TP MAPLE no14 Orthonormalisation de Gram-Schmidt

TP MAPLE no14
Orthonormalisation de Gram-Schmidt
Benjamin Favetto
Vincent Mercat
10 mai 2009
1
Introduction
Dans ce T.P. on s’intéresse à l’algorithme d’orthonormalisation de Gram-Schmidt et à sa mise en
oeuvre pratique. Le but est d’écrire une procédure Maple suffisement générale pour pouvoir travailler
dans un espace euclidien (E, h., .i) quelconque. On pourra notamment tester la procédure sur les exemples
suivants :
Z 1
P (x)Q(x)dx,
(1)
E1 = Rn [X] , hP, Qi1 =
−1
d
E2 = R , hX, Y i2
=
t
E3 = Mn (R) , hA, Bi3
=
trace (t AB).
XAY , A ∈ S++ (R),
(2)
(3)
On pourra charger le package LinearAlgebra pour manipuler matrices et vecteurs avec Maple.
2
Questions
Question 1. Ecrire une procédure produitscalaire(vecteur1,vecteur2) calculant le produit scalaire usuel de deux vecteurs de Rd .
Ecrire de même les procédures
produitscalaire1(vecteur1,vecteur2) ,
produitscalaire2(vecteur1,vecteur2) ,
et produitscalaire3(vecteur1,vecteur2)
correspondant aux produits scalaires présentés ci-dessus. On pourra vérifier les résultats à l’aide de la
commande DotProduct .
Question 2. Ecrire ensuite une procédure orthonormalisation(listevec, ps) prenant en paramètres une liste de vecteurs (e1 , . . . , en ) d’un espace euclidien E et un produit scalaire h., .i.
Cette procédure doit renvoyer une base orthonormée associée (f1 , . . . , fn ) obtenue par l’algorithme de
Gram-Schmidt ainsi que la matrice de passage de la base (ei )i à la base (fj )j .
On pourra se reporter utilement au cours dans un premier temps, et faire attention au fait que la
famille de vecteurs que l’on fournit à la procédure doit être une base. On pourra ensuite réfléchir à
généraliser la procédure au cas d’une famille (ei )i simplement génératrice.
Question 3. Comparer le résultat obtenu avec la fonction GramSchmidt du package LinearAlgebra, et
charger le package orthopoly pour différents exemples de produits scalaires définis par une intégrale sur
Rn [X].
3
Application
Question 4. On pose u = (1, 2, −3), v = (−1, 2, −1), w = (1, 2, 3). Orthonormaliser la famille (u, v, w),
et calculer la projection orthogonale de x = (4, 3, 2) sur Vect(u, v). On pourra aussi, dans l’esprit de
l’exercice 11, calculer
Z
1
(exp(t) − at2 − bt − c)2 dt.
inf
a,b,c
0
1