d’image, Z groupe des opérations de filtrage : convolution, FIR1, méthode de fenêtrage, Z transformation d’image : Fourrier, Cosine, Radon, Z analyse et rehaussement : profil d’intensité, histogramme, détection de bord, ajustement du contraste, Z segmentation de l’image. Dans la partie suivante, nous présenterons les fonctions concernant la lecture et la représentation d’image. Nous introduisons ainsi les opérations fondamentales pour travailler avec l’histogramme de l’image et pour ajuster le contraste. Dans la dernière section, nous expliquerons deux fonctions importantes de la transformation de Radon dans MATLAB : la fonction radon et la fonction iradon. 1 FIR : Finite impulse response trongton© 2004 LA TRANSFORMATION DE RADON ET SON APPLICATION … 105 2. Les fonctions de traitement d’image 2.1. Lecture et représentation de l’image Pour lire la structure d’une image à partir d’un fichier, on utilise la fonction imread, syntaxe A = imread (filename, fmt). Le premier paramètre de cette fonction indique le chemin du fichier contenant l’image. Le deuxième est l’un des formats d’image supportés qui se trouvent dans le tableau suivant : Format Type du fichier ‘bmp’ Windows Bitmap (BMP) ‘cur’ Windows Cursor resources (CUR) ‘hdf’ Hierarchical Data Format (HDF) ‘ico’ Windows Icon resources (ICO) ‘jpg’ ou ‘jpeg’ Joint Photographic Experts Group (JPEG) ‘pcx’ Windows Paintbrush (PCX) ‘png’ Portable Network Graphics (PNG) ‘tif’ ou ‘tiff’ Tagged Image File Format (TIFF) ‘xwd’ X Windows Dump (XWD) Table 2-1 Des formats d’images supportés par MATLAB Par défaut, on peut réduire le deuxième paramètre car MATLAB identifie automatiquement le format de l’image en accédant à l’en-tête du fichier. On lit, par exemple, une image TIFF: I = imread('rice.tif'); Le fichier rice.tif est reconnu comme une image TIFF valide. La fonction lit immédiatement les données de cette image et les stocke dans la mémoire sous forme d’une matrice de deux dimensions. Pour vérifier la représentation de l’image dans la mémoire, on tape : Whos MATLAB repond: Name I Size 291x240 Bytes Class 69840 uint8 array où, le nombre 69840 manifeste le nombre total d’octets pour archiver cette image et chaque élément utilise seulement un octet (uint8) de la mémoire. trongton© 2004 Annexe B. OUTIL DE TRAITEMENT D’IMAGE DE MATLAB 106 Puis, on affiche image I sur l’écran par la fonction imshow figure, imshow(I) Figure 2-1 L’affichage de l’image rice.tif 2.2. Égalisation d’histogramme Histogramme est un diagramme statistique qui représente la distribution d’intensité d’une image d’index ou d’une image d’intensité. La fonction imhist nous permet d’observer l’histogramme d’une image entrée. figure, imhist(I) Figure 2-2 Histogramme de l’image rice.tif trongton© 2004 LA TRANSFORMATION DE RADON ET SON APPLICATION … 107 Dans cet histogramme, on observe que le nombre maximum des distributions de densité se concentre au tour de la valeur 100 du niveau de gris dû au fond foncé (dark-background) de l’image I. Donc, on peut régler le contraste et la distribution d’intensité de cette image en utilisant la fonction d’égalisation d’histogramme histeq. Cette fonction permet de redistribuer l’histogramme d’une image plus égale et plus large. Le contraste de l’image est donc plus élevé. J = histeq(I); imshow(I); figure, imshow(J) ; figure, imhist(J) ; Figure 2-3 Image J et son histogramme après exécuter la fonction d’égalisation histogramme 2.3. Ajuste du contraste Maintenant, l’image J devient un peu plus sombre. Donc, on utilise la fonction imadjust(I,[low_in high_in],[low_out high_out],gamma) en vue d’ajuster le contraste de cette image. I2 = imadjust(J, [0 max(J(:))], [0 1]); figure, imshow(I2); Regardons les deux vecteurs utilisés dans la syntaxe de cette fonction : [low high] et [bottom top]. En fournissant les valeurs de ces paramètres, MATLAB projette la valeur low trongton© 2004 Annexe B. OUTIL DE TRAITEMENT D’IMAGE DE MATLAB 108 dans l’image entrée à la valeur bottom dans l’image sortie. Il projette de façon similaire avec les valeurs hight et top. Pour les valeurs se trouvant au milieu de ces deux limites, MATLAB utilise l’opération d’interpolation linéaire pour les déduire. Figure 2-4 Le contraste de l’image rice.tif a été réglé abondamment en appliquant la fonction imadjust. 2.4. Enregistrement d’image sur disque Comment peut-on sauvegarder une image traitée sur le disque? MATLAB nous fournit la fonction qui s’appelle imwrite(A, filename, fmt). Le symbole A représente la matrice d’image qu’on veut stocker. Les deux paramètres filename et fmt ont le même sens que ceux de la fonction imread au dessus. Par exemple, si on veut sauvegarder l’image modifiée I2 (de l’image originale I1), la syntaxe de la commande est comme suit imwrite (I2, 'rice2.png'); Ici, l’extension choisie du fichier d’image sortie est PNG. MATLAB accepte ce format et écrit l’image sur le disque. L’image I2 est stockée dans la mémoire sous forme d’une image de 8-bits. Donc, pour diminuer la taille du fichier, on peut indiquer la valeur du paramètre bitdepth dans la fonction imwrite comme suit imwrite(I2, 'rice2.png', 'BitDepth', '4'); Dans cet exemple, on a diminué la profondeur de l’image jusqu’à une valeur de 4-bits. Pour vérifier le résultat, on tape dans la console du MATLAB la commande suivante imfinfo('rice2.png') trongton© 2004 LA TRANSFORMATION DE RADON ET SON APPLICATION … 109 MATLAB répond: ans = Filename: 'rice2.png' FileModDate: '03-Jun-2004 15:50:25' FileSize: 36938 Format: 'png' FormatVersion: [] Width: 240 Height: 291 BitDepth: 4 ColorType: 'grayscale' 3. La transformation de Radon dans MATLAB 3.1. La fonction radon La fonction radon calcule les projections d’une matrice d’image à certains angles précisés. Comme nous avons défini dans Chapitre 2, la projection d’une fonction de deux dimensions f(x, y) est déterminée par l’intégrale de curviligne à une direction spécifique. Par exemple, Figure 3-1 montre deux projections d’une fonction f(x, y). L’intégrale de ligne à la direction horizontale correspond à la projection de f(x, y) à l’axe Ox. L’intégrale de ligne à la direction verticale correspond à la projection de f(x, y) à l’axe Oy. trongton© 2004 Annexe B. OUTIL DE TRAITEMENT D’IMAGE DE MATLAB Projection à l’axe Oy 110 Projection à l’axe Ox Figure 3-1 Projection horizontale et projection verticale d’une fonction simple f(x, y) La syntaxe de la fonction radon qui calcule la transformation de Radon d’image I à de certains angles theta spécifiés se présente comme suit : [R,xp] = radon(I,theta); Le résultat de cette dernière donne une matrice R de deux dimensions et un vecteur xp. Les colonnes de R contiennent la transformation de Radon à chaque angle de projection dans theta. Le vecteur xp contient des coordonnées correspondantes au long de l’axe Ox. Les commandes au dessous calculent et désignent la transformation de Radon à l’angle theta = 0 et theta = 45 d’un carré simple. I = zeros(100,100); I(25:75, 25:75) = 1; imshow(I) trongton© 2004 LA TRANSFORMATION DE RADON ET SON APPLICATION … 111 [R,xp] = radon(I,[0 45]); figure; plot(xp,R(:,1)); title('R_{0^o} (x\prime)') figure; plot(xp,R(:,2)); title('R_{45^o} (x\prime)') Figure 3-2 Deux projections à l’angle theta = 0 et theta = 45 d’un carré. Si on veut simuler un système de Tomographique X, on doit calculer l’ensemble des projections de fonction f(x, y) dans un plus grand nombre d’angles : de 0o à 180o avec incrément de 1o. En complétant toutes ces projections, on obtient une matrice entière de la transformation de Radon de fonction f(x, y). theta = 0:180; %180 d’angles de projections [R,xp] = radon(I,theta); imagesc(theta,xp,R); % sinogramme de la transformation de Radon title('R_{\theta} (X\prime)'); xlabel('\theta (degrees)'); ylabel('X\prime'); set(gca,'XTick',0:20:180); colormap(hot); colorbar trongton© 2004 Annexe B. OUTIL DE TRAITEMENT D’IMAGE DE MATLAB 112 Figure 3-3 Sinogramme de la transformation de Radon prise par 180 angles de projection. 3.2. La fonction iradon La fonction iradon est utilisée pour calculer la transformation de Radon inverse de la transformée de Radon de fonction f(x, y). Dans le cas de l’image I, elle reconstruit l’image originaire à partir des mesures de ses projections en géométrie parallèle. En fait, cette fonction est une implémentation de l’algorithme de rétro-projection des projections filtrées version discrète. Le temps d’exécution de cette dernière est plutôt rapide (acceptable) en comparant avec des applications de la tomographie usuelle. De plus, la qualité de l’image reconstruite satisfait la demande des applications médicales normales. Comme on a discuté dans Section 3.1, la fonction radon nous donne la matrice de Radon d’une image I de l’ensemble d’angles de projection précisée theta. Pour calculer la transformation de Radon inverse, on applique la fonction iradon avec les syntaxes comme suit : I = iradon(P,theta) I = iradon(P,theta,interp,filter,d,n) La première est simplement la forme réduite de la deuxième. Ensuite, on va expliquer en détail des paramètres de la deuxième syntaxe. trongton© 2004 LA TRANSFORMATION DE RADON ET SON APPLICATION … 113 P dénote la matrice de transformation de Radon. Les colonnes de P sont les données de projection en géométrie parallèle. Le symbole theta décrit des angles de rétro-projection. La valeur de theta est soit un vecteur qui contient les angles de rétro-projection, soit un nombre scalaire D_theta qui représente l’incrément d’angle entre les deux projetions. Si on utilise la grandeur scalaire D_theta, la valeur de theta peut être déduite par la formule suivante : theta = m*D_theta, m = 0, 1, 2, …, size(P, 2) – 1. L’option interp spécifie le type d’algorithme d’interpolation appliqué dans la phase de rétro-projection. La liste suivante classe les noms d’algorithme dans son ordre d’augmentation de la précision et de la complexité. Z 'nearest' – nearest neighbor interpolation, Z 'linear' – linear interpolation (par défaut), Z 'spline' – spline interpolation. L’option filter détermine la méthode du filtrage utilisée dans la phase de filtrage des projections. Elle peut comporter l’un des filtres suivants : Z 'Ram-Lak' – Filtre rampe (par défaut), Z 'Shepp-Logan' – Filtre Shepp-Logan, Z 'Cosine' – Filtre cosine, Z 'Hamming' – Filtre Hamming, Z 'Hann' – Filtre Hann. d est un nombre scalaire à support compact (0, 1]. Par défaut, la valeur de d est 1. Si on modifie cette valeur, le domaine fréquentiel du filtre est compressé dans une rangée de [0, d]. La valeur n est aussi un nombre scalaire qui décide la taille de l’image reconstruite. Par défaut, cette valeur est calculée par la formule suivante : n = 2*floor(size(P,1)/(2*sqrt(2))) Pour la démonstration de l’application de fonction iradon, on réutilise l’exemple du fantôme tête de Shepp– Logan dans Chapitre 3. La commande suivante représente l’image d’une tête à la taille 128x128 pixels. P = phantom(128); imshow(P) ; trongton© 2004 Annexe B. OUTIL DE TRAITEMENT D’IMAGE DE MATLAB 114 Et puis, on calcule la transformation de Radon avec différents angles de projection. theta1 = 0:10:170; [R1,xp] = radon(P,theta1); theta2 = 0:5:175; [R2,xp] = radon(P,theta2); theta3 = 0:2:178; [R3,xp] = radon(P,theta3); Enfin, on utilise la fonction de transformation de Radon inverse pour reconstruire l’image du fantôme tête à différents angles de projection. I1 = iradon(R1,10); figure, imshow(I1); I2 = iradon(R2,5); figure, imshow(I2); I3 = iradon(R3,2); figure, imshow(I3); I1 (18 projections) I2 (36 projections) I3 (90 projections) Figure 3-4 Représentation des images reconstruites du fantôme tête de Shepp – Logan. trongton© 2004 BIBLIOGRAPHIE 115 BIBLIOGRAPHIE ***** [Hung2001] Đoàn Công Hùng, Khôi phục ảnh cắt lớp, Luận văn Thạc sỹ Khoa Công Nghệ Thông Tin, Đại học Khoa học Tự nhiên, 2001. [Duc2003] Vũ Văn Đức, Phép biến đổi Radon trong xử lý ảnh, Luận văn Thạc sỹ chuyên ngành Giải tích, Đại học Cần thơ, 2003. [Khanh2004] Bùi Doãn Khanh[+] – Nguyễn Đình Thúc[*], Bước đầu xây dựng một máy cắt lớp X-Quang ba chiều trong kỹ nghệ và trong y khoa, [+] Đại học Paris VI và [*] Đai học Khoa học Tự nhiên, 2004. [Otto1994] Otto H.Wegener avec la collaboration de Regine Fassel et Doris Welger, TDM Corps entier (1ere édition française), ARNETTE, 1994. [Monn2002] J P Monnier et J M Tubianna, Pratique des techniques du radiodiagnostic 3e édition, Masson, 2002. [Germes2002] Pierre Grangeat, La tomographie médicale – Imagerie morphologique et imagerie fonctionnelle, Germes Science publication, LAVOISIER, 2002. [Germes2003] Guy Cazuguel et Basel Solaiman, Santé et technologie de l’information, Annales des télécommunications, LAVOISIER, mai/juin 2003. [Dean1983] Stanley R. Dean, The Randon transform and some of its applcations, Department of Physics – University of South Florida, A Wiley – Interscience Publication, 1983. [Jain1989] Anil K. Jain, The fundamentals of digital image processing, University of California, Prentice Hall, 1989. [Toft1996] Peter Toft, The Radon Transform – Theory and implementation, Department of Mathematical Modeling – Technical University of Denmark, Ph.D. Thesis, 1996. [Kak1999] Avinash C. Kak & Malcolm Slaney, Principles of Computerized Tomographic Imaging, IEEE Press, 1999. [Merrill1999] Philip W. Ballinger & Eugene D. Frank, Merrill’s Atlas of Radiographic Positions and Radiologic Procedures (volume one & three) ninth edition, Mosby, 1999. trongton© 2004 116 BIBLIOGRAPHIE [Rafael2002] Rafael C. Gonzalez & Richard E. Woods, Digital Image Processing 2nd edition, Prentice Hall international, 2002. Conférence : “L’imagerie médicale aujourd’hui”, le 10 mars 2004 à l’IDECAF, 28 rue Le Thanh Ton 1er arr. HCMV. Æ Des spécialistes de l’Hôpital franco-vietnamien et de l’Institut du cœur de Ho Chi Minh ville présentent et commentent des images réalisées au sein de leur établissement dans le domaine de la tomographie médicale, la médicine nucléaire, la radiologie actuelle (3D…) et le diagnostic des maladies. trongton© 2004