TD5

IMAFA 2013 - Modèles Mathématiques Continus pour la Finance
TD5 - EDS, Formule de Black et Scholes
Dans la suite, Ω, F, {Ft }t∈R+ , P désigne un espace probabilisé fı̂ltré de référence où {Ft }t∈R+ est une
filtration vérifiant les conditions habituelles.
Exercice 1 : Processus d’Ornstein-Uhlenbeck (suite)
1. Intégrer le processus de diffusion suivant :
Xo ∈ L2 (P) indépendant de W.
dXt = (a − bXt ) dt + σ dWt
On pourra considérer le processus Yt = ebt Xt .
2. Calculer E[Xt ] et E[Xt2 ]. Quelle est la loi de Xt ?
3. Étudier la convergence en loi de Xt lorsque t tend vers l’infini.
Exercice 2 : Contrat forward
On considère le contrat forward sur l’actif risqué S et de maturité T . Selon les termes du contrat, le
dnteur du contrat paye turité la quantité déterministe K et reçoit ST . Rien n’est payé au temps t où le
contrat est établi. On note K = f (t; T, S). Calculer f (t; T, S), le prix forward de ST ’instant t.
Exercice 3 : Parité call-put asiatique
En s’inspirant de l’exercice 5 du TD4, établir une relation de parité call put pour les options asiatiques
(options sur moyenne). On rappelle que le call asiatique de strike K et de maturité T est défini par le payoff :
1 Z T
h=
Ss ds − K .
T 0
+
Pour simplifier, on se place dans le cadre d’un marché où l’actif sans risque a un rendement déterministe r
constant.
Exercice 4 : Valorisation d’options asiatiques
On se place dans le cadre du modèle de Black & Scholes n actif risqué St . On étudie l’évaluation et la
couverture de l’option asiatique définie par la variable FT mesurable et positive
1 Z T
h=
Ss ds − K .
T 0
+
Ce type d’option qui porte sur la moyenne du cours de l’actif risqué sur [0, T ] a été introduit pour remédier
aux éventuelles manipulations de cours ’échéance.
1
1. Écrire l’équation diffŕentielle stochastique satisfaite par (St ) sous P∗ et donner la forme explicite de St .
Rt
2. On pose It = 0 Su du. Montrer que le processus (It , St ) est un processus d’Ito et écrire l’EDS (multidimensionnelle) satisfaite par ce processus.
3. On remarque que h = f (T, IT ), avec f (t, y) = ( 1t y − K)+ . Justifier que E∗ [h2 ] < ∞.
4. On définit le processus (Ṽt , t ∈ [0, T ]) par
Ṽt = exp(−rT )E∗ [h|Ft ].
Montrer que (Ṽt , t ∈ [0, T ]) est une P∗ martingale.
5. On admet que Ṽt dépend uniquement de (It , St ) (ceci est du au caractère markovien du couple (I, S))
et que l’on peut écrire
Ṽt = G(t, St , It ),
où G(t, s, y) est une fonction C 1,2 ([0, T ] × R2 ). Appliquer la formule d’Ito G(t,St , It ).
6. Proposer une stratégie de couverture Ht de l’option de flux h. Quelle EDP la fonction G doit-elle
satisfaire pour éviter les opportunités d’arbitrages ?
2