Coordonnées d`un point du plan, milieu, distance

Coordonnées d'un point du plan, milieu, distance
I ) Coordonnées d'un point dans un plan
Propriété :
Dans un plan trois points non alignés définissent un repère.
Définition :
Lorsque nous parlons d’un repère (O, I, J) d'un plan :
- O est l’origine du repère
- (OI) est la droite (l'axe) des abscisses, O et I ont pour abscisses respectives 0 et 1 sur (OI)
- (OJ) est la droite (l’axe) des ordonnées, O et J ont pour abscisses respectives 0 et 1 sur (OJ).
Exemples de repères (O, I, J) :
Repère orthogonal
Les axes sont orthogonaux
Repère orthonormé
Il est orthogonal et normé, OI=OJ=1 unité
–-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Repérage d'un point M dans un plan à l'aide d'un repère orthogonal
(O, I, J) :
M 1 le
– tracer la parallèle à (OJ) passant par M, on appelle
point d'intersection de cette droite avec la droite (OI)
– l'abscisse de M 1 sur la droite (OI) donne l'abscisse x M du
point M dans le repère (O, I, J)
M 2 le
– tracer la parallèle à (OI) passant par M, on appelle
point d'intersection de cette droite avec la droite (OJ)
M 2 sur la droite (OJ) donne l'ordonnée
– l'abscisse du point
y M du point M dans le repère (O, I, J).
Le couple de réels  x M ; y M  est le couple de coordonnées du
point M dans le repère (O, I, J).
II) Coordonnées du milieu d’un segment
Propriété :
Soient A(xA ; yA) et B(xB ; yB) deux points, le milieu K du segment [AB] a pour coordonnées :
x x y  y
K A B; A B .
2
2
Utilisation :
1°) Calculer les coordonnées du milieu d’un segment dont on connaît les coordonnées des extrémités.
2°) Calculer les coordonnées d’un point qui est l’extrémité d’un segment (on connaît les coordonnées
du milieu du segment et celles de l’autre extrémité).


Exemples :
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------III) Distance entre deux points dans un repère orthonormé
Propriété :
Dans un repère orthonormé la distance entre deux points A(xA ; yA) et B(xB ; yB) est
AB =  x B− x A  ² y B − y A ² .
Cette distance entre A et B est égale à la longueur du segment [AB].
Démonstration :
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Utilisation :
Calculer des longueurs de segments pour en déduire des propriétés des figures étudiées, calculer des aires...
Exemples :