Université Paris 1 - L3 Mass Modèles mathématiques en Finance

Université Paris 1 - L3 Mass
Modèles mathématiques en Finance - TD3
Exercice 1. Soit un décideur muni d'une relation strictement monotone et strictement averse au
risque. On suppose aussi l'axiome d'indépendance vérifié. Pour tout réel x et α ≥ 0 on considère la
loterie a(x , α) qui amène les conséquences x+α et x-α avec équiprobabilité.
a/ Montrer que la relation de préférence est "strictement croissante en x " :
∀ x , y ∈ R , ∀ α ≥ 0 , y > x ⇒ a(y , α) > a(x , α)
b/ Montrer que la relation de préférence est "strictement décroissante en α " :
∀ x ∈ R , ∀ α , β ≥ 0 , β > α ⇒ a(x , β) < a(x , α)
Exercice 2. Soit un décideur muni de la fonction d'utilité de VNM u(x) = Log(x) . Le décideur
dispose d'une richesse W et est soumis à un risque de perte de D avec probabilité π . Le décideur
peut s'assurer partiellement ou totalement contre le risque de perte au prix unitaire de q (i.e. y
contrats achetés coûtent qy et rapportent y en cas de sinistre). On suppose naturellement D < W
et q < 1 .
a) Quelles sont les différentes loteries qui s'offrent à l'investisseur ?
b) Calculer le niveau d'assurance optimal y* en fonction des paramètres (on supposera la solution
intérieure).
c) Montrer que si q = π , alors le décideur s'assure complètement. Ce résultat était-il prévisible ?
d) Montrer que y* est une fonction décroissante de q .
e) Calculer la valeur critique du prix à partir de laquelle le décideur cesse de s'assurer.
Exercice 3. Il y a deux actifs financiers : une obligation de rendement égal à 1 et un actif risqué qui
offre les rendements 0 ou 3 avec égale probabilité. Un agent muni de la fonction d'utilité de VNM
ua(x) = x1-a/1-a , avec a > 0 , doit investir une richesse totale égale à W > 0 . L'agent doit décider du
montant de richesse θ qu'il va placer en actif risqué, 0 ≤ θ ≤ W .
a) Montrer que l'agent est strictement averse au risque et calculer son indice absolu d'aversion pour le
risque.
b) Décrire le problème de décision de l'agent.
c) Calculer le portefeuille optimal θ*(a,W) en fonction des paramètres.
d) Montrer que θ* croît avec W et décroît avec a . Calculer les limites de θ* quand a tend vers
0 et quand a tend vers +∞ .
Exercice 4. Il y a deux actifs financiers : une obligation de rendement égal à 1 et un actif risqué qui
offre les rendements 1+r avec probabilité π ou 0 avec probabilité 1-π .
Soit a un paramètre > 0 , un agent muni de la fonction d'utilité de VNM
u a : ℝ+ ℝ , x  u a  x = x a
doit investir une richesse totale égale à W > 0 . L'agent doit décider du montant de richesse θ qu'il
va placer en actif risqué, 0 ≤ θ ≤ W .
a) Montrer que l'agent est strictement averse au risque et calculer son indice absolu d'aversion pour le
risque.
b) Décrire le problème de décision de l'agent sous la forme d'un programme d'optimisation. On
notera Φa la fonction objectif.
c) Calculer le portefeuille θa qui annule la dérivée de Φa .
d) Vérifier que θa < 0 ssi π(1+r) < 1 . Que vaut alors l'investissement optimal ?
e) Montrer que lorsque R augmente, l'agent finit par investir toute sa richesse W en actif risqué.
f) Montrer que θa croît avec chacun des paramètres W , a , π , r et commenter ces résultats.