Nombres complexes

CHAPITRE
9
Nombres
complexes
Sommaire
Partie A (s14)
1 Rappels de première . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2
1.1 Forme algébrique
2
1.2 Forme trigonométrique
3
2 Forme exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2.1 Définition
4
2.2 Règles de calcul en notation exponentielle
5
Nombres complexes
Ch.09
Tale STI2D
Partie A (s14)
L’histoire des nombres complexes débute avec l’apparition de quantités négatives sous un radical, au xvie siècle avec le mathématicien
italien Jérôme Cardan. Raphaël Bombelli, un autre mathématicien
italien, détermine des règles de calcul sur ces nombres appelés alors
« impossibles ».
Ce n’est qu’à partir du xixe siècle que se développe l’aspect géométrique des nombres complexes, sous l’impulsion de l’abbé Buée de
Jean-Robert Argand, puis avec les travaux de Gauss et de Cauchy.
Ils sont actuellement utilisés en algèbre et en analyse, mais surtout
en tant qu’outil pour les physiciens, en optique ou en électricité.
Ensemble de Mandelbrot
1 Rappels de première
1.1 Forme algébrique
Définition 1.
L’ensemble C des nombres complexes a les caractéristiques suivantes :
• il contient le nombre i vérifiant i2 = −1 ;
• chaque élément z s’écrit de manière unique z = a + ib où a est la partie
réelle de z : Re(z) et b la partie imaginaire : Im(z) ;
partie imaginaire
• le conjugué du nombre complexe z = a + ib est le nombre z = a − ib.
Représentation graphique dans
le repère (O, U, V ) :
M (z = a + ib)
b
b
V
O
a
U
partie réelle
Proriété 2.
On pose z = a + ib, z ′ = a′ + ib′ deux nombres complexes et k un réel :
• z ± z ′ = (a + a′ ) ± i(b + b′ )
on multiplie par
l’expression
conjuguée
• z + z′ = z + z′
zz ′
z
(a + ib)(a′ − ib′ )
• ′ = ′ ′ =
z
a′2 + b′2
zz
• z ∈ R ⇐⇒ z = z
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• zz ′ = (aa′ − bb′ ) + i(ab′ + a′ b)
• z × z′ = z × z′
z
z
•
= ′
′
z
z
• z ∈ i R ⇐⇒ z = −z
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Exemple 3
Soit z = 2 + 3i et z ′ = i − 5, on a :
• 2z − 3z ′ = 2(2 + 3i) − 3(i − 5) = 4 + 6i − 3i + 15 = 19 + 3i ;
• zz ′ = (2 + 3i)(i − 5) = 2i − 10 + 3i2 − 15i = 2i − 10 − 3 − 15i = −13 − 13i ;
• z + z ′ = (2 − 3i) + (−i − 5) = −3 − 4i ;
•
(2 + i)(−3 − i)
−6 − 2i − 3i + 1
−5 − 5i
1 1
2+i
=
=
=
= − − i.
−3 + i
(−3 + i)(−3 − i)
10
10
2 2
Proriété 4.
Si M a pour affixe z = a + ib et M ′ a pour affixe z ′ = a′ + ib′ , alors :
−−−→
• le vecteur M M ′ a pour affixe z ′ − z ;
q
−−−→
• ||M M ′ || = (a′ − a)2 + (b′ − b)2 ;
• le milieu I de [M M ′ ] a pour affixe zI =
z + z′
.
2
Ces propriétés sont utiles pour les démonstrations dans le cadre de la géométrie avec
utilisation des nombres complexes.
1.2 Forme trigonométrique
Définition 5.
on note aussi
z = r(cosθ + i sin θ)
avec r = |z|
Soit z = a + ib un nombre complexe non nul et M le point d’affixe z.
√
√
• le module de z est le réel positif |z| = z z = a2 + b2 ;
−−→
→
• l’argument de z est le nombre réel θ tel que arg(z) = θ = (−
u , OM )[ 2π] ;
b
a
et sin θ =
.
on a cos θ =
|z|
|z|
Tout nombre complexe non nul z peut s’écrire z = |z| (cos θ + i sin θ).
Cette écriture s’appelle la forme trigonométrique de z.
M (z)
b = r sin θ
V
0
|z |
=
U
√ a2 +
r=
b2
θ
a = r cos θ
Pour trouver la forme trigonométrique d’un nombre z, il faut calculer successivement
le module et l’argument de z.
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q
Exemple
√6 √ 2 √
√
• 1 + i 3 = 12 + 3 = 1 + 3 = 4 = 2 ;

1

 cos θ =
√
π
2
√
• arg(1 + i 3) :
⇒ θ=
3

3
 sin θ =
2
h π
π i
√
+ sin
• 1 + i 3 = 2 cos
3
3
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⇒
√
π
arg(1 + i 3) = .
3
Proriété 7.
• |z| = 0 ⇐⇒ z = 0
• arg(zz ′ ) = arg(z) + arg(z ′ ) [2π]
• |−z| = |z| = |z|
z
• arg ′ = arg(z) − arg(z ′ ) [2π]
z
2 Forme exponentielle
2.1 Définition
Pour tout nombre réel θ, on pose :
e désigne le nombre
d’Euler
cos θ + i sin θ = eiθ
Définition 8.
π
ei×0 = 1 et ei 2 = i
Tout nombre complexe z non nul de module r et d’argument θ peut s’écrire
sous la forme z = r eiθ .
Cette écriture, avec r > 0, est appelée forme exponentielle du nombre z.
Remarque 9
On a alors z = r eiθ = r(cos θ + i sin θ) = r cos θ + ir sin θ = a + ib.
Exemple 10
√
Différentes écritures du nombre complexe 1 + i 3 :
Forme algébrique
√
1+i 3
Forme trigonométrique
h π
π i
2 cos
+ i sin
3
3
Forme exponentielle
π
2 ei 3
Exemple 11
3π
Passage de la forme
à la forme trigonométrique, puis algébrique de z = 4 ei 4 :
exponentielle
3π
3π
+ i sin
• z = 4 cos
4
4
√ √
2
2
• z=4 −
+i
2
2
√
√
= −2 2 + 2i 2
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2.2 Règles de calcul en notation exponentielle
Remarque 12
Pour les calculs du type « somme » ou « différence », on utilisera la forme algébrique.
On préférera la forme exponentielle pour les calculs de produits ou de quotients.
Proriété 13.
Soit θ et θ ′ des nombres réels et n un nombre entier :
′
′
• produit : eiθ × eiθ = ei(θ+θ ) ;
• puissance : eiθ
n
= einθ ;
1
= e−iθ ;
eiθ
eiθ
′
• quotient : iθ′ = ei(θ−θ ) ;
e
• conjugué : eiθ = e−iθ .
• inverse :
Démonstration de la première propriété :
′
eiθ × eiθ = (cos θ + i sin θ) × (cos θ ′ + i sin θ ′ )
= cos θ cos θ ′ + i cos θ sin θ ′ + i sin θ cos θ ′ − sin θ sin θ ′
on utilise les
formules d’addition
= (cos θ cos θ ′ − sin θ sin θ ′ ) + i(cos θ sin θ ′ + sin θ cos θ ′ )
= cos(θ + θ ′ ) + i sin(θ + θ ′ )
′
= ei(θ+θ ) .
Exemple 14
√
π
π
On considère les nombres complexes z1 = 2 ei 3 et z2 = 2 3 ei 6 :
√
π
π
• z 1 z 2 = 2 × 2 3 × ei 3 × ei 6
√
π
π
= 4 3 ei( 3 + 6 )
√
π
= 4 3 ei 2 ;
√
π 4
• z24 = 2 3 ei 6
√ 4
π
= 2 3 ei4 6
= 144 e
2iπ
3
;
√
π
2 3 ei 6
z2
=
•
π
z1
2 ei 3
√
2 3 i( π6 − π3 )
e
=
√2 −i π
= 3e 6 .
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