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DM congruences divisibilité et division euclidienne.
Exercice 1 : Congruence et divisibilité.
n+1
n
1) Démontrer que pour tout entier n∈ℕ le nombre un =n 4 −( n+1 ) 4 +1 est divisible par 9.
2
2) Déterminer tous les entiers relatifs n tels que n −3n+6 soit divisible par 5.
Exercice 2 : Congruence et division euclidienne.
2013
1) A quel chiffre est congru 561 modulo 10, en déduire le reste dans la division euclidienne de 561
par 10 .
2013
b) Quel est le reste dans la division euclidienne de 561
par 6
2014
2) a) Quel est le reste dans la division euclidienne de 123
par 7
7
b) Quel est le chiffre des unités de ( 7 7)
n
3) Déterminer en fonction de n le reste de la division euclidienne de 3 par 11.
Problème.
1) a) Justifier que a≡b [ n ] si et seulement s'il existe q ∈ℤ tel que a=qn+b
b) A quel condition peut on dire que b est le reste dans la division euclidienne de a par n ?
2) Justifier que le chiffre des unités d'un entier est le reste dans la division euclidienne de cet entier par 10.
n
n
On souhaite déterminer le chiffre des unités de 2 +3 selon les valeurs de n .
3) On choisit n= 2012
2012
a) Déterminer le chiffre des unités de 3
.
2012
b) Déterminer le reste de 2
dans la division par 5.
2012
En déduire le chiffre des unités de 2
.
2012
2012
c) Quel est alors le chiffre des unités de 2 +3
?
4) On étudie désormais le cas d'un entier quelconque.
a) Compéter le tableau suivant :
k
0
1
2
3
4
5
6
7
Reste de la division de 2k par 5
k
Reste de la division de 3 par 5
k
k
Reste de la division de 2 +3 par 5
n
n
b) Conjecturer les valeurs des restes de 2 +3 en fonction des valeurs des n .
n
n
n +4 k
n+ 4 k
c) Pour tout k et n entiers naturels, montrer que 2 +3 et 2
ont même reste dans la division euclidienne par 5.
+3
n
n
d) En déduire l'ensemble des restes possibles de 2 +3 en fonction de n .
n
n
e) En étudiant la parité de 2 +3 , donner son chiffre des unités en fonction de n .
888
888
5) En déduire le chiffre des unités de 2 +3
Correction
Exercice 1 : Congruence et divisibilité.
n+1
n
1) Démontrons que pour tout entier n ∈ℕ le nombre un =n 4 −( n+1 ) 4 +1 est divisible par 9.
On commence par construire un tableau modulo 9 de un
Dés lors on peut bien voir que pour les entiers n compris entre 0 et 8 on a un ≡0 [ 9] .
Rien ne permet de croire que cela est vraie pour tous les autres n .
Attention à ne pas confondre n modulo 9 avec u n modulo 9.
Dans le tableau précédent les valeurs de n ne sont pas congru modulo 9 et ne peuvent pas l’être.
k
k
En effet s'il est vrai que a ≡b [ n ] ⇒ a ≡b [ n ] pour tout k ∈ℕ par contre
a
b
il n'est pas vrai que si a ≡b [ n ] alors k ≡ k [ n ] pour tout k ∈ℕ
n
n +1
Pour faire simple la congruence ne peut pas se trouver en exposant ce qui est le cas ici à cause des termes 4 et 4
n
0
Par exemple si n≡0 [ 8 ] peut on dire que 4 ≡4 [ 8] ? La réponse est non comme le montre l'exemple ci dessous.
8
Si on prend n=8 alors on a bien que n≡0 [ 8 ] mais 4 8=65536 et donc 4 ≡7 [ 8 ] et pas 1 [ 8 ]
Le tableau seul ne suffit donc pas pour conclure.
En fait dés qu'il y a des puissances il convient de déterminer le plus petit indice non nul pour lequel on trouve 1.
Ici on a
3
Ce qui fait que 4 ≡1 [ 9 ] .
Dés lors on va travailler modulo 3 pour les puissances de n .
Mais avant on va "simplifier" l'expression de un , on a u n =n 4 n+1 −( n+1 ) 4 n +1=4n ( 4n− ( n+1) ) +1=4 n (3 n−1) +1
Passons à l'étude :
k
k
k
Si n=3 k alors 4n =4 3 k =( 43) donc
Si n=3 k +1 alors 4n =4 3 k +1= ( 43 ) ×4 donc Si n=3 k +2 alors 4n =4 3 k +2= ( 43 ) ×42
n
n
n
2
donc 4 ≡4 ≡16≡7 [ 9 ]
4 ≡1 [ 9 ]
4 ≡4 [ 9 ]
(
)
puis 3n−1=3×3 k−1=9 k−1 donc
puis 3n−1=3× 3k +1 −1=9k +2 donc
puis 3n−1=3× ( 3k +2 )−1=9 k +5 donc
3n−1≡5 [ 9]
3n−1≡−1 [ 9 ]
3n−1≡2 [ 9 ]
Par stabilité par produit il vient
Par stabilité par produit il vient
Par stabilité par produit il vient
n
n
n
4 (3 n−1)≡35≡−1 [ 9 ] et donc un ≡0 [ 9]
4 (3 n−1)≡−1 [ 9 ] et donc u n ≡0 [ 9]
4 (3 n−1)≡8≡−1 [ 9 ] et donc u n ≡0 [ 9]
2
2) Déterminons tous les entiers relatifs n tels que n −3n+6 soit divisible par 5.
On procède comme dans la question précédente en faisant un tableau.
2
On peut donc voir que n −3n+6 n'est divisible par 5 que si n≡ 4 [ 5 ]
Il faut bien comprendre la différence entre cette question et la question précédente.
2
2
Ici si n≡ p [ 5 ] alors on peut dire que n ≡ p [ 5] mais aussi que 3n≡3 p [ 5 ] et donc
2
2
on peut dire que n −3 n+6≡ p −3 p+6 [ 5 ] .
2
2
Finalement si n≡0 [ 5 ] alors n −3 n+6≡0 −3×0+6≡6≡1 [ 5 ]
2
2
si n≡1 [ 5] alors n −3 n+6≡1 −3×1+6≡4 [ 5 ] …
Ce qui n'est pas le cas lorsque la congruence est en exposant.
Exercice 2 : Congruence et division euclidienne.
2013
1) A quel chiffre est congru 561 modulo 10, en déduire le reste dans la division euclidienne de 561
par 10 .
2013
2013
561=560+1 donc 561≡1 [ 10 ] et donc 561 ≡1 ≡1 [ 10 ]
2013
b) Quel est le reste dans la division euclidienne de 561
par 6.
On commence par calculer les puissances de 561 modulo 6.
2
3
561≡3 [ 6] donc 561 ≡9≡3 [ 6 ] puis 561 ≡3 [ 6 ] .
n
2013
On peut donc conjecturer que 561 ≡3 [ 6 ] et donc que 561 ≡3 [ 6 ]
Pour démontrer cette conjecture on peut procéder par récurrence.
n
Pour tout n⩾1 on note P ( n ) la propriété : " 561 ≡3 [ 6 ] "
Puisque 561≡3 [ 6] c'est que P ( 1 ) est vraie donc que la propriété est initialisée.
Passons à l'hérédité.
n
On suppose que la propriété est vraie jusqu'à un certain rang n⩾1 en particulier on a 561 ≡3 [ 6 ]
n +1
Montrons que P ( n +1 ) est vraie c'est à dire que 561 ≡3 [ 6 ]
n
n +1
On sait que 561≡3 [ 6] mais aussi que 561 ≡3 [ 6 ] donc par produit on a 561 ≡9≡3 [ 6 ]
La propriété est donc héréditaire et initialisée à n=1 donc vraie pour tout n⩾1 .
n
2013
On a donc que pour tout n⩾1 561 ≡3 [ 6 ] et donc que 561 ≡3 [ 6 ]
2014
2) a) Quel est le reste dans la division euclidienne de 123
par 7
On calcule les puissances de 123 modulo 7.
2
3
123≡4 [ 7 ] , 123 ≡16≡2 [ 7 ] , 123 ≡8≡1 [ 7 ]
Dés lors on peut s’arrêter et commencer le calcul de 1232014
671
671
3
On sait que 2014=3×671+1 donc 1232014=1233 ×671+1 =( 123 3) ×1231 comme 123 ≡8≡1 [ 7 ] on a donc ( 1233 ) ≡1 [ 7 ]
2014
Finalement on a que 123 ≡123≡4 [ 7]
7
b) Quel est le chiffre des unités de ( 7 7)
7
7
7
7 =823543 donc 7 ≡3 [ 10 ] puis ( 77) ≡37 [ 10 ] ≡2187 [ 10 ]≡ 7 [ 10 ] comme 0⩽7 <10 on en déduit que le chiffre des unités est 7.
7
Pour être précis on a ( 77) =256923577521058878088611477224235621321607
n
3) Déterminons en fonction de n le reste de la division euclidienne de 3 par 11.
Là encore il convient de faire un tableau modulo 11.
On peut donc conjecturer que les restes sont les suivants :
n
Si n≡0 [ 5 ] alors on a 3 ≡1 [ 11 ]
n
Si n≡1 [ 5] alors on a 3 ≡3 [ 11 ]
n
Si n≡ 2 [ 5 ] alors on a 3 ≡9 [ 11 ]
n
Si n≡3 [ 5] alors on a 3 ≡5 [ 11 ]
n
Si n≡ 4 [ 5 ] alors on a 3 ≡4 [ 11 ]
Attention le problème reste le même que dans l'exercice 1.
Le tableau seul ne suffit pas. Il faut encore travailler sur les
5 cas que l'on vient d'énumérer.
Je vous laisse travailler les différents cas en faisant n=5 k , n=5 k +1 , …, n=5 k +4
Problème.
1) a) Justifions que a ≡b [ n ] si et seulement s'il existe q ∈ℤ tel que a =qn+b
On sait que si a ≡b [ n ] alors n∣a−b donc il existe q ∈ℤ tel que a =qn+b
Réciproquement s'il existe q ∈ℤ tel que a =qn+b alors n∣a−b et donc a≡b [ n ]
b) A quel condition peut on dire que b est le reste dans la division euclidienne de a par n ?
Il suffit que b vérifie la condition des restes c'est à dire que 0⩽b <n
2) Justifions que le chiffre des unités d'un entier est le reste dans la division euclidienne de cet entier par 10.
On sait que si N est un entier alors sa décomposition en base 10 est de la forme suivante :
n
n−1
N=a n 10 +a n−1 10 + … +a 1 10+a0 où 0⩽a k <10 pour k compris entre 0 et n
n−1
n−2
Dans ce cas on peut écrire que N=10 ( a n 10 +an −1 10 +…+a1 ) +a0 avec 0⩽a 0<10 .
Finalement a0 est bien le reste dans la division euclidienne de N par 10.
n
n
On souhaite déterminer le chiffre des unités de 2 +3 selon les valeurs de n .
1) On choisit n= 2012
2012
a) Déterminons le chiffre des unités de 3
.
Rappelons que :
Le chiffre des unités d'un entier est son reste dans la division euclidienne par 10.
On va donc travailler modulo 10.
On commence donc par calculer les puissances successives de 3 jusqu'à tomber sur 1 ou −1
1
2
3 ≡3 [ 10 ] , puis 3 ≡9 [ 10 ] ≡−1 [ 10 ] on s’arrête donc là.
1006
1006
1006
2
On en déduit alors que 32012= ( 32 )
et donc que 3 ≡−1 [ 10 ] donne ( 32 ) ≡(−1) [ 10 ]≡1 [ 10 ]
2012
2012
Finalement 3 ≡1 [ 10 ] et donc le chiffre des unités de 3
est 1
b) Déterminons le reste de 22012 dans la division par 5.
Le procédé est le même mais en travaillant modulo 5.
1
2
2 ≡2 [ 5 ] , puis 2 ≡4 [ 5 ] ≡−1 [ 5] on s’arrête donc là.
1006
1006
1006
2012
Comme 2 =( 22)
on en déduit que ( 22 ) ≡ (−1 ) [ 5 ] ≡1 [ 5 ]
2012
Le reste de 2
dans la division euclidienne par 5 est donc 1.
Déduisons en le chiffre des unités de 2
2012
.
Les nombres congrus à 1 modulo 5 se terminent par 1 ou 6. Comme 2
2012
2012
est un nombre pair on en déduit qu'il se termine par un 6.
2012
c) Quel est alors le chiffre des unités de 2 +3
?
2012
2012
2012
2012
[
]
[
]
et
donnent
que
2 ≡6 10
3 ≡1 10
2 +3 ≡7 [ 10 ] .
Le chiffre des unités est donc 7
2) On étudie désormais le cas d'un entier quelconque.
a) Compétons le tableau suivant :
k
Reste de la division de 2k par 5
k
Reste de la division de 3 par 5
k
k
Reste de la division de 2 +3 par 5
0
1
2
3
4
5
6
7
1
2
4
3
1
2
4
3
1
3
4
2
1
3
4
2
2
0
3
0
2
0
3
0
Explication pour la 1ère ligne du tableau
0
1
2
3
4
5
6
7
2 ≡1 [ 5 ] , 2 ≡2 [ 5 ] , 2 ≡ 4 [ 5 ] , 2 ≡8≡3 [ 5 ] 2 ≡6 [ 5 ]≡1 [ 5 ] , 2 ≡2 [ 5 ] , 2 ≡4 [ 5 ] et enfin 2 ≡3 [ 5 ]
Le reste se complète normalement.
n
n
b) Conjecturons les valeurs des restes de 2 +3 en fonction des valeurs des n .
n
n
On peut voir que k =1 ,3 , 5 , 7 on a 2 +3 ≡0 [ 5 ] on peut conjecturer que pour les entiers n impairs alors le reste est nul.
Puis, toujours à l'aide du tableau on peut voir que si n est un multiple de 4 alors le reste est de 2
Enfin si n est un multiple de 4 augmenté de 2 alors le reste est de 3.
On peut résumer cette étude en disant que :
Si n= 4k alors le reste est 2
Si n= 4k +2 alors le reste est 3
Si n= 4 k +1 ou 4 k +3 alors le reste est 0
c) Pour tout k et n entiers naturels, montrer que 2 n +3n et 2n +4 k +3 n+ 4 k ont même reste dans la division euclidienne par 5.
Rappelons que :
Deux nombres a et b ont même reste dans la division euclidienne par n si et seulement si a≡b [ n ]
4
4k
4 k +n
n
A l'aide du tableau on voit que 2 ≡1 [ 5 ] donc que 2 ≡1 [ 5 ] et donc que 2
≡2 [ 5 ]
4 k +n
n
n +4 k
n+ 4 k
n
n
De même on a 3 ≡3 [ 5 ] et donc par somme on a 2
+3 ≡ 2 +3 [ 5]
n
n
n +4 k
n+ 4 k
Ce qui prouve par définition que 2 +3 et 2
ont même reste dans la division euclidienne par 5.
+3
n
n
d) Déduisons en l'ensemble des restes possibles de 2 +3 en fonction de n .
n +4 k
n+ 4 k
n
n
n
n
0
0
1
1
2
2
3
3
Comme 2
+3 ≡ 2 +3 [ 5] on en déduit que 2 +3 ne peut être congru modulo 5 qu'à 2 +3 , 2 +3 , 2 +3 et 2 +3 .
Les restes possibles sont donc 3; 2 et 0.
n
n
e) En étudiant la parité de 2 +3 , donnons son chiffre des unités en fonction de n .
n
n
0
0
Pour n=0 on a 2 +3 =2 +3 =1 +1=2
n
n
n
n
Pour n⩾1 on a 2 qui est pair et 3 qui est impair donc le nombre 2 +3 est impair.
Avec les reste dans la division euclidienne par 5 obtenus à la question 2 D, on peut en conclure que :
n
n
Si n≡0 [ 4 ] alors 2 +3 ≡2 [ 5] donc le chiffre des unités est 7.
n
n
Si n≡1 [ 4 ] alors 2 +3 ≡0 [ 5 ] donc le chiffre des unités est 5
n
n
Si n≡ 2 [ 4] alors 2 +3 ≡3 [ 5 ] donc le chiffre des unités est 3
n
n
Si n≡3 [ 4 ] alors 2 +3 ≡0 [ 5 ] donc le chiffre des unités est 5
888
888
3) Déduisons en le chiffre des unités de 2 +3
888
888
On sait que 888≡0 [ 4 ] et donc que le chiffre des unités de 2 +3 est un 7.