Autour des points de Lagrange
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Autour des points de Lagrange
Autour des points de Lagrange Un exemple de thème traité en séance d’informatique CPGE MP 2ème année Christophe Lagoute Professeur de Physique Lycée Bellevue Séances d’informatique Familiarisation avec un logiciel de calcul scientifique Durée 2 h MAPLE très utilisé en CPGE Intérêt du thème Contenu physique Mise en œuvre du calcul formel (MAPLE) Mise en œuvre du calcul numérique Outils mathématiques adaptés à la filière MP Ouverture sur les systèmes dynamiques Pré-requis de 1ere année Culture générale scientifique Objet de problèmes de concours Que sont les points de Lagrange ? Des positions d’équilibre du problème des 3 corps « restreint » Des lieux « intéressants » 1. Pour l’astrophysique du système solaire 2. Pour la navigation des sondes spatiales Une source d’inspiration pour la littérature de science-fiction Pré-requis Mécanique du point matériel - 3 lois de Newton Energétique Recherche de points d’équilibre Loi de la gravitation universelle Problème à deux corps Les objectifs pédagogiques Recherche des points de Lagrange Méthode des perturbations Utilisation appropriée du calcul symbolique Intégration numérique Modes d’oscillation Mise en évidence des effets non linéaires Prolongations : Code à N-corps Système chaotique de Sitnikov Episode I Approche théorique Calcul formel Sur la dynamique gravitationnelle L’interaction gravitationnelle est la seule des 4 interactions fondamentales à agir à l’échelle astronomique => les équations de la dynamique gravitationnelle sont non linéaires Construction du système Restrictions du problème R* galiléen : A1, A2 et A3 dans le plan z=0 m3<<m1 et m3<<m2 A1 et A2 en orbites circulaires Etude préliminaire du système A1, A2 Résultats de première année : R* => m1R1 = m2R2 Réduction du problème à deux corps Cas du mouvement circulaire R3ω2 = G(m1+m2) Comment obtenir les points d’équilibre de A3 ? Réponse systématique des étudiants : On examine la surface de potentiel Фg(A3), à la recherche d’extremums On trouve un col… Coïncide-t-il avec le centre de masse ? non … On trouve un col… Le point trouvé est animé d’un mouvement de rotation uniforme Peut-on envisager que A3 suive cette trajectoire ? l’accélération normale étant nulle : non … Dans R*le potentiel dépend du temps Les étudiants réalisent que la difficulté de l’analyse est due à la dépendance temporelle du potentiel dans R* : Ф = Ф(t,A3) Existe-t-il un meilleur référentiel ? Le référentiel « tournant » R’ Ф’ = Ф’(A3) Les forces d’inertie dans R’ Inertie de Coriolis (puissance nulle) Inertie d’entraînement (force centrifuge) Ф’ = Ф’(A3) Position des points de Lagrange Infaisable pour un élève de MP dans un temps raisonnable Le calcul formel prend la relève ! Position des points de Lagrange A1, A2 et L4 forment un triangle équilatéral Stabilité de L4 et L5 Question des étudiants : Pourquoi étudier la stabilité, puisque L4 et L5 sont des maximums ? Réponse du professeur : Parce que vous oubliez la force de Coriolis… Comment étudier la stabilité d’un point d’équilibre en présence d’une force qui ne dérive pas d’une énergie potentielle ? Méthode des perturbations On étudie le mouvement de A3 au voisinage du point d’équilibre (L4) On écrit la 2ème loi de Newton au voisinage de L4 : => on linéarise en x(t) et y(t) Avec l’aide du calcul formel… Méthode des perturbations On obtient un système linéaire d’équations différentielles : avec : La solution s’écrit : Méthode des perturbations La stabilité est garantie s’il n’y a pas de divergence de la solution => pas de valeur propre à partie réelle strictement positive Stabilité de L4 et L5 La condition nécessaire et suffisante de stabilité s’écrit : Conclusion de l’épisode I Revisite de la mécanique de 1ère année Grapheur permet de découvrir les 5 points de Lagrange Le calcul formel donne rapidement : La configuration en triangle équilatéral A1,A2,L4 La condition de stabilité de L4 et L5 Episode II Trajectoires Calcul numérique Les équations du mouvement La 2ème loi de Newton donne : Intégration numérique Méthode de Runge-Kutta au 4ème ordre… Au voisinage de L4 : Intégration numérique La force de Coriolis confine A3 autour de L4 Pourquoi une telle trajectoire ? Intégration numérique Analyse de x(t) Pour interpréter x(t), les étudiants proposent une analyse spectrale : Contenu spectral de x(t) La résolution des équations linéarisées a introduit 4 valeurs propres opposées deux à deux : ±0,088 j et ±0,135 j => On les retrouve dans le spectre Contenu spectral de x(t) Autre interprétation : Equations de deux oscillateurs couplés : => Il existe deux modes propres Description de la trajectoire Au voisinage de L4 le mouvement s’écrit : C’est une ellipse de Lissajous, dont le centre est mobile sur une autre ellipse de Lissajous Evocation de la théorie des épicycles des anciens grecs… Description de la trajectoire La trajectoire reste confinée autour de L4 dans une zone dont la dimension est de l’ordre de grandeur de la perturbation Précision sur la notion de stabilité L’équilibre d’un système est stable si, suite à une perturbation, le système retourne à cet équilibre ou si le mouvement engendré reste faible et confiné autour de cet équilibre Au-delà de L4 Que se passe-t-il si l’on s’écarte encore un peu plus de L4 ? Encore plus loin de L4 On passe progressivement d’un système linéaire à un système non linéaire L’enrichissement spectral est la signature des effets non linéaires Si l’on s’écarte encore plus de L4 ? Conclusion de l’épisode II Le mouvement présente deux fréquences caractéristiques La trajectoire ressemble à une épicycle Un équilibre est stable en cas de confinement de faible amplitude Les effets non linéaires produisent un enrichissement spectral Poursuite du thème (pour les 5/2) Episodes III et IV Développement d’un code 3-corps non restreint, puis N-corps Etude d’un système chaotique à 3 corps : le système de Sitnikov A3 A2 C A1