Introduction à la physique des plasmas cours 6: Diffusion d`un plasma

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Z≤≤ 1
B = 0
B 6= 0
Introduction à la physique des
plasmas
cours 6: Diffusion d’un plasma
S. Mazevet
Laboratoire de Structure Electronique
Département de Physiqu e Théorique et Appliquée
Commissariat à l’Energie Atomique
Bruyères-Le-Châtel, textscFrance
Orsay, Octobre 2010
Orsay, Octobre 2010
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Table of contents
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Z≤≤ 1
B = 0
B 6= 0
1
Plasmas faiblement ionisés
2
Diffusion ambipolaire
3
Diffusion en présence de B
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Introduction
Z≤≤ 1
B = 0
B 6= 0
Un plasma homogène et infini comme nous l’avons considéré
jusqu’à présent est une vision idéalisée
Dans le laboratoire ou la réalité un plasma posséde un gradient de
densité
Un plasma tend toujours à diffuser vers les régions de faible densité
Un des objectifs principaux pour la fusion thermonucléaire
magnétique est d’empécher la diffusion en utilisant des champs
magnétiques
Nous allons considérer dans un premier temps le cas d’un plasma
faiblement ionisé et sans champ magnétique
Nous cherchons à décrire une distribution non-uniforme d’ions et
d’électrons dans un fond de particules neutres.
Alors que le plasma diffuse à cause du gradient de pression et des
champs électriques, les particules individuelles décrivent une
marche aléatoire et subissent des collisions fréquentes avec les
neutres
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Rappels sur les collisions
Z≤≤ 1
B = 0
B 6= 0
On rappelle que dans un plasma, le libre parcours moyen est donné
par
1
λm =
(1)
nn σ
où nn est la densité d’atomes neutres par m3 et σ la section
efficace
λm représente la distance parcourue par une particule chargée
avant qu’elle ait une forte probabilité de subir une autre collision
Le temps moyen entre deux collisions pour des particules à la
vitesse v est donné par
τ = λm /v
(2)
La fréquence de collision moyenne est donc
τ −1 = v/λm = nn σv
(3)
La fréquence de collision s’obtient en considérant une distribution
de Maxwell-Boltzman pour les vitesses
ν = nn σv
¯
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(4)
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Paramètre de Diffusion
Z≤≤ 1
B = 0
B 6= 0
L’équation fluide pour chaque espèce est
dv
∂v
mn
= mn
+ (v.∇)v = ±enE − ∇p − mnνv
dt
∂t
(5)
On considère le cas où dv/dt = 0 (quasi-statique)
On suppose de plus que v est suffisement petit (ou ν suffisement
élevée) pour qu’un élément du fluide ne se déplace pas dans une
région où E et ∇p sont différents durant le temps de collision
L’équation fluide devient alors
1
[±enE − ∇p]
mnν
En considérant un plasma isothermal ∇p = kB T ∇n et
v=
v
=
=
e
kB T ∇n
E−
mν
mν n
∇n
= µE − D
n
±
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(6)
(7)
(8)
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Paramètre de Diffusion II
Z≤≤ 1
B = 0
B 6= 0
Nous avons définit deux paramètres, la mobilité µ et le coefficient
de diffusion D
µ=
|q|
mν
D=
kB T
mν
(9)
Ces coefficients sont différents pour chacunes des espèces
Ils sont connectés par la relation d’Einstein
µ=
|q|D
kB T
(10)
Le flux Γj pour l’espèce j s’écrit alors
Γj = nvj = µj nE − Dj ∇n
(11)
La loi de diffusion de Fick est un cas spécial correspondant au cas
où E = 0 et les particules sont neutres µ = 0
Γj = −D∇n
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(12)
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Paramètre de diffusion II
Z≤≤ 1
B = 0
B 6= 0
La loi de Fick traduit le fait que la diffusion est un processus de
marche aléatoire pour lequel le flux net de la région dense à la
région moins dense à pour cause la densité de particules plus
élevée dans la région dense
Le flux est proportionnel au gradient de densité
Pour un plasma, la loi de Fick n’est pas nécessairement suivie à
cause de la possibilité de mouvements organisés dus aux ondes
plasmas
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Diffusion ambipolaire
Z≤≤ 1
B = 0
B 6= 0
Nous allons maintenant étudier comment la densité d’un plasma
créé dans un container diminue par diffusion jusqu’aux murs qui
l’entoure
Lorsque les électrons et les ions atteignent les murs ils se
recombinent.
La densité près du mur est alors considérée comme nulle
L’équation fluide et l’équation de continuité gouvernent le
comportement du plasma
En considèrant l’équation de continuité, on obtient
∂n
+ ∇.(nu) = 0
(13)
∂t
Si la fréquence de collision est large, on peut également négliger la
dérivée temporelle dans l’équation fluide et utiliser les paramètres
de diffusion définis plus haut
∂n
+ ∇Γj = 0
∂t
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(14)
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Diffusion ambipolaire II
Z≤≤ 1
B = 0
B 6= 0
Si Γi est Γe ne sont pas égaux, un deséquilibre de charges apparait
rapidement
Pour un plasma de taille trés supérieure à la longueur de Debye, il
doit être quasi-neutre
Les coefficients de diffusion des électrons et des ions doivent donc
s’ajuster pour que les deux espèces quittent le plasma à la même
vitesse.
Les électrons étant plus légers, leur vitesse thermique est plus
élevée
Les électrons ont donc tendance à quitter le plasma en premier
Ceci génére une charge positive au centre du plasma et un champ
électrique associé
Ceci retarde d’une part les électrons et accelére d’autre part les
ions vers l’extérieur du plasma
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Diffusion ambipolaire IV
Z≤≤ 1
B = 0
B 6= 0
Le champs electrique E s’obtient en posant Γe = Γi = Γ
= µi nE − Di ∇n = −µe nE − De ∇n
(15)
Di − De ∇n
E =
(16)
µi + µe n
Le flux de particules est alors
Di − De
∇n − Di ∇n
(17)
Γ = µi
µi + µe
µi Di − µi De − µi Di − µe Di
=
∇n
(18)
µi + µe
µi De + µe Di
∇n
(19)
= −
µi + µe
On retrouve la loi de Fick avec un nouveau coefficient de diffusion,
appellé coefficient de diffusion ambipolaire
µi De + µe Di
Da =
(20)
µi + µe
Γ
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Diffusion ambipolaire IV
Z≤≤ 1
B = 0
B 6= 0
Si le coefficient ambipolaire est constant, l’equation de diffusion
devient alors
∂n
= Da ∇2 n
(21)
∂t
On peut estimer l’ordre de grandeur de Da en considérant que
µe >> µi
Avec ν ≡ vth et v ≡ m−1/2 donc µ ≡ m−1/2
En utilisant la relation d’Einstein
µi
(22)
Da ≡ Di + De
µe
qDi kB Te
= Di +
De
(23)
kB Ti qDe
Te
= Di + Di
(24)
Ti
Pour un plasma à l’équilibre Te = Ti
Da = 2Di
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(25)
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Diffusion ambipolaire IV
Z≤≤ 1
B = 0
B 6= 0
L’effet du champ électrique ambipolaire est donc d’accélérer la
diffusion des ions par un facteur 2
La diffusion est controllée par l’espèce la plus lente
L’équation de diffusion se résoud en utilisant une séparation de
variable
n(r, t) = T (t)S(r)
(26)
A partir de l’équation de diffusion
∂n
= Da ∇2 n
(27)
∂t
on obtient
dT
D
= DT ∇2 S
(28)
dt
Da 2
1 dT
=
∇ S
(29)
T dt
S
Comme la partie de gauche ne dépent que du temps et la partie de
droite que de l’espace, chacune des parties doit être égale à une
constante que l’on défini par −1/τ
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Diffusion ambipolaire: Plasma à 1-D
Z≤≤ 1
B = 0
La fonction T satisfait la relation
B 6= 0
dT
T
=−
dt
τ
(30)
T = T0 e−t/τ
(31)
qui admet comme solution
Pour un problème à une dimension, la partie spatialle S satisfait
l’équation
d2 S
1
=−
S
(32)
2
dx
Dτ
qui admet comme solution
S = Acos
x
x
+ Bsin
(Dτ )1/2
(Dτ )1/2
(33)
La densité tend vers zéro près des murs et possède un ou plusieurs
maximums entre.
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Diffusion ambipolaire VI
Z≤≤ 1
B = 0
B 6= 0
La solution la plus simple comporte un seul maximum
Par symmètrie B = 0 et S = 0 pour x = ±L entraine
L
(Dτ )1/2
=
τ
=
π
2
(34)
2L
π
1
D
(35)
En combinant les résultats précédents on obtient pour la densité
n = n0 e−t/τ cos
πx
2L
(36)
Cette solution est le mode de diffusion principal: La densité de
distribution correspond à un cosinus dont le pic de densité décroit
de manière exponentielle dans le temps
Il existe bien sûr des modes de diffusion d’ordre plus élevés
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Diffusion ambipolaire VI
Z≤≤ 1
B = 0
B 6= 0
Une distribution de densité arbitraire peut être exprimée par une
série de Fourier
!
X
(l + 1/2)πx X
mπx
n = n0
al cos
+
bm sin
(37)
L
L
m
l
Les indices sont choisis de facons à ce que les conditions aux
limites à x = ±L sont satisfaites automatiquement
Pour prendre en compte la dépendance temporelle, on peut alors
poser
!
(l + 1/2)πx X
−t/taum mπx
n = n0
al e
cos
+
bm sine
L
L
m
l
(38)
En utilisant l’équation de diffusion, chaque cosinus amène à une
relation du type
2
1
1π
− = −D l +
(39)
τl
2L
X
−t/τl
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Diffusion ambipolaire VI
Z≤≤ 1
B = 0
B 6= 0
La constante d’amortissement pour le mode l est donc donné par
2
L
1
τl =
(40)
(l + 12 )π D
Les structures fines de la densité correspondent aux modes l élevés
La constante de temps τl est plus faible pour les modes élevés
Pour une densité initiallement non-uniforme, les modes élevés
disparaissent en premier
Les modes les plus faibles sont ensuite atteints
Une fois le mode le plus bas atteint, la densité dimiminue tout en
gardant sa forme en cosinus
Pour la diffusion dans un cylindre, la partie spatiale devient
d2 S
1 dS
1
+
+
S=0
dr2
r dr
Dτ
(41)
Les solutions sont des fonctions de Bessel J0 (r/[Dτ ]1/2 )
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Diffusion en présence de B
Z≤≤ 1
B = 0
B 6= 0
La vitesse de diffusion d’un plasma peut être ralentie en incluant
un champs magnétique
C’est le principe exploité pour la fusion par confinement
magnétique
On se place encore dans l’approximation d’un plasma faiblement
ionisé
Comme B ne modifie pas le mouvement des particules chargées
dans le sens du champ on a alors pour chaque espèce
∂n
(42)
∂z
Sans collisions, les particules ne diffusent pas perpendiculairement
au champ, elles continuent leur mouvement cyclotron
perpendiculaire aux lignes de champs
Pour un cylindre parfaitement symmétrique, les gradients sont tous
dans la direction radiale et il n’y a pas de diffusion vers les murs
Les collisions permettent aux particules chargées de diffuser de
manière perpendiculaire au champ B
Γz = ±nEz − D
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Diffusion en présence de B II
Z≤≤ 1
B = 0
B 6= 0
Cela se produit comme pour une marche aléatoire où une collision
avec un neutre entraine la diffusion vers des densités plus faibles
Le rayon de Larmor rL est maintenant la longueur caractéristique
de cette marche au hasard ( à la place de la fréquence de collision
pour le cas où B = 0)
La diffusion perpendiculaire à B peut donc être ralentie en
réduisant le rayon de Larmor rL c’est à dire en augmentant B
L’équation fluide pour la composante perpendiculaire à B pour
chacune des espèces est
dv⊥
mn
= ±en(E + v⊥ × B) − kB T ∇n − mnνv
(43)
dt
En considérant que ν est suffisament large pour que dv⊥ /dt = 0,
les composantes x et y sont
∂n
± envy B
(44)
mnνvx = ±enEx − kB T
∂x
∂n
mnνvy = ±enEy − kB T
∓ envx B
(45)
∂y
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p-18/23
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Diffusion en présence de B III
Z≤≤ 1
B = 0
En utilisant les définitions pour µ et D on obtient
B 6= 0
vx
=
vy
=
D ∂n ωc
± vy
n ∂x
ν
D ∂n ωc
±µEy −
∓ vx
n ∂y
ν
±µEx −
(46)
(47)
avec ωc = qB/m la fréquence cyclotron
En substituant on obtient
vy (1 + ωc2 τ 2 ) = ±µEy −
Ex
kB T 1 ∂n
D ∂n
+ ωc2 τ 2
± ωc2 τ 2
(48)
n ∂x
B
eB n ∂x
avec τ = ν −1 .
Pour vy on a alors
vx (1 + ωc2 τ 2 ) = ±µEx −
D ∂n
Ey
kB T 1 ∂n
+ ωc2 τ 2
∓ ωc2 τ 2
(49)
n ∂x
B
eB n ∂y
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p-19/23
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Diffusion en présence de B IV
Z≤≤ 1
B = 0
B 6= 0
La composante perpendiculaire peut donc se mettre sous la forme
∇n
vE + vD
v⊥ = ±µ⊥ E − D⊥
+
(50)
n
1 + (ν 2 /ωc2 )
où nous avons posé
Ey
B
kB T 1 ∂n
vDx = ∓
eB n ∂y
µ
µ⊥ =
1 + ωc2 τ 2
vEx =
Ex
B
kB T 1 ∂n
vDy = ±
eB n ∂x
D
D⊥ =
1 + ωc2 τ 2
vEy = −
(51)
(52)
(53)
La composante perpendiculaire de la vitesse de chacune des
espéces est composée de deux parties
La dérive perpendiculaire au gradient de densité et potentiel vE et
vD . Cette dérive est ralentie par les collisions avec les neutres
La dérive parallèle aux gradients de potentiel et densité due à la
mobilité et la diffusion. La forme est la même que lorsque B = 0
mais les coefficients µ et D sont réduits par le facteur 1 + ωc2 τ 2
Orsay, Octobre 2010
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Diffusion en présence de B IV
Z≤≤ 1
B = 0
B 6= 0
Le produit ωc τ 2 est important pour le confinement magnétique
Pour ωc2 τ 2 << 1, le champ magnétique n’a pas d’effet sur la
diffusion
Pour ωc2 τ 2 >> 1, le champ magnétique retarde fortement la
diffusion perpendiculaire à B
D⊥
=
≡
=
D
D
≡ 2 2
1 + ωc2 τ 2
ω τ
kB T 1
mν ω 2 τ 2
kB T ν
kB T ν
=
mωc2
mωc2
(54)
(55)
(56)
En comparant avec l’expression obtenue sans champ magnétique
D = kB T /mν, on remarque que le rôle des collisions est inversé
Pour une diffusion parallèle à B, D est proportionnel à ν −1 car les
collisions retardent les déplacements
Orsay, Octobre 2010
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Diffusion en présence de B V
Z≤≤ 1
B = 0
B 6= 0
Pour une diffusion perpendiculaire à B, D⊥ est proportionnel à ν
car les collisions sont nécéssaires pour changer de ligne de champs
Le rôle de m est également inversé. Pour une diffusion parallèle au
champs, les électrons diffusent plus vite à cause de leur vitesse
thermal plus élevé. Pour la diffusion perpendiculaire au champs,
les électrons diffusent plus lentement car leur rayon de Larmor est
plus faible que les ions
En négligeant les facteurs de l’ordre de l’unité on peut écrire
kB T
2
≡ vth
τ ≡ λ2
(57)
mν
où nous avons utilisé vτ = λm /. La diffusion est une marche au
hasard avec un pas λm
En utilisant ωc τ ≡ λm /rL , on trouve pour la diffusion
perpendiculaire à B
D=
D⊥ =
2
2
kB T ν
rL
2 rL
≡
v
ν
≡
th 2
mωc2
vth
τ
(58)
Orsay, Octobre 2010
p-22/23
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Diffusion ambipolaire en présence de B
Z≤≤ 1
B = 0
B 6= 0
Les coefficients de diffusion et de mobilité sont anisotropiques dans
le cas où B 6= 0
L’analogie avec la diffusion en l’absence de B et Γe⊥ << Γi,⊥
suggère qu’un champs électrique se développe pour ralentir les ions
et accélérer les électrons pour la diffusion perpendiculaire au champ
La charge négative due à Γe⊥ << Γi,⊥ peut par contre être
dissipée le long du champs
Bien que la diffusion doit être ambipolaire dans son ensemble elle
ne doit pas nécessairement l’être pour chacune des composantes.
Les ions tendent à diffuser principalement perpendiculaire au
champs alors que les électrons le long du champs
La géométrie de l’expérience détermine si la diffusion ambipolaire
perpendiculaire au champs se produit où si elle est court-circuité
par la diffusion le long du champs.
Il n’y a pas de réponse simple pour la diffusion en présence d’un
champs magnétique, il faut résoudre les équations de continuité
pour les électrons et les ions de manière simultanée
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