Soutenance - Le Cermics

Transcription

Modélisation de la dépendance et simulation de
processus en finance
Mohamed Sbai
Université Paris-Est, CERMICS
25 novembre 2009
Mohamed Sbai (UPE-CERMICS)
Modèle d’indice & schémas
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Plan de la thèse
I) Simulation de processus en finance
◮ Méthodes de Monte Carlo exactes et pricing d’options asiatiques
◮ Schémas de discrétisation pour modèles à volatilité stochastique
◮ Erreur faible uniforme en temps pour le schéma d’Euler
II) Modélisation de la dépendance en finance
◮ Un modèle d’indice boursier couplant indice et stocks
◮ Un modèle de frailty dynamique pour la gestion des risques dans un
portefeuille de crédit
.
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Plan
1
Modélisation jointe entre indice et stocks
Introduction
Spécification du modèle
Calibration
Expériences numériques
2
Schémas de discrétisation pour modèles à volatilité stochastique
Introduction
Options Vanilla
Options Path-dependent
Cas où Y est un processus d’Ornstein-Uhlenbeck
Résultats numériques
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1
Introduction
Calibration
2
Introduction
Options Vanilla
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Modélisation de la dépendance dans le marché actions
Options portant sur un seul actif : modélisation de plus en plus fine
depuis Black & Scholes (smile de volatilité, modèles à volatilité
stochastique, à volatilité locale, à sauts, . . .).
Autre enjeu majeur : la modélisation de la dépendance
Produits portant sur plusieurs actifs sous-jacents :
◮
◮
◮
Options sur panier : pay-off portant sur une combinaison linéaire des cours
Options Best-of, Worst-of : pay-off portant sur le meilleure/pire cours
Options plus exotiques (Everest, Altiplano, Atlas, . . .)
Indices boursiers : regroupement de plusieurs actions relevant d’un
même marché/secteur ind. (S&P, Dow Jones, DAX, CAC40, . . .)
Principale difficulté : la dimension (options sur panier d’une centaine
d’actions, 500 titres présents dans l’indice S&P500, 40 pour le CAC40, . . .)
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Un modèle cohérent pour traiter un indice et les stocks qui le
composent : c’est encore un défi.
Approche standard : un modèle pour chaque stock (smilé) + une matrice
de corrélation ⇒ on reconstruit la vol. locale/implicite de l’indice.
(Avellaneda, Boyer-Olson, Busca et Friz [2002], Lee, Wang et Kerim
[2003], . . .)
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[2003], . . .)
◮
Difficulté de retrouver le smile de l’indice (plus pentu que celui d’un
stock) par une matrice de corrélation constante estimée historiquement.
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[2003], . . .)
◮
◮
”Ajuster” la matrice de corrélation est compliqué (la garder définie
positive ? matrice de corrélation implicite ?).
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[2003], . . .)
◮
◮
”Ajuster” la matrice de corrélation est compliqué (la garder définie
positive ? matrice de corrélation implicite ?).
Objectif : un nouveau cadre de modélisation permettant de gérer à la fois
l’indice et les stocks.
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1
Introduction
Calibration
2
Introduction
Options Vanilla
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Considérons un indice boursier composé de M stocks (Sj,M )1≤j≤M :
ItM
=
M
X
wj Stj,M
j=1
où les poids wj sont positifs et supposés constants.
Sous une proba. risque neutre, on spécifie le modèle suivant pour les stocks :
∀j ∈ {1, . . . , M},
dStj,M
Stj,M
= (r − δj )dt + βj σ(t, ItM )dBt + ηj (t, Stj,M )dWtj (1)
r est le taux d’intérêt sans risque.
δj ∈ [0, ∞[ est le taux de dividende du stock j.
βj est le coefficient beta usuel du stock j.
(Bt )t∈[0,T] , (Wt1 )t∈[0,T] , . . . , (WtM )t∈[0,T] sont des mouvements Browniens
indépendants.
P
Les fonctions (s1 , . . . , sM ) 7→ (sj σ(t, M
j=1 wj sj ), sj ηj (t, sj ))1≤j≤M sont
Lipschitz et à croissance linéaire uniformément en t.
⇒ Existence et unicité trajectorielle pour l’EDS (1).
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∀j ∈ {1, . . . , M},
dStj,M
Stj,M
= (r − δj )dt + βj σ(t, ItM )dBt + ηj (t, Stj,M )dWtj
Une EDS M-dimensionnelle dirigée par M + 1 sources de bruit
B, W 1 , . . . , W M : marché incomplet.
La dynamique d’un stock dépend de tous les autres stocks qui composent
l’indice à travers le terme de volatilité σ(t, ItM ).
Les corrélations entre stocks ne sont pas constantes mais stochastiques :
βi βj σ 2 (t, ItM )
ρij (t) = q
q
i,M
2
M
2
2
βi σ (t, It ) + ηi (t, St ) βj2 σ 2 (t, ItM ) + ηj2 (t, Stj,M )
Elles dépendent non seulement des stocks mais aussi de l’indice.
Propriété importante : quand la vol. systémique σ(t, ItM ) augmente, les
corrélations deux à deux ρij (t) augmentent.
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L’indice ItM =
dItM
PM
j,M
j=1 wj St
satisfait l’EDS suivante
j,M
M
dt
δ
w
S
= rItM dt −
j=1 j j t


M
M
X
X
+
βj wj Stj,M  σ(t, ItM )dBt +
wj Stj,M ηj (t, Stj,M )dWtj
|
P
j=1
{z
}
j=1
|
{z
}
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L’indice ItM =
dItM
PM
j,M
j=1 wj St
j,M
M
dt
δ
w
S
= rItM dt −
j=1 j j t


M
M
X
X
+
|
P
j=1
{z
≃ItM
}
j=1
|
{z
Notre modèle est en ligne avec Cizeau, Potters et Bouchaud [2001] :
LesP
coefficients beta sont étroitement distribués autour de 1
j,M
M
⇒
≃ ItM .
j=1 βj wj St
}
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L’indice ItM =
dItM
PM
j,M
j=1 wj St
j,M
M
dt
δ
w
S
= rItM dt −
j=1 j j t


M
M
X
X
+
|
P
j=1
{z
≃ItM
}
j=1
|
{z
≃0
LesP
j,M
M
⇒
≃ ItM .
j=1 βj wj St
Pour de grandes valeurs de M, on montre que le terme
P
j,M
j
j
M
j=1 wj St ηj (t, St )dWt peut être négligé.
}
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L’indice ItM =
dItM
PM
j,M
j=1 wj St
j,M
M
dt
δ
w
S
= rItM dt −
j=1 j j t


M
M
X
X
+
|
P
j=1
{z
≃ItM
}
j=1
|
{z
≃0
LesP
j,M
M
⇒
≃ ItM .
j=1 βj wj St
Pour de grandes valeurs de M, on montre que le terme
P
j,M
j
j
M
j=1 wj St ηj (t, St )dWt peut être négligé.
}
⇒ rj = βj rI M + ηj ∆W j + drift
où rj (resp. rI M ) est le log-rendement du stock j (resp. de l’indice).
Le rendement d’un stock est composé d’une partie systémique dirigée par
l’indice, qui représente le marché, et d’une partie résiduelle
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Un modèle simplifié
On regarde l’asymptotique nombre de stocks sous-jacents M grand.
Soit le candidat limite (It )t∈[0,T] solution de
dIt
= (r − δ)dt + βσ(t, It )dBt ; I0 = I0M
It
(2)
Théorème 1
Soit p ∈ N∗ . Si
(H1) ∃Kb tel que ∀(t, s), |σ(t, s)| + |ηj (t, s)| ≤ Kb
∃Kσ tel que ∀(t, s1 , s2 ), |s1 σ(t, s1 ) − s2 σ(t, s2 )| ≤ Kσ |s1 − s2 |
alors, il existe CT > 0 qui dépend de β, δ, Kb , Kσ mais pas de M tel que
!
P
p
M
2
w
E sup |ItM − It |2p ≤ CT max1≤j≤M |S0j,M |2p
j
j=1
0≤t≤T
+
P
M
j=1 wj |βj
− β|
2p
+
P
M
j=1 wj |δj
− δ|
2p 25 novembre 2009
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En remplaçant I M par I dans la dynamique du j-ème stock, on obtient
dStj
Stj
= (r − δj )dt + βj σ(t, It )dBt + ηj (t, Stj )dWtj
Théorème 2
Sous les hypothèses du Théorème 1 et si
(H2) ∃Kη t.q. ∀j ≤ M, ∀(t, s1 , s2 ), |s1 ηj (t, s1 ) − s2 ηj (t, s2 )| ≤ Kη |s1 − s2 |
∃KLip t.q. ∀(t, s1 , s2 ), |σ(t, s1 ) − σ(t, s2 )| ≤ KLip |s1 − s2 |
e j > 0 qui dépend de
alors, ∀j ∈ {1, . . . , M}, il existe C
T
β, δ, βj , δj , Kb , Kσ , Kη , KLip et max1≤j≤M S0j,M mais pas de M tel que
2p
PM 2 p PM
j
j,M
j 2p
e
≤ CT
w
|β
−
β|
w
+
E sup |St − St |
j
j
j
j=1
j=1
0≤t≤T
2p P
M
+
.
j=1 wj |δj − δ|
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Trois indices différents
Indice limite
PM
j,M
où (Sj,M )1≤j≤M est solution
j=1 wj St
: It solution de dIItt = (r − δ)dt + βσ(t, It )dBt
P
j j
Attention ! en général It 6= M
j=1 w St où
dStj
Stj
Indice original : ItM =
M def
Indice reconstruit : I t =
Théorème 3
de (1).
PM
j j
j=1 w St
Sous les hypothèses du Théorème 2,
2p
P
M 2p
M
M
w
E sup |It − I t | ≤ max1≤j≤M Ce Tj
j=1 j
0≤t≤T
2p 2p P
PM
PM 2 p
M
+
+
×
j=1 wj |δj − δ|
j=1 wj |βj − β|
j=1 wj
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qP
M
2
Dans les Théorèmes 1, 2 et 3, la distance L2 est petite si
j=1 wj ,
PM
PM
j=1 wj |βj − β| et
j=1 wj |δj − δ| sont petits.
P
1
2
Pour des poids uniformes, M
j=1 wj = M est petit dès que M est grand.
PM
j=1 wj |δj − δ| est minimale pour la médiane δ⋆ de la v.a.d D :
∀j ∈ {1, . . . , M},
w
P(D = δj ) = PM j
k=1 wk
.
P
Idem pour M
j=1 wj |βj − β| mais, pour rester cohérent avec
l’interprétation des βj comme des coef. de regression, il faut que β = 1.
PM
2
j=1 wj
0.026
P
2
( M
j=1 wj |βj − 1|)
0.0174
P
2
infβ ( M
j=1 wj |βj − β|)
0.0173
β⋆
0.975
TABLE: Exemple de l’indice Eurostoxx à la date du 21 décembre 2007 (M=50).
Estimation historique des βj sur deux ans.
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Pour résumer, quand le nombre de stocks sous-jacents est grand, notre modèle
original peut être approché par






 ∀j ∈ {1, . . . , M},
dIt
= (r − δI )dt + σ(t, It )dBt
It
j
dSt
j
St
(3)
On aboutit à
Un modèle à volatilité locale pour l’indice
Un modèle à volatilité stochastique pour chaque stock, composé d’une
partie systémique dirigée par l’indice et d’une partie intrinsèque.
Attention ! Le modèle simplifié n’est pas valide pour des options écrites sur
l’indice et les stocks puisque l’indice limite n’est plus la somme pondérée
exacte mais approchée des stocks. Auquel cas, considérer l’indice reconstruit
P
M
j
It = M
j=1 wj St ou alors utiliser le modèle original.
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1
Introduction
Calibration
2
Introduction
Options Vanilla
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Calibration du modèle simplifié
dIt
It
dSt
= (r − δ)dt + β σ(t, It )dBt + η(t, St )dWt .
St
(4)
On se cale d’abord sur le smile de l’indice : calibration d’un modèle à
volatilité locale (standard, par ex. forme paramétrique) → σ(t, x).
Se caler sur le smile d’un stock est plus compliqué. Le coefficient de
régression β peut être estimé historiquement (estimation d’un β implicite
difficile à priori).
⇒ Notre modèle favorise la calibration de l’indice (les options sur indices
sont généralement plus liquides que les options sur un stock individuel).
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Comment estimer η ?
Soit vloc (t, K) le carré de la volatilité locale qui permet de se caler sur le smile
du stock, donné par la formule de Dupire [3] :
vloc (t, K) = 2
∂t C(t, K) + (r − δ)K∂K C(t, K) + δC(t, K)
2 C(t, K)
K 2 ∂KK
où C(t, K) : prix de marché d’un Call de maturité t et strike K écrit sur S.
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vloc (t, K) = 2
2 C(t, K)
K 2 ∂KK
D’après Gyöngy [1986], si E(β 2 σ 2 (t, It ) + η 2 (t, St )|St = K) = vloc (t, K),
alors ∀T, K > 0, E e−rT (ST − K)+ = C(T, K). Donc, on veut calculer
η(t, K) =
q
vloc (t, K) − β 2 E (σ 2 (t, It ) | St = K)
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(5)
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vloc (t, K) = 2
2 C(t, K)
K 2 ∂KK
D’après Gyöngy [1986], si E(β 2 σ 2 (t, It ) + η 2 (t, St )|St = K) = vloc (t, K),
alors ∀T, K > 0, E e−rT (ST − K)+ = C(T, K). Donc, on veut calculer
η(t, K) =
q
vloc (t, K) − β 2 E (σ 2 (t, It ) | St = K)
(5)
En pratique, vloc peut être calibré par l’ajustement d’une forme
paramétrique au smile de marché du stock.
Estimer l’espérance conditionnelle est plus compliqué (elle dépend
implicitement de η puisque la loi de (St , It ) dépend de η)
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Estimation non-paramétrique de η
Si on remplace η par l’expression (5) dans la dynamique du stock, on obtient
q
dSt
= (r − δ)dt + β σ(t, It )dBt + vloc (t, St ) − β 2 E (σ 2 (t, It ) | St )dWt
St
dIt
It
EDS non-linéaire au sens de McKean
On approche l’espérance conditionnelle par un estimateur à noyau du
type Nadaraya-Watson ⇒ système de particules
K → E(σ 2 (t, It )|St = K) peut être calculé par interpolation spatiale de
(σ 2 (t, Sti,N ))1≤i≤N → approximation de η(t, K)
Le système de particules peut être directement utilisé pour le pricing
dans le modèle calibré : estimation
Monte Carlo du prix de l’option de
−rT PN
i,N )
payoff h écrite sur S → e N
h(S
i=1
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Calibration du modèle original
dStj,M
Stj,M
= (r − δj )dt + βj σ(t, ItM )dBt + ηj (t, Stj,M )dWtj avec ItM =
M
X
wj Stj,M
j=1
Une calibration parfaite est compliquée... mais on peut
◮
◮
prendre pour σ la vol. locale calibrée de l’indice puis calibrer les
coefficients ηj ⇒ calibration imparfaite de l’indice mais erreur petite
(Théorème 1)
prendre pour σ et ηj les coefficients calibrés dans le modèle simplifié ⇒
calibration imparfaite de l’indice et des stocks mais erreur petite
(Théorèmes 1 et 2)
On se permet une légère erreur de calibration mais la contrainte
d’additivité de l’indice est respectée (on évite des arbitrages)
P
M
j
De manière similaire, l’indice reconstruit I t = M
j=1 wj St dans le
modèle simplifié calibré n’est pas parfaitement calibré
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1
Introduction
Calibration
2
Introduction
Options Vanilla
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21 / 55
Données de marché au 21 décembre 2007 de l’EUROSTOXX 50. T = 1 an.
0.40
Exact Implied Vol.
N=10000
0.38
N=200000
0.36
0.34
0.32
0.30
0.28
0.26
0.24
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
Moneyness
F IGURE: Estimation non-paramétrique de la vol. implicite de Carrefour.
Moneyness ( SK0 )
Error : |b
σsimul − σ
bexact |
0.5
36
0.7
8
0.9
2
1
1
1.1
2
1.2
9
1.5
32
2
56
TABLE: Erreur (en bp) sur la vol. implicite de Carrefour avec N = 200000 particules.
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Illustration des Théorèmes 1, 2 et 3
1
Le modèle original
∀j ∈ {1, . . . , M},
2
Le modèle simplifié
dStj,M
= rdt + σ(t, ItM )dBt
Stj,M
P
j,M
ItM = M
j=1 wj St .
∀j ∈ {1, . . . , M},
3
dStj
Stj
dIt
It
+ η(t, Stj,M )dWtj
= rdt + σ(t, It )dBt + η(t, Stj )dWtj
= rdt + σ(t, It )dBt .
P
M
i
L’indice reconstruit I t = M
i=1 wi St .
Le modèle de marché (matrice de corrélation constante)
q
j
e tj
∀j ∈ {1, . . . , M}, dSjt = rdt + vloc (t, Stj )dW
St
e i, W
e j >t = ρdt.
∀i 6= j, d < W
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M, I0 , et w1 , . . . , wM → valeurs pour l’Eurostoxx au 21 décembre 2007.
S01 = . . . = S0M = 53.
r = 0.045
σ(t, i) → vol. locale calibrée pour l’Eurostoxx.
Forme paramétrique arbitraire pour le coeff. de volatilité intrinsèque η.
On évalue vloc tel que le modèle de marché donne les mêmes prix
d’options sur les stocks que le modèle simplifié →
vloc (t, s) = η 2 (t, s) + E(σ 2 (t, It )|St1 = s).
On fixe le coefficient de corrél. ρ tel que le modèle de marché et le
modèle simplifié donnent la même volatilité implicite ATM pour l’indice.
Nombre de trajectoires simulées : 100 000.
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0.42
0.40
Simplified
0.40
Simplified
Market
Market
Original
0.38
Original
0.35
Simplified Reconstructed
0.36
0.34
0.30
0.32
0.30
0.25
0.28
0.26
0.20
0.24
0.22
0.20
0.15
0.5
1.0
1.5
2.0
0.5
Moneyness
1.5
2.0
Moneyness
F IGURE: Vol. implicite pour un stock.
1.0
F IGURE: Vol. implicite pour l’indice.
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25 / 55
Plan
1
Introduction
Calibration
2
Introduction
Options Vanilla
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Modèle à volatilité stochastique
L’actif sous-jacent (St )t∈[0,T] est solution de l’EDS
(
p
dSt = rSt dt + f (Yt )St (ρdWt + 1 − ρ2 dBt );
dYt = b(Yt )dt + σ(Yt )dWt ; Y0 = y0
S0 = s0 > 0
(6)
où
r est le taux d’intérêt sans risque,
(Bt )t∈[0,T] et (Wt )t∈[0,T] deux Browniens scalaires indépendants,
ρ ∈ [−1, 1] le coefficient de correlation,
f , b, σ : R → R réguliers (on ne traite pas le modèle de Heston)
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Exemples
Scott 1987

p
Yt S (ρdW +

dS
=
rS
dt
+
e
1 − ρ2 dBt )
t
t
t
t

dYt = κ(θ − Yt )dt + νdWt


⇒ f (y) = ey , b(y) = κ(θ − y) and σ(y) = ν.
Stein & Stein 1991

p
2

dSt = rSt dt + Yt St (ρdWt + 1 − ρ dBt )


⇒ f (y) = y, b(y) = κ(θ − y) and σ(y) = ν.
Modèle quadratique gaussien

p
2 S (ρdW +

Y
1 − ρ2 dBt )
dS
=
rS
dt
+
t
t
t
t
t



⇒ f (y) = y2 , b(y) = κ(θ − y) and σ(y) = ν.
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Schémas spécifiques ?
Comparativement au modèle de Heston, il y a peu de schémas
spécifiques aux modèles à vol. sto. quand Y est solution d’une EDS à
coefficients réguliers σ, b : R → R :
(
p
dSt = rSt dt + f (Yt )St (ρdWt + 1 − ρ2 dBt )
dYt = σ(Yt )dWt + b(Yt )dt
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29 / 55
(
p
Kahl & Jäckel 2006 proposent un schéma avec discrétisation de Milstein
de l’intégrale p/p à dWt et discrétisation par des trapèzes de l’intégrale
p/p à dBt → ordre de convergence forte 1/2 et, d’après les résultats
numériques, une plus petite constante multiplicative que pour Euler.
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(
p
Kahl & Jäckel 2006 proposent un schéma avec discrétisation de Milstein
de l’intégrale p/p à dWt et discrétisation par des trapèzes de l’intégrale
p/p à dBt → ordre de convergence forte 1/2 et, d’après les résultats
numériques, une plus petite constante multiplicative que pour Euler.
Objectifs :
Tirer profit de la structure particulière de l’EDS 2D pour construire des
schémas performants pour le pricing d’options vanilla et path-dependent.
Garder la possibilité de remplacer le schéma sur Y par la simulation
exacte dans le cas Ornstein-Uhlenbeck.
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Transformation de l’EDS (6)
déf
Changement de variables logarithmique pour l’actif : Xt = log(St ) résout
p
1
dXt = r − f 2 (Yt ) dt + f (Yt )(ρdWt + 1 − ρ2 dBt ).
2
Traitement du terme ρf (Yt )dWt : si f , σ sont C1 et σ ne s’annule pas alors,
déf R y
pour F(y) = y0 σf (z)dz,
1
bf
′
′
+ (σf − f σ ) (Yt )dt.
dF(Yt ) = f (Yt )dWt +
σ
2
Ainsi
(
p
dXt = ρdF(Yt ) + h(Yt )dt + 1 − ρ2 f (Yt )dBt
(7)
déf
où h(y) = r − 21 f 2 (y) − ρ( bfσ + 21 (σf ′ − f σ ′ ))(y).
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1
Introduction
Calibration
2
Introduction
Options Vanilla
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Options Vanilla
On veut calculer le prix E(e−rT g(ST )) = E(e−rT g(eXT )) de l’option de
maturité T et de payoff g : R∗+ → R+ .
Schémas avec ordre de convergence élevé
Familles de moments : Kusuoka 01 04, Ninomiya 03 03,...
Cubatures : Lyons & Victoir 04,...
Splitting et intégration d’EDOs : Ninomiya & Victoir 08, Ninomiya &
Ninomiya 09, Tanaka & Kohatsu-Higa 09, Alfonsi 09,...
.
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Splitting pour (7)
(
p
dZt = h(Yt )dt + 1 − ρ2 f (Yt )dBt
Splitting naturel de l’opérateur associé
déf
Si Zt = Xt − ρF(Yt ), alors
L=
.
σ 2 (y)
(1 − ρ2 )f 2 (y)
∂yy + b(y)∂y +
∂zz + h(y)∂z .
2
| 2
{z
} |
{z
}
LZ
LY
→ à y fixé, simulation exacte de l’EDS associée possible
Si à chaque pas de temps T/N, on
résout l’EDS sur Z à Y fixé sur un intervalle de longueur T/2N,
intègre l’EDS de Y avec un schéma d’ordre faible 2 sur un intervalle de
longueur T/N,
résout l’EDS sur Z à Y fixé sur un intervalle de longueur T/2N,
alors on obtient un schéma d’ordre faible 2 pour (Y, Z) (Ninomiya & Victoir
08, Alfonsi 09, Tanaka & Kohatsu-Higa 09).
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Schéma Weak 2
def kT
N.
Pour 0 ≤ k ≤ N, tk =
(
Ȳ0N = y0
On considère le schéma de Ninomiya-Victoir
T
e
T
e
∀0 ≤ k ≤ N − 1, ȲtNk+1 = e 2N b e(Wtk+1 −Wtk )σ e 2N b (ȲtNk+1 )
def
e
b(y) = b(y) − 12 σσ ′ (y),
pour v : R → R, etv (y) dénote la solution ξ(t) de l’EDO ξ ′ (t) = v(ξ(t))
déf R z 1
qui part de y en 0. Si η(z) = 0 v(x)
dx, alors etv (y) = η −1 (t + η(y)).
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Schéma Weak 2
def kT
N.
Pour 0 ≤ k ≤ N, tk =
(
Ȳ0N = y0
On considère le schéma de Ninomiya-Victoir
T
e
T
e
∀0 ≤ k ≤ N − 1, ȲtNk+1 = e 2N b e(Wtk+1 −Wtk )σ e 2N b (ȲtNk+1 )
def
e
b(y) = b(y) − 12 σσ ′ (y),
pour v : R → R, etv (y) dénote la solution ξ(t) de l’EDO ξ ′ (t) = v(ξ(t))
déf R z 1
qui part de y en 0. Si η(z) = 0 v(x)
dx, alors etv (y) = η −1 (t + η(y)).
Alors
X̄TN
= log(s0 ) +
ρF(ȲTN )
+
N−1
X
(h(ȲtNk ) + h(ȲtNk+1 ))
k=0
T
2N
v
u
u (1 − ρ2 )T N−1
X
+t
(f 2 (ȲtNk ) + f 2 (ȲtNk+1 )) × G
2N
k=0
avec G ∼ N1 (0, 1) indépendante de (Wt )t≥0 .
25 novembre 2009
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Résultat de convergence
Théorème 4
Supposons que
F ∈ Cb6 , f ∈ Cb4 , h ∈ Cb4 ,
σ ∈ C5 , b ∈ C4 , avec des dérivées bornées, σ ne s’annule pas,
infR f 2 > 0, |ρ| =
6 1,
g est mesurable vérifiant
µ
∃c ≥ 0, ∃µ ∈ [0, 2), ∀y > 0, |g(y)| ≤ ce| log(y)| .
Alors, il existe C indépendant de N tel que
∀N ∈ N∗ , |E(g(ST )) − E(g(eX̄T ))| ≤
N
C
.
N2
Convergence pour tout payoff g mesurable à croissance polynômiale.
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1
Introduction
Calibration
2
Introduction
Options Vanilla
25 novembre 2009
36 / 55
Critère de convergence faible trajectorielle
Soit g : C([0, T], R) → R une fonction Lipschitz (payoff asiatique ou
lookback par exemple) :
StN )t≤T ))|≤E g((St )t≤T ) − g((e
StN )t≤T ))
|E(g((St )t≤T )) − E(g((e
!
N
St | .
≤ kgkLip E sup |St − e
t≤T
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Critère de convergence faible trajectorielle
Soit g : C([0, T], R) → R une fonction Lipschitz (payoff asiatique ou
lookback par exemple) :
StN )t≤T ))|≤E g((St )t≤T ) − g((e
StN )t≤T ))
|E(g((St )t≤T )) − E(g((e
!
N
St | .
≤ kgkLip E sup |St − e
t≤T
≤ : estimation grossière. Considérer plutôt la distance de Wasserstein W1 ,
|E(g((St )t≤T )) − E(g((e
StN )t≤T ))|
StN )t≤T ))|
≤ sup |E(γ((St )t≤T )) − E(γ((e
kgkLip
kγkLip ≤1
|
{z
}
W1 (L(S),L(e
SN ))
E supt≤T |eSt − eStN | .
S=S
Formulation duale : W1 (L(S), L(e
SN )) = infe L
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Schémas existants d’ordre 1
Schéma de Milstein : schéma d’ordre fort 1.
◮
la condition de commutativité s’écrit σf ′ = 0 donc il faut une volatilité
déterministe ⇒ le schéma de Milstein implique la simulation de l’aire de
Levy (simulation possible mais difficile à mettre en oeuvre en dimension
deux par Gaines & Lyons 1994).
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Schémas existants d’ordre 1
Schéma de Milstein : schéma d’ordre fort 1.
◮
la condition de commutativité s’écrit σf ′ = 0 donc il faut une volatilité
déterministe ⇒ le schéma de Milstein implique la simulation de l’aire de
Levy (simulation possible mais difficile à mettre en oeuvre en dimension
deux par Gaines & Lyons 1994).
Schéma de Cruzeiro Malliavin & Thalmaier 2004 : schéma d’ordre 1
pour W1 (rotation astucieuse du Brownien sous condition d’ellipticité).
◮
◮
◮
si Y est OU, la simulation exacte casse l’ordre de convergence pour W1
perte d’indépendance entre le schéma sur Y et B (pas de conditionnement),
dans la perspective d’appliquer la méthode de Romberg statistique
(Kebaier 05) ou multi-level Monte Carlo (Giles & al 07 08 09) MLMC ,
pas de couplage avec ordre fort 1 entre les schémas avec N et 2N pas.
25 novembre 2009
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Schéma Weak Traj 1
etN = y0 et pour 0 ≤ k ≤ N − 1
Schéma de Milstein pour Y : Y
0
T
1 ′ eN
T
N
N
N
N
2
e
e
e
e
Ytk+1 = Ytk + b(Ytk ) + σ(Ytk )∆Wk+1 + σσ (Ytk ) ∆Wk+1 −
N
2
N
etN = X
etN + ρ F(Y
etN ) − F(Y
etN ) + h(Y
etN ) T
hrt. X
k+1
k
k+1
k
k
N
v
!
u
2 ′ (Y
etN ) Z tk+1
p
u
Nσ
f
k
N
et ) +
(Ws − Wtk )ds ∨ f 2 ∆Bk+1
+ 1 − ρ2 t f 2 (Y
k
T
tk
Théorème 5
Supposons que ∀N, R2(N+1) est équipé de la norme sup et que
b ∈ Cb3 et σ ∈ Cb4 avec infy∈R σ(y) > 0,
déf
f ∈ Cb4 avec f 2 = infy∈R f 2 (y) > 0
etN )k≤N ) ≤
etN , Y
alors ∃C > 0, ∀N ∈ N∗ , W1 L((Xtk , Ytk )k≤N ), L((X
k
k
C
N.
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Couplage entre schémas avec N et 2N pas (pour le MLMC)
T
le pas de temps
du schéma avec 2N
Soit δ = 2N
pas.
p
2N
e 2N
ejδ
e 2N ) − F(Y
ejδ2N ) + h(Y
ejδ2N )δ + 1 − ρ2 ×
X
=
X
+
ρ
F(
Y
(j+1)δ
(j+1)δ
v
!
u
2 ′ (Y
e 2N ) Z jδ+δ
u
σ
f
jδ
u f 2 (Y
ejδ2N ) +
(Ws − Wjδ )ds ∨ f 2 (B(j+1)δ − Bjδ )
u
δ
{z
}
|
u
jδ
t|
{z
}
∆B2N
j
v2N
j
eN
X
X N : on remplace ∆BNk par
√
2
√
q
2N
2N
2N
v2N
2k ∆B2k + v2k+1 ∆B2k+1
q
.
2N
v2N
2k +v2k+1
Proposition
L
etN )k≤N =
(XtNk )k≤N . De plus, sous les hypothèses du Théorème 5,
∀N ∈ N∗ , (X
k
∀p ≥ 1, ∃C ≥ 0, ∀N ∈ N , E
∗
max
0≤k≤N
|XtNk
et2N |2p
−X
k
≤
C
.
N 2p
Utile dans la perspective du multi-level Monte Carlo.
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1
Introduction
Calibration
2
Introduction
Options Vanilla
25 novembre 2009
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Schéma OU Improved
Simulation exacte pour Y. Ordres de convergence préservés sous des
hypothèses plus faibles.
25 novembre 2009
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En s’inspirant du schéma d’ordre fort 3/2 proposé par Lapeyre &
Temam 01 pour les options asiatiques dans le modèle de Black-Scholes :
q
btN = X
btN + ρ F(Ytk+1 ) − F(Ytk ) + b
h
+
(1 − ρ2 )(bvk ∨ f 2 ) ∆Bk+1
X
k
k+1
k
Z
′
ν 2 ′′
T
Nνf 2 (Ytk ) tk+1
′
bvk = f 2 (Ytk ) +
(Ws − Wtk )ds + (κ(θ − .)f 2 + f 2 )(Ytk )
T
2
2N
tk
Z tk+1
2
2
ν
T
T
b
hk = h(Ytk ) + νh′ (Ytk )
(Ws − Wtk )ds + (κ(θ − .)h′ + h′′ )(Ytk ) 2
N
2
2N
tk
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q
btN = X
h
+
(1 − ρ2 )(bvk ∨ f 2 ) ∆Bk+1
X
k
k+1
k
Z
′
ν 2 ′′
T
Nνf 2 (Ytk ) tk+1
′
bvk = f 2 (Ytk ) +
(Ws − Wtk )ds + (κ(θ − .)f 2 + f 2 )(Ytk )
T
2
2N
tk
Z tk+1
2
2
ν
T
T
b
(Ws − Wtk )ds + (κ(θ − .)h′ + h′′ )(Ytk ) 2
N
2
2N
tk
◮
btN , Ytk )) ≤
max0≤k≤N W1 (L(Xtk , Ytk ), L(X
k
C
N 3/2
(couplage dép. de k).
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42 / 55
q
btN = X
h
+
(1 − ρ2 )(bvk ∨ f 2 ) ∆Bk+1
X
k
k+1
k
Z
′
ν 2 ′′
T
Nνf 2 (Ytk ) tk+1
′
bvk = f 2 (Ytk ) +
(Ws − Wtk )ds + (κ(θ − .)f 2 + f 2 )(Ytk )
T
2
2N
tk
Z tk+1
2
2
ν
T
T
b
(Ws − Wtk )ds + (κ(θ − .)h′ + h′′ )(Ytk ) 2
N
2
2N
tk
◮
◮
btN , Ytk )) ≤
k
N
2N
bT et X
bT .
Ordre fort 3/2 entre X
C
N 3/2
(couplage dép. de k).
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q
btN = X
h
+
(1 − ρ2 )(bvk ∨ f 2 ) ∆Bk+1
X
k
k+1
k
Z
′
ν 2 ′′
T
Nνf 2 (Ytk ) tk+1
′
bvk = f 2 (Ytk ) +
(Ws − Wtk )ds + (κ(θ − .)f 2 + f 2 )(Ytk )
T
2
2N
tk
Z tk+1
2
2
ν
T
T
b
(Ws − Wtk )ds + (κ(θ − .)h′ + h′′ )(Ytk ) 2
N
2
2N
tk
◮
◮
◮
.
btN , Ytk )) ≤ C3/2 (couplage dép. de k).
k
N
N
2N
bT et X
bT .
Ordre fort 3/2 entre X
bN
Ordre faible 2 : |E(g(ST )) − E(g(eXT ))| ≤ NC2 .
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1
Introduction
Calibration
2
Introduction
Options Vanilla
25 novembre 2009
43 / 55
Expériences numériques dans le cadre du modèle de Scott (f (y) = ey , Y OU)

p
Yt
2

dSt = rSt dt + e St (ρdWt + 1 − ρ dBt )


⇒ f (y) = ey , b(y) = κ(θ − y) and σ(y) = ν
avec les paramètres de l’article de Kahl & Jäckel 2006 :
s0 = 100, y0 = log(0.25),
r = 0.05
κ = 1, θ = 0, ν =
√
7 2
20 ,
ρ = −0.2,
T = 1.
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Call à la monnaie (K = 100)
13.6
WeakTraj_1
Weak_2
13.4
OU_Improved
IJK
Euler
13.2
CMT
13.0
12.8
12.6
12.4
12.2
0
50
100
150
200
250
300
F IGURE: Convergence du prix du Call p/p à N. Prix calculé avec technique de
conditionnement excepté pour CMT.
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45 / 55
Couplage à l’horizon T
4
2
0
−2
−4
−6
−8
WeakTraj_1 (C)
−10
Weak_2 (C)
OU_Improved (C)
−12
IJK (C)
Euler (C)
−14
CMT
−16
0.5
F IGURE: log
E
XTN
e
1.0
1.5
XT2N
−e
2.0
2.5
2 3.0
3.5
4.0
4.5
5.0
5.5
6.0
en fonction de log(N). Excepté pour CMT, XTN
et XT2N sont générés en utilisant la même gaussienne pour l’intégrale p/p à B.
25 novembre 2009
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Multi-level Monte Carlo pour le pricing d’un Call ATM
3
10
WeakTraj_1
Weak_2
OU_Improved
IJK
2
Computation time
10
Euler
1
10
0
10
−1
10 −3
10
−2
−1
10
10
0
10
Epsilon
F IGURE: Temps de calcul en fonction de la précision ε
25 novembre 2009
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Option asiatique à strike fixe (K = 100)
7.10
7.05
7.00
6.95
6.90
6.85
6.80
WeakTraj_1
Weak_2
6.75
OU_Improved
IJK
6.70
Euler
CMT
6.65
0
100
200
300
400
500
600
F IGURE: Convergence du prix de l’option asiatique en fonction de N.
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Convergence forte
........
log
N
2N 2
en fonction de log(N)
E max0≤k≤N eXtk − eXtk
5
5
4
3
0
2
1
0
−5
WeakTraj_1
−1
−2
Weak_2
WeakTraj_1 (C)
OU_Improved
Weak_2 (C)
IJK
OU_Improved (C)
Euler
IJK (C)
CMT
−3
0.5
1.0
Euler (C)
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0
4.5
5.0
5.5
6.0
−10
0.5
F IGURE: Sans couplage.
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0
4.5
5.0
5.5
6.0
F IGURE: Avec couplage.
........
25 novembre 2009
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Multi-level Monte Carlo pour le pricing de l’option
asiatique
−1
10
WeakTraj_1
Weak_2
OU_Improved
Computation time x Epsilon²
IJK
Euler
CMT
−2
10
−3
10 −3
10
−2
10
−1
10
Epsilon
F IGURE: Temps de calcul multiplié par le carré de la précision ε
25 novembre 2009
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Perspectives
1
Calibration implicite du Beta dans le modèle d’indice ? Méthode de
calibration plus rapide ?
2
Etude de la couverture tant sur le plan théorique que pratique ?
3
4
Relaxer l’hypothèse f 2 > 0 dans les résultats de convergence sur les
schémas ?
Hypothèses moins fortes pour passer à l’exponentielle dans les schémas
Weak Traj 1 et OU Improved ?
25 novembre 2009
51 / 55
References I
M. Avellaneda, D. Boyer-Olson, J. Busca, and P. Friz.
Reconstructing volatility. Risk, pages 87–91, October 2002.
P. Cizeau, M. Potters, and J-P. Bouchaud.
Correlation structure of extreme stock returns. Quantitative Finance,
1(2) :217–222, February 2001.
B. Dupire.
Pricing with a smile. Risk, pages 18–20, January 1994.
I. Gyöngy.
Mimicking the one-dimensional marginal distributions of processes
having an Itô differential. Probab. Theory Relat. Fields, 71(4) :501–516,
1986.
P. Lee, L. Wang, and A. Karim.
Index volatility surface via moment-matching techniques. Risk, pages
85–89, December 2003.
25 novembre 2009
52 / 55
Volatilité Implicite
50
Carrefour
Eurostoxx
45
40
35
30
25
20
15
10
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
1.6
1.8
2.0
Moneyness
F IGURE: Effet de levier ? Pression d’achat de certains puts OTM sur l’indice
(assurance contre les crashs) ? Stocks plus corrélés durant les crashs ?... Le smile de
l’indice est plus pentu que celui des stocks.
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cL son approximation par un
P une fonctionnelle de la solution d’une EDS et P
−L
schéma de discrétisation de pas 2 T.
P
E PbL = E Pb0 + Ll=1 E Pbl − Pbl−1
!
N0
Nl X
PL
1
1 X
(k)
(k)
(k)
b −P
b
b +
P
P
≃
l=1
0
l
l−1
N0
Nl
k=1
k=1
|
{z
}
| {z }
Théorème (Giles 06)
b0
Y
bl
Y
Si leschéma
a un ordre deconvergence faible α ≥ 12 et si
bl = O N −1 Tl β (par ex. si ordre de convergence forte égal à β ),
Var Y
l
2
2
alors il existe c > 0 tel que pour tout ǫ >P
0 il existe des valeurs de L et de
b= L Y
b vérifie E[(Y
b − E(P))2 ] < ǫ2
(Nl )0,...,L pour lesquels l’estimateur Y
 −2 l=0 l
si β > 1
 cǫ
−2
2
cǫ (ln(ǫ))
si β = 1
avec une complexité de calcul C ≤
 −2− 1−β
α
si 0 < β < 1
cǫ
Pour Euler par ex., on passe d’une complexité en O(ǫ−3 ) à O(ǫ−2 (ln(ǫ))2 ).
25 novembre 2009
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Arguments heuristiques pour Weak Traj 1
dXt = ρdF(Yt ) + h(Yt )dt +
L e
e
(Xtk )k≤N = (X
tk )k≤N où X0 = log(s0 ) et
p
1 − ρ2 f (Yt )dBt
Z tk+1
etk+1 = X
etk + ρ(F(Ytk+1 ) − F(Ytk )) +
h(Ys )ds
X
tk
s
Z
(1 − ρ2 )N tk+1 2
+
f (Ys )ds ∆Bk+1 .
T
tk
Var
Z
tk+1
tk
f (Ys )dBs |W
=
≃
Z
tk+1
tk
2
f (Y
f 2 (Ys )ds
tk )T
N
+ σ f (Ytk )
.
.
2′
Z
tk+1
tk
Ws − Wtk ds
25 novembre 2009
55 / 55

Soutenance - Le Cermics

Transcription

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