Cosinus et sinus d`une somme et d`une différence...et conséquences

Décombre d'une première S – Cosinus et sinus d'une somme et d'une différence...et conséquences - Un doc de Jérôme ONILLON
(
Cosinus et sinus d'une somme
Dans tout ce qui suit, α et β sont deux réels quelconques.
Dans ce premier paragraphe, nous allons chercher à exprimer les cosinus et sinus de la
somme α + β en fonction de ceux de α et β.
Pour y parvenir, transportons-nous dans le plan que nous supposons muni d'un repère
orthonormé direct O; i , j , et plus précisément plaçons-nous sur le cercle
(
(
) (
) (
Il vient alors :
OB = 1× cos ( β ) × OA + sin ( β ) × OC  =
est α + β .
C est l'image du point A par la
O
⊕
A
cos ( β )
cos ( α + β )
i
π
.
2
Donc une mesure de l'angle orienté
π
OA, OC est .
2
π
Et une mesure de l'angle orienté i , OC = i ,OA + OA, OC est α + .
2
Plaçons-nous dans le repère orthonormé direct O; i , j . Dans celui-ci :
rotation de centre O et d'angle
(
)
(
) (
(
) (
)
)
Le point A étant associé au réel α sur le cercle trigonométrique, il a pour
coordonnées ( cos ( α ) ;sin ( α ) ) . Donc OA = cos ( α ) × i + sin ( α ) × j .
B qui est associé au réel α + β , a pour coordonnées ( cos ( α + β ) ;sin ( α + β ) ) .
Donc OB = cos ( α + β ) × i + sin ( α + β ) × j .
C associé au réel α +
)
cos ( β ) × OA + sin ( β ) × OC
Or OA et OC ont été exprimés en fonction de i et j
OA
α
)
)
(
B
β
sin ( β )
)
= cos ( β ) × cos ( α ) × i + sin ( α ) × j  + sin ( β ) ×  − sin ( α ) × i + cos ( α ) × j 
)
B est l'image du point A par la
rotation de centre O et d'angle β.
Donc une mesure de l'angle orienté
i , OB = i , OA + OA, OB
(
(
)
trigonométrique. Sur ce dernier, nous définissons les points suivants :
A est le point du cercle
j
trigonométrique associé au réel α.
Donc une mesure de l'angle orienté
sin ( α + β )
C
i , OA est α.
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Changeons de repère ! Plaçons-nous dans le repère orthonormé direct O; OA, OC .
Dans le repère polaire associé O; OA , le point B a pour coordonnées polaires (1;β ) .
En effet, le vecteur OB a pour norme 1 et une mesure de l'angle orienté OA, OB est β.

π
π
π 


, a pour coordonnées  cos  α +  ;sin  α +   .
2
2
2 




π π 

Donc OC = cos  α +  × i + sin  α +  × j = − sin ( α ) × i + cos ( α ) × j
2
2


OC
= cos ( β ) .cos ( α ) × i + cos ( β ) .sin ( α ) × j + sin ( β ) . ( − sin ( α ) ) × i + sin ( β ) .cos ( α ) × j
=  cos ( β ) .cos ( α ) − sin ( α ) .sin ( β )  × i + cos ( α ) .sin ( β ) + sin ( α ) .cos ( β )  × j
Donc, dans le repère O; i , j , les coordonnées du point B ( cos ( α + β ) ;sin ( α + β ) )
(
)
s'écrivent aussi :




cos
.cos
sin
.sin
;cos
.sin
sin
.cos
α
β
−
α
β
α
β
+
α
β
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) 
 

cos( α+β )
sin ( α+β )


Nous venons d'obtenir les formules que nous recherchions !
Théorème : cosinus et sinus d'une somme (formules d'addition)
Pour tous réels α et β, nous avons :
cos ( α + β ) = cos ( α ) .cos ( β ) − sin ( α ) .sin ( β )
sin ( α + β ) = sin ( α ) .cos ( β ) + cos ( α ) .sin ( β )
A partir de ces deux formules, nous pouvons trouver celles donnant les cosinus et sinus
d'une différence. Car soustraire, c'est ajouter l'opposé ! Ainsi :
cos ( α − β ) = cos ( α + ( −β ) ) = cos ( α ) .cos ( −β ) − sin ( α ) .sin ( −β )
= cos ( α ) .cos ( β ) − sin ( α ) . ( − sin ( β ) ) = cos ( α ) .cos ( β ) + sin ( α ) .sin ( β )
Car cosinus est paire et sinus impaire...
sin ( α − β ) = sin ( α + ( −β ) ) = sin ( α ) .cos ( −β ) + cos ( α ) .sin ( −β )
= sin ( α ) .cos ( β ) + cos ( α ) . ( − sin ( β ) ) = sin ( α ) .cos ( β ) − cos ( α ) .sin ( β )
Car cosinus est paire et sinus impaire...
Décombre d'une première S – Cosinus et sinus d'une somme et d'une différence...et conséquences - Un doc de Jérôme ONILLON
Théorème : cosinus et sinus d'une différence
Pour tous réels α et β, nous avons :
cos ( α − β ) = cos ( α ) .cos ( β ) + sin ( α ) .sin ( β )
sin ( α − β ) = sin ( α ) .cos ( β ) − cos ( α ) .sin ( β )
Avec ces deux formules, nous pouvons déterminer les cosinus et sinus de α =
En s'appuyant sur ces formules et les valeurs remarquables des fonctions
trigonométriques, nous pouvons calculer les valeurs des cosinus et sinus de
π π π
= − .
12 3 4
2
 π
π π
π
π
π
π
cos   = cos  −  = cos   .cos   + sin   .sin  
 12 
3 4
3
4
3
3
1
2
3
2
2+ 6
×
+
×
=
2 2
2
2
4
 π
π π
π
π
π
π
sin   = sin  −  = sin   .cos   − sin   .cos  
 12 
3 4
3
4
3
3
=
=
3
2 1
2
×
− ×
=
2
2 2 2
π

π
2− 2
1 − cos  2 ×  1 − cos   1 − 2
  π 
2− 2
8
4


2
2
=
=
=
=
sin    =
8
2
2
2
2
4
  
Comme
6− 2
4
π
appartient à l'intervalle
8
π
cos   =
8
2
cos ( 2.α ) = cos ( α + α ) = cos ( α ) .cos ( α ) − sin ( α ) .sin ( α ) = cos ( α )  − sin ( α ) 
2
De plus, comme cos ( α )  + sin ( α )  = 1 , alors il vient :
2
2
2


cos ( 2.α ) = 1 − sin ( α )   − sin ( α )  = 1 − 2 × sin ( α ) 

cos ( 2.α ) =  cos ( α )  2 − 1 − cos ( α )  2  = 2 × cos ( α )  2 − 1

  
 



sin ( 2.α ) = sin ( α + α ) = sin ( α ) .cos ( α ) + cos ( α ) .sin ( α ) = 2.sin ( α ) .cos ( α )
Théorèmes : formules de duplication des sinus et cosinus
Pour tout réel α, nous avons :
cos ( 2.α ) = cos 2 ( α ) − sin 2 ( α ) = 2 × cos 2 ( α ) − 1 = 1 − 2 × sin 2 ( α )
sin ( 2.α ) = 2.sin ( α ) .cos ( α )
Des deux dernières formules de duplication du cosinus, on déduit :
π

π
2+ 2
1 + cos  2 ×  1 + cos   1 + 2
2+ 2
8
4


2
2
=
=
=
=
2
2
2
2
4
2
On appelle ainsi les formules des cosinus et sinus du double. Pour tout réel α, nous avons :
2
π
.
8
  π 
cos    =
  8 
Formules de duplication des cosinus et sinus
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Théorème : deux formules pour déterminer les cosinus et sinus de la moitié
Pour tout réel α, nous avons :
1 + cos ( 2.α )
1 − cos ( 2.α )
cos 2 ( α ) =
sin 2 ( α ) =
2
2
2
 π
0; 2  , alors ses cosinus et sinus sont positifs. Ainsi :


2+ 2
4
π
sin   =
8
2− 2
4
Tangentes d'une somme, d'une différence et d'un double
π
modulo π (ainsi que leur somme), nous avons:
2
sin ( α ) .cos ( β ) + cos ( α ) .sin ( β )
Pour tous réels α et β non congrus à
tan ( α + β ) =
sin ( α + β )
cos ( α + β )
=
cos ( α ) .cos ( β ) − sin ( α ) .sin ( β )
sin ( α ) .cos ( β ) cos ( α ) .sin ( β )
sin ( α ) sin ( β )
+
+
cos ( α ) .cos ( β ) cos ( α ) .cos ( β )
cos ( α ) cos ( β )
tan ( α ) + tan ( β )
=
=
=
cos ( α ) .cos ( β ) sin ( α ) .sin ( β )
sin ( α ) sin(b)
1 − tan ( α ) × tan ( β )
1−
−
×
cos ( α ) .cos ( β ) cos ( α ) .cos ( β )
cos ( α ) cos ( β )
On en déduit alors :
tan ( α ) + tan ( −β )
tan ( α ) − tan ( β )
tan ( α − β ) = tan ( α + ( −β ) ) =
=
1 − tan ( α ) × tan ( −β ) 1 + tan ( α ) × tan ( β )
On divise
numérateur
et dénominateur
par cos(a).cos(b)
Car tangente est une fonction impaire
tan ( 2.α ) = tan ( α + α ) =
tan ( α ) + tan ( α )
1 − tan ( α ) × tan ( α )
=
2 × tan ( α )
1 − tan 2 ( α )