Un multiple qui ne contient que des 1
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Un multiple qui ne contient que des 1
Un multiple qui ne contient que des 1 Matthieu Dufour [email protected] Quiconque s’est déjà donné la peine d’apprendre par coeur le premier milliard de décimales de � a certainement poussé un long soupir de soulagement en parcourant les décimales 5275045519, car ce sont les dernières de cette liste. Le problème, après avoir passé plus de trente et un ans et huit mois de temps éveillé (à raison d’une décimale par seconde) à s’être astreint à cette tâche, est de déterminer à quoi cela pourrait servir. Heureusement, il y a moyen de recycler cette information à priori inutile. Désignons donc pas ARCHIMÈDE le nombre entier formé de 3 et du premier milliard de décimales de �, sans la virgule. Archimède est donc égal à la partie entière de 109 �. On a donc ARCHIMÈDE = 31415926535897932...(etc.)... 5275045519 Maintenant, la question qui nous occupera : y a-t-il un multiple de ARCHIMÈDE qui ne contienne que des «1» ? Abordons la chose intuitivement : le nombre ARCHIMÈDE contient un milliard et un chiffres, répartis de façon apparemment aléatoire de 0 à 9. En considérant les multiples successifs, on s’attend à trouver encore une fois une longue suite de chiffres qui se comportent en apparence comme une suite aléatoire, où chacun des chiffres de 0 à 9 apparaît environ cent millions de fois. Qui plus est, les multiples successifs d’ARCHIMÈDE comptent encore plus de chiffres. Il semble donc a priori que le fait de tomber sur une interminable série de «1» relèverait d’un hasard absolument stupéfiant. Voyons maintenant ce qu’il en est en abordant le problème un peu plus rigoureusement. Dans quels cas existe-t-il un multiple d’un entier N qui ne contienne que des «1» ? On constate rapidement que N doit forcément se terminer par 1, 3, 7 ou 9, sinon il est facile de vérifier qu’aucun de ses multiples ne pourrait se terminer par un «1», donc, a GRMS fortiori, encore moins ne compter que des «1». Le nombre ARCHIMÈDE satisfait à cette condition puisqu’il se termine par 9. Mais il est tellement gigantesque que pour l’instant, nous allons le remplacer par un nombre plus petit (beaucoup plus petit!), qui se termine par 1,3 7 ou 9. Considérons par exemple N = 13. Existe-t-il un multiple de 13 qui ne compte que des «1»? Dressons un tableau des restes de la division de 1,11,111,1111, etc. par 13 : Nb de chiffres Nombre formé de 1 Division par 13 Reste 1 1 0 x 13 + 1 1 2 11 0 x 13 + 11 11 3 111 8 x 13 + 7 7 4 1111 85 x 13 + 6 6 5 11111 854 x 13 + 9 9 6 111111 8 547 x 13 + 0 0 7 1111111 85 470 x 13 + 1 1 8 11111111 854 700 x 13 + 11 11 9 111111111 8 547 008 x 13 + 7 7 10 1111111111 85 470 085 x 13 + 6 6 11 11111111111 854 700 854 x 13 + 9 9 12 111111111111 13 1111111111111 85 470 085 470 x 13 + 1 1 14 11111111111111 854 700 854 700 x 13 + 11 11 ENVOL no 145 — octobre-novembre-décembre 2008 8 547 008 547 x 13 + 0 0 19 Le tableau montre qu’on peut répondre par l’affirmative à la question car 111111 est un multiple de 13. Mais plus intéressant encore est la colonne des restes : en divisant un nombre par N, il y a N restes possibles, à savoir 0, 1, 2, ..., N − 1. Les seuls facteurs premiers du facteur 10k sont 2 et 5. Puisque ni 2, ni 5 ne peut être un facteur de N (parce que N se termine par 1,3,7 ou 9), N et 10k sont donc relativement premiers. En utilisant le théorème sus-mentionné, on a que N divise le premier membre, à savoir 111...1. Si on prolonge le tableau jusqu’à considérer au moins N + 1 chiffres, alors dans la colonne des restes, il y aura forcément une valeur qui se répétera au moins une fois, car on vient de voir qu’il n’y a qu’au plus N reste possible pour N + 1 entrées. Dans l’exemple ci-haut, le premier membre est composé de six «1», soit 111111, qui est bien un multiple de 13, comme nous l’avons vu. Or, si deux entiers ont même reste après division par N, leur différence est forcément un multiple de N. Par exemple, dans le tableau, 111111111 et 111 ont tous deux un reste de 7 après division par 13. 13 est donc un facteur de la différence 111111111 – 111 = 111111000. La structure d’un nombre qui est la différence de deux nombres composés uniquement de «1» sera nécessairement une suite de «1» suivi d’une suite de «0», i.e. un nombre de la forme 111...1 × 10k. Ici, nous allons utiliser un théorème élémentaire de théorie des nombres qui affirme que si le produit de deux entiers AB est un multiple d’un entier N, et que N et B sont relativement premiers entre eux, alors A est un multiple de N. Et donc, il existe un multiple de N qui ne contient que des «1»! Maintenant, le raisonnement ci-haut est tout aussi valide pour n’importe quel nombre se terminant par 1,3,7 ou 9, et donc il vaut aussi pour le nombre ARCHIMÈDE! Avec N = ARCHIMÈDE, si on dresse sur des kilomètres le tableau des restes des nombres composés uniquement de «1» après division par N, à partir de N + 1 lignes, il y en aura au moins deux correspondant au même reste. En faisant la différence, on obtiendra un nombre de la forme 111...1 × 10k qui est divisible par ARCHIMÈDE. Puisque ARCHIMÈDE et 10k sont premiers entre eux, ARCHIMÈDE divise alors la première partie du produit, soit le nombre de la forme 111...1, et il existe donc un multiple de ARCHIMÈDE qui ne contient que des «1». Surprenant, non? Événements organisés par l’AQETA 1- Événement bénéfice de l’AQETA 22 octobre 2008 à 17 h 30 Salle Perspective 235 Centre des sciences de Montréal Vieux-Port de Montréal Cocktail dînatoire, encan et projection d’un film en 3D Billets en vente : 514-847-1324 poste 24 ou www.aqeta.qc.ca (reçu pour fin d’impôts) 2- Congrès annuel de l’AQETA 25 au 28 mars 2009 Hôtel Fairmont le Reine Elizabeth, Montréal www.aqeta.qc.ca 20 ENVOL no 145 — octobre-novembre-décembre 2008 GRMS