(Analyse Numérique 1) Méthodes d`approximation numérique des

(Analyse Numérique 1) Méthodes
d’approximation numérique des équations
elliptiques : Dérivation faible, Espaces de
Sobolev, Traces et Formulation Faible
- version 1.2 - Partie 1 Novembre 2007
2
Table des matières
1 Résultats fondamentaux
1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Application linéaires . . . . . . . .
1.1.2 Espaces vectoriels normés . . . . .
1.1.3 Rappels physiques . . . . . . . . .
1.2 Espaces de Lebesgue . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Résultats de densité . . . . . . . .
1.3 Dérivation faible . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Définition . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Résultats . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Espaces de Sobolev . . . . . . . . . . . . .
1.4.1 Définition . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2 Résultats de densités et continuités
1.4.3 Théorèmes et inégalités . . . . . . .
1.5 Théorèmes de trace . . . . . . . . . . . . .
1.5.1 Espace Ω = Rn+ . . . . . . . . . . .
1.5.2 Espace Ω ouvert borné de Rn . . .
1.5.3 Notations et résultats . . . . . . . .
3
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10
11
11
11
12
15
15
15
16
4
TABLE DES MATIÈRES
Chapitre 1
Résultats fondamentaux
1.1
1.1.1
Introduction
Application linéaires
Proposition 1. Soit f une application linéaire E → F , E et F espaces vectoriels normés. Alors les propriétés
suivantes sont équivalentes :
1. f est continue
2. f est lipschitzienne
3. ∃C > 0, kf (u)kF ≤ CkukE ∀u ∈ E
Proposition 2. Le noyau f −1 (0) = Ker(f ) d’une application linéaire f : E → F continue est un sous-espace
fermé de E.
Proposition 3. L’image réciproque d’un fermé par une application linéaire continue est un fermé.
Définition 1. Une forme linéaire est une application linéaire dont l’espace d’arrivée est l’ensemble des réels.
Proposition 4. Soit f une forme linéaire de E → R. Elle est continue si et seulement si son noyau est fermé.
Théorème 1. (Théorème de Riesz) Soit E un Hilbert sur un le corp C. On note (., .) le produit scalaire sur
cet espace vectoriel. On note E ∗ le dual de E (ensemble des formes linéaires continues de E dans R).Alors :
∀φ ∈ E ∗ , ∃!aφ ∈ E, t.q.∀x ∈ E, φ(x) = (x, aφ )
Définition 2. Soit V espace vectoriel normé. La forme bilinéaire a(., .) est V-elliptique si et seulement si
∃α > 0, ∀v ∈ V, a(v, v) ≥ αkvk2V
1.1.2
Espaces vectoriels normés
On ne rappel pas ce qu’est un espace vectoriel.
Définition 3. Une norme sur un espace vectoriel E est une application notée généralement k.kE de E dans R,
vérifiant les propriétés suivantes :
kxkE ≥ 0, ∀x ∈ E
kxkE = 0 ←→ x = 0
kλxkE = |λ|kxkE ∀x ∈ E, ∀λ ∈ C
kx + ykE ≤ kxkE + kykE ∀x, y ∈ E
Définition 4. Soit V un espace vectoriel. On appelle produit scalaire sur V une forme bilinéaire (u, v) de V × V
dans R, définie positive.
Définition 5. Un espace vectoriel normé est un espace vectoriel muni d’une norme.
Définition 6. Une suite (xn )n∈N est dite de Cauchy dans un espace vectoriel V normé lorsque :
∀ > 0 ∃n0 , ∀p, q > n0 on ait kxp − xq kV < .
5
6
CHAPITRE 1. RÉSULTATS FONDAMENTAUX
Toute suite convergente est de Cauchy mais la réciproque est fausse. Une suite peut être de Cauchy pour une
norme et pas pour une autre : la notion de suite de Cauchy est une notion métrique non topologique.
Définition 7. Un espace complet est un espace dans lequel toutes les suites de Cauchy convergent.
Définition 8. Un espace de Banach est un espace vectoriel normé complet.
Définition 9. Un espace de Hilbert est un espace vecoriel muni d’un produit scalaire, complet pour la norme
associée.
Théorème 2. (Cauchy schwartz discret) Soit ai , bi 1 ≤ i ≤ d des réels. On a alors l’inégailté suivante :
d
d
d
X
X
X
(
ai bi )2 ≤ (
a2i )(
b2i )
i=1
i=1
i=1
Théorème 3. (Inégalité de Cauchy-Schwarz) Soit V un espace vectoriel muni du produit scalaire (., .)V .
L’inégalité de Cauchy-Schwartz s’écrit donc :
|(u, v)V | ≤ kukV kvkV ∀u, v ∈ V .
Théorème 4. Un sous-espace vectoriel d’un espace complet est complet si et seulement si il est fermé.
Corollaire 1. Un sous-espace vectoriel de dimension finie d’un espace complet est complet.
Théorème 5. On dit qu’une partie A d’un espace vectoriel normé est compacte si toute suite de A possède une
suite extraite convergente. On appelle cette propriété, propriété de Bolzano-Weierstrass.
Corollaire 2. Dans R, une partie est compact si et seulement si elle est fermé bornée. Exemple : un segment.
Définition 10. (Application compacte) Soit A : H1 −→ H2 , H1 et H2 Hilbert. Soit un une suite bornée de
H1 . Si on peut extraire une suite uφn tel que Auφn converge dans H2 alors A est compacte.
1.1.3
Rappels physiques
Dans cette sous section, o va définir le gradient d’une quantité, le laplacien et l’opérateur nabla ∇.
Définition 11. A tout champs scalaire f (M ), M point d’un espace de dimension N , on associe un champ
−−→
vectoriel gradf tel que :
−−→ −−→
df (M ) = gradf.dOM
−−→ −
→
On note : grad = ∇ ou plus simplement ∇ l’opérateur gradient. Cet opérateur s’applique a une fonction de N
variables réelle et renvoit un vecteur de taille N .
−
N
Proposition 5. Soit f (M ) = f (x1 , ..., xN ) et soit →
e1 , ..., −
e→
N les vecteurs de base de l’espace R . Alors
N
X ∂f
−−→
−
→
ei
grad.f =
∂xi
i=1
Preuve :
P
On a df = N
i=1
∂f
dxi .
∂xi
−−→
Le vecteur de déplacement dOM s’écrit en coordonnées cartésiennes :
N
−−→ X
→
dOM =
dxi −
ei
i=1
Donc par identification à l’aide de la définition on obtient :
N
X ∂f
−−→
→
−
grad.f =
ei
∂x
i
i=1
Définition 12. (Opérateur Laplacien) On définit l’opérateur Laplacien en dimension N , qui transforme un
champ scalaire en champ scalaire, par :
N
X ∂2f
−−→
∆f = div(grad.f ) =
∂x2i
i=1
On a la relation suivante :
→
−
∆. = ∇ 2 .
1.1. INTRODUCTION
7
Proposition 6. On a dans RN :
∆f =
N
X
∂2f
∂x2i
i=1
→
−
Définition 13. (Opérateur divergence) Soit un champ vectoriel V et soit dτ un élément de volume entourant
un point M de l’espace. On définit :
→
−
dφ
div( V ) =
dτ
→
−
où dφ est le flux élémentaire sortant du champ V à travers la surface fermée délimitant dτ .
Rem :
→
−
– div( V ) représente le flux volumique en M .
– L’opérateur divergence construit un champ de scalaire à partir d’un champ de vecteurs.
Proposition 7. En coordonnées cartésiennes l’opérateur divergence s’écrit :
div(.) =
d’où :
n
X
∂.
∂x
i
i=1
n
X ∂Vi
→
−
div( V ) =
∂xi
i=1
Remarque 1. On a la relation suivante :
→
−
→−
−
→
div( V ) = ∇. V
8
CHAPITRE 1. RÉSULTATS FONDAMENTAUX
1.2
1.2.1
Espaces de Lebesgue
Définition
Définition 14. L’espace Lp (Ω) pour 1 ≤ p < ∞ est l’espace des fonctions dont la puissance p − ieme est
intégrable sur Ω.
L’espace L∞ (Ω) est l’espace des fonctions bornées presque partout dans Ω.
1.
Lp (Ω) = {f,
Z
f p < ∞}
Ω
2.
L∞ (Ω) = {f, ∃C > 0, tq, |f (x)| < C, p.p.x}
Définition 15. Muni du produit scalaire
Z
(f, g)L2 (Ω) =
f (x)g(x)dx
Ω
l’espace L2 (Ω) est un espace de Hilbert.
Muni de la norme
Z
1
kf kLp = ( |f (x)|p dx) p
Ω
l’espace Lp (Ω) est un espace de Banach.
Muni de la norme kf kL∞ (Ω) = inf (C ∈ R+ , |f (x)| < C p.p.x, dans Ω) l’espace L∞ (Ω) est un espace de
Banach.
Théorème 6. Si Ω est un ouvert borné de Rd alors :
Lp (Ω) ⊂ Lq (Ω), pour 1 ≤ q ≤ p ≤ ∞
Théorème 7. (Inégalité de Young) Soient a, b ∈ R+ , p ∈]1, ∞[, p0 défini par
1
p
+
1
p0
= 1. Alors on a :
0
ab ≤
ap
bp
+
p
p
0
Théorème 8. (Inégalité de Hölder) Soit Ω un ouvert de Rd . Soit f ∈ Lp (Ω), g ∈ Lp (Ω) avec p ∈ [1, ∞], p0
défini par p1 + p10 = 1. Alors on a f g ∈ L1 (Ω), c’est à dire :
Z
|f g| ≤ kf kLp (Ω) kgkLp0 (Ω)
Ω
1.2.2
Résultats de densité
Définition 16. On note Cc∞ (Ω) (ou D(Ω)), l’espace des fonctions C ∞ à support compact dans Ω.(parfois noté
C0∞ (Ω)).
Définition 17. On dit d’un sous-espace vectoriel A de E qu’il est dense dans E s’il pour tout élément f de E,
il existe une suite φn ∈ A telle que :
limn→∞ kf − φn kE = 0
Théorème 9. L’espace C00 (Ω) est dense dans Lp (Ω) ∀p, t.q.1 ≤ p < ∞
Théorème 10. L’espace Cc∞ (Ω) est dense dans L2 (Ω).
Corollaire 3. Soit f ∈ L2 (Ω). Si
Z
f (x)φ(x)dx = 0 ∀φ ∈ Cc∞ (Ω)
Ω
alors f (x) = 0 p.p dans Ω.
1.2. ESPACES DE LEBESGUE
9
Preuve :
Soit f ∈ L2 (Ω), tel que :
Z
f (x)φ(x)dx = 0 ∀φ ∈ Cc∞ (Ω)
Ω
Etant donné que C0∞ est dense dans L2 (Ω), ∃φn ∈ C0∞ tel que kφn − f kL2 −→ 0. On a ∀φn ∈ C0∞ (Ω)
Z
Z
Z
|
φn (x)φ(x)dx| = | (φn − f )(x)φ(x)dx +
f (x)φ(x)dx| ≤ kφn − f kL2 (Ω) kφkL2 (Ω)
Ω
Donc ∀φn ∈
Ω
C0∞ (Ω)
Ω
:
Z
φn (x)φ(x) −→ 0
Ω
En prenant un φ particulier : φ = φn , on a :
Z
φ2n (x) = kφn k2L2 −→ 0
Ω
donc :
kφn − 0kL2 −→ 0
d’où f ≡L2 0 donc f ≡ 0 presque partout ce qui termine la démonstration.
10
1.3
1.3.1
CHAPITRE 1. RÉSULTATS FONDAMENTAUX
Dérivation faible
Définition
Définition 18. Soit Ω un ouvert de Rd . Soit v ∈ L2 (Ω). On dit que v est dérivable au sens faible dans L2 (Ω)
s’il existe d fonctions (ωi )di=1 ∈ (L2 (Ω))d , telles que, ∀φ ∈ Cc∞ (Ω) et ∀i ∈ {1, ..., d},
Z
v(x)
Ω
∂φ
dx = −
∂xi
Z
wi (x)φ(x)dx
Ω
Chaque wi est appelée la i − eme dérivée faible de v et est notée
∂φ
.
∂xi
Lemme 1. Soit v ∈ L2 (Ω). S’il existe une constante C > 0 telle que, ∀φ ∈ Cc∞ (Ω), ∀i ∈ {1, ..., d},
Z
|
v(x)
Ω
∂φ
dx| ≤ CkφkL2 (Ω)
∂xi
alors v est dérivable au sens faible.
Définition 19. Soit Ω un ouvert de Rd . Soit σ ∈ (L2 (Ω))d . On dit que σ admet une divergence au sens faible
dans L2 (Ω) s’il existe une fonction w ∈ L2 (Ω) dans L2 (Ω), telle que, ∀φ ∈ Cc∞ (Ω),
Z
Z
(σ(x), ∇φ(x))dx = −
Ω
w(x)φ(x)dx
Ω
La fonction w est appelée la divergence faible de σ et est notée div(σ).
Lemme 2. Soit v ∈ L2 (Ω). S’il existe une constante C > 0 telle que, ∀φ ∈ Cc∞ (Ω),
Z
(σ(x), ∇φ(x))dx| ≤ CkφkL2 (Ω)
|
Ω
alors v admet une divergence au sens faible.
1.3.2
Résultats
∂v
Proposition 8. Soit v ∈ L2 (Ω), dérivable au sens faible L2 (Ω) tel que ∀i ∈ {1, ..., n} ∂x
, dérivées partielles
i
faibles soit nulles. Alors pour chaque composante connexe de Ω, il existe une constante C tel que v(x) = C
presque partout dans cette composante connexe.
1.4. ESPACES DE SOBOLEV
1.4
1.4.1
11
Espaces de Sobolev
Définition
Définition 20. Pour tout entier m ≥ 1, on appelle espace de Sobolev d’ordre m sur Ω l’espace
H m (Ω) = {v ∈ L2 (Ω), ∂ α v ∈ L2 (Ω), |α| ≤ m}.
On le munit du produit scalaire
X Z
(u, v)n,Ω =
|α|≤n
∂ α u(x)∂ α v(x)dx
Ω
et de la norme associée
11/2
0
X Z
kukn,Ω = @
|α|≤n
α
2
|∂ u(x)| dxA
Ω
On a plus généralement ∀m ≥ 0 et ∀p ∈ [1, ∞],
W m,p (Ω) = {v ∈ Lp (Ω), ∂ α v ∈ Lp (Ω), |α| ≤ m}.
avec α N − uplet ∈ N N , ∂ α v =
∂ αN v
∂ α1 v ∂ α 2 v
α
α ...
α
∂x1 1 ∂x2 2
∂xNN
et |α| = α1 + ... + αN .
Définition 21. L’espace H n (Ω) est un espace de Hilbert pour la norme k.k0,Ω .
Définition 22. Pour m ∈ N on note H0m (Ω) l’adhérance de D(Ω) = C0∞ dans H m (Ω).
Définition 23. On note H k/2 (ΓD ), k ≥ 1 l’espace défini par :
H k/2 (ΓD ) = {v ∈ L2 (ΓD )|∃w ∈ H k (Ω), γΓD w = v}
Théorème 11. L’espace H 1/2 (ΓD ) est un sous-espace dense de L2 (ΓD ). Muni de la norme :
kvkH 1/2 (ΓD ) = inf {kwkH 1 (Ω) , t.q.γΓD w = v}
l’espace H 1/2 (ΓD ) est un espace de Hilbert.
1.4.2
Résultats de densités et continuités
Proposition 9. Pour tout m ∈ N , l’espace D(Rn ) est dense dans H m (Rn ). C’est à dire :
H0m (Rn ) = H m (Rn )
Proposition 10. Soit Ω un ouvert borné de Rn , alors H01 (Ω) & H 1 (Ω).
Définition 24. Soit Ω borné. Alors ∃C > 0 tel que :
∀v ∈ H0n (Ω), kvkn−1,Ω ≤ C|v|n,Ω
.
Définition 25. Etant donné une fonction u définie sur un ouvert Ω de Rn . On définit ũ la fonction qui prolonge
u par 0 sur Ω \ Rn .
Proposition 11. Si u est dans H0m (Ω) alors ũ est dans H m (Rn ).
Proposition 12. Si u ∈ W 1,p et v ∈ W 1,q avec
1
r
=
1
p
+
1
q
alors uv ∈ W 1,r .
Théorème 12. Posons la décomposition suivante :
¯
Ω̄ = ∪R
r=1 Ωr
tel que :
– Ωr ouvert de RN ⊂ R, Γr assez régulière avec 1 ≤ r ≤ R
– Ωr ∩ Ωs = {0} lorsque r =
6 s
Alors
1. v ∈ C ∞ (Ω̄) tel que ∀r, v|Ωr ∈ H 1 (Ωr ), alors v ∈ H 1 (Ω)
2. v ∈ C 1 (Ω̄) tel que ∀r, v|Ωr ∈ H 2 (Ωr ), alors v ∈ H 2 (Ω)
12
1.4.3
CHAPITRE 1. RÉSULTATS FONDAMENTAUX
Théorèmes et inégalités
Définition 26. Un espace Ω est dit régulier s’il satisfait les trois conditions suivantes :
– Ω est fermé
– Γ = ∂Ω, frontière de Ω est une variété − C 1 de dimension N − 1 : c’est à dire qu’on peut parametrer Γ
par une application de Rn−1 −→ Rn C 1 .
– Ω est localement d’un seul côté de sa frontière.
Théorème 13. (Rellich) Soit Ω un ouvert borné régulier de frontière Γ assez régulière (C 1 par morceaux).
Alors de toute suite bornée de H 1 (Ω) on peut extraire une sous suite convergente dans L2 (Ω) (convergence forte).
On dit que l’injection canonique de H 1 (Ω) dans L2 (Ω) est compacte.
Si on suppose juste que Ω est un ouvert borné régulier de Rn alors l’injection canonique de H01 (Ω) dans
L2 (Ω) est compacte.
Proposition 13. (Inégalité de Poincaré) Soit Ω =]a, b[,tel que −∞ < a < b < ∞. Il existe une costante
Cp (Ω) > 0 telle que ∀v ∈ H 1 (Ω) vérifiant v(a) = 0 ou v(b) = 0 on ait :
b
Z
b
Z
2
|v(x)| dx ≤ Cp (Ω)
a
|v 0 (x)|2 dx
a
n
Plus généralement, soit Ω un ouvert de R borné dans au moins une direction et connexe. Alors il existe une
constante C(Ω) telle que :
∀u ∈
H01 ,
kuk0,Ω ≤ C(Ω)
n
X
!1/2
k∂j uk20,Ω
= C(Ω)k∇uk0,Ω
j=0
Encore plus général : Soit Ω un ouvert borné dans au moins une direction connexe de Rd de frontière Γ, C 1
par morceaux, et ΓD une partie de sa frontière de mesure non nulle. Soit V = {v ∈ H 1 (Ω)|v|ΓD = 0}. Alors il
existe une constante C(Ω) telle que :
∀u ∈ V,
kuk0,Ω ≤ C(Ω)
n
X
!1/2
k∂j uk20,Ω
= C(Ω)k∇uk0,Ω
j=0
ou encore :
∀u ∈ V,
kuk1,Ω ≤ (C 2 (Ω) + 1)k∇uk0,Ω
Preuve 1 :
On procède par densité. Soit v ∈ D(Ω), et ṽ le prolongement de v par 0 sur Rn \ Ω. On a ṽ ∈ H 1 (Rn ). Etant
donnée que l’on suppose Ω borné dans au moins une direction, prenons cette direction la n − ième dimension
0
de Ω : x ∈ Ω alors a ≤ xn ≤ b et x = (x0 , xn ), x0 ∈ Rn−1 . Comme on a ṽ(x , a) = 0, on écrit :
Z xn
∂ṽ 0
ṽ(x0 , xn ) =
(x , t)dt
∂x
n
a
ce qui donne avec Cauchy-Schwartz :
|ṽ(x0 , xn )|2 ≤ (xn − a)
xn
Z
|
∂ṽ 2 0
| (x , t)dt
∂xn
|
∂ṽ 2 0
| (x , t)dt
∂xn
a
donc :
|ṽ(x0 , xn )|2 ≤ (xn − a)
Z
∞
−∞
En intégrant sur les n − 1 dimensions non bornées à priori de l’espace cette dernière inégalité, on obtient :
Z
Z
∂ṽ 2
|ṽ(x0 , xn )|2 dx0 ≤ (xn − a)
|
| (x)dx
Rn−1
Rn ∂xn
Puis en intégrant sur la dernière dimension :
Z
Z b
∂ṽ 2
|ṽ(x)|2 dx ≤
(xn − a)dxn k
k0,Rn
∂x
n
n
R
a
ou encore :
Z
Rn
|ṽ(x)|2 dx ≤
1
∂ṽ 2
k0,Rn
(b − a)2 k
2
∂xn
On a démontré que ∀v ∈ C0∞ ,
kvkL2 (Ω) ≤ C(Ω)k∇kL2 (Ω)
1.4. ESPACES DE SOBOLEV
13
Il faut étendre le résultat à tout v dans H01 (Ω). Soit v ∈ H01 (Ω), comme D(Ω) est dense dans H01 alors ∃φn ∈ D(Ω)
tel que φn → v en norme H 1 . Ce qui veut dire que φn → v en norme L2 et ∇φn → ∇v en norme L2 .
Or
kφn k ≤ kφn − vk2 + kvk2
donc kφn k → kvk en norme L2 et de même k∇φn k → k∇vk en norme L2 . d’où le résultat voulu :
kvkL2 ≤ C(Ω)k∇vkL2
Preuve 2 :
On va utiliser le théorème de Rellich. Raisonnons par l’absurde : on veut démontrer que :
∃C > 0, ∀v ∈ H01 kvk0,Ω ≤ C|v|1,Ω
la négation de cette phrase mathématique est :
∀A > 0, v(A) ∈ H01 kv(A) k0,Ω > A|v(A) |1,Ω
Pour A = n on a :
∀n > 0, vn ∈ H01 kvn k0,Ω > n|vn |1,Ω
On pose wn =
vn
kvn k0,Ω
et donc kwn k0,Ω = 1, et |wn |1,Ω =
|vn |1,Ω
kvn k0,Ω
∀n > 0, ∃wn ∈ H01 , |wn |1,Ω <
ce qui donne :
1
, et kwn k0,Ω = 1
n
donc kwn k21,Ω ≤ (1 + n12 ) ≤ 2, donc wn est une suite bornée dans H01 (Ω).
D’après Rellich, il existe une sous suite convergente dans L2 Zn = wφ (n). On a donc :
k∇Zn k0,Ω = |Zn |1,Ω ≤
1
n
ce qui permet de dire que ∇Zn −→ 0 dans L2 (Ω). Sachant que l’on a aussi Zn −→ Z ∈ L2 (Ω) dans L2 (Ω) on
peut dire que Zn −→ Z ∈ H 1 (Ω).
Comme ∇Z = 0, Z est constant sur chaque composante connexe de Ω. Or Z ∈ H01 (Ω), donc sur la composante
connexe Ω, Z ≡ 0. Or kZk0,Ω = 1 ∀Z (convergence forte dans L2 )
Contradiction
ce qui termine la démonstration.
Proposition 14. (Inégalité de Poincaré-Wirtinger) Soit Ω un ouvert connexe de Rn . Alors il existe une
constante C(Ω) telle que :
∀u ∈ H 1 ,
ku − m(u)k0,Ω ≤ C(Ω)k∇uk0,Ω
avec
R
m(u) =
u(y)dy
dy
Ω
ΩR
Preuve :
On va utiliser le théorème de Rellich. Raisonnons par l’absurde : on veut démontrer que :
∃C > 0, ∀v ∈ H 1 kv − m(v)k0,Ω ≤ C|v|1,Ω
la négation de cette phrase mathématique est :
∀A > 0, ∃v(A) ∈ H 1 kv(A) − m(v(A) )k0,Ω > A|v(A) |1,Ω
Pour A = n on a :
∀n > 0, ∃vn ∈ H 1 kvn k0,Ω > n|vn |1,Ω
On pose vn := vn − m(vn ) puis wn =
vn
kvn k0,Ω
et donc kwn k0,Ω = 1, et |wn |1,Ω =
∀n > 0, ∃wn ∈ H01 , |wn |1,Ω <
|vn |1,Ω
kvn k0,Ω
ce qui donne :
1
, et kwn k0,Ω = 1
n
donc kwn k21,Ω ≤ (1 + n12 ) ≤ 2, donc wn est une suite bornée dans H 1 (Ω).
D’après Rellich, il existe une sous suite convergente dans L2 Zn = wφ (n). On a donc :
k∇Zn k0,Ω = |Zn |1,Ω ≤
1
n
14
CHAPITRE 1. RÉSULTATS FONDAMENTAUX
ce qui permet de dire que ∇Zn −→ 0 dans L2 (Ω). Sachant que l’on a aussi Zn −→ Z ∈ L2 (Ω) dans L2 (Ω) on
peut dire que Zn −→ Z ∈ H 1 (Ω).
Comme ∇Z = 0, Z est constant sur chaque composante connexe de Ω. Donc Z = Cst puisque Ω connexe.
n)
= 0. Or Z = Cst donc Cst = 0
On a kZk0,Ω = 1 ∀Z (convergence forte dans L2 ). Puis on a m(Zn ) = m(v
kvn k
sachant que l’on a kZk0,Ω = 1.
Contradiction
ce qui termine la démonstration.
Corollaire 4. Soit Ω un ouvert de Rn , borné dans au moins une direction, alors la semi-norme
|u|1,Ω =
n
X
!1/2
k∂j uk20,Ω
j=0
est une norme sur
H01 (Ω)
équivalente à la norme k.k1,Ω
Preuve :
Soit v ∈ H01 , |v|1,Ω ≤ kvk1,Ω par définition. En applicant Poincaré on a :
kvk21,Ω = |v|21,Ω + kvk21,Ω ≤ (1 + Cp2 )|v|21,Ω
ce qui prouve l’équivalence des normes.
Remarque : H01 est un espace de Hilbert pour la norme induite k.k1,Ω , c’est donc un espace de Hilbert pour
la norme |.|1,Ω .
Lemme 3. ∀v ∈ H 1 (]0, 1[) et ∀x, y ∈ [0, 1] on a :
Z
y
v(y) = v(x) +
v 0 (s)ds
x
plus généralement,
∀x ∈ [0, 1],
H1 (]0, 1[)
v
−→
7−→
R
v(x)
est une forme linéaire continue sur H 1 (]0, 1[)
En particulier, en dimension 1, toute fonction de H 1 (]0, 1[) admet un représentant continu sur [0, 1].
Théorème 14. Soit Ω borné, alors l’injection canonique de H n (Ω) −→ H n−1 (Ω) est compacte.
Théorème 15. Soit v ∈ H 1 (a, b) alors ∃C > 0 tel que :
v(x) ≤ CkvkH 1 (a,b)
∀x ∈ [a, b]
1.5. THÉORÈMES DE TRACE
1.5
15
Théorèmes de trace
∂v
Pour une fonction v ∈ H 1 , qui n’est donc pas forcément continue, quel est le sens de v|Γ et de ∂n
?
|Γ
n
Soit Ω un ouvert de R , Ω̄ sa fermeture et m ∈ N ∪ {∞} . On introduit les notations suivantes :
C m (Ω̄) = {f : Ω̄ → R|∃Ω1 ∈ ouvert(Rn ), Ω̄ ⊂ Ω1 , ∃f1 ∈ C m (Ω1 ), t.q.f1 |Ω̄ = f }
C0m (Ω̄) = {f : Ω̄ → R|∃Ω1 ∈ ouvert(Rn ), Ω̄ ⊂ Ω1 , ∃f1 ∈ C0m (Ω1 ), t.q.f1 |Ω̄ = f }
1.5.1
Espace Ω = Rn+
On pose ici :
0
n
Rn
+ = {x = (x , xn ) = (x1 , ..., xn ) ∈ R |xn > 0}
n
n−1
ΓRn+ = ∂Rn
×0
+ = {x ∈ R |xn = 0} = R
1
n
Lemme 4. L’espace C0∞ (R¯n
+ ) est dense dans H (R+ )
2
n−1
), on définit γ0 v
Etant donné que l’on peut parler de la trace d’une fonction v de ∈ C0∞ (R¯n
+ ) dans L (R
par :
γ0 (v)(x0 ) = v(x0 , 0) ∀x0 ∈ Rn−1
On a γ0 (v) ∈ C0∞ (Rn−1 ). On a ensuite le lemme suivant :
Lemme 5. Pour tout v ∈ C0∞ (R¯n
+) :
kγ0 vk0,Rn−1 ≤ CkvkH 1 (Rn+ )
Corollaire 5. L’application γ0 : v −→ v(., 0) = γ0 v est une application linéaire continue de ∈ C0∞ (R¯n
+ ) dans
2
n−1
L2 (Rn−1 ) et γ0 se prolonge en une application linéaire continue de H 1 (Rn
) et on a :
+ ) dans L (R
Pour tout v ∈ H 1 (Rn
+) :
kγ0 vk0,Rn−1 ≤ CkvkH 1 (Rn+ )
∞
N
1
n
Théorème 16. (Formule de Green Ω = Rn
+ ) ∀φ ∈ C0 (R ), et ∀v ∈ H (R+ ) on a : ∀i ∈ {1, ..., N − 1}
Z
Z
∂φ
∂v
(1)
v
dx = −
φdx
∂x
∂x
n
n
i
i
R
R
+
Z
(2)
v
Rn
+
∂φ
dx = −
∂xN
+
Z
Rn
+
Z
∂v
φdx −
∂xN
v(x0 , 0)φ(x0 , 0)dx0
Rn−1
Proposition 15. Soit Ω ouvert borné de Rd de classe C m ( ou Ω = Rd+ ) alors Cc∞ (Ω) est dense dans H m (Ω).
1.5.2
Espace Ω ouvert borné de Rn
Lemme 6. L’espace C0∞ (Ω̄) est dense dans H 1 (Ω)
Théorème 17. L’application γ0 : v −→ γ0 v = v|Γ ∈ C ∞ (γ) est une application linéaire continue de ∈ C0∞ (Ω̄)
dans C ∞ (Γ) et γ0 se prolonge en une application linéaire continue, notée γ0 et nommé trace de v, de H 1 (Ω)
dans L2 (Γ) et on a :
Pour tout v ∈ H 1 (Ω) :
kγ0 vk0,Γ ≤ CkvkH 1 (Ω)
Théorème 18. (Caractérisation de H01 (Ω)) Soit Ω ouvert bornée de RN et Γ assez régulière, alors :
H01 (Ω) = Ker(γ0 ) = {v ∈ H 1 (Ω), γ0 v = v|Γ = 0}
Théorème 19. (Caractérisation de H 2 (Ω)) Soit Ω ouvert borné, Γ assez régulière, alors :
H02 (Ω) = Ker(γ) = {v ∈ H 2 (Ω), v|Γ =
∂v
= 0}
∂x |Γ
Théorème 20. (Formule de Green) Soit Ω un ouvert borné connexe et Γ assez régulière (C 1 par morceaux),
et p, q ∈ [1, ∞] tels que p1 + p10 = 1. Si u ∈ W 1,p (Ω) et v ∈ W 1,q (Ω) alors ∀i ∈ {1, ..., N } :
Z
Ω
∂u
v=−
∂xi
Z
u
Ω
∂v
+
∂xi
Z
uvυi
Γ
avec υi la i − ème composante du vecteur de la normale extérieure à Γ.
16
CHAPITRE 1. RÉSULTATS FONDAMENTAUX
Théorème 21. (Formule de Green, cas H 1 ) Soit Ω un ouvert borné connexe et Γ assez régulière (C 1 par
morceaux), alors ∀u, v ∈ H 1 (Ω) et ∀i ∈ {1, ..., N } :
Z
Z
Z
∂u
∂v
v=−
u
+
uvυi
Ω ∂xi
Ω ∂xi
Γ
avec υi la i − ème composante du vecteur de la normale extérieure à Γ.
Théorème 22. (Formule de Green, cas H 2 ) Soit Ω un ouvert borné connexe de Rd de frontière Γ, C 1 par
morceaux. Alors ∀u ∈ H 2 (Ω), ∀v ∈ H 1 (Ω), on a :
Z
Z
Z
∂u
∆u.v = − (∇u.∇v) +
v
∂n
Ω
Ω
Γ
Remarque : Lorsque l’on écrit
Z
uv
Γ
cela veut dire que l’on a :
Z
γ0 (u)(x)γ0 (v)(x)dσ(x)
Γ
Théorème 23. (Relèvement) Soit Ω un ouvert borné et régulier de R2 . Soit Γ une partie de ∂Γ de mesure
non nulle. Alors il existe une constante CR (Ω) tel que :
∀g ∈ H 1/2 (∂Ω), ∃ug ∈ H 1 (Ω), γ(ug ) = g
et on a :
kug kH 1 (Ω) ≤ CR (Ω)kgkH 1/2 (∂Ω)
1.5.3
Notations et résultats
Si on se place dans H 2 (Ω), avec Ω borné et Γ C 1 par morceaux. On note :
γ0 v = v|Γ ∈ L2 (Γ), ∀v ∈ H 2 (Ω)
De plus étant donné que
∂v
∂xi
∂v
∈ H 1 , alors γ0 ( ∂x
) a un sens dans L2 (Γ). On peut donc définir :
i
N
γ1 v =
−
où →
ν est la normale extérieure à Γ.
X ∂v
∂v
=
νi|Γ ∈ L2 (Γ)
∂ν|Γ
∂x
i
i=1