CHAPITRE 9 : TRIGONOMÉTRIE

CHAPITRE 9 : TRIGONOMÉTRIE
Objectifs
•
[3.320] Connaître et utiliser les relations du cosinus dans un triangle rectangle.
•
[3.321] Connaître et utiliser les relations du sinus dans un triangle rectangle.
•
[3.322] Connaître et utiliser les relations de la tangente dans un triangle rectangle.
–1
–1
–1
•
[3.323] Utiliser les touches cos /cos , sin/ sin et tan/ tan de la calculatrice pour déterminer une
valeur approchée.
sin a
•
[3.324] Connaître et utiliser les relations cos² a + sin² a = 1 et tan a =
.
cos a
I. Rappels de vocabulaire
Hypoténuse
C
Côté opposé à l'angle ABC
Côté adjacent à l'angle ACB
B
A
Côté adjacent à l'angle ABC
Côté opposé à l'angle ACB
II. Relations entre les côtés d'un triangle rectangle
a) Cosinus d'un angle aigu
Dans un triangle rectangle, le cosinus d'un angle aigu est le quotient de la longueur du côté adjacent à cet angle
par la longueur de l'hypoténuse.
=
Dans le triangle ABC rectangle en A : cos B

On en déduit que BA = BC × cos B
BA
BC
C
A
B
b) Sinus d'un angle aigu
Dans un triangle rectangle, le sinus d'un angle aigu est le quotient de la longueur du côté opposé à cet angle par
la longueur de l'hypoténuse.
AC
B=
Dans le triangle ABC rectangle en A : sin 
BC

On en déduit que AC = BC × sin B
c) Tangente d'un angle aigu.
Dans un triangle rectangle, la tangente d'un angle aigu est le quotient de la longueur du côté opposé à cet angle
par la longueur du côté adjacent à cet angle.
 = AC
Dans le triangle ABC rectangle en A : tan B
AB

On en déduit que AC = AB × tan B
III.Propriétés
À retenir :
Pour tout angle aigu dans un triangle rectangle :
côté adjacent
côté opposé
cosinus=
; sinus=
hypoténuse
hypoténuse
; tangente=
côté opposé
côté adjacent
● Le cosinus et le sinus d'un angle aigu sont des valeurs comprises entre 0 et 1.
En effet, l'hypoténuse d'un triangle rectangle est le plus grand côté, donc le rapport longueur de côté/hypoténuse
sera plus petit que 1.
Dans un triangle rectangle, quelle que soit la mesure x d'un angle aigu, on a :
sin x
tan x =
* (si x ≠ 90°)
et
sin 2 x  cos 2 x = 1.*
cos x
●
Dans un triangle rectangle en A :
 = sin C
 = BA
 = cos C
 = CA
cos B
et
sin B
BC
BC
Ainsi, lorsque deux angles sont complémentaires, le cosinus de l'un est égal au sinus de l'autre.
●
* Démonstrations :
AC
AC
AB
tan B =
; sin B =
; cos B =
AB
BC
BC
AC
sin B BC AC BC
=
=
×
=tan B .
d'où
cos B AB BC AB
BC
2
AC
2 et
BC
2
AB
2
BC
AC 2 AB2 AC 2 AB 2
2
2

=
.
d'où sin Bcos B=
BC 2 BC 2
BC 2
Or, dans un triangle ABC rectangle en A, le théorème
de Pythagore nous permet d'écrire :
BC 2 = AB 2  AC 2 .
BC 2
2
2
=1.
D'où sin Bcos B=
BC 2
sin 2 B=
cos 2 B=
IV. Le quart de cercle trigonométrique
J
Sur la figure ci-contre, OI = 1 unité de longueur.
 , faisant ainsi varier l'angle a de
Le point M se déplace sur l'arc de cercle IJ
0° à 90°.
La droite (OM) coupe la perpendiculaire à (OI) passant par I en T.
La perpendiculaire à (OI) passant par M coupe (OI) en N.
La perpendiculaire à (OJ) passant par M coupe (OJ) en P.
T
M
P
â
O
N
I
Ainsi :
ON
IT
OP
;
sin â =
;
tan â =
.
OM
OM
OI
Dans ces égalités, nous avons OM = OI = 1.
D'où :
cos â = ON ;
sin â = OP ;
tan â = IT.
cos â =
Valeurs particulières :
Le quart de cercle trigonométrique permet de comprendre rapidement les cas particuliers des angles nuls
(mesure égale à O°) et droit (mesure égale à 90°).
•
•
si â = 0°, dans ce cas le point M est en I, le point N est en I (cos â = 1), le point P est en O (sin â = 0), et le
point T est en I (tan â = 0).
si â = 90°, dans ce cas le point M est en J, le point N est en O (cos â = 0), le point P est en J (sin â = 1), et le
point T est à l'infini (les droites (OP) et (IT) sont parallèles, pas de point d'intersection) donc tan â est
indéterminé (division par 0 impossible).
Le tableau suivant récapitule les valeurs des lignes trigonométriques d'angles souvent rencontrés et dont il est
intéressant d'en connaître les valeurs exactes.
Angles
0°
30°
45°
60°
90°
sinus
0
1
2
2
3
1
2
2
3
2
2
2
1
2
3
1
3
cosinus
tangente
1
0
3
0