pourcentages

POURCENTAGES
Table des matières
1 Pourcentage exprimant une proportion
1.1 Calcul d’un pourcentage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Calcul d’une quantité à partir d’un pourcentage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2
2
2 Opérations sur les pourcentages
2.1 Pourcentage d’un pourcentage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Addition de pourcentages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2
2
3 Pourcentage d’évolution
3.1 Taux d’évolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Coefficient multiplicatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
3
3
4 Evolutions succéssives
4.1 Evolutions succéssives et coefficients multiplicateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Augmentation puis diminution d’un même taux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Approximation d’un taux d’évolution global . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
3
4
4
1
Lycée Marie Curie
1
Tarbes
Pourcentage exprimant une proportion
1.1
Calcul d’un pourcentage
Définition 1
Un pourcentage exprime une proportion ramenée à 100 du rapport d’une partie au tout.
y
Ainsi une partie de y éléments sur une totalité de x éléments représente les × 100 %
x
Exemple
54
× 100 = 30 % des pages de ce magazine sont donc
54 pages d’un magazine de 180 pages sont des pages de pubilicité :
180
des pages de publicité.
30
Remarque : un pourcentage est une fraction : 30 % =
= 0, 3
100
1.2
Calcul d’une quantité à partir d’un pourcentage
Définition 2
t
Dire que y représente t % de x signifie que y =
×x
100
Exemple
25 % d’une classe de 36 élèves sont internes signifie que la classe contient
2
25
× 36 = 9 internes.
100
Opérations sur les pourcentages
2.1
Pourcentage d’un pourcentage
Propriété 1
Prendre t % de t′ % d’une quantité, c’est prendre
t′
t
×
de cette quantité.
100 100
Exemple :
Une entreprise emploie 31,25 % de femmes et parmi elle 44 % sont des cadres.
Il y a donc 44 % des 31,25 % des employés de cet entreprise qui sont des femmes cadres, soit :
2.2
31, 25
44
×
= 13, 75 %
100
100
Addition de pourcentages
Propriété 2
Pour additionner des pourcentages, il faut que ces pourcentages portent sur des parties contenues dans un même ensemble
de référence et ces parties doivent être disjointes (n’avoir aucun élément commun).
Exemple :
Un examen pour devenir interprète est constitué de deux épreuves, l’une en français et l’autre en espagnol.
L’examen est réussi lorsque le candidat obtient une note supérieure à 10 à l’une des épreuves au moins.
50 % des candidats ont obtenu une note supérieure à 10 à l’épreuve de français et 35 % à l’épreuve d’espagnol.
Nous envisagerons 3 cas :
1er cas : 20 % des candidats ont obtenu une note supérieure à 10 à chacune des deux épreuves.
2ième cas : Tous ceux qui ont obtenu une note supérieure à 10 en espagnol ont aussi obtenue une note supérieure à 10 en
français.
3ième cas : Il n’y a pas de candidats ayant obtenu une note supérieure à 10 à la fois à l’épreuve d’espagnol et à l’épreuve
de français.
Nous souhaitons savoir quel est le pourcentage de reçus.
On appelle E la partie de l’ensemble des candidats ayant obtenu une note supérieure à 10 en espagnol et F la partie de
l’ensemble des candidats ayant obtenu une note supérieure à 10 en français.
IL est clair que dans les deux premiers cas les parties E et F ne sont pas disjointes. Et donc on ne peut répondre 85 %.
1er cas : Il y a 50 + 35 − 20 = 65 % de reçus.
2ième cas : Il y a 50 % de reçus.
3ième cas : Les parties E et F sont disjointes, on peut donc faire la somme des pourcentages associés à chaque partie :
50 + 35 = 85 % de reçus.
Pourcentages 1ère ST2S
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3
Tarbes
Pourcentage d’évolution
3.1
Taux d’évolution
Définition 3
• Le taux d’évolution d’une valeur y1 passant à une valeur y2 est t =
• y2 − y1 est la valeur absolue,
y2 − y1
× 100
y1
y2 − y1
la valeur relative.
y1
Exemple :
Le tableau ci-dessous donne le chiffre d’affaire d’une entreprise durant trois mois de l’année
Mois
CA (milliers d’euros)
janvier
13,5
juin
7,1
septembre
14
7, 1 − 13, 5
× 100 = −47, 4. Entre janvier et juin le CA a baissé de 47,4 %.
13, 5
14 − 7, 1
× 100 = 97, 2. Entre juin et septembre le CA a augmenté de 97,2 %.
•
7, 1
•
3.2
Coefficient multiplicatif
Propriété 3
t désigne un nombre positif.
(1) Augmenter une quantité de t % revient à multiplier sa valeur initiale par 1 +
t
100
t
(2) Diminuer une quantité de t % revient à multiplier sa valeur initiale par 1 −
100
t
Dans le cas général t sera un nombre positif ou négatif et 1 +
désignera le coefficient multiplif.
100
Démonstration :
t
t
× y1 = y1 1 +
Soit y1 la valeur initiale et y2 la valeur finale. On a alors y2 = y1 +
100
100
Exemples :
(1) Augmenter une quantité de 20 % revient à multiplier sa valeur par 1, 2
(2) Diminuer une quantité de 5 % revient à multiplier sa valeur par 0, 95
(3) Multiplier une valeur par 0, 85 revient à diminuer sa quantité de 15 %
(4) Multiplier une valeur par 1, 285 revient à augmenter sa quantité de 28, 5 %
4
Evolutions succéssives
4.1
Evolutions succéssives et coefficients multiplicateurs
Propriété 4
t et t′ désignent deux nombres positifs ou négatifs.
t′
t
× 1+
Faire évoluer une quantité de t% puis de t % équivaut à multiplier sa valeur initiale par : 1 +
100
100
Le taux T correspondant
aux évolutions
suiccéssives
de t % puis t′ % est appelé taux global.
t′
t
× 1+
Il vérifie : 1 + T = 1 +
100
100
′
Démonstration :
Soit y1 la valeur initiale, y2 la valeur y1 augmentée (ou diminuée) de t % et y3 la valeur y2 augmentée (ou diminuée) de t′
% on a alors :
t
t
t′
t′
, y2 = y1 1 +
et donc y3 = y1 1 +
1+
y3 = y2 1 +
100
100
100
100
Pourcentages 1ère ST2S
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Tarbes
Exemple :
Le prix d’un article augmente de 22 %, puis diminue de 10 % et enfin diminue encore de 5 %. Quel est le pourcentage
global d’évolution du prix de cet article ?
On fait le produit des coefficients multiplicateurs : 1, 22 × 0, 9 × 0, 95 = 1, 0431
Le prix initial de l’article a été multiplié par 1,0431, ce prix a donc augmenté de 1, 0431 − 1 = 0, 0431 = 4, 31 %.
4.2
Augmentation puis diminution d’un même taux
Si un prix a été augmenté de 10 % puis diminué de 10 %, le taux d’évolution global t vérifie :1 + t = 1, 1 × 0, 9 = 0, 99
soit une diminution de 1 %
4.3
Approximation d’un taux d’évolution global
Propriété 5
Si t et t′ désignent deux nombres proche de zéro alors le taux global T correspondant aux deux évolutions succéssives de t
puis t′ est à peu près égal à t + t′
Exemple :
Soit les deux évolutions succéssives 5 % et 8 %.
Le coefficient multiplicateur du taux globale correspondant sera : 1 + T = 1, 05 × 1, 08 = 1, 134
Soit T = 0, 134 = 13, 4 % ou T ≃ 13 %
Pourcentages 1ère ST2S
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